第八章8.1.2棱錐能力沖刺一人教A版（2019）必修第二冊(cè)

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.如圖，正四棱錐尸-ABCD,M,N為棱方,PC的中點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)

Q,則下列說法正確的是（）

A.四邊形AffiN。是菱形

B.四邊形對(duì)角線中點(diǎn)也是四棱錐尸-ABCD高線的中點(diǎn)

C./\MNQ^Z\MNB

D.ZMBN=90°

2.三棱錐尸―ASC中，PA=PB=AB=①,PC=a,AC=b,2C=c,若三角形PAC和

PBC都是等腰直角三角形，則ab,c可能的不同取值有（）

A.1種B.2種C.3種D.至少4種

3.一個(gè)四棱錐的底面為正方形，且底面邊長(zhǎng)與各側(cè)棱長(zhǎng)相等，另一個(gè)三棱錐的底面邊

長(zhǎng)與各側(cè)棱長(zhǎng)也都相等，這兩個(gè)棱錐恰好可以拼接成一個(gè)三棱柱.設(shè)四棱錐、三棱錐、

三棱柱的高分別為九、%、心則可：為：〃=（）

A.73:2:73B.6：2:2

C.2:0:2D.2:括:百

4.一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐恰好可以拼接成一個(gè)三棱柱，這個(gè)四棱錐的底面為正方形，

且底面邊長(zhǎng)與各側(cè)棱長(zhǎng)相等，這個(gè)三棱錐的底面邊長(zhǎng)與各側(cè)棱長(zhǎng)也都相等.設(shè)四棱錐、

三棱錐、三棱柱的高分別為九、為、1%,則"色4=（）

A.2：y/3：yj3B.273:1:1C.6:2:2D.百：6:6

5.1859年，英國(guó)作家約翰?泰勒（Jo/mKiy/or,1781-1846）在其《大金字塔》一書中提

出：古埃及人在建造胡夫金字塔時(shí)利用了黃金數(shù)（匕"”1.618）.泰勒還引用了古希

2

臘歷史學(xué)家希羅多德的記載：胡夫金字塔的形狀為正四棱錐，每一個(gè)側(cè)面的面積都等于

金字塔高的平方.如圖，已知金字塔型正四棱錐尸-ABCD的底面邊長(zhǎng)約為656英尺，

頂點(diǎn)P在底面上的投影為底面的中心。，H為線段8c的中點(diǎn)，根據(jù)以上信息，P”的

長(zhǎng)度（單位：英尺）約為（）

C.530.7D.1061.4

6.北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用.刻畫空間的彎曲性是幾何

研究的重要內(nèi)容用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2兀與多面體在

該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體

面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和，例如：正

四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是：，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為

2兀-3、1TT=兀，故其總曲率為4兀，則四棱錐的總曲率為（）

A.2萬B.4兀C.51D.67

7.以下關(guān)于正棱錐的敘述不正確的是（）

A.正棱錐的高與底面的交點(diǎn)是底面的中心

B.正四棱錐的各側(cè)面都是銳角三角形

C.正棱錐的各側(cè)面都是等腰三角形

D.底面是正多邊形且各側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐

8.在四面體中，AB=BC=CA=\,D4與直線48,C4均垂直，且04=出,

一只螞蟻從ASC的中心沿表面爬至點(diǎn)。，則其爬過的路程最小值為（）

A.叵B,巫+@C.拽D.也

32633

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

二、多選題

9.如圖，以等腰直角三角形斜邊BC上的高為折痕，把△ABD和ACD折成互相垂

直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（）

A.BDAC^O;

B.ZBAC=60°；

C.三棱錐D-ABC是正三棱錐；

D.平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.

10.（多選）在正方體ABC。-A4GA的8個(gè)頂點(diǎn)中任意取4個(gè)不同的頂點(diǎn)，則這4個(gè)

頂點(diǎn)可能構(gòu)成（）

A.矩形

B.每個(gè)面都是等邊三角形的四面體

C.每個(gè)面都是直角三角形的四面體

D.有三個(gè)面是直角三角形、一個(gè)面是等邊三角形的四面體

11.某人用如圖所示的紙片沿折痕折后粘成一個(gè)四棱錐形的“走馬燈”，正方形做燈底,

且有一個(gè)三角形面上寫上了“年”字，當(dāng)燈旋轉(zhuǎn)時(shí)，正好看到“新年快樂”的字樣，則在①、

②、③處應(yīng)依次寫上（）

A.樂、新、快B.快、新、樂

C.新、快、樂D.樂、快、新

12.下列說法正確的是（）

A.四棱柱的所有面均為平行四邊形

B.長(zhǎng)方體不一定是正四棱柱

C.底面是正多邊形的棱錐，是正棱錐

D.正四面體一定是正三棱錐

三、填空題

13.設(shè)尸為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為：

l-^ZQtPQ2+ZQ2PQ3++/2_/&+N&PQJ,其中Q=(i=l,2,.##23)為多

面體"的所有與點(diǎn)p相鄰的頂點(diǎn)，且平面9尸2,平面。2尸。3,L,平面2Tp2t和平

面以尸。遍歷多面體M的所有以點(diǎn)尸為公共點(diǎn)的面，在長(zhǎng)方體中，

AB=BC=4,AA=2四,點(diǎn)S為底面ABC"的中心，記三棱錐A-4勖在點(diǎn)A處的

離散曲率為機(jī)，四棱錐S-ABCD在點(diǎn)S處的離散曲率為小則相-"=.

14.已知正三棱錐A-3C。滿足A3.AC=0，|AQ=。，BDBA=.

15.已知正三棱錐P—ABC的側(cè)面是頂角為30。，腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，若過A的截

面與棱PB、PC分別交于點(diǎn)。、E,則截面周長(zhǎng)的最小值為.

16.如圖，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1,棱AB〃平面a,則正四面體上的所有點(diǎn)在平面

a內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的最小值是.

四、解答題

17.(1)如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A旦GR中，M,N是棱4月，4。的中點(diǎn)，

在圖中畫出過底面ABCD中的心。且與平面AAW平行的平面在正方體中的截面，并求

出截面多邊形的周長(zhǎng)為：;

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

(2)作出平面尸QR與四棱錐ABCDE的截面，截面多邊形的邊數(shù)為

18.(1)如圖，在四面體ABCD中，平行于A3,8的平面萬截四面體所得截面為EFGH.

②如果A3與8所成角為。，AB=a,CD=b是定值，當(dāng)E在AC何處時(shí)？截面EFGa

的面積最大，最大值是多少？

(2)如圖，若點(diǎn)M為四面體45co底面ABCD的重心，任意作一平行于底面的截面分

別與側(cè)棱AB,AC,AD交于8,C,。與40交于點(diǎn)試探求：能

ABACADAM

____?--------1-------=%____中元的值，并證明.

AB.AGADxAMi

A

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

參考答案:

【分析】如圖連接MN，AC、BD,設(shè)ACBD=O,連接OP,設(shè)MNOP=H,即可得

到兒W//AC,從而判斷B正確，延長(zhǎng)3"交PD于點(diǎn)G,連接GM、GN,即可判斷G為PO

上靠近P的三等分點(diǎn)，從而得到A、C錯(cuò)誤，因?yàn)閭?cè)棱與底面邊長(zhǎng)關(guān)系無法確定，從而NMBN

無法判斷；

【詳解】解：如圖連接跖V,AC,BD,設(shè)ACBD=O,連接。尸，談MNOP=H,

因?yàn)镸,N為棱PA,PC的中點(diǎn)，所以ACV//AC,則耳為0P的中點(diǎn)，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)可

知P。即為四棱錐P-ABCD的高，故B正確；

延長(zhǎng)3H交尸￡）于點(diǎn)G,連接GM、GN,則DH=,

313

因?yàn)镚、H、8三點(diǎn)共線，所以=即。尸=]OG,所以G為PO上靠近尸的三

等分點(diǎn)，

顯然GM=GV,BM=BN但是GM片BM,故四邊形不是菱形，且AMNQ與&MNB

不相似，故A、C錯(cuò)誤；

因?yàn)檎睦忮F的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)關(guān)系無法得知，故NMBN無法確定，故D錯(cuò)誤；

故選：B

答案第7頁(yè)，共12頁(yè)

【分析】對(duì)三角形PAC和三角形P3C的各邊位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，求解出不同情況下

。，仇。的取值，進(jìn)而得出。力,c所有可能取值的種數(shù).

【詳解】根據(jù)題意可畫簡(jiǎn)圖如下，上加B為等邊三角形，且，PAC-PBC都是等腰直角三角形,

分類討論如下：

?PA±PC,PA=PC=s/2^i,PC=PA=PB=y/2，止匕時(shí)P3C中，NBPC=90。

所以，AC=s/2PC=2,BC=s/2PB=2

此時(shí)，a=y/2,Z?=2,c=2;

②尸A_LAC,PA=AC=JI時(shí)，PC=sf2AC=2，此時(shí)P3C中，

/P3c=90°,此時(shí)BC=PB=y/2,止匕時(shí)a=插力=應(yīng),c=應(yīng)；

③AC，PC,AC=PC時(shí)，AC=PC=1,此時(shí)EBC中，

ZBCP=90°,止匕時(shí)BC=PC=1,止匕時(shí)a=A/I,b=l,c=l

所以a,4c的取值有3種不同情況.

故選：C.

3.B

【分析】根據(jù)題意，畫出相應(yīng)的直觀圖即可求出相應(yīng)的高即其比值.

【詳解】如圖，

設(shè)正三棱錐尸-ABE的邊長(zhǎng)為a,則四棱錐P-ABCD的邊長(zhǎng)也為a,。點(diǎn)為四棱錐底面中

心，N點(diǎn)為43的中點(diǎn)，M為底面三角形的中心也為點(diǎn)尸在底面的投影，

解得DO=—BD=—yja2+a2=a,

222

答案第8頁(yè)，共12頁(yè)

K=PO,于是4=尸0=近》-0?=-------d,

2

79

因?yàn)?為底面三角形的中心，所以EM=4EN=—xdAE?-AN。=2

333

、2

222

所以為=9=\IPE-EMClX一3J

3

所以:為：力=有:2:2.

故選：B

4.C

【分析】由題設(shè)易知色=",設(shè)利用正方形、正三角形的性質(zhì)及勾股定理求出入、為、

力3,即可知它們的比例關(guān)系.

【詳解】設(shè)四棱錐為A-8CFE,三棱錐為A-DEF,則三棱錐A-DEF為正四面體，四棱錐

A-BCFE為正四棱錐，顯然生=網(wǎng).

設(shè)AB=a,正方形3CFE的中心為M,正三角形DEF的中心為N,

連接AM,AN,CM,DN,貝l]CM=^a,DN=-x^a=^-a,

2323

AM=y/AC2-CM2=^-a,AN=y]AD2-DN2=-a,BPh=AM=—a,h,=h,=AN=—a,

2323

:.\-.h1\hi==>/3:2:2.

故選：C

5.C

【分析】結(jié)合已知條件，利用勾股定理列方程，化簡(jiǎn)求得尸”的長(zhǎng)度.

【詳解】設(shè)5c=2a,PO=h,PH=s,由已知得/二座，

又由勾股定理故改=$2-4，即[上]-1-1=0,

\a)a

因此可求得上=^L貝

a2222

故選：C

答案第9頁(yè)，共12頁(yè)

6.B

【分析】根據(jù)題中給出的定義，由多面體的總曲率計(jì)算求解即可.

【詳解】解：由題意，四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點(diǎn)的曲率之和,

因?yàn)樗睦忮F有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，其中4個(gè)三角形，1個(gè)四邊形，

所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個(gè)三角形和1個(gè)四邊形組成，

所以面角和為4萬+2萬=6%,

故總曲率為5x2萬—6T=47.

故選：B.

7.D

【分析】利用正棱錐的幾何性質(zhì)可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，正棱錐的高與底面的交點(diǎn)是底面的中心，A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，在正四棱錐E-ABCD中，設(shè)點(diǎn)E在底面A3C。的射影點(diǎn)為點(diǎn)。，如下圖所示:

設(shè)AB=2a(a>0),EO=h,貝"0="?，BE=AE=ylAO2+OE2=-J^+2a2>

姐+貸-6

cosZAEB=---------->0,則為銳角,

2AEBEAEBE

易知等腰三角形ABB中，AE=BE,ZEAB、NEB4均為銳角，即.ABE為銳角三角形，B

對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)檎忮F的側(cè)棱長(zhǎng)相等，故正棱錐的各側(cè)面都是等腰三角形，C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，在三棱錐尸-ABC中，MC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，PA=PB=5,PC=3,

答案第10頁(yè)，共12頁(yè)

則三棱錐尸-ABC的底面是等邊三角形，且每個(gè)側(cè)面均為等腰三角形，但該三棱錐不是正棱

錐，D錯(cuò).

故選：D.

8.A

【分析】利用垂直條件證明得D4J_平面A3C,即可得平面ZMC_L平面A3C,然后根據(jù)平

面展開圖判斷最短距離，再利用勾股定理計(jì)算求解即可.

【詳解】因?yàn)椤癓AB，￡乂，AC,ABcAC=A,所以ZML平面ABC,所以平面ZMC,平

面ABC,將底面ABC旋轉(zhuǎn)，以AC為軸，旋轉(zhuǎn)至平面D4C與平面A3C共面，如圖，此時(shí)

的直線距離即為最短距離，設(shè)0到直線AC的距離為d,則d==器,所以

如。）+［心+用考'

故選：A

9.BC

【分析】通過線面垂直的判定得出瓦平面ADG進(jìn)而BCAC,故而可判斷A；通過證

答案第11頁(yè)，共12頁(yè)

明，ABC是等邊三角形可判斷B-通過正三棱錐的定義可判斷G通過平面ADC和平面ABC

不垂直可判斷D.

【詳解】：。為的中點(diǎn)，?,.AD13C,

又平面平面AC。，平面ABDc平面ACD=A。，

BDLAD,平面ABO,

平面ADC,又ACu平面ADC,

/.BD1AC,即BD.AC=0，故A不正確；

由A知，3￡>1平面4。。，。。匚平面4。。，

J.BDLCD,設(shè)AB=AC=a,則BO=CD='a,

2

.??由勾股定理得：BC=a,：.ABC是等邊三角形，故B正確；

,/ASC是等邊三角形，DA=DB=DC,

三棱錐ABC是正三棱錐，故C正確；

由A知，平面ADC,而面ABC內(nèi)不存在與3D平行的直線，

故平面ADC和平面ABC不垂直，

即平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直錯(cuò)誤；故D錯(cuò)誤；

故選：BC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊前后線線，線面，面面關(guān)系的不變和改變，解題時(shí)要前后對(duì)應(yīng),

仔細(xì)論證，屬于中檔題.

10.ABCD

【分析】通過舉例判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,如圖四邊形A8CQ1為矩形，所以A正確，

對(duì)于B,四面體ABCA的每個(gè)面都是等邊三角形，所以B正確,

答案第12頁(yè)，共12頁(yè)

對(duì)于C,如圖四面體A耳3D的每個(gè)面都是直角三角形，所以C正確,

對(duì)于D,如圖四面體AABD的三個(gè)面是直角三角形、一個(gè)面是等邊三角形，所以D正確,

故選：ABCD

11.BC

【分析】由四棱錐的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷即可

【詳解】解：由題意，圖中四個(gè)三角形為四棱錐的側(cè)面，由四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，正好看到“新

年快樂”的字樣的順序可以是①年②③，②年①③，

即①②③處可依次寫上：新、快、樂，或快、新、樂，

答案第13頁(yè)，共12頁(yè)

故選：BC

12.BD

【分析】利用棱柱以及棱錐的定義，判斷選項(xiàng)的正誤即可.

【詳解】解：四棱柱的上下底面四邊形可以是任意四邊形，故A不正確；

長(zhǎng)方體不一定是正四棱柱，正確，因?yàn)殚L(zhǎng)方體的三邊可以不相等，所以8正確；

不僅底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面中心，才是正棱錐，故C不正確；

正四面體一定是正三棱錐，故。正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】本題考查棱錐，棱柱的定義的應(yīng)用，結(jié)構(gòu)特征的判斷，是基礎(chǔ)題.關(guān)鍵是要準(zhǔn)確掌

握有關(guān)幾何體定義.

13.--

12

【分析】根據(jù)離散曲率的定義，結(jié)合結(jié)合體的結(jié)構(gòu)特征，分別求出三棱錐A-4網(wǎng)》在點(diǎn)A

處的離散曲率加，四棱錐S-ABCD在點(diǎn)S處的離散曲率小相減即可求得答案.

TT

【詳解】在長(zhǎng)方體ABC?！狝AGA中,=5,

故三棱錐A-4勖在點(diǎn)A處的離散曲率

根=1-\（?AAD?AAB2BAD）1-:（］+］+］）=；；

設(shè)AC,8￡）交于0,連接S0,AB=3C=4,AAi=2^/2,四邊形ABC。為正方形，

則SO=20,OB=；BD=2g，故52=4同理5A=SD=SC=4,

四棱錐S-ABCD為正四棱錐，而AB=4，則四棱錐S-ABCD每個(gè)側(cè)面都為正三角形,

冗

所以ZASB=/AS￡>=NCSB=NCSD=§,

故四棱錐S-ABC。在點(diǎn)S處的離散曲率

答案第14頁(yè)，共12頁(yè)

n=\-—(?ASB?ASD?CSB?CSD)1-

2K2K33333

故M加一〃=-1---1=-1--,

4312

故答案為：-G

12

14.a2

【分析】由正三棱錐的性質(zhì)和已知，可以得出側(cè)面為等腰直角三角形.

【詳解】

正三棱錐A-BCD,所以A2=AC,

又AB.AC=O,所以.ABC是等腰直角三角形.

-TT

所以，也是等腰直角三角形，ZABD=-.

4

由|Aq=a,所以卜￡＞卜y/2a,

所以即?84=即.網(wǎng).cosNABO=4.0a.千=〃.

故答案為：a2.

15.20

【分析】畫出正三棱錐的側(cè)面展開圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短得出截面AAED周長(zhǎng)的最小

時(shí)線段A4'的長(zhǎng)，再利用勾股定理可求得AA的值.

【詳解】由題意可得此三棱錐的側(cè)面展開圖如圖所示，

則△AED周長(zhǎng)為AD+DE+EA,由于兩點(diǎn)之間線段最短，

所以當(dāng)。E位于如圖位置時(shí)，截面△A即周長(zhǎng)的最小，即為AA的長(zhǎng)，

因?yàn)镹AP3=30。，所以ZA7%'=90。，

因?yàn)椴?=區(qū)=2,

所以44,=y/PA2+PA'2=V4+4=20，

所以截面4AED周長(zhǎng)的最小值為2枝，

故答案為：2忘.

答案第15頁(yè)，共12頁(yè)

E

D

16枝

10.---

4

【分析】根據(jù)正四面體的性質(zhì)判斷投影構(gòu)成的圖形面積的最小時(shí)，四面體與面”的位置關(guān)系,

進(jìn)而求出投影圖形的面積.

【詳解】根據(jù)43〃平面a,將AB平移至面。上，

問題化為四面體繞43旋轉(zhuǎn)過程中在面a上的投影面積最小，

若石為8中點(diǎn)，連接4瓦匹，且小ACD,ABCD均為等邊三角形，則至上CD,3E28,

又AEIBE=E,AE,BEu面ABE,故?！?gt;_|_面M￡,ABI面ME,

所以AB_LCO,

要使投影構(gòu)成的圖形面積的最小，只需A3與C。的中點(diǎn)E所成平面與0重合，如下圖，

此時(shí)正四面體在平面a上投影為△ABE,而AE=BE=",AB=1,

2

所以最小投影面積為SABE豐P?顯顯.

ABE224

故答案為：顯

4

17.(1)作圖見解析，周長(zhǎng)為30+2石；(2)作圖見解析，邊數(shù)為五.

【分析】(1)利用面面平行的判定定理作出截面，求得各邊長(zhǎng)度則可得周長(zhǎng)；(2)利用延長(zhǎng)

找公共點(diǎn)的方法作出截面，可得形狀.

【詳解】(1)分別取E,尸為棱3G，GQ的中點(diǎn)，則由中位線性質(zhì)得到：所B,D,MNBD,

答案第16頁(yè)，共12頁(yè)

所以四邊形E?為平面四邊形，

又ENIA瓦AB,EN=&B\=AB,所以四邊形硒4B為平行四邊形，所以樂AN,

由EF〃MN,砂（Z平面AMN,MNu平面AMN,所以EFP平面AMN,同理￡B〃平面

AMN,EFcEB=E,由面面平行的判定定理可得平面AMN〃平面￡KDB,所以四邊形

￡KDB即為所求截面，且為梯形，

由截面作法可知，DB=2y/2,EF=1DB=^2,￡6=尸_0=巧方=布,所以截面四邊形跳1汨

的周長(zhǎng)為3&+2行.

（2）延長(zhǎng)尸Qc￡B的延長(zhǎng)線于G,連接6凡6尺門8。=",6尺門匹的延長(zhǎng)線于已連接

PH,PHcAD于N,連接QW,RN,則五邊形尸QM7W即為所求.所以截面多邊形的邊數(shù)為

五.

18.（1）①32叭②￡為AC中點(diǎn)，最大值為海皿⑵.3,證明見解析.

【分析】（1）①利用線面平行的判定與性質(zhì)，證出E尸//G”且即〃FG,從而得到四邊形

EGFH的兩組對(duì)邊分別平行，即四邊形EFGH為平行四邊形.

②根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，容易得