Page15湖南省岳陽縣2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次聯(lián)考試題總分：150分時(shí)量：120分鐘一．單選題（每小題5分，共40分）1.設(shè)集合，，則＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)集合的交運(yùn)算，干脆求解即可.【詳解】依據(jù)題意可得.故選：B.2.命題：“”的否定為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】對原命題“改量詞，否結(jié)論”，即可求得結(jié)果.【詳解】命題：“”的否定為“”.故選：C.3.已知函數(shù)，則是成立的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的定義分析推斷即可【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，或，解得或，所以是成立的充分不必要條件，故選：A4.函數(shù)的值域是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先證明函數(shù)的單調(diào)性，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】隨意取，設(shè)，則，由，，則，，，即，故，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，，，所以的值域?yàn)?故選：B5.若不等式的解集為，則的取值范圍是（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】探討是否為0，不為0時(shí)，依據(jù)開口方向和判別式建立不等式組，解之即可求出所求.【詳解】①當(dāng)時(shí)，成立②當(dāng)時(shí)，若不等式的解集為，則不等式在恒成立，則，解得：綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：D.6.若函數(shù)在上的圖象為一條連綿不斷的曲線，且同時(shí)滿意，，則（）A.在上有零點(diǎn) B.在上有零點(diǎn)C.在上無零點(diǎn) D.在上無零點(diǎn)【答案】B【解析】【分析】依據(jù)正數(shù)乘以負(fù)數(shù)為負(fù)數(shù)以及,可得,再依據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得.【詳解】因?yàn)椋?所以,即,因?yàn)?所以，依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知在上有零點(diǎn)，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了零點(diǎn)存在性定理,屬于基礎(chǔ)題.7.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分段函數(shù)在R上單調(diào)遞減，即：各段上都單調(diào)遞減且分界點(diǎn)在左邊解析式的函數(shù)值大于等于分界點(diǎn)在右邊解析式的函數(shù)值.【詳解】由題意，故選：C.8.已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)對數(shù)運(yùn)算，將寫成分段函數(shù)的形式，數(shù)形結(jié)合即可求得結(jié)果.【詳解】由題意，，則.數(shù)形結(jié)合可知，的圖象為選項(xiàng)A中的圖象.故選：A.二．多選題（每小題5分，共20分）9.若非零實(shí)數(shù)a，b滿意，則下列不等式肯定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)給定條件，舉反例說明推斷選項(xiàng)A，B，D；利用不等式性質(zhì)推理推斷選項(xiàng)C作答.【詳解】非零實(shí)數(shù)a，b滿意，取，則，A不正確；取，則，B不正確；因a，b是非零實(shí)數(shù)，則，而，有，即，C正確；取，則，有，D不正確.故選：C10.下列說法正確的是（）A.的最小值是3B.的最大值是5C.的最小值是2D.的最大值是【答案】ABD【解析】【分析】A，C選項(xiàng)構(gòu)造基本不等式即可，B選項(xiàng)利用基本不等式計(jì)算即可，D項(xiàng)變形構(gòu)造基本不等式即可【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故A正確.選項(xiàng)B，因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故B正確.對于C，，當(dāng)且僅，即時(shí)，等號不成立，令，則在上單調(diào)遞增，所以時(shí)取得最小值為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以最大值為，故D正確.故選：ABD.11.若函數(shù)在定義域上的值域?yàn)椋瑒t區(qū)間可能為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性，以及值域，結(jié)合其函數(shù)特點(diǎn)，即可簡單求得結(jié)果.【詳解】∵函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸方程為，故，又，故要定義域上的值域?yàn)椋瑵M意題意的選項(xiàng)是：BC.故選：BC.12.定義域和值域均為的函數(shù)和的圖象如圖所示，其中，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A.方程有且僅有三個(gè)解 B.方程有且僅有三個(gè)解C.方程有且僅有九個(gè)解 D.方程有且僅有一個(gè)解【答案】AD【解析】【分析】依據(jù)復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)求解方法，從外到內(nèi)數(shù)形結(jié)合分析，即可推斷和選擇.【詳解】對A：令，數(shù)形結(jié)合可知，或或；令，，，又因?yàn)椋?，?shù)形結(jié)合可知都有一個(gè)根，故方程有且僅有三個(gè)解，A正確；對B：令，數(shù)形結(jié)合可知，；令，因?yàn)?，?shù)形結(jié)合可知，該方程有一個(gè)根，故方程有且僅有一個(gè)解，故B錯(cuò)誤；對C：令，數(shù)形結(jié)合可知，或或；令，由題可知，，數(shù)形結(jié)合可知，各有一個(gè)解，，有三個(gè)解，故方程有且僅有五個(gè)解，故C錯(cuò)誤；對D：令，數(shù)形結(jié)合可知，；令，又，數(shù)形結(jié)合可知，該方程有一個(gè)解，故方程有且僅有一個(gè)解，D正確.故選：AD.三．填空題（每小題5分，共20分）13.不等式的解集為______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)一元二次不等式的解法干脆求解可得結(jié)果.【詳解】由得：即不等式的解集為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式求解問題，屬于基礎(chǔ)題.14.函數(shù)的值域是________【答案】【解析】【分析】依據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性解決即可.【詳解】由題知，令，由二次函數(shù)圖像性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增..所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增..所以，所以的值域是.故答案為：15.已知，且，則的最大值為_____．【答案】【解析】【分析】將化為后，依據(jù)基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.所以的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要留意其必需滿意的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必需為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必需把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必需把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必需驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最簡單發(fā)生錯(cuò)誤的地方.16.若函數(shù)是奇函數(shù)，且，則________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)奇函數(shù)的定義，結(jié)合已知條件，求得的關(guān)系，賦值即可求得結(jié)果.【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，即又，令，則.故答案為：.四．解答題（第17題10分，其余各題每題12分，共70分）17.設(shè)集合,.（1）若，求m的范圍；（2）若，求m的范圍.【答案】（1）或；（2）或.【解析】【分析】（1）分和兩種狀況探討,使得即可;（2）分和兩種狀況探討,使得即可.【詳解】（1）已知,.當(dāng)時(shí),有,即,滿意.當(dāng)時(shí),有,即,又,則或,即或，綜上可知,m的取值范圍為或；（2）∵,∴.當(dāng)時(shí),有,即,滿意題意.當(dāng),有,即,且,解得.綜上可知,m的取值范圍為或.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集與并集的性質(zhì),留意空集是任何一個(gè)集合的子集,屬于基礎(chǔ)題.18.已知函數(shù)，.（1）推斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（2）是否存在，使得為奇函數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）單調(diào)遞減，證明見解析；（2）存在，【解析】【分析】（1）利用作差法證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用奇偶性的定義求解的值.【詳解】解：（1）在上單調(diào)遞減，證明：，且則，，，，，，，在上單調(diào)遞減；（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，若為奇函?shù)，則恒成立，即恒成立，，解得：，存在，使得為奇函數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的兩大性質(zhì)：單調(diào)性與奇偶性，剛學(xué)性質(zhì)時(shí)，解決性質(zhì)問題常見的方法是定義法.19.已知二次函數(shù)的最小值為1，且．（1）求的解析式．（2）在區(qū)間[－1,1]上，的圖象恒在的圖象上方，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)已知函數(shù)是二次函數(shù)，求解析式可以采納待定系數(shù)法，再由已知條件可以設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式.(2)由二次函數(shù)圖像在直線上方可得到不等式：，問題轉(zhuǎn)化為不等式在[－1,1]恒成立求參數(shù)的范圍，可以用分別參數(shù)法.【詳解】（）由已知是二次函數(shù)，且，得的對稱軸為，又的最小值為，故設(shè)，又，∴，解得，∴．（2）由于在區(qū)間[－1,1]上，的圖象恒在的圖象上方，所以在[－1,1]上恒成立，即在上恒成立．令，則在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞減，∴在區(qū)間[－1,1]上的最小值為，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題綜合考查二次函數(shù)的解析式求解和其性質(zhì)應(yīng)用，解析式求解中，如何設(shè)函數(shù)解析式很關(guān)鍵，將會(huì)影響后續(xù)計(jì)算量的大小，因此須要依據(jù)已知條件選擇合適的解析式；在求解參數(shù)范圍時(shí)一般采納分別參數(shù)和構(gòu)造函數(shù)法，在分別參數(shù)后要分清是恒成立問題還是存在性問題然后求解產(chǎn)生的新函數(shù)的最值.假如采納構(gòu)造函數(shù)法，則須要解決構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)來求參數(shù)的范圍.20.漳州市某研學(xué)基地，因地制宜劃出一片區(qū)域，打造成“生態(tài)水果特色區(qū)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)覺：某水果樹的單株產(chǎn)量（單位：千克）與施用肥料（單位：千克）滿意如下關(guān)系：，且單株施用肥料及其它成本總投入為元.已知這種水果的市場售價(jià)大約為10元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求.記該水果樹的單株利潤為（單位：元）.（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）；（2）3千克，最大利潤是390元.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意可以干脆得到利潤表達(dá)式；（2）依據(jù)定義域求每段函數(shù)的利潤最大值比較后可得答案.【詳解】（1）由已知，∴，∴.（2）由（1）得當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立，∵，∴當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)施用肥料為3千克時(shí)，該水果樹的單株利潤最大，最大利潤是390元.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要留意其必需滿意的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必需為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必需把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必需把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必需驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最簡單發(fā)生錯(cuò)誤的地方.21.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)（1）求的解析式（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)，即可求得參數(shù)值，再驗(yàn)證即可；（2）分別參數(shù)，利用換元法和函數(shù)單調(diào)性求分別參數(shù)所得函數(shù)最值，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】由題意，是定義在R上的奇函數(shù)，則，經(jīng)檢驗(yàn)，滿意題意；故.小問2詳解】由得即又，故，則；令，，，由題意，時(shí)，恒成立，又都在上單調(diào)遞增，故在上遞增，，故，即實(shí)數(shù)取值范圍為.22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求的取值范圍；（3）設(shè)，若存在使得函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值的差不超過1，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）依據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，轉(zhuǎn)化為解分式不等式；（2）將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為方程的根的問題；（3）依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值，依據(jù)不等式有解分別參數(shù)求取值