第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市部分校高二下學(xué)期期末測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)x∈R，則“1<x<2”是“x?2<1”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知集合A={x|log2x≥1},B={x|1<x<3}，則A∪B=A.2,3 B.1,+∞ C.2,+∞ D.0,+∞3.命題“?x∈R,?x2+ax?1>0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.?∞,2 B.?2,2 C.?2,2 D.2,+∞4.已知函數(shù)f(x)=2ex,則limA.?2e3 B.?2e C.2e5.曲線f(x)=3x3?1x在點(diǎn)A.10x+y?8=0 B.10x?y?8=0 C.8x?y?6=0 D.8x+y?6=06.若a=30.5,b=log0.53,c=0.32，則aA.b<a<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a7.定義在R上的奇函數(shù)fx，滿足fx+3=f1?x，x∈0,2時(shí)，fA.e+1 B.e?1 C.1?e D.?e8.已知函數(shù)y=fx是定義在R上的奇函數(shù)，f′(x)是fx的導(dǎo)函數(shù)，且當(dāng)x∈?∞,0時(shí)，xf′x<2fxA.?∞,?1∪0,1 B.?1,a∪0,1

C.二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)，下列說(shuō)法中正確的是(

)A.兩個(gè)變量x,y的線性相關(guān)系數(shù)為r，若r越小，則x與y之間的線性相關(guān)性越弱

B.某人解答10個(gè)問(wèn)題，答對(duì)題數(shù)為X，若X～B10,0.6，則EX=6

C.若一組樣本數(shù)據(jù)xi,yii=1,2,3,?,n的樣本點(diǎn)都在直線y=0.6x+5上，則這組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)r為110.已知函數(shù)f(x)=x3+x+1，則A.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn) B.f(x)有一個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心 D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線11.下列四個(gè)命題是真命題的是(

)A.若函數(shù)fx的定義域?yàn)?2,2，則函數(shù)fx+1的定義域?yàn)?3,1

B.函數(shù)y=x+x?2的值域?yàn)?4,+∞

C.函數(shù)f(x)滿足fx?2f?x=x?1，則f三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知x,y均為正數(shù)，且1x+9y=213.已知函數(shù)fx=?x2+2ax,x≤13?a14.已知函數(shù)fx=log2x,0<x<412x2四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，越來(lái)越多的人在抵達(dá)目的地后選擇租車游玩，拉動(dòng)了許多租車公司的業(yè)務(wù)，某租車公司為繼續(xù)開拓市場(chǎng)，提升服務(wù)質(zhì)量，迎接暑假旅游旺季的到來(lái)，對(duì)近5年的暑假的租車業(yè)務(wù)量y(單位：十萬(wàn)元)進(jìn)行了匯總研究，情況如下：年份2019年2020年2021年2022年2023年業(yè)務(wù)量2024364352經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)分析，已知年份與業(yè)務(wù)量具有線性相關(guān)關(guān)系．(1)假設(shè)2019年為第1年，求第x年的業(yè)務(wù)量y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)2024年暑假的業(yè)務(wù)量；(2)該公司從2023年暑假租車的客戶中隨機(jī)抽取了100名客戶進(jìn)行調(diào)研，現(xiàn)將100名客戶的年齡劃分為“青年”和“中老年”，評(píng)分劃分為“好評(píng)”和“差評(píng)”，整理得到如下數(shù)據(jù)，請(qǐng)將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整并根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析青年群體和中老年群體對(duì)租車服務(wù)的評(píng)價(jià)是否有差異．好評(píng)差評(píng)合計(jì)青年20中老年15合計(jì)45100附：經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程y=b獨(dú)立性檢驗(yàn)中的χ2=n(ad?bc臨界值表：P0.0500.0100.001x3.8416.63510.82816.(本小題12分)某校舉行投籃趣味比賽，甲、乙兩位選手進(jìn)入決賽，每位選手各投籃4次，選手在連續(xù)投籃時(shí)，第一次投進(jìn)得1分，并規(guī)定：若某次投進(jìn)，則下一次投進(jìn)的得分比本次得分多1分；若某次未投進(jìn)，則該次得0分，且下一次投進(jìn)得1分.已知甲同學(xué)每次投進(jìn)的概率為13，乙同學(xué)每次投進(jìn)的概率為2(1)求甲最后得3分的概率；(2)記甲最后得分為X，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望；(3)記事件B為“甲、乙總分之和為7”，求PB．17.(本小題12分)已知f(x)=ax3?bx+4，fx在(1)求fx(2)求fx(3)若方程fx+k=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求k18.(本小題12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，AD//BC，AD⊥AB，AB=BC=1，PA=AD=2，AD=3AE，Q為PD的中點(diǎn)．(1)求證：平面PCD⊥平面ABQ;(2)求二面角A?BQ?E的正弦值．19.(本小題12分)已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=0時(shí)，直線y=kx(k為常數(shù))與曲線fx相切，求k(2)若x∈0,+∞,fx(3)若fx有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2答案解析1.A

【解析】解：依題，由x?2<1，

??1<x?2<1，解得1<x<3，

設(shè)p：1<x<2，q：1<x<3，

∵1,2?1,3，

∴p是q的充分不必要條件．2.B

【解析】解：由不等式

log2x≥1

，可得

x≥2

，即集合

又由集合

B={x|1<x<3}

，所以

A∪B=1,+∞

故選：B．3.C

【解析】解：因?yàn)椤?x∈R,?x所以“?x∈R,?x2+ax?1≤0”是真命題，則a故選：C．4.A

【解析】解：由

f(x)=2ex,

可得

f′xlimΔx→0f(1+Δx)?f(1)故選A．5.B

【解析】解：由題可知f′(x)=9x2+又f(1)=3?1=2，所以切線的方程為y?2=10(x?1)，即10x?y?8=0．6.D

【解析】解：依題意，

a=3所以

b<c<a

．故選：D．7.C

【解析】解：因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)

fx

，滿足

fx+3所以

f=?f1?x?4故

fx

的周期為

8

，當(dāng)

x∈0,2

時(shí)，

f則

f0=m?1=0

，所以

m=1所以

f31=f故選C．8.D

【解析】解：令g(x)=f(x)x2，

因?yàn)楫?dāng)x∈(?∞,0)時(shí)，xf′(x)<2f(x)，

所以gx在?∞,0因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以g(x)為奇函數(shù)，

所以gx在0,+∞因?yàn)閒(?1)=0，所以g(?1)=?g(1)=0，

所以f(x2)>0所以x2>1，

所以x∈(?∞,?1)∪(1,+∞)．

故f(x故選：D9.BCD

【解析】解：對(duì)于A，兩個(gè)變量

x,y

的線性相關(guān)系數(shù)為

r

，

r

越小，則

x

與

y

之間的線性相關(guān)性越弱，所以A錯(cuò)誤;對(duì)于B，因?yàn)?/p>

X～B10,0.6

，所以

E(X)=10×0.6=6

，所以B對(duì)于C，由題意可知

y=0．6x+5

就是回歸方程，因?yàn)?/p>

0.6>0

，所以為正相關(guān)，所以

r>0

，因?yàn)闃颖军c(diǎn)都在直線

y=0．6x+5

上，所以

r=1

，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)?/p>

ξ～N2,9

，

Pξ>1所以

P2≤ξ≤3=P1≤ξ≤2=P故選：BCD．10.BC

【解析】解：選項(xiàng)A：

f′(x)=3x2+1,

則

f′(x)>0

恒成立，故

f(x)

單調(diào)遞增，故

f(x)

選項(xiàng)B:

f(?1)=?1<0,f(1)=3>0,

又

f(x)

單調(diào)遞增，故

f(x)

有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C：

f(?x)+f(x)=2,

f(0)=1,

故點(diǎn)

(0,1)

是曲線

y=f(x)

的對(duì)稱中心，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D：令

x3+x+1=2x

，即

x令

gx=x3?x+1,g′x則

x=±當(dāng)

x=33,

f(33)=439+1,

則當(dāng)切線斜率為

2

當(dāng)

x=?33

時(shí)同樣切線方程不為

y=2x

故選：BC．11.AD

【解析】解：A.因?yàn)楹瘮?shù)

fx

的定義域?yàn)?/p>

?2,2

，所以

?2≤x+1≤2

，解得

?3≤x≤1

，所以函數(shù)

fx+1

的定義域?yàn)?/p>

?3,1B.函數(shù)

y=x+x?2

的定義域?yàn)?/p>

2,+∞

，且在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)

y=x+x?2

的值域?yàn)镃.由

fx?2f?x=x?1

，得

f?x?2fD.令

fx=x2+mx+4

，因?yàn)?/p>

x2所以

?m2>1Δ=m2解得

?5<m<?4

，所以實(shí)數(shù)

m

的取值范圍為

?5,?4

，故是真命題；故選：AD12.8

【解析】解：因?yàn)?/p>

x,y

均為正數(shù)，且

1x+9y=2

所以

x+y=≥5+2y當(dāng)且僅當(dāng)

y2x=9x2y

，即所以

x+y

的最小值為8．故答案為：813.[1,2]

【解析】解：根據(jù)題意可知函數(shù)

y=?x2+2ax

在

且函數(shù)

y=(3?a)x+2

在

(1,+∞)

上單調(diào)遞增；又函數(shù)

f(x)

在

R

上是增函數(shù)，需滿足

3?a>0?2a2×(?1)≥1?1所以

a

的取值范圍是

[1,2]

．故答案為：

[1,2]

．14.?6,?2

【解析】解：作出函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示．

根據(jù)條件，結(jié)合圖形可知0?<a<2，0<x1<1<x2<4<x3<5，8<x4<9，

∵f(x1)=f(x2)得?log2x1=log2x2，

∴l(xiāng)og2(x1x2)=0，即15.解：(1)

x=3,y∵5i=15x∴b=a=35?8.3×3=10.1,

∴y=8.3x+10.1∴x=6

時(shí)，

y=59.9

∴

預(yù)測(cè)2024年暑假的業(yè)務(wù)量約為59.9十萬(wàn)元．(2)列聯(lián)表如下：好評(píng)差評(píng)合計(jì)青年203050中老年351550合計(jì)5545100零假設(shè)為

H0:∵χ2∴

根據(jù)小概率值

α=0.01

的獨(dú)立性檢驗(yàn)，青年群體和中老年群體對(duì)租車服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異．

【解析】(1)將表中數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算

x,y,b,a

，可得回歸方程，將方程中的(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)公式，即可求解．16.解：(1)記事件

A

為“甲得3分”，

P(A)=3×((2)

X

的取值為0，1，2，3，4，6，10，

P(X=0)=(2P(X=1)=4×1P(X=2)=3×(1P(X=3)=3×(1P(X=4)=2×(1P(X=6)=2×(1P(X=10)=(1X01234610P16321212441E(X)=(3)記Y

為乙最后得分，則事件B

為“甲1分，乙6分”，“甲3分，乙4分”，“甲4分，乙3分”，“甲6分，乙1分”，P(Y=6)=2×(23P(Y=4)=2×(23)P(Y=3)=3×(2P(Y=1)=4×(1故

P(B)=32【解析】(1)根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可得結(jié)果；

(2)易得X

的取值為0，1，2，3，4，6，10，得出對(duì)應(yīng)概率，可得X的概率分布和數(shù)學(xué)期望；

(3)記Y

為乙最后得分，則事件B

為“甲1分，乙6分”，“甲3分，乙4分”，“甲4分，乙3分”，“甲6分，乙1分”，得出對(duì)應(yīng)概率，由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可得結(jié)果．17.解：(1)由題意知

f′(x)=3ax2?b

，

因?yàn)?/p>

f(x)

在

x=2

則

f(2)=8a?2b+4=?43f′(2)=12a?b=0

經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，所以

a=13,b=4

，

所以

(2)

f(x)=13x3令

f?′(x)=0

，得

x=2

x(?∞,?2)?2?2,222,+∞f′+0?0+f單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增fx

的單調(diào)遞增區(qū)間為：

(?∞,?2),(2,+∞)

fx

的單調(diào)遞減區(qū)間為

?2,2

(3)由上問(wèn)知道，

fx

的單調(diào)遞增區(qū)間為：

(?∞,?2),(2,+∞)

f(x)

的單調(diào)遞減區(qū)間為

?2,2

.且

f(?2)=283

，

f(2)=?x→+∞

時(shí)，

f(x)→+∞

，

x→?∞

時(shí)，

f(x)→?∞

，方程

f(x)+k=0

有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根等價(jià)于

?k=f(x)

有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)

y=?k

與

y=f(x)

有且只有一個(gè)交點(diǎn)，畫出草圖．即

?k<?43

或

?k>283

，解得

k<?283所以

k

的范圍為

(?∞,?283【解析】(1)根據(jù)極值點(diǎn)的意義，構(gòu)造方程組，解出即可；(2)求導(dǎo)后令導(dǎo)數(shù)值為0，求出根，將定義域分區(qū)間討論即可得出單調(diào)區(qū)間；(3)畫出草圖，轉(zhuǎn)化為函數(shù)

y=?k

與

y=f(x)

有且只有一個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題即可．18.(1)證明：PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，PA⊥AB，AD⊥AB，

又AD∩PA=A，且AD?平面PAD，PA?平面PAD，

所以AB⊥平面PAD，又

PD?面PAD，所以AB⊥PD，

PA=AD=2，Q為PD的中點(diǎn)，所以AQ⊥PD，

又AB∩AQ=A，且AQ?平面ABQ，AB?平面ABQ，

所以PD⊥平面ABQ．

又∵PD?面PCD，

∴平面PCD⊥平面ABQ；

(2)解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0)，D(0,2,0)，B(1,0,0)，P(0,0,2)，Q(0,1,1)，E(0,23,0)，

AB=(1,0,0)，BQ=(?1,1,1)，EB=(1,?23,0)，

設(shè)平面ABQ的法向量為n=(x,y,z)，

則n?AP=0n?BQ=0，即x=0?x+y+z=0，

取y=1，則n=(0,1,?1)，

設(shè)平面BQE的一個(gè)法向量為m=(a,b,c)，

則m?BQ=0m?EB【解析】(1)利用線線垂直，即可證明線面垂直，再得面面垂直;

(2)建立適當(dāng)空間坐標(biāo)系，利用法向量，即可求解．19.(1)當(dāng)a=0時(shí)，fx設(shè)切點(diǎn)x0,消k得1?1x0x0(2)方法一：因?yàn)閒x所以f′x1°當(dāng)a<0時(shí)，設(shè)gx=x?所以當(dāng)x∈0,1時(shí)，g′當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，g′所以g(x)又?axe??x>0，故f2°當(dāng)a≥0時(shí)，e所以當(dāng)x∈0,1時(shí)，f′當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，f′故f(x)min=f1=1?ae綜上所述，a的取值范圍為?∞,e．方法二：因?yàn)閒x又x>0，所以上式等價(jià)于a≤e記?x=e設(shè)ux=x+1?ln當(dāng)x∈0,1時(shí)，u′x<0,u當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，u′x>0,u所以u(píng)x所以當(dāng)x∈0,1時(shí)，?′x<0,?當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，?′x>0,?所以?(x)故a的取值范圍為?∞,e．方法三：因?yàn)閒x又x>0，所以上式等價(jià)于a≤e記?x=e所以當(dāng)x∈0,1時(shí)，?′x<0,?x在0,1上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，?′x>0,?令t=exx，則t∈記φt=tln所以φt在e,+∞上單調(diào)遞增，所以φ(t)min故a的取值范圍為?∞,e．(3)方法一：因?yàn)閒x有兩個(gè)零點(diǎn)x1,則x1即a=ex1令tx=x?ln所以當(dāng)x∈0,1時(shí)，t′當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，t′所以t(x)令