第01講平面向量的數(shù)量積【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過物理中功等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數(shù)量積．2.通過幾何直觀了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義．3.會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.4.能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，會表示兩個平面向量的夾角．5.能用坐標(biāo)表示平面向量垂直的條件.【基礎(chǔ)知識】一．平面向量的數(shù)量積1．向量的夾角已知兩個非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是：[0，π]．2.平面向量的數(shù)量積(1)設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b(2)注意任何一個向量與零向量的數(shù)量積均為零。解讀：向量的數(shù)量積是一種新的乘法，和向量的線性運(yùn)算有著顯著的區(qū)別，兩個向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)量，而不是向量．學(xué)習(xí)時必須透徹理解數(shù)量積概念的內(nèi)涵．二、投影向量1.向量a在b方向上的投影向量為|a|cosθe(其中e為與b同向的單位向量)，它是一個向量，且與b共線，其方向由向量a和b夾角θ的余弦決定．2.向量a在b方向上的投影向量eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|).3.注意：a在b方向上的投影向量與b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示為|b|cosθeq\f(a,|a|).三、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b都是非零向量，e是單位向量，θ為a與b(或e)的夾角．則1.e·a＝a·e＝|a|cosθ.2.a⊥b?a·b＝0.3.當(dāng)a與b同向時，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(5)|a·b|≤|a||b|.四、平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律1.a·b＝b·a；2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ為實(shí)數(shù))；3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c.五、平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到1.若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)間的距離AB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3.設(shè)兩個非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.4.若a，b都是非零向量，θ是a與b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).六、平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式1.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.2.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.3.(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.七、平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路1.題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解．2.給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等．八、用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：1.建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；2.通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；3.把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：利用定義求平面向量的數(shù)量積例1．(2022學(xué)年陜西省榆林市綏德中學(xué)、府谷中學(xué)高一下學(xué)期期中)已知向量，滿足，，則(

)A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】因?yàn)椋蔬xD．考點(diǎn)二：向量的投影向量例2．(2022學(xué)年天津市河北區(qū)高一下學(xué)期期中)已知，，與的夾角為135°，則在方向上的投影向量為(

)A．－ B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，與的夾角為135°，所以在方向上的投影為，所以在方向上的投影向量為－，故選A.考點(diǎn)三：利用數(shù)量積的性質(zhì)求向量的模例3．(2022學(xué)年山東省濰坊市高一下學(xué)期5月優(yōu)秀生測試)已知，是平面內(nèi)的兩個向量，，且，則(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】由，則，所以.故選D考點(diǎn)四：利用數(shù)量積性質(zhì)求向量的夾角例4．(2022學(xué)年湖北省問津聯(lián)合體高一下學(xué)期5月質(zhì)量檢測)已知在方向上的投影向量為，則與夾角的正弦值為___________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，且在方向上的投影向量為，設(shè)與的夾角為，則，即，又因?yàn)?，且，故．考點(diǎn)五：利用數(shù)量積求解垂直問題例5．(2022學(xué)年河南省商丘市一高高一下學(xué)期五月月考)已知向量，滿足，，，若，則實(shí)數(shù)的值為(

)A．2 B． C．9 D．【答案】C【解析】由，可得，由，可得，又，，則有，故，故選C考點(diǎn)六：數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算例6．(2022學(xué)年福建省莆田第一中學(xué)高一下學(xué)期期中)已知向量，點(diǎn)，，則向量在上的投影向量的模長為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】，故在上的投影向量的模長為.故選D考點(diǎn)七：建立坐標(biāo)系求解幾何圖形中的數(shù)量積問題例7．(2022學(xué)年河南省安陽市高一下學(xué)期聯(lián)考)已知正方形的邊長為2，為正方形的內(nèi)部或邊界上任一點(diǎn)，則的最大值是(

).A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎叫蔚倪呴L為2，所以，設(shè)，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因此，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選D【真題演練】1．(2020年高考全國卷Ⅲ)已知向量a，b滿足，，，則 ()A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，．，因此，．故選D．2．(2019年高考全國卷Ⅱ卷)已知，，，則 ()A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，∴,∴，解得，即，則．3．(2018年高考全國卷Ⅱ)已知向量，滿足，，則 ()A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【解析】，故選B．4．(2021年高考全國卷Ⅱ)已知向量．若，則________．【答案】．【解析】,，解得,故答案為．5．(2021年高考全國卷Ⅰ)已知向量，若，則__________．【答案】【解析】因?yàn)椋杂煽傻?，，解得?．(2020年高考全國卷Ⅰ)設(shè)為單位向量，且，則______________．【答案】【解析】因?yàn)闉閱挝幌蛄?，所以所以。解得：所?．(2020年高考全國卷Ⅱ)已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________．【答案】【解析】由題意可得：，由向量垂直的充分必要條件可得：，即：，解得：．8．(2019年高考全國卷Ⅲ)已知，為單位向量，且，若，則___________．【答案】．【解析】因?yàn)?，，所以，，所以，所以．【過關(guān)檢測】1．(2022學(xué)年河南省商丘市第一高級中學(xué)高一下學(xué)期期中)已知點(diǎn)，則向量在方向上投影向量為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】，則向量在方向上投影向量為，故選B2．(2022學(xué)年江蘇省常州市第二中學(xué)高一下學(xué)期5月學(xué)情調(diào)研)已知向量，若與垂直，則與夾角的余弦值為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榕c垂直，故，解得，則,，設(shè)與夾角為，則.故選A.3．(2022學(xué)年河南省南陽市六校高一下學(xué)期第二次聯(lián)考)已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】由與的夾角為銳角知且與不共線，即且，即且.故選D.4.(2022學(xué)年四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一下學(xué)期期中)如圖，中，，，P為CD上一點(diǎn)，且滿足，若AC＝3，AB＝4，則的值為(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】，，三點(diǎn)共線，，，又，故選C5．(2022學(xué)年山東省菏澤市高一下學(xué)期期中)已知正方形ABCD的邊長為1，向量，滿足，，則(

)A． B．C． D．【答案】BCD【解析】∵，，∴，又正方形ABCD的邊長為1，∴，故A錯誤；∴，，即，故BC正確；∴，即，故D正確.故選BCD.6.(2022學(xué)年江蘇省徐州市睢寧縣高一下學(xué)期期中)如果是兩個單位向量，那么下列四個結(jié)論中錯誤的是(

)A． B． C． D．【答案】AC【解析】依題意，是兩個單位向量，單位向量方向不一定相同，所以A選項結(jié)論錯誤.單位向量的模為，所以，所以BD選項結(jié)論正確.當(dāng)時，，所以C選項結(jié)論錯誤.故選AC7．(2022學(xué)年上海交通大學(xué)附屬中學(xué)高一下學(xué)期線上教學(xué)反饋)點(diǎn)O在所在的平面內(nèi)，則下列說法正確的是(

)A．若，則點(diǎn)O是的外心B．若，則點(diǎn)O是的內(nèi)心C．若，則點(diǎn)O是的外心D．若，則點(diǎn)O是的垂心E．若，則點(diǎn)O是的內(nèi)心F．若，則點(diǎn)O是的垂心【答案】BCDEF【解析】對于A設(shè)的中點(diǎn)為,則.所以.這就說明點(diǎn)共線,即點(diǎn)在邊的中線上同理,可以說明點(diǎn)在另外兩邊的中線上所以為三角形的重心故A錯誤對于B向量分別表示在邊和上的單位向量,設(shè)為和,則它們的差是向是則當(dāng)即時,點(diǎn)在的平分線上,同理由,知點(diǎn)在的平分線上,故為的內(nèi)心故B正確對于C由向量加法的平行四邊形法則和向量減法的幾何意義可知表示以、為鄰邊的平行四邊形是菱形,即,同理有,所以為的外心故C正確對于D由可得所以，即在邊的垂線上同理可證在邊的垂線上所以為三角形的垂心故D正確對于E即因?yàn)樗运怨室驗(yàn)榕c分別為和方向上的單位向量,設(shè),則平分.又、共線,知平分.同理可證平分,平分,所以O(shè)點(diǎn)是的內(nèi)心.故E正確對于F等價于(設(shè)角，，的對邊分別為,，)(由三角形的高得到)所以,同理.所以點(diǎn)是的垂心故F正確故選BCDEF8.(2022學(xué)年江蘇省淮安市淮安區(qū)高一下學(xué)期期中)如圖，平面向量，的夾角是60°，||＝4，||＝2，平面內(nèi)任意一點(diǎn)E關(guān)于