理論力學(xué)虛位移和虛功

一、虛位移

某瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系中的某質(zhì)點(diǎn)發(fā)生的為約束所允許的、任意的無限小位移，稱為該質(zhì)點(diǎn)（在

該瞬時(shí)）的虛位移。

虛位移可以是線位移，也可以是角位移。通常用變分符號(hào)d表示虛位移。

虛位移與真正運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)生的實(shí)位移不同

①實(shí)位移是在一定的力作用下和給定的初始條件下運(yùn)動(dòng)而實(shí)際發(fā)生的；虛位移是在約束

容許的條件下可能發(fā)生的。

②實(shí)位移具有確定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；

虛位移則是微小位移，視約束情況可能有幾種不同的方向。

③實(shí)位移是在一定的時(shí)間內(nèi)發(fā)生的；虛位移只是純幾何的概念，與時(shí)間無關(guān)，靜止的質(zhì)

點(diǎn)系沒有實(shí)位移，但可有虛位移。

在定常約束下，微小的實(shí)位移必然是虛位移之一。而在非定常約束下，微小實(shí)位移不再

是虛位移之一。

受定常約束的非自由質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的虛位移之間存在著一定的關(guān)系，確定這些關(guān)系通常

有兩種方法：

（注意：在定常約束下，微小的實(shí)位移必然是虛位移之一）

（-）幾何法：定常約束的條件下，真實(shí)位移是虛位移中的一個(gè)。因此可以用求實(shí)位移的方

法來求各質(zhì)點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系。由運(yùn)動(dòng)學(xué)知，質(zhì)點(diǎn)的實(shí)位移與速度成正比，即

dr=vxdZ

因此可以用分析速度的方法分析各點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系。這種方法又稱虛速度法。

即各質(zhì)點(diǎn)虛位移之比等于各質(zhì)點(diǎn)速度之比.

由于A3作平面運(yùn)動(dòng)，由速度投影定理

VBCOS0=VAcos|90o~（（p+e）]=VAsin（^?4-0）C

_Vg_sin（0+<9）

SrAcos6

或者，由于。為A3的瞬心，故

V/i_pn-BC

ACBCvAAC

￡

由正弦定理

BCAC

sin（（p+0）sin（90°-0）cos6

E_v_BC_sin（0+/

同樣可得B

SrAvAACcosO

（二）解析法：質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)

（01聞2,..........燦），廣義坐標(biāo)分別有變分的1，的2,…，的k，各

質(zhì)點(diǎn)的虛位移5斤在直角坐標(biāo)上的投影可以表示

為Q

e_如dxj-8q+???+dXi-8g

OX;0,OCJ1c?ck

e______e+Gyi.的+…+°）'-8q

y2k（i=l,2,…力

'3y泊i"idq2dqk|

_dzj+dzj-5q+???+Ozf.的

OZ；~-7?OC]i大2}kJ

M為2Mk

解析法是利用對約束方程或坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行變分以求出虛位移之間的關(guān)系。例如

橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)如圖，坐標(biāo)XB,以有約束方程：

對上式進(jìn)行變分運(yùn)算

得

24%+2%為A=。

8XB

SyA

或者把坐標(biāo)孫，后有表示成夕的函數(shù)，也可求出虛

位移間的關(guān)系

因?yàn)閤B=Icos(pyA=/sin(p勿蟲

作變分運(yùn)算A

&B=-Isin(p&pdyA=Icos(p&p

用上式可知，即＞0,即桿45順時(shí)瞽轉(zhuǎn)

動(dòng)。3點(diǎn)虛位移向左，A點(diǎn)虛位移向上。

所以=_tgo

力A

比較以上兩種方法，可以發(fā)現(xiàn)，幾何法直觀，且較為簡便，而解析法比較規(guī)范。

［例1］分析圖示機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)

點(diǎn)C、A與3的虛位移。

（已知0C=3c=a,OA=l）

解：此為一個(gè)自由度系統(tǒng)，取

0A桿與x軸夾角/為廣義坐標(biāo)。

Brca

1.幾何法元一/

3婕PCa]

3rB—PB—2asin0—2sine

產(chǎn)為3M的速度瞬心

設(shè)。4有虛位移卻，可按幾何法

求出各點(diǎn)虛位移及其投影

3rc=a8(p,SrA-I8(p

6xc=-asin/麗，6yc=acos(p8(p

dxA=-Zsin(pd(p,8yA=Zcos(p8(p

6xn_3rB--2sin(p6rc=-2Qsin(p3(p

2.解析法將C、A、B

點(diǎn)的坐標(biāo)表示成廣義坐對廣義坐標(biāo)。求變分，得各點(diǎn)

標(biāo)。的函數(shù)，得虛位移在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影：

a、

xc=acos(p,yc=asin(pSxc=~sh(pB(pdyc=acos(p8(p

xA=Icos(p,yA=/sin&cA=-Isin(pd(p,dyA=lcos(p6(p

=2acos。，=0§xB=-lasin(p8(p,dyB=0

二、虛功

力尸在其作用點(diǎn)發(fā)生的虛位移步上所作的功稱為虛功

9

記為加。

①以幾何法表示的虛

功-------=―-

SW=F8r或dW=Fcos(p8r\

②以解析法表示的虛

5W=Fxdx+Fy6y+Fzdz

顯然，虛功也是假想的「它與虛位移是同階無窮小量。

三、理想約束

如果在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移上，質(zhì)點(diǎn)系的所有約束力的虛功之和等于零，則稱這種約束為

理想約束。

質(zhì)點(diǎn)系受理想約束的條件：=2&?斫=0

理想約束的典型例子如下:

2、光滑較鏈

1、光滑支承面

3、無重剛桿

4、不可伸長的柔索

5、剛體在粗糙面上的純滾

動(dòng)___

zm=(氐+尸＞6松=0

虛位移原理

一、虛位移原理具有定常、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，平衡的必要與充分條件是：作用于質(zhì)點(diǎn)系

的所有主動(dòng)力在任何虛位移上所作的虛功之和等于零。即

ZE?/二。聾〉￡￡歷cos?=o

或用解析式表示為這些方程統(tǒng)稱為虛功方

-----------------------------------------

Z+尸加①，+Fzi&i)=0

幾何法和解析法也可聯(lián)合應(yīng)用。

證明：（1）必要性：即質(zhì)點(diǎn)系處于平衡時(shí)，必有ZE-=0

-8rt

V質(zhì)點(diǎn)系處于平，選取任一質(zhì)點(diǎn)M也平衡

衡——

耳+FM=0

對質(zhì)點(diǎn)M的任一虛位移b廳，有一+雙）3萬=。

（"___

對整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系￡（月+/N,）b4=0

*

ZFi?西+￡F*.百=°

由于是理想約￡冗3萬=0

束

所以￡Fi&i=0

（2）充分性：即當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系滿足zaa=o,質(zhì)點(diǎn)系一定平衡

若°Z瓦?方=0,而質(zhì)點(diǎn)系不平衡，則至少有第冷質(zhì)點(diǎn)不平衡。

G+&'=FR。O

在R,方向上產(chǎn)生實(shí)位移前，取b4=d^,則

（￡+FN）M=FRI?玩》。

對質(zhì)點(diǎn)系￡（月+戶$）?萬＞0

理想約束

下_

￡居哧＞0與前題條件矛

故X耳礪=。時(shí)朦點(diǎn)系必處于平衡。

二、虛位移原理的應(yīng)用

i.系統(tǒng)在給定位置平衡時(shí)，求主動(dòng)力之間的關(guān)系；

2.求系統(tǒng)在已知主動(dòng)力作用下的平衡位置；

3.求系統(tǒng)在已知主動(dòng)力作用下平衡時(shí)的約束力；

4.求平衡構(gòu)架二力桿的內(nèi)力。

求主動(dòng)力之間的關(guān)系

［例2］圖示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)，連桿A3長，，桿重和滑道摩擦

不計(jì)，較鏈為光滑的，求在圖示位置平衡時(shí)，主動(dòng)力

大小P和。之間的關(guān)系?

伊

解：研究整個(gè)機(jī)構(gòu)。系統(tǒng)的所有僅

約束都是完整、定常、理想的。

1、幾何法：使A發(fā)生虛位移而，(。平\

區(qū)的虛位近，則由虛位移原理，?

簿虛功方程：J__^

PdrA-Q8rB=0___________

而drA?sin°=drB-cos(pn8rB=8rA?tg(p

???（P-Qtg（p）-3rA=0

由3小的任意性，得P=Qtg(p

2、解析法由于系統(tǒng)為單自由度

而取戶為廣義坐標(biāo)。

XB=ICOS(P,yA=ls\n(p

3xB=-ls\n(p6(p,byA=lcos(p8(p

虛功方程為：FAy6yA+FBx6xB=0

即-PSyA-Q8xB=0,

解析法計(jì)算虛功不

(一0cos°+Qsin0)/麗=0要另外考慮功的正

負(fù)，功的正負(fù)由

由于任意，故P=Qtg^揖式自動(dòng)計(jì)算得出。

［例3］圖示機(jī)構(gòu)中，a^JOA=AB=Z,ZAOB=0,

睚飄常駕艘麴搬示位置平衡

O

解1:以系統(tǒng)為研究對象，受的主動(dòng)

有詼。。給系統(tǒng)一組虛位移如圖］1

°由虛功方程zE.痂=0，得

-P3rAcos0+QdrB=0

A3作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在。點(diǎn)，則

%_**=&lM=2sine

3rAvAAC

將電=2sin/心代入-PdrAcos+QSrK=0得

(-Pcos0+2Qsin3}8rA=0

由于近4wO,于是得

P=2Qtg3

亦可由速度投影定理求虛位移之間的關(guān)系：

由速度投影定理v8cos夕=sin20

生…=2sin。

航i以

解2：解析法。建立如圖坐標(biāo)。

因?yàn)?lsin0yB=2Zcos0

對上兩式作變分，得

&A=lcos099勾B--2/sin039

由E(FxibXi+4/丹+FUzi)=0，得

FAx8xA+FBy3yB=0

即(-P)lcos060+(-2)(-2/sin6^)=0

由于超wO,于是得P=2Qtg6

[例4]圖示機(jī)構(gòu)中，當(dāng)曲柄OC繞軸擺動(dòng)時(shí)，滑塊A沿曲柄自由滑動(dòng)，從而帶動(dòng)桿A5

在鉛垂導(dǎo)槽K內(nèi)移動(dòng)。已知OC=a,OK=l,在C點(diǎn)垂直于曲柄作用一力Q,而在B點(diǎn)沿BA

作用一力P。求機(jī)構(gòu)平衡時(shí)，力P與。的關(guān)系。

dr（：

解1:(幾何法)以系統(tǒng)為研/^rc

究對象，受的主動(dòng)力有P、Qo給y

系統(tǒng)一組虛位移如圖。

\Q

其中8rA=8re+8fr

由虛位移原理zE?萬=。，得汴②2

////)/aV

Pdr-Q3r=0

AcI?B

式中3rc=a&p%='=~^&pp

COS-(P

故有P&p-Qa&p=b

由于前wO于是得

COS2(P

Q-1P

2

6ZC0S(p

解2解析法:建立如圖坐標(biāo)。

主動(dòng)力作用點(diǎn)的坐標(biāo)及其變分為

%=/tg。=3y=——8(p

Acos(p

xc=acos(p0dx,c--asin(p3(p

yc=asm(p=dyc=acos(p&p

主動(dòng)力在坐標(biāo)方向上的投影為

^Ay=P%=Qsin/Fcy——Qsincp

由E(Fx@Xi+Fy$y+Fzi3z,)=0

即43%+FcxSXc+Fcy^yc=。

得P-匕-&p+Qsm(p(-asin(p&p)+(-0cos(p)acos(p&p=0

COS269

P——&p-Qa&p=Q

亦即COS2(P

由于麗丹0于是得

Q="p

flcos(p

解3：綜合法。C

一

本題用解析法計(jì)算下力的虛功。

用幾何法計(jì)算。力的虛功，此時(shí)虛功/

方程可以寫為4

FAy6yA+Q^c=0

將F=p,y8r=a&p'

AyA=/tgp,cP-

代入上式，得Pb(/tg0)—Q8rc=0

解：這是一個(gè)已知系統(tǒng)平衡，求作用于系統(tǒng)上主動(dòng)力之間關(guān)系的問題。特別要指出的是,

系統(tǒng)中若有彈簧，必須解除彈簧約束，將一對彈性力計(jì)入主動(dòng)力，系統(tǒng)簡化為理想約束

系統(tǒng)，才可以用虛位移原理求解。

設(shè)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)A、8之間有剛度系數(shù)為A,原長為/。的彈簧連接。

解除彈簧約束，代之以一對彈性力。

則彈性力分別為1_

F'=k(rAB-l0)e~p=-k(rAB-l0)e

其中：以5為彈簧現(xiàn)長；

E為由A指向B的單位矢量

o由固定點(diǎn)0向4、3作矢徑，這

一對彈性力的虛功之和記為

所以6Wk=F'+F-6rB=-FSr,+F-6F；

弓一〃)=

=F3(f-SrAB

=~k(rAB-la)e-8{rABe^)這時(shí)不要再考慮

=_k(rAB-Io)b-AB虛功b叫的正負(fù)

選擇A3桿、CD桿和滑套O的系統(tǒng)為研究對

象。

露與匏心磔黑順甲嶙簧壓縮,

:用時(shí)‘皿cos。0受力見圖。

drBD=-0.3sec0tg686<0

表明3。距離減小，彈性力作負(fù)功。

彈性力的大小為

F=k\rliD-l0\=1.5(sec6—1)

由虛位移原理：

M80-\F3rBD\=QZBD-/0=0.3(1-sec6>)

所以M^-1.5(sec6>-l)(0.3sec6>tg夕M=0

sin6(l-cos。)

M=0.45(kN-m)

cos3^

或：彈性力的虛功為M=-k{rBD-l^3rBD

=-1.5(sec。一1)(0.3secaggSO

求系統(tǒng)的平衡位置

［例6］圖示平面機(jī)構(gòu)，兩桿長度相等。在8點(diǎn)掛有重W的重物。。、E兩點(diǎn)用彈簧連接。

已知彈簧原長為/,彈性系數(shù)為A,其它尺寸如圖。不計(jì)各桿自重，求機(jī)構(gòu)的平衡位置。

解：以系統(tǒng)為研究對象，解除彈簧

鵑I代之彈性力。建立如圖的坐標(biāo)

。系統(tǒng)受力有主動(dòng)力M以及非

理想約束的彈性力戶和戶,將其

視

為主動(dòng)力旋彈簧現(xiàn)長的

彈性力的大小為

F=kd=k|2Z?cos0-l\

主動(dòng)力作用點(diǎn)的坐標(biāo)及其變分為

%=(a+b)sine變分電=(a+A)cos第

r

DE=2bcos3運(yùn)算3rDE=-2bsin080

由虛功方程得

：

FBy8yB+[-k(rDE-1)&DE]=0

即(-W)b%+[-k(rDE-l)3rDE]=0

代入-(a+b)cos0996rDE——2Z?sin050得

-W(a+b)cos仍9+Z(2Z?cos0-1)-2Z?sin656=0

因MwO,故

tg8=W(&士勿

2妨(2/?cos夕一/)

求靜定結(jié)構(gòu)的約束力

［例7］多跨靜定梁，

求支座3處約束力。

解1:靜定結(jié)構(gòu)必須

要解除約束才可能

有虛位移。將支座

3去掉，代入相應(yīng)

的約束力死,，并使結(jié)

構(gòu)發(fā)生圖示虛位移。

-P1Jr,+FB8rB-P2Src-m30=0

Sr+PC+m----

P

FB=\2~-8rR

OrBdrB

30_3rG18rE13rc11x1111

3rB4?B6drK123rB12896

F=—P+一P+—m

12

B2896

解2：結(jié)構(gòu)發(fā)生圖

示虛位移。將各剛

體上的力系的向

本剛體上不動(dòng)的

點(diǎn)簡化，由簡化

理論及虛位移原

理可得：

[HMA(F)]ACdy/-m39=0

（8七—4耳—11g）項(xiàng)—mM=0

由幾何關(guān)獻(xiàn)」修￡㈱二勰二6㈤

代入虛功方程可得同樣的結(jié)果。

［例8］圖示多跨靜定梁，試求A端處約束力偶及鉛垂約束力。

已知：P］=80kN,P2=60kN,夕=10kN/m。長度單位為m。

解：（1）求A端約束力偶以梁為研究對象，解除A處限

制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束，代之以相

應(yīng)的約束力偶矩4,并視為主動(dòng)力。給系統(tǒng)一組虛位移,

如圖所示。

兇明⑺]即30+[^Mc(F)]BD&P+[2MH肛DE*二0

（監(jiān)-3片）的+（-2尸2）麗+產(chǎn)?42）羽=0

由幾何關(guān)系得：6M=3砌2麗=4羽

所以（a-36）￥）+（-2B）即+（；/2）號(hào)

0

?「麗wO故有MA=36+4g—8q=400kN-m

(2)求4處鉛垂約束力

解除A處鉛垂的約束，代

之以相應(yīng)的約束反力％卜343升岬2i2,*4"

,并視為主動(dòng)力。給系

統(tǒng)一組虛位移，如圖所

不O

由虛位移原理有

[/]AB(-E)+[￡%?)]BD聞+W(尸)]DE羽=0

由幾何關(guān)系得：5心=痢，絳呻

]AB（一加1）+[2Mc（尸）]BD卿+[刀力（尸）]祝羽=0

SrA=33（p,23（p=4羽

所以，虛功方程為

（q_幣（_3砌+（2己）加+（—

干星巖（F-P--P+-q）d（p=O

J4y1323

24

?；3”0故有工=6+_Q__q=106.7kN

33

［例9］求圖示靜定剛架支座。處的水平約束力。

解：以剛架為研究對象

,解除。處的水平約束，代

之以相應(yīng)的約束力萬加，并

視為主動(dòng)力。給系統(tǒng)一組虛

位移，如圖所示。

由虛位移原理有

FDx8rD-F8rEcosa=0

由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系&D=8rc

PCPE

=匪配=4

PCrPC

代入虛功方程

FDx3rD-F5rEcosa=0

PF

于是有（壇,一//jcoscOb6=0

8rDO^PEcosa=AE故FDX-F^^二0

于是支座。的水平約束力為F=-F

DX2

求桁架桿件及合結(jié)構(gòu)的軸力

［例10］求圖示桁架桿1和桿2的軸力。

解：以桁架為研究對象，解除1

桿的約束，代之以相應(yīng)的約束力，

并視為主動(dòng)力。給系統(tǒng)一組虛位移

,如圖所示。由虛位移原理有：

Px6r\+P25r2+P35r3-Stcosa=0

由幾何關(guān)系得歷=//?

(P1+P2+/-S[cosa)a=0

于是得_______

S,="+打+3="2+"(H+4+A)

cosaa

解除2桿的約束，代之以相應(yīng)的約

束力，并視為主動(dòng)力。給系統(tǒng)一組虛

位移,如圖所示。

由虛位移原理有

E的+「2泌+S2cosa8r=0

由幾何關(guān)系得

=2hS(p3r2=h&p

br=J/?」+a」麗cosa=?

(2P}h+P2h+S2a>6(p=0

?.?麗w0于是得

_(2PP)h

s［-+----2--------------

2a

［例11］組合構(gòu)架如圖所示。已知P=10KN,不計(jì)構(gòu)件

自重,求1桿的內(nèi)力。

解:截?cái)?桿代之內(nèi)力S1和S'i且SkS'=S,畫虛位移圖。

利用虛位移圖得：

5rc=(AQSft=(BC)^ft6仇=融=陰

由虛位移原理得

：

已加式尸）］AC的+［ZMB（F）］BC5a=0

即（―2S）的+（2尸-2S）陰=0

P

S=c=5KN

2

應(yīng)用虛位移原理求解質(zhì)點(diǎn)系平衡問題的步驟和要點(diǎn)：

I.正確選取研究對象；

以不解除約束的理想約束系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)至少有一個(gè)自由度。若系統(tǒng)存在非理想約

束，如彈簧力、摩