玩轉(zhuǎn)壓軸穎，爭(zhēng)取滿分：備曲2018年中考翻學(xué)詵埴穎高端精品

專題四函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

【考法綜述】

1.這類問(wèn)題通過(guò)點(diǎn)、線或圖形的運(yùn)動(dòng)構(gòu)成一種函數(shù)關(guān)系，生成一種函數(shù)圖像，將幾何圖形與函數(shù)圖像有機(jī)

地融合在一起，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，能充分考查學(xué)生的觀察、分析、歸納、猜想的能力以及綜合運(yùn)用

所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

2.解答此類問(wèn)題的策略可以歸納為三步：“看”、“寫(xiě)”、“選二

(1)“看”就是認(rèn)真觀察幾何圖形，徹底弄清楚動(dòng)點(diǎn)從何點(diǎn)開(kāi)始出發(fā)，運(yùn)動(dòng)到何點(diǎn)停止，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程分為

不同的幾段，何點(diǎn)(時(shí)刻)是特殊點(diǎn)(時(shí)刻)，這是準(zhǔn)確解答的前提和關(guān)鍵

(2)“寫(xiě)”就是計(jì)算、寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)在不同路段的函數(shù)解析式，注意一定要注明自變量的取值范圍，求出在特殊

點(diǎn)的函數(shù)數(shù)值和自變量的值

(3)“選”就是根據(jù)解析式選擇準(zhǔn)確的函數(shù)圖像或答案，多用排除法。首先，排除不符合函數(shù)類形的圖像選

項(xiàng)，其次，對(duì)于相同函數(shù)類型的函數(shù)圖像選項(xiàng)，再用自變量的取值范圍或函數(shù)數(shù)值的最大和最小值進(jìn)行排

除，選出準(zhǔn)確答案.

3.從變換的角度和運(yùn)動(dòng)變化來(lái)研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過(guò)“對(duì)稱、動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”等研究

手段和方法，來(lái)探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過(guò)程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾

何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過(guò)程，以能力立意，考查學(xué)生的自主探究能力，促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力.圖

形在動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計(jì)算推理的過(guò)程。

在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動(dòng)點(diǎn)”探究題的基本思路,這也是動(dòng)態(tài)幾何數(shù)學(xué)問(wèn)題中最核心的數(shù)學(xué)

本質(zhì).解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.關(guān)鍵:動(dòng)中求靜.

【典例剖析】

考點(diǎn)一、單動(dòng)點(diǎn)形成的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題

例1如圖，菱形A8C。的邊長(zhǎng)為2,ZA=60°,一個(gè)以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的60。角繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)，這個(gè)角的兩邊分

別與線段A。的延長(zhǎng)線及CQ的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸、Q,設(shè)。P=x,DQ=y,則能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的

圖象是()

Q

【答案】A.

【解析】

試題分析：：四邊形43CD是菱形，^4=60°,：.Z.4BD=ZCBD=ZADB=ZBDO60°,/2BD"

3DP=120°,,：ZQBP=60°,：.AOBD=Z？BC,W4PIIBC,：.ZP=APBC,：.ZQBD=ZP,：.ABDQ^>

—嚼嚼’即M，的函數(shù)關(guān)系的圖象是雙曲線，故選,

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象.

&變式訓(xùn)練&

變式1.1如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,點(diǎn)E是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿

路徑A-D-C-E運(yùn)動(dòng)，則4APE的面積y與點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是（）

D

【解析】試題分析：求出CE的長(zhǎng)，然后分①點(diǎn)P在AD上時(shí)，利用三角形的面積公式列式得到y(tǒng)與x的函

數(shù)關(guān)系：②點(diǎn)P在CD上時(shí)，根據(jù)S3=S-S*-Sg列式整理得到y(tǒng)與x的關(guān)系式；③點(diǎn)P在CE上

時(shí)，利用三角形的面積公式列式得到y(tǒng)與X的關(guān)系式，然后選擇答案即可.

試題解析：：在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,

,-.CD=AB=2,BC=AD=3,

:點(diǎn)E是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，

.".CE=—X3=2,

3

①點(diǎn)P在AD上時(shí)，Z\APE的面積y=Lx?2=x(0WxW3),

2

②點(diǎn)P在CD上時(shí)，SAAW=S武回)-SAW-S△的，

[(2+3)X2」X3X(x-3)-1.X2X(3+2-x),

222

=5-冬+2-5+x,

22

--lx+9

22

/.y=-Lx+2.(3<x<5),

22

③點(diǎn)P在CE上時(shí)，SAAM：=ix(3+2+2-x)X2=-x+7,

2

.?.y=-x+7(5<xW7),

故選：A.

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象.

變式1.2如圖①，在平行四邊形ABCD中，AD=9cm,動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以lcm/s的速度沿著A-B-C~A的

方向移動(dòng)，直到點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A后才停止.己知4PAD的面積y(單位：cm,)與點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間x(單位：s)

之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，圖②中a與b的和為

【答案】55

【解析】試題分析:由圖②知點(diǎn)P在AE上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為10s,根據(jù)列出=速度X時(shí)間，求出AB=10cm,由AD=9cm

可知點(diǎn)P在邊BC上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為9s,a為點(diǎn)P由A->B-*C的時(shí)間；分別過(guò)B點(diǎn)、C點(diǎn)作BE±AD.CF±AD,

易證ABAE逐aCDF,由此得到AE=DF^6,由15,從而可求得CA=17s,則點(diǎn)P在CA邊上從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)

的時(shí)間為17,所以b=19+17=36;再相加即可求解.

試題解析：由圖②可知點(diǎn)P從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的時(shí)間為10s,

又因?yàn)镻點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為Icm/s,

所以AB=1OX1=1O(cm),

由AD=9可知點(diǎn)P在邊BC上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為9s,

所以a=10%=19;

分別過(guò)B點(diǎn)、C兩點(diǎn)作BELAD于E,CFJ_AD于F.

由圖②知SAABD=36,

則!X9XBE=36,

2

解得BE=8,

在直角AABE中，由勾股定理，得AERABZ—BE2^

易證ABAE絲ACDF,

則BE=CF=8,AE=DF=6,AF=AD+DF=9+6=15.

在直角4ACF中，由勾股定理，得CA={AF2+CF&17,

則點(diǎn)P在CA邊上從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的時(shí)間為17s,

所以b=19+17=36,

a+b=19+36=55.

故答案為：55.

變式1.3如圖所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE1EF,EF交DC于點(diǎn)F,設(shè)

BE=x,FC=y,則當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)圖象是—(填序號(hào))

圖1

【答案】①

【解析】解法一：設(shè)BE=x,FC=y,則AE；=x：+4：,EF=(4~x)s+ys,AFi=(4~y)2+4J.

又?.?△AEF為直角三角形，

，根據(jù)勾股定理得到杷電聲=城.即x；+4：+(4-x):+y：=(4-y):+4J

化簡(jiǎn)得：y=~—x2+x=-^(x-2)2+1,即產(chǎn)(x-2):+l,

44

此時(shí)，該函數(shù)圖象是以(2,1)為頂點(diǎn)的拋物線.

很明顯，y關(guān)于x的函數(shù)圖象是①.

解法二：易證△ABEs/kECF,貝l」BE:CF=AB:EC,即x:y=4:(4-x)y,

整理，得產(chǎn)-工(x-2＞：+l,

4

此時(shí)，該函數(shù)圖象是以(2,1)為頂點(diǎn)的拋物線.

很明顯，y關(guān)于x的函數(shù)圖象是①.

故填：①.

考點(diǎn)二、雙(多)動(dòng)點(diǎn)形成的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題

例2如圖，等邊AABC的邊長(zhǎng)為2cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以lcm/s的速度沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C停止;

同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB-BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C停止，設(shè)△APQ的面積為y(cm?),

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s),則下列最能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是()

【解析】試題分析：根據(jù)點(diǎn)Q的位置分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求得y與x之間函數(shù)解析式,

當(dāng)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求得y與x之間函數(shù)解析式，最后根據(jù)分段畫(huà)數(shù)的圖象進(jìn)行判斷即可.

試題解析：由題得，點(diǎn)Q移動(dòng)的路程為2x,點(diǎn)P移動(dòng)的路程為x,

/A=/C=60°,AB=BC=2,

①如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QD1AC于D,則

AQ=2x,DQ=V^x,AP=x,

.,.△APQ的面積y=LxxX6=返乂2(o<x^l),

22

即當(dāng)0<xWl時(shí)，函數(shù)圖象為開(kāi)口向上的拋物線的一部分，故(A)、(B)排除：

②如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QELAC于E,則

CQ=4-2x,EQ=2W-JW，AP=x

.,.△APQ的面積y=l_XxX(2?-心)二-*口上(l〈xW2),

即當(dāng)1VXW2時(shí)，函數(shù)圖象為開(kāi)口向下的拋物線的一部分，故(C)排除，而(D)正確:

故選(D)

【點(diǎn)評(píng)】本題以動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題為背景，主要考查了二次函數(shù)的圖象，函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，通過(guò)看圖獲

取信息，可以提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.解題時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用

&變式訓(xùn)練&

變式2.1如圖1,E為矩形ABCD邊AD上的一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B沿折線BE-ED-DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，點(diǎn)Q從

點(diǎn)B沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是2cm/s.若P、Q同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),

△BPQ的面積為y(cm?),已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

B.sin/EBC=YZ

4_

C.當(dāng)0VtW8時(shí)，。丫=近/

2

D.當(dāng)t=9s時(shí)，△PBQ是等腰三角形

【答案】D

【解析】試題分析：根據(jù)圖象可以得到BC和BE的長(zhǎng)度，以及DE的長(zhǎng)度，從而可以得到AE的長(zhǎng)，從而可

以判斷A;

作輔助線EF1BC于點(diǎn)F,利用勾股定理求出EF的長(zhǎng)，從而可以得到sin/EBC的值，可以判斷

根據(jù)函數(shù)圖象可以求得當(dāng)時(shí)，ABPQ底邊BQ上的高，從而可以得到ABPO的面積，從而可以為慚C,

根據(jù)題意可以分別求得在t=9時(shí)，BQ、QP、PB的長(zhǎng)，從而判斷D.

試題解析：A、分析函數(shù)圖象可知，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E處，

.*.BC=BE=2X8=16cm,ED=2X2=4cm,

/.AE=AD-ED=BC-ED=16-4=12cm,故A正確；

B、作EF_LBC于點(diǎn)F,如圖，

由函數(shù)圖象可知，BC=BE=16cm,BF^AE=12cm,

由勾股定理得，EF=4V?cm,

/.smZEBC^^ZLVl,故B正確，

BE164

C、作PM1BQ于點(diǎn)M,如圖，

,.,BQ=BP=2t,

，

..y=Si：?<=^-EQ'PM=A.BQ'BP'sinZEBC=A.X2f2f2!&=^Lt\故C正確；

22242

D、當(dāng)t=9s時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到ED的中點(diǎn)，設(shè)為N,如圖所示，連接NB,NC.

此時(shí)AN=14,ND=2,由勾股定理求得：NB=2VTT）迎=2岳，

VBC-16,

.?.△BCN不是等腰三角形，即此時(shí)△PBQ不是等腰三角形.故D錯(cuò)誤；

故選：D.

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象.

變式2.2矩形ABCD中，AB=6,BC=8,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿BA-AD-DCD的方向運(yùn)

動(dòng)到C點(diǎn)停止，動(dòng)點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)停止，假設(shè)P、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)

間是t秒，y=S&B?,則y與t的函數(shù)圖象大致是（）

【答案】I）

【解析】試題分析：分四種情況：①當(dāng)0<tW3時(shí)，aPEQ是Rt△，根據(jù)三角形的面積公式可得尸釣②

當(dāng)3<tW7時(shí)，三角形高不變，根據(jù)三角形的面積公式可得y=3t;③當(dāng)7<tW8時(shí)，根據(jù)三角形的面積公

式可得產(chǎn)（2O-2t）=-V+10tj④當(dāng)8<tW10時(shí)，三角形底不變，根據(jù)三角形的面積公式可得尸!X

8（20-2t）=80-8t）根據(jù)函數(shù)關(guān)系即可得到y(tǒng)與t的函數(shù)大致圖象.

試題解析：①當(dāng)0<tW3時(shí)，APBO是RtZk,y=lxtX2t=t^

2

②當(dāng)3<tW7時(shí)，y=-LxtX6=3t5

2

③當(dāng)7ctW8時(shí)，產(chǎn)L（20-2t）=-t:+10tj

2

④當(dāng)8ctW10時(shí)，y=-^X8（20-2t）=80-8t;

2

觀察各選項(xiàng)可知，y與t的函數(shù)圖象大致是選項(xiàng)D.

故選：D.

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象.

變式2.3如圖，矩形ABCD中，AB=8cm,AD=12cm,AC與BD交于點(diǎn)0,M是BC的中點(diǎn).P、Q兩點(diǎn)沿著B(niǎo)fCfD

方向分別從點(diǎn)B、點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，并都以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).在P、

Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，與aORQ的面積隨時(shí)間t變化的圖象最接近的是（）

o

10卜..父.邛：:

D.0\~6~8_1214

【答案】B

【解析】試題解析：...矩形ABCD中，AB=8cm,AD=12cm,AC與BD交于點(diǎn)0,

二點(diǎn)0至UBC的距離=!知=4,至UCD的距離=^AD=6,

22

:點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，

.?.CM=%C=6,

2

..點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C的時(shí)間為64-1=6秒，

點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C的時(shí)間為124-1=12秒，

點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D的時(shí)間為(6%>4-1=14秒，

(DoWtW6時(shí)，點(diǎn)P、Q都在BC上，PQ=6,

△0PQ的面積=』?><6X4=12;

2

②6<tW12時(shí)，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在CD上，

CP=12-t,CQ=t-6,

SXXS&CU+SACCG—SA：G>

=Lx(12-t)X4+-1X(t-6)X6-A.X(12-t)X(t-6),

222

=JLt:-8t+42,

2

-1.(t-8)2+10,

2

③12VtW14時(shí)，PQ=6,

△OPQ的面積=_LX6X6=18；

2

縱觀各選項(xiàng)，只有B選項(xiàng)圖形符合.

故選B.

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象.

考點(diǎn)三、線動(dòng)形成的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題

例3如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為6cm,P是對(duì)角線BE上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線1與BE垂直，動(dòng)點(diǎn)P

從B點(diǎn)出發(fā)且以lcm/s的速度勻速平移至E點(diǎn).設(shè)直線1掃過(guò)正六邊形ABCDEF區(qū)域的面積為S(cm?),點(diǎn)P

的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),下列能反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是()

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象.

【解析】試題分析：從給出的圖象中看，中間位置的圖象一致，只要計(jì)算兩邊取值中的圖象即可作出判斷;

先計(jì)算點(diǎn)P從B到G時(shí)掃過(guò)的面積S,發(fā)現(xiàn)是二次函數(shù)，目開(kāi)口向下，可以否定A和B,再計(jì)算點(diǎn)P從9Wt

W12時(shí)掃過(guò)的面積為正六邊形的面積-的面積，計(jì)算得到一個(gè)開(kāi)口向下的二次函數(shù)，由此作判斷.

試題解析：由題意得：BP=t,

如圖1,連接AC,交BE于G,

RtZkABG中,AB=6,ZABG=600,

/.ZBAG=30°,

.\BG=A.AB=3,

2

由勾股定理得：近，

.,.AC=2AG=6V3,

當(dāng)0WtW3時(shí)，PM=V3t,

.'.MN=2V3t,

S=S-*=*MN?PB=*?圾t2=-^t2，

所以選項(xiàng)A和B不正確；

如圖2,當(dāng)9WtW12時(shí),PE=12-t,

,.'ZMEP=60°,

.,.tan/MEP=<

PE

.*.PM=V3(12-t),

，MN=2PM=2愿(12-t),

S=S正六邊形-SAEMN,

=2x1.(AF+BE)XAG-XMN?PE,

22

=(6+12)X3行」X2J3(12-t)(12-t),

2

=54如一如(144-24t+t2),

=-7^2+2/-90?，

此二次函數(shù)的開(kāi)口向下，

所以選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D不正確；

故選C

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了動(dòng)點(diǎn)所在宜線的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合的思想，確定動(dòng)宜線掃過(guò)區(qū)域面積的幾種可

能，通過(guò)計(jì)算其解析式來(lái)判斷.

&變式訓(xùn)練&

變式3.1如圖，△ABC中，ZACB=90°,NA=30°,AB=16.點(diǎn)P是斜邊AB上一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P作PQLAB,垂足

為P,交邊AC（或邊CB）于點(diǎn)Q,設(shè)AP=x,ZXAPQ的面積為y,則y與x之間的函數(shù)圖象大致為（）

【答案】B

【解析】試題解析：當(dāng)點(diǎn)Q在AC上時(shí),

：NA=30°,AP=x,

4

/.PQ=xtan30=^x,

VAP=x,AB=16,ZA=30°,

.\BP=16-x,ZB=60°,

，PQ=BP?tan60。=百(16-x).

2

SAAPQ=^-AP-PQ-yx'V3(16-x)^-^y-x+8V3x-

該函數(shù)圖象前半部分是拋物線開(kāi)口向上，后半部分也為拋物線開(kāi)口向下.

故選：B

變式3.2如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，將nABCD放置在第一象限，且AB〃x軸.直線y=-x從原點(diǎn)出發(fā)沿

x軸正方向平移，在平移過(guò)程中直線被平行四邊形截得的線段長(zhǎng)度1與直線在x軸上平移的距離m的函數(shù)圖

象如圖2所示，那么AD的長(zhǎng)為

【解析】試題分析：根據(jù)圖象可以得到當(dāng)移動(dòng)的距離是4時(shí)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,當(dāng)移動(dòng)距離是7-8這段時(shí)，1

的長(zhǎng)度是不變的，可以得出直線是正好經(jīng)過(guò)且在兩條平行線之間的，故此時(shí)需要分兩種情況：①先經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,

即AB>3,利用直線的性質(zhì)得到AliGD是等腰直角三角形，從而求出DH、AH的值，再利用勾股定理解得知;

②先經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,即AB=3,利用等腰直角三角形△KLB的性質(zhì)得到AK的值，然后利用△ABKSAAND,可得到

AD的值.

試題解析：

①先經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,即AB>3,如答圖1:

設(shè)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)交x軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D交AB于點(diǎn)G,交x軸于點(diǎn)F,作DH±AB,

由圖可知：0E=4,0F^7,DG=2A/2,

.'.EF=AG=0F-0E=3

直線y=-x

.■.ZAGD=ZEFD=45°

「.△HGD是等腰直角三角形

.,.DH=GH=^.DG=2Z-2X2加=2

22

/.AH=AG-GH=3-2=1

二仙二4DH2+AH句12+2上述

②先經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,即AB=3,如答圖2:

設(shè)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)交x軸于點(diǎn)I,過(guò)點(diǎn)B時(shí)交AD于點(diǎn)K、x軸于點(diǎn)J,過(guò)豆D時(shí)，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)N、x軸于

點(diǎn)M,并過(guò)K點(diǎn)作KLJLAB,.

由圖可知：01=4,0J=7,KB=2\歷，0M=8,

/.IJ=AB=3,IM=AN=4,

由直線y=-x,易得AKLB,是等腰直角三角形,

AKFAIAKL^/J+Z生代

,.,△ABK^AAND,

.AB=AN.

"AKAD,

即￡■=/-,

V5AD

即ADj&VI.

3

答圖2

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象

變式3.3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OBCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，平行于對(duì)角線BD的直線1從0

出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到直線1與正方形沒(méi)有交點(diǎn)為止.設(shè)直線1掃過(guò)

正方形OBCD的面積為S,直線1運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒)，下列能反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的圖象是【

【答案】D.

【解析】根據(jù)三角形的面積即可求出S與t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式選擇圖象：

2

①當(dāng)叱@時(shí)，S=lxtxt=lt,即S=32,該函數(shù)圖象是開(kāi)口向上的拋物線的一部分.故B、C

222

錯(cuò)誤，

②當(dāng)4<68時(shí)，S=16-Lx(t-4)x(t-4),即S=-Lt27A8,該函數(shù)圖象是開(kāi)口向下的拋物

22

線的一部分.故A錯(cuò)誤.

故選D.

考點(diǎn)：1.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象：2.正方形的性質(zhì)；3.二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象；4.分類思想的應(yīng)用.

考點(diǎn)四、面動(dòng)形成的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題

例4如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1,菱形EFGH的邊長(zhǎng)為2,ZBAD=ZFEH=60°點(diǎn)C與點(diǎn)E重，合，點(diǎn)A,C(E),

G在同一條直線上，將菱形ABCD沿CnG方向平移至點(diǎn)A與點(diǎn)G重合時(shí)停止，設(shè)點(diǎn)C、E之間的距離為x,菱

形ABCD與菱形EFGH重疊部分的面積為y,則能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是()

【解析】試題分析：在菱形ABCD移動(dòng)過(guò)程中，兩個(gè)菱形的重彝部分仍為菱形.可根據(jù)菱形面積公式求解.移

動(dòng)過(guò)程中可明顯知道面積y的變化趨勢(shì)為：增大f保持不變f減小為0.因此需要分三段討論，(D當(dāng)菱形

ABCD移動(dòng)到點(diǎn)A與點(diǎn)E重合的過(guò)程，即囪寸，(2)當(dāng)菱形ABCD移動(dòng)到點(diǎn)C與點(diǎn)G重合的過(guò)程，即

炳<x<2門寸，⑶當(dāng)菱形ABCD移動(dòng)到點(diǎn)A與點(diǎn)G重合的過(guò)程，即“門<x43板寸，y與x之間函數(shù)

關(guān)系為分段函數(shù).

試題解析：由菱形ABCD、EFGH邊長(zhǎng)為1,2可得：AC=2ABXsin30°=夷，EG=2加

(1)當(dāng)菱形ABCD移動(dòng)到點(diǎn)A與點(diǎn)E重合的過(guò)程，即04x4揚(yáng)h重合部分的菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度分

別為：X,2xZ_Xtan30°=2/11

23

y=-L?x?立x。

236

(2)當(dāng)菱形ABCD移動(dòng)到點(diǎn)C與點(diǎn)G重合的過(guò)程，重合部分的菱形面積不變，即我<x<2心f,y=S^

,uico=—X1X=——;

22

(3)當(dāng)菱形ABCD移動(dòng)到點(diǎn)A與點(diǎn)G重:合的過(guò)程，即2a<x<3。寸，重合部分的菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)

度分另IJ為：《-x,2X^-xXtan30°=返&51旦

23

y=Lx(J3-x)(痣_乂)_=返(b_x)2.

236

由(1)(2)(3)可以看出圖象應(yīng)該是丫=返/圖上像0<x<后寸的部分，y=返圖象上病<x<2闞

62

的部分，尸返(b-X)’圖象上2V3<x<3。寸的部分組成.

6

故選D

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象

【點(diǎn)評(píng)】該題為選擇題，因此也可以不計(jì)算結(jié)果，采用排除法.明顯可以看出菱形ABCD在移動(dòng)過(guò)程中有一

段y的大小保持不變，可排除A.而且在剛開(kāi)始移動(dòng)過(guò)程中重疊的菱形面積y關(guān)于x的函數(shù)，其中x必為二

次，可排除C選項(xiàng).再由當(dāng)菱形ABCD移動(dòng)到點(diǎn)A與點(diǎn)E重合的過(guò)程是函數(shù)y=Ylx」，由它可以看成二次函

6

數(shù)圖象的開(kāi)口向上，，故可排除B,從而確定正確選項(xiàng)為D.

&變式訓(xùn)練&

變式4.1如圖，AABC為直角三角形，ZC=90°,BC=2cm,ZA=30°,四邊形DEFG為矩形，DE=2炳cir,

EF=6cm,且點(diǎn)C、B、E、F在同一條直線上，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合.RtZkABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的邊

EF向右平移，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)停止.設(shè)RtAABC與矩形DEFG的重疊部分的面積為ycm2,運(yùn)動(dòng)時(shí)間xs.能

反映ycm?與xs之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）

of2468xo\2468xro\2468x2468x

【答案】A

【解析】試題分析：由勾股定理求出AB、AC的長(zhǎng)，進(jìn)一步求出^ABC的面積，根據(jù)移動(dòng)特點(diǎn)有三種情況（D

（2）（3）,分別求出每種情況y與x的關(guān)系式，利用關(guān)系式的特點(diǎn)（是一次函數(shù)還是二次函數(shù)）就能選出

答案.

試題解析：已知/C=90°,BC=2cm,4=30°,

.'.AB=4,

由勾股定理得：AC=2“，

，??四邊形DEFG為矩形，ZC=90,

.\DE=GF=2V3,ZC=ZDEF=90°,

/.AC//DE,

此題有三種情況：(D當(dāng)0<x<2時(shí)，AB交DE于H,

如圖

:DEIIAC,

?EH_BE

''AC^BC"

即

2M2

解得：EH=FX,

所以y=l.?5/3x?x=2^x-

Vxy之間是二次函數(shù)，

所以所選答案C錯(cuò)誤，答案D錯(cuò)誤,

Va=逅>0,開(kāi)口向上；

2

(2)當(dāng)2WxW6時(shí)，如圖，

A_______

D_r

EECHBF

此時(shí)y=1-X2X2后2次，

2

(3)當(dāng)6<xW8時(shí)，如圖，設(shè)aABC的面積是si,△FNB的面積是S2,

BF=x-6,與(1)類同，同法可求FN=J5x-6?,

..y=si-S2,

1.X2X2V3-—X(x-6)X(73X-65/3)-

22

二-喙x、6V^x-I65/3-

:-叵<0,

2

???開(kāi)口向下，

所以答案A正確，答案B錯(cuò)誤,

故選A.

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象.

變式4.2如圖，等腰RtaABC（/ACB=90°）的直角邊與正方形DEFG的邊長(zhǎng)均為2,且AC與DE在同一直線

上，開(kāi)始時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，讓AABC沿這條直線向右平移，直到點(diǎn)A與點(diǎn)E重合為止.設(shè)CD的長(zhǎng)為x,

△ABC與正方形DEFG重合部分（圖中陰影部分）的面積為y,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）

GB

【解析】試題分析：此題可分為兩段求解，即C從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)和A從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，列出面積隨動(dòng)

點(diǎn)變化的函數(shù)關(guān)系式即可.

試題解析：設(shè)CD的長(zhǎng)為K,ZkABC與正方形DEFG重合部分（圖中陰影部分）的面積為y「.

當(dāng)C從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)，即0WxW2時(shí)，y=yX2X2-1-(2-X)X(2-X)=-1-X2+2X.

當(dāng)A從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)，即2<xW4時(shí)，y=A-x[2-(x-2)]X[2~(x-2)x2-4x+8

1n

y=—x+2x(04x42)

Ay與x之間的函數(shù)關(guān)系，

y=yx2-4x+8(2<x<4)

由函數(shù)關(guān)系式可看出A中的函數(shù)圖象與所求的分段函數(shù)對(duì)應(yīng).

故選：A

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象.

變式4.3如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，四邊形EFGH是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，點(diǎn)

B,D(F),H在同一條直線上，將正方形ABCD沿F=H方向平移至點(diǎn)B與點(diǎn)H重合時(shí)停止，設(shè)點(diǎn)D、F之間

的距離為x,正方形ABCD與正方形EFGH重疊部分的面積為y,則能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是

【答案】B

【解析】試題分析：正方形ABCD與正方形EFGH重彘部分主要分為3個(gè)部分，是個(gè)分段函數(shù)，分別對(duì)應(yīng)三

種情況中的對(duì)應(yīng)函數(shù)求出來(lái)即可得到正確答案.

試題解析：DF=x,正方形ABCD與正方形EFGH重彘部分的面積為y

①尸人盧二

22

圖：①

E

②y=l(&Wx<2加);

③；BH=3加-x

二.廠」曲=L：-3點(diǎn)x+9(2A/2<X<3V2).

22

故選：B.

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象.

【實(shí)戰(zhàn)演練】

1.(2017山東日照第10題)如圖，NBAC=60。，點(diǎn)。從A點(diǎn)出發(fā)，以2m/s的速度沿NBAC的角平

分線向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以。為圓心的圓始終保持與NBAC的兩邊相切，設(shè)。。的面積

為S(cm12),則。0的面積S與圓心。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t(s)的函數(shù)圖象大致為(),

5

試題分析：??,/BAC=60°,A。是NBAC的角平分線，

.,.ZBAO=30°,

設(shè)。。的半徑為r,AB是。0的切線，

,/A0=2t,

.,.r=t,

.,.s=nt2,

.,.s是圓心o運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的二次函數(shù)，

..?拋物線的開(kāi)口向上，

故選D.

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象.

2.（2017甘肅慶陽(yáng)第10題）如圖①，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P以每秒2cm的速度從點(diǎn)A出發(fā)，

沿AB-BC的路徑運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止.過(guò)點(diǎn)P作PQ〃BD,PQ與邊AD（或邊CD）交于點(diǎn)Q,PQ的長(zhǎng)度y（cm）

與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間x（秒）的函數(shù)圖象如圖②所示.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2.5秒時(shí)，PQ的長(zhǎng)是（）

A.2板cmB.3及cmC.4亞1cmD.5及cm

【答案】B.

【解析】

試題解析：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2.5秒時(shí)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了5cm,

CP=8-5=3cm,

由勾股定理，得

PQ=j3?+3?=3收cm,

故選B.

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問(wèn)題.

3.(2017甘肅蘭州第15題)如圖1,在矩形A8C。中，動(dòng)點(diǎn)E從A出發(fā)，沿A8fBe方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到

達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E做交CD于F點(diǎn),設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路程為x,FC=y,如圖2所表示的

是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，當(dāng)點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，尸C的最大長(zhǎng)度是:，則矩形A8CD的面積是

()

【答案】B

【解析】

試題解析：若點(diǎn)E在BC上時(shí)，如圖

DFC

VZEFC+ZAEB=90°,ZFEC+ZEFC=90°，

：.NCFE二NAEB,

Z.CFE=AAEB

V^ACFE和aBEA中,

AC=AB

AACFE^ABEA,

CRCR

由二次函數(shù)圖象對(duì)稱性可得E在因中點(diǎn)時(shí)，CF有最大值，此時(shí)=-

5

X-

5y2-

即=

2-55

-

一22-

二海（X-尹當(dāng)安嚴(yán)，代入方程式解得：X,（舍去），

5

.\BE=CE=1,.\BC=2,AB=一,

2

5

矩形ABCD的面積為2X二二5;

2

故選B.

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象.

2

4.（2017山東省棗莊市）如圖，直線y=—冗+4與x軸、），軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)3,點(diǎn)。、。分別為線段

A3、OB的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為OA上一動(dòng)點(diǎn)，PC+尸。值最小時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（)

5、

A.(-3,0)B.D.(——,0)

2

【答案】C.

t解析】

試題分析：（方法一）作點(diǎn)。關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D',連接CD'交x軸于點(diǎn)尸，此時(shí)POPD值最小，如圖

所示.

2

令N=§x+4中戶0,則產(chǎn)4,.,.點(diǎn)5的坐標(biāo)為（0,4）；

22

令y=§x+4中產(chǎn)0,貝iJ§x+4=0,解得：尸-6,.,.點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-6,0）.

?.?點(diǎn)C、D分別為線段.45、OB的中點(diǎn)，.?.點(diǎn)。（-3,2）,點(diǎn)力（0,2）.

?.?點(diǎn)和點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，.?.點(diǎn)D'的坐標(biāo)為（0,-2）.

2=-3k+b

設(shè)直線C。'的解析式為/fcc+4?..直線C。'過(guò)點(diǎn)C（-3,2）,D'（0,-2）,：C,，解得:

—2=b

4

k=—4

3，???直線的解析式為y=--x-2.

b=-23

4433

令y=—x-2中），=0,則0=—x-2,解得：x=—，，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（—，0）.

3322

。故選C.

（方法二）連接CD,作點(diǎn)。關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D',連接CD'交x軸于點(diǎn)P,此時(shí)PC+PD值最小，如圖

所示.

令y=gx+4中D,則戶，.?.點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,4）,

令y=：x+4中產(chǎn)0,則產(chǎn)+4=0,解得：戶-6,.?點(diǎn).4的坐標(biāo)為（-6,0）.

,點(diǎn)C、D分別為線段48、。8的中點(diǎn)，.?點(diǎn)C（-3,2），點(diǎn)D（0,2）,CD〃x軸，二?點(diǎn)D'和點(diǎn)。關(guān)

于x軸對(duì)稱，，點(diǎn)D'的坐標(biāo)為（0,-2）,點(diǎn)。為線段的中點(diǎn).

3

又?：OPIICD,：點(diǎn)P為2調(diào)CD，的中點(diǎn)，，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（-弓，0）.

故選C.

考點(diǎn)：1.一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；2.軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；3.最值問(wèn)題

5.（2017山東省濟(jì)寧市）如圖，A,B是半徑為1的。。上兩點(diǎn)，且O4LOB,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，在。。上

以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（單位：s）,弦BP的長(zhǎng)為》

那么下列圖象中可能表示y與x函數(shù)關(guān)系的是（）

A.①B.③C.②或④D.①或③

【答案】D.

【解析】

試題分析：當(dāng)點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖象是③，當(dāng)點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖象是①，故答案為：①③.故選D.

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象.

6.（2017內(nèi)蒙古通遼第10題）如圖，點(diǎn)P在直線上方，且NAP3=9O°,PC_LAB于C,若線段

AB=6,AC=x,S”A8=y，則）與x的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（）

P

【答案】D

【解析】

試題分析：:PClAB于c,ZAPB=90°,

/.ZACP=ZBCP=90°,

/.ZAPC+ZBPC=ZAPC+ZPAC=9O°,

.".ZPAC=ZBPC,

/.AAPC^APBC,

.PCBC

"AC~~PC'

VAB=6,AC=x,

???BC=6-x,

???PC2=x(6-x),

；?PC=Jx(6-x),

???y=|AB-PC=3J_f+6x=37-(X-3)2+9，

故選：D.

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象

7.(2017湖北孝感第9題)如圖，在A4BC中，點(diǎn)。是A48C的內(nèi)心，連接O6,OC過(guò)點(diǎn)。作BC

分別交AB,AC于點(diǎn)民尸，己知“8。的周長(zhǎng)為8,8。=乂&4￡產(chǎn)的周長(zhǎng)為》,則表示y與光的函數(shù)圖象

【答案】B

【解析】

試題分析：:,點(diǎn)。是AABC的內(nèi)心，.,.NABO=NCBO,ZACO=ZBCO,

'/EF//BC,.?.NEOB=NCBO,ZFOC=ZBCO,/.ZABO=ZEOB,ZACO=ZFOC,

,*.BE=OE,CF=OF,「.△AEF的周長(zhǎng)產(chǎn)AE+EF+AF=AE'K)E"K)F+距AB+AC,

「△ABC的周長(zhǎng)為8,BC=x,AAB+AC=8-x,，y=8-x,VABH-AOBC,：.y>x,：.8-x>x,.*.0<x<4,

即y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=8-x(x<4),

故選?B.

考點(diǎn)：1.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象；2.三角形的內(nèi)心；3.平行線的性質(zhì)；4.等腰三角形的判定；5.三角形的周

長(zhǎng).

8.(2017海南第14題)如圖，Z^ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(1,2),B(4,2),C(4,4).若反比例

函數(shù)y=《在第一象限內(nèi)的圖象與AABC有交點(diǎn)，則k的取值范圍是()

A.l<k<4B.2WkW8C.2<kW1