Page192024-2025學年高二數(shù)學上學期學習效率監(jiān)測（一）一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，若，則（）A. B.5 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)向量坐標運算，向量平行可列方程，從而解出的值【詳解】因為，所以，得：故選：B2.在中，，，，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知利用正弦定理即可解得的值．【詳解】∵中，，，，∴由正弦定理，可得：，解得：．故選B．【點睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應用，考查了計算實力和轉化思想，屬于基礎題．3.若復數(shù)(為虛數(shù)單位)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復數(shù)運算性質，化簡求值，并計算模.【詳解】，∴.故選:A.4.已知向量，則與共線的一個單位向量（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設，依據(jù)求得實數(shù)的值，即可求得單位向量的坐標.【詳解】設，由已知可得，解得.因此，或.故選：B.【點睛】結論點睛：與非零向量共線的單位向量為.5.國慶期間我校數(shù)學愛好小組的同學開展了測量校內旗桿高度的活動，如圖所示，在操場上選擇了C，D兩點，在C，D處測得旗桿的仰角分別為.在水平面上測得且C?D的距離為15米，則旗桿的高度為多少米？（）A.13 B. C.15 D.【答案】C【解析】【分析】設旗桿的高度為，在中，利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示：設旗桿的高度為，所以，在中，由余弦定理得，即，即，解得或（舍去），故選：C6.長方體中，，，為的中點，則異面直線與之間的距離是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系，得出各點坐標，求出與的公垂線的一個方向向量，由空間向量的數(shù)量積求得結論．【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，設與的公垂線的一個方向向量為，則，取，得，，即，又，所以異面直線與之間的距離為．故選：D．7.設是正三棱錐，G是的重心，D是PG上的一點，且，若，則為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】G是等邊的重心，可得，再由，可得，而，從而可以將用表示出，進而可求出【詳解】因為三棱錐是正三棱錐，G是的重心，所以，因為D是PG上的一點，且，所以，因為，所以因為，所以，所以為.故選：B8.正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，全部棱長均為2，點E，F(xiàn)分別為棱BB1，A1C1的中點，若過點A，E，F(xiàn)作一截面，則截面的周長為（）A.2+2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意先作出截面，進而算出截面各邊的長度，最終得到答案.【詳解】如圖，在正三棱柱中，延長AF與CC1的延長線交于M，連接EM交B1C1于P，連接FP，則四邊形AEPF為所求截面.過E作EN平行于BC交CC1于N，則N為線段CC1的中點，由相像于可得MC1=2，由相像于可得：，在中，，則，在中，，則，在中，，則，在中，，由余弦定理：，則，所以截面周長為：.故選：B.【點睛】本題主要考查幾何體的截面問題，其中依據(jù)空間幾何體的結構特征，利用平面的性質作出幾何體的截面是問題的關鍵，平常留意方法的總結和歸納.二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列關于空間向量的命題中，正確的是（）A.三個非零向量能構成空間的一個基底，則它們不共面B.不相等的兩個空間向量的模可能相等C.模長為3的空間向量大于模長為1的空間向量D.若是兩個不共線的向量，且（且），則構成空間的一個基底【答案】AB【解析】【分析】依據(jù)空間向量的概念、向量相等，向量的模，空間向量的基底逐項推斷即可得解.【詳解】因為三個非零向量能構成空間一個基底，故三個向量不共面，故A正確；向量既有大小又有方向，所以不相等的兩個空間向量的?？赡芟嗟?，故B正確；因為向量既有大小又有方向，所以向量不能比較大小，故C錯誤；由是兩個不共線的向量，且（且）可知，向量與向量共面，所以不能構成空間向量的一組基底，故D錯誤.故選：AB10.設，為不同的直線，，為不同的平面，則下列結論中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)線線、線面、面面的位置關系，逐一分析各選項即可得答案.【詳解】解：對A：若，，則或與相交或與異面，故選項A錯誤；對B：若，，則，故選項B正確；對C：若，，則或與相交，故選項C正確；對D：若，，，則，故選項D正確.故選：BD.11.在中，內角所對的邊分別為a、b、c，則下列說法正確的是（）A.B若，則C.D.若，且，則為等邊三角形【答案】ACD【解析】【分析】利用正弦定理以及邊角互化可推斷A、B、C，利用向量數(shù)量積可推斷D.詳解】對于A，由，故A正確；對于B，若，當，時，則，故B不正確；對于C，，故C正確；對于D，由，可得的角平分線與垂直，所以為等腰三角形又，可得，所以為等邊三角形，故D正確；故選：ACD12.如圖，在棱長為的正方體中，點為線段上的動點（含端點），下列四個結論中，正確的有（）A.存在點，使得平面B.存在點，使得直線與直線所成的角為C.存在點，使得三棱錐的體積為D.不存在點，使得，其中為二面角的大小，為直線與直線所成的角【答案】ACD【解析】【分析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可推斷各選項的正誤.【詳解】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、、、，設，即點，其中.對于A選項，假設存在點，使得平面，，，，則，解得，故當點為線段的中點時，平面，A對；對于B選項，，，由已知可得，則，B錯；對于C選項，，點到平面的距離為，則，解得，C對；對于D選項，，，設平面的法向量為，則，取，可得，易知平面的一個法向量為，由圖可得，，，，因為，，則，、，且余弦函數(shù)在上單調遞減，則，D對.故選：ACD.【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結合圖形，作出所求空間角，再結合題中條件，解對應的三角形，即可求出結果；（2）向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結果.三?填空題，本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，則在上的投影向量的長度為________．【答案】【解析】【分析】利用空間向量投影的定義求解即可．【詳解】解：因為，，所以，，所以在上的投影為．所以在上的投影向量的長度為；故答案為：．14.已知圓錐的母線長為1，側面綻開圖的圓心角為，則該圓錐的體積是______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意得，解得，求得圓錐的高，利用體積公式，即可求解．【詳解】設圓錐底面的半徑為，依據(jù)題意得，解得，所以圓錐的高，所以圓錐的體積.【點睛】本題主要考查了圓錐的體積的計算，以及圓錐的側面綻開圖的應用，其中解答中依據(jù)圓錐的側面綻開圖，求得圓錐的底面圓的半徑是解答的關鍵，著重考查了推理與運算實力，屬于基礎題．15.已知是的中線，若，，則的最小值是____________．【答案】1【解析】【詳解】試題分析：因為，又，所以，即，的最小值是1.考點：向量數(shù)量積16.在長方體中，已知，E、F分別為、的中點，則三棱錐的外接球半徑為______，平面被三棱錐外接球截得的截面圓面積為______．【答案】①.②.##【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用向量坐標，可以證明，取為中點，有，因此點為三棱錐外接球的球心，則，球心到平面的距離為，勾股定理可得截面圓的半徑為，即得解【詳解】解：以點為原點建立空間直角坐標系如圖所示：依題意得：，，，則，，所以，則即；設為中點，因為，，則，所以點為三棱錐外接球的球心，則三棱錐外接球的半徑為，設球心到平面的距離為，又因為為中點，所以點到平面的距離為，由于，所以，故截面圓的半徑為，所以截面圓面積為，故答案為：；四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知復數(shù)在復平面上對應的點為Z，（1）求點Z在實軸上時，實數(shù)m的取值；（2）求點Z在虛軸上時，實數(shù)m的取值；（3）求點Z在第一象限時，實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）或；（2）或；（3）或.【解析】【分析】（1）由實軸上點對應的復數(shù)虛部為0求解；（2）由虛軸上的點對應的實部為0求解；（3）依據(jù)第一象限中點的坐標對應實部、虛部正負列不等式組求解.【小問1詳解】因為點Z在實軸上，所以虛部，解得或.【小問2詳解】點Z在虛軸上時,復數(shù)的實部為0，所以，解得或.【小問3詳解】點Z在第一象限，復數(shù)的實部與虛部都大于0，即，解得或.18.已知的內角的對邊分別是，且.（1）求；（2）若，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)正弦定理，結合兩角和的正弦公式，特別角的三角函數(shù)值進行求解即可；（2）依據(jù)余弦定理，結合三角形面積公式進行求解即可.【詳解】（1）依據(jù)正弦定理，，因為，所以，因此有，因為，所以；（2）由余弦定理可知：，解得，（舍去），因此的面積為.19.已知向量，，若向量同時滿意下列三個條件：①；②；③與垂直.（1）求向量的坐標；（2）若向量與向量共線，求向量與夾角的余弦值.【答案】(1)或；(2).【解析】【詳解】試題分析：（1）設，結合空間向量的運算法則及模長公式，列出方程組，即可求出的坐標；（2）依據(jù)數(shù)量積運算公式可得，依據(jù)空間向量夾角公式可得余弦值.試題解析：（1）設，則由題可知解得或所以或（2）因為向量與向量共線，所以.又，，所以，，所以，且，，所以與夾角的余弦值為.20.在中，點是邊上的一點，，．（1）求線段的長度；（2）求線段的長度．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先由求，由正弦定理可求得；（2）先求出，再依據(jù)余弦定理解得或.【小問1詳解】∵，∴，又∵，∴由正弦定理，得，∴，【小問2詳解】∵，又∵，∴由余弦定理得，解得．21.如圖，在三棱錐中，，O為中點.（1）證明：平面平面；（2）若點M在棱上，，且，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)線面垂直的判定定理證得平面，再由面面垂直的判定定理可得證；（2）建立空間直角坐標系，由線面角的向量求解方法可得答案.【詳解】（1）證明：∵，且為中點，∴，∵，且為中點，∴，∵，且為中點，∴，∵，，，∴，∴，∵，平面，且，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）∵，且為中點，∴，從而，，兩兩垂直，如圖，建立以為原點，且，，分別為，，軸的空間直角坐標系，則，，，，設，由，即，所以，所以，解得，∴，，，不妨設平面的一個法向量為，故，，∴令，則，，∴，設直線與平面所成角為，∴，∴直線與平面所成角的正弦值為.22.如圖（1），在正方形ABCD中，M?N?E分別為AB?AD?BC的中點，點P在對角線AC上，且，將分別沿MN?MC?NC折起，使A?B?D三點重合（記為F），得四面體MNCF（如圖（2），在圖（2）中.（1）求證：平面FMN；（2）在NC上，求一點H，使二面角的大小為.【答案】（1）證明見解析；（2）存在H點在NC上靠近N的三等分點處.【解析】【分析】（1）在圖1中，連接AC，連接BD、ES，在圖2中證明EPFG，即可利用線面平行的判定定理證明；（2）以F為坐標原點，分別以直線FN,FM,FC所在直線分別為x，y,z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求解.【小問1詳解】證明：在圖1中，連接AC，設AC∩MN=G，S為DC的中點，連接BD、ES，AC∩BD=Q，