數(shù)學(xué)試題（卷）注意事項：1．本試卷共6頁，滿分120分．考試時間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準考證號填寫在本試卷相應(yīng)的位置上．3．答卷全部在答題卡上完成，寫在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷選擇題（共30分）一、選擇題（在每小題的四個選項中，只有一項最符合題意，請選出并在答題卡上將該項涂黑．本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A B. C.且 D.且答案：C解析：詳解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，，∴且，∵∴且解得∴，解得且，故選C．2.從正面、左面、上面觀察某個立體圖形，得到如圖所示的平面圖形，那么這個立體圖形是（）A. B. C. D.答案：C解析：詳解：解：一個立體圖形從正面、左面看到的平面圖形是長方形，從上面看到的平面圖形是一個三角形，則這個立體圖形是有兩個底面是三角形的三棱柱．故選：C．3.已知雙曲線，下列各點不在此雙曲線上的是（）A. B. C. D.答案：A解析：詳解：∵雙曲線，∴，A、，不在雙曲線，符合題意；B、點中，，在雙曲線，不符合題意；C、點中，，在雙曲線，不符合題意；D、點中，，在雙曲線，不符合題意．故選：A．4.平移拋物線使其經(jīng)過原點，則下列操作不正確的是（）A.向右平移1個單位長度 B.向右平移5個單位長度C.向下平移5個單位長度 D.向上平移4個單位長度答案：D解析：詳解：解：A、拋物線向右平移1個單位長度，得到拋物線的解析式為，此時，圖象經(jīng)過原點，故A不符合題意；B、拋物線向右平移5個單位，得到拋物線的解析式為，此時，圖象經(jīng)過原點，故B不符合題意；C、拋物線向下平移5個單位，得到拋物線的解析式為，此時，圖象經(jīng)過原點，故C不符合題意；D、拋物線向上平移4個單位，得到拋物線的解析式為，此時，圖象不經(jīng)過原點，故D符合題意．故選：D．5.如圖，把繞C點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，交于點D，若，則的度數(shù)（）A. B. C. D.答案：C解析：詳解：解：根據(jù)題意，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得，，∵，∴，∴．故選：C．6.如圖，點O是內(nèi)切圓的圓心，已知，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.答案：B解析：詳解：解：∵點O是內(nèi)切圓的圓心，∴，，∴，故選：B．7.如圖，和是以點O為位似中心的位似圖形，點A在線段上，若，則和的周長之比為（）A. B. C. D.答案：C解析：詳解：解：∵，∴，∵和是以點O為位似中心的位似圖形，∴，，∴，∴，∴和的周長之比為，故選：．8.如圖，一艘輪船航行至O點時，測得某燈塔A位于它的北偏東40°方向，且它與燈塔A相距13海里，繼續(xù)沿正東方向航行，航行至點B處時，測得燈塔A恰好在它的正北方向，則的距離可表示為（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里答案：A解析：詳解：解：如圖，由題意可知，，在中，，，海里，∴海里．海里．故選：A．9.電影《志愿軍：雄兵出擊》于國慶檔上映，首周累計票房約3.5億元，第三周累計票房約6.8億元．若每周累計票房的增長率相同，設(shè)增長率為x，根據(jù)題意可列方程為（）A. B.C. D.答案：C解析：詳解：解：設(shè)增長率為x，由題意，得：；故選C．10.黃金分割由于其美學(xué)性質(zhì)，受到攝影愛好者和藝術(shù)家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構(gòu)圖法．其原理是：如圖，將正方形的底邊取中點E，以E為圓心，線段為半徑作圓，其與底邊的延長線交于點F，這樣就把正方形延伸為矩形，稱其為黃金矩形．若，則（）．A. B. C. D.答案：D解析：詳解：解：設(shè)，四邊形是正方形，，矩形是黃金矩形，，，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的根，，故選：D．第Ⅱ卷非選擇題（共90分）二、填空題．（共5個小題，每題3分，共15分）11.請寫出一個開口向下，經(jīng)過原點的二次函數(shù)的表達式__________．答案：答案不唯一（，任何，的二次函數(shù)均可）解析：詳解：解：∵頂點在坐標原點，∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax2，∵圖象開口向下，∴a＜0，∴可取a=-1，∴拋物線解析式為y=-x2，故答案為：答案不唯一（，任何，的二次函數(shù)均可）．12.一段公路路面的坡度為，如果某人沿著這段公路向上行走了260米，那么此人升高了________米．答案：100解析：詳解：解：設(shè)此人升高了x米，∵坡度為，∴他行走的水平距離為米，由勾股定理得，，解得：(負值舍去)，即他沿著垂直方向升高了100米，故答案為：100．13.如圖，扇形的半徑，，則以為直徑的半圓與圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積是____．答案：解析：詳解：解：過點作于點，∴，∵，，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴，∴，∵扇形的半徑，，∴，∴，，∴陰影部分的面積是，故答案為：．14.如圖，平面直角坐標系中，點B在第一象限，點A在x軸的正半軸上，，，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點B的對應(yīng)點的坐標是______答案：解析：詳解：解：如圖，作軸于H．由題意：，∴，∴，，∴，∴．15.如圖，點A在x軸的負半軸上，點C在反比例函數(shù)的圖象上，交y軸于點B，若點B是的中點，的面積為，則k的值為_____．答案：6解析：詳解：解：如圖，過點C作軸于D，∴，∵點B是中點，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．故答案為：6．三、解答題（共8個小題，共75分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）16.（1）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋孩佗冢?）計算：答案：（1）①，；②，；（2）解析：詳解：解：（1）①∵，∴，∴，∴或，解得，；②∵，∴，∴，∴，解得，；（2）．17如圖，已知，．（1）在圖中，用尺規(guī)作出的內(nèi)切圓O，并標出與邊，，的切點D，E，F(xiàn)（保留痕跡，不必寫作法）；（2）連接，，求的度數(shù)．答案：（1）見解析（2）解析：小問1詳解：解：如圖1，即為所求．小問2詳解：如圖2，連接，，∴，，∴，∵，∴，∴．18.建國中學(xué)有7位學(xué)生的生日是10月1日，其中男生分別記為，，，，女生分別記為，，．學(xué)校準備召開國慶聯(lián)歡會，計劃從這7位學(xué)生中抽取學(xué)生參與聯(lián)歡會的訪談活動．（1）若任意抽取1位學(xué)生，且抽取的學(xué)生為女生的概率是；（2）若先從男生中任意抽取1位，再從女生中任意抽取1位，求抽得的2位學(xué)生中至少有1位是或的概率．（請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程）答案：（1）（2）解析：小問1詳解：解：任意抽取1位學(xué)生，且抽取的學(xué)生為女生的概率是，故答案為：．小問2詳解：解：列出表格如下：一共有12種情況，其中至少有1位是或有6種，∴抽得的2位學(xué)生中至少有1位是或的概率為．19.是的直徑，與交于點，點是半徑上一點（點不與點，重合）．連接交于點，連接，．若，．求證：是的切線．答案：見解析解析：詳解：解：是的直徑，，．又，，又，，即，是的切線．20.某小區(qū)門口安裝了汽車出入道閘．道閘關(guān)閉時，如圖1，四邊形為矩形，長3米，長1米，點與點重合．道閘打開的過程中，邊固定，連桿，分別繞點，轉(zhuǎn)動，且邊始終與邊平行．（1）如圖2，當?shù)篱l打開至時，邊上一點到地面的距離PE為1米，求點到的距離的長．（2）一輛轎車過道閘，已知轎車寬1.8米，高1.6米．當?shù)篱l打開至時，轎車能否駛?cè)胄^(qū)？請說明理由，（參考數(shù)據(jù)：，，）答案：（1）2（2）轎車能駛?cè)胄^(qū)，理由見解析；解析：小問1詳解：在中，∵，，∴，∵，∴，小問2詳解：當時，，則，在中，，∴，∴，∴，∵，∴轎車能駛?cè)胄^(qū)21.閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．托勒密定理：托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希臘著名的天文學(xué)家，他的要著作《天文學(xué)大成》被后人稱為“偉大的數(shù)學(xué)書”，托勒密有時把它叫作《數(shù)學(xué)文集》，托勒密從書中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和．已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，求證：AB?CD+BC?AD＝AC?BD下面是該結(jié)論的證明過程：證明：如圖2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于點E．∵∴∠ABE＝∠ACD∴△ABE∽△ACD∴∴AB?CD＝AC?BE∵∴∠ACB＝∠ADE（依據(jù)1）∵∠BAE＝∠CAD∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC即∠BAC＝∠EAD∴△ABC∽△AED（依據(jù)2）∴AD?BC＝AC?ED∴AB?CD+AD?BC＝AC?（BE+ED）∴AB?CD+AD?BC＝AC?BD任務(wù)：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？（2）當圓內(nèi)接四邊形ABCD是矩形時，托勒密定理就是我們非常熟知的一個定理：．（請寫出）（3）如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，點C為的中點，求AC的長．答案：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”是同弧所對的圓周角相等．“依據(jù)2”是兩角分別相等的兩個三角形相似;(2)勾股定理;(3).解析：詳解：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”是同弧所對的圓周角相等．“依據(jù)2”是兩角分別相等的兩個三角形相似．（2）當圓內(nèi)接四邊形ABCD是矩形時，則AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD，∵AB?CD+AD?BC＝AC?BD，∴AB2+AD2＝BD2，托勒密定理就是我們非常熟知的一個定理：勾股定理，故答案為勾股定理．（3）連接BD，作CE⊥BD于E．∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BAD＝60°，∴∠BCD＝120°，∵，∴CD＝CB，∴∠CDB＝30°，在Rt△CDE中，cos30°＝，∴DE＝CD，∴BD＝2DE＝CD，由托勒密定理：AC?BD＝AD?BC+CD?AB，∴AC?CD＝3CD+5CD，∴AC＝，答：AC的長為．22.下面是李老師在“矩形折疊中的相似三角形”主題下設(shè)計的問題，請你解答．如圖，已知在矩形中，，點E為邊上一點（不與點A、點B重合），先將矩形沿折疊，使點B落在點F處，交于點H．（1）觀察發(fā)現(xiàn)寫出圖1中一個與相似三角形：．（2）遷移探究當與的交點H恰好是的中點時，如圖2．①設(shè)，請判斷的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②求陰影部分的面積．（3）拓展應(yīng)用當點B的對應(yīng)點F落在矩形的對稱軸上時，直接寫出的長．答案：（1）或（2）①，理由見解析；②（3）或解析：小問1詳解：解：∵四邊形是矩形，∴，∵將矩形沿折疊，使點B落在點F處，交于點H．∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：或；小問2詳解：解：①，理由如下：∵，∴，∵由沿翻折得到，∴，∵，∴；②∵點H是的中點，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴陰影部分的面積是；小問3詳解：解：①設(shè)的中點為K，的中點為T，直線為矩形的對稱軸，當F在上時，如圖：AI∵，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得；∴；②設(shè)的中點為N，的中點為M，直線為矩形的對稱軸，當F在直線上時，如圖：∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得；綜上所述，當點B的對應(yīng)點F落在矩形的對稱軸上時，的長為或．23.綜合與探究拋物線與軸交于點和，與軸交于點，連接．點是線段下方拋物線上的一個動點（不與點，重合），過點作軸的平行線交于，交軸于，設(shè)點的橫坐標為．（1）求該拋物線的解析式；（2）用關(guān)于的代數(shù)式表示線段，求的最大值及此時點的坐標；（3