第13講雙曲線

【人教A版2019】

模塊導(dǎo)航

?模塊-雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

?模塊二雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

?模塊三課后作業(yè)

1.雙曲線的定義

雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于IEFJ）的點(diǎn)的軌跡叫

作雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作雙曲線的焦距.

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

雙曲線在坐標(biāo)

l/v,4/

系中的位置

Kil0*itX

>1\

標(biāo)準(zhǔn)方程

%一方=l(Q>0,b>0)—=1(a>0,匕>0)

焦點(diǎn)坐標(biāo)￡(-c,0),K(c,0)￡(0,-c),K(0,c)

a,b,c的關(guān)系c2=a2+62

考點(diǎn)剖析

【考點(diǎn)1曲線方程與雙曲線】

【例1.1］（2023?高二課時(shí)練習(xí)）當(dāng)時(shí)<0時(shí)，方程a/-ay2=b所表示的曲線是（）

A.焦點(diǎn)在%軸的橢圓B.焦點(diǎn)在x軸的雙曲線

C.焦點(diǎn)在y軸的橢圓D.焦點(diǎn)在y軸的雙曲線

【解題思路】化簡(jiǎn)方程，然后判斷表示的曲線即可.

【解答過(guò)程】當(dāng)ah<0時(shí)，方程a/-ay2=b化簡(jiǎn)得笑一2=1，

...方程表示雙曲線.焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸上；

故選：D.

【例1.2](2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))"mn<O^^mx2+ny2=1為雙曲線”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】先求方程+〃y2=1表示雙曲線的條件，再根據(jù)兩者相等關(guān)系確定充要關(guān)系.

【解答過(guò)程】因?yàn)榉匠绦?+〃丫2=1表示雙曲線，所以小幾<(),

又當(dāng)nm<0時(shí)，方程m/+ny2=1表示雙曲線，

因此“mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示雙曲線”的充要條件.

故選：C.

22

【變式1.11(2023春?江西?高二校聯(lián)考期中)若方程'—j=1表示雙曲線,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()

?71-52771-8

A.(5,+oo)B.(4,+℃>)

C.(4,5)D.(-oo,4)U(5,+00)

【解題思路】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程列不等式求解.

【解答過(guò)程】方程壬一白=1表示雙曲線，則(m-5)(2m-8)>0,解得m>5或m<4,

故選：D.

v2A.2

【變式1.2](2023秋?黑龍江哈爾濱?高二校考期末)設(shè)機(jī)為實(shí)數(shù)，若方程4+J=l表示焦點(diǎn)在x軸上

2-mm-1

的雙曲線，則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是()

33

A.-<m<2B.1<?n<-C.m>2D.m<1

22

【解題思路】根據(jù)焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線的方程特征列出不等式，從而可得答案.

【解答過(guò)程】因?yàn)榉匠桃?三=1表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線，

2-mm-1

所以12-吃解得m<l.

Im-1<0

故選：D.

【考點(diǎn)2利用雙曲線的定義解題】

【例2.1](2023春.福建福州?高二校聯(lián)考期中)設(shè)P是雙曲線1―[=1上一點(diǎn)，B，B分別是雙曲線左、

右兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF/|=9,則IPF2I等于()

A.1B.17C.1或17D.8

【解題思路】先求出P點(diǎn)的位置，再根據(jù)雙曲線的定義求解.

【解答過(guò)程】對(duì)于^—=1,a2=16,b2=20,c2=a24-&2=36,a=4,c=6，

1620

\PFr\=9<a+c,所以P點(diǎn)在雙曲線的左支，則有仍尸2|-/&|=2。=8,??.-尸21=17;

故選：B.

【例2.2]（2023?四川達(dá)州?統(tǒng)考二模）設(shè)月，尸2是雙曲線C：?-9=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線與C的

右支交于P,Q兩點(diǎn)，則I&PI+I&QI-|PQ|=（）

A.5B.6C.8D.12

【解題思路】由雙曲線的定義知|F/|-IPF2I=2a=4,\FtQ\-\QF2\=2a=4,則|&P|+\FrQ\-\PQ\=

\FtP\-\PF2\+IF1QI-IQF2I，即可得出答案.

【解答過(guò)程】雙曲線C：--^=1,則a2=4,a=2,

43

由雙曲線的定義知：|&P|-|PF2l=2a=4,|F】Q|—|QF2l=2a=4,

\PQ\=IPF2I+IQF2I，

所以|RP|+\FrQ\-\PQ\=|FiP|+\F1Q\-（\PF2\+IQF2I）

=\FlP\-\PF2\+\F1Q\-\QF2\=8.

故選：C.

【變式2.1]（2023秋?湖北?高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C:?-9=1的左焦點(diǎn)為M為雙曲線C右支上

任意一點(diǎn)，。點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,1）,則|MD|-IMF」的最大值為（）

A.3B.1C.-3D.-2

【解題思路】由雙曲線定義把|M&|轉(zhuǎn)化為M到右焦點(diǎn)的距離，然后由平面幾何性質(zhì)得結(jié)論.

【解答過(guò)程】設(shè)雙曲線C的實(shí)半軸長(zhǎng)為a=2,右焦點(diǎn)為尸2（3,0）,

22

所以|MD|-|M&|=\MD\-（|MF2I+2a）=（|MD|-|MF2|）-2a<\F2D\-2a=7（3-3）+（1-0）-

4=-3,

當(dāng)且僅當(dāng)M為Da的延長(zhǎng)線與雙曲線交點(diǎn)時(shí)取等號(hào).

故選：C.

【變式2.2]（2023春?福建南平?高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線卷-9=1,直線/過(guò)其上焦點(diǎn)尸2,交雙曲

線上支于A,8兩點(diǎn)，且|4B|=4,&為雙曲線下焦點(diǎn)，ZkABa的周長(zhǎng)為18,則〃[值為（）

A.8B.-23C.10D.2-5

44

【解題思路】根據(jù)三角形周長(zhǎng)公式，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.

【解答過(guò)程】由題意知|4B|+|4尸J+|B&|=18.

又|4B|=4,所以14al+|BFi|=14.

根據(jù)雙曲線的定義可知2a=HFjl-\AF2\=|8&|-|BF2\,

所以4Q=MFJ+\BFr\-(|XF2|+IBF2I)=14-4=10,

解得a=|,所以m=a2=f.

故選：D.

【考點(diǎn)3雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解】

【例3.1]（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為（5,0）,一個(gè)頂點(diǎn)為（3,0）,則雙曲線方程的

標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.藝一次=1B.

169259

D.次_乃=1

0會(huì)會(huì)】916

【解題思路】根據(jù)雙曲線中a,b,c的關(guān)系求解.

【解答過(guò)程】由題可知，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,所以可設(shè)方程步d=1,

且c=5,Q=3,所以〃=c2—a2=16,

所以雙曲線方程為9一31,

故選:D.

【例3.2]（2023秋?天津河西?高二統(tǒng)考期末）設(shè)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的焦距為16,且雙曲

線上的任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于6,雙曲線的方程為（）

B.正一比=1

97

c.W-jD-—J

1006479

【解題思路】根據(jù)題意列式求解a,b,c,即可得結(jié)果.

【解答過(guò)程】?.?雙曲線的焦點(diǎn)在X軸上，設(shè)雙曲線的方程庫(kù)-評(píng)1.且=a2+Ha>o,b>01C>0,

(c2=a2+b2a=3

由題意可得2c=16,解得b=\[55，

(2a=6c=8

.?.雙曲線的方程為9一弓=1.

故選:A.

【變式3.1］（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線過(guò)點(diǎn)（一2,0）,且與橢圓4/+9y2=36有公共焦點(diǎn)，則雙

曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

A.J/=iB.--y2=1

C.x2——=1D.y2——=1

4,4

【解題思路】根據(jù)題意求得c=店,a=2,得到爐=c2-a2=l,進(jìn)而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【解答過(guò)程】由橢圓4久2+9y2=36,可化為標(biāo)準(zhǔn)方程?+?=1,可得Fi（-花,0）,F2（花,0），

因?yàn)殡p曲線與橢圓有公共的焦點(diǎn)，所以c=花，

又因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)（一2,0）,可得a=2,則〃=c2—a2=l,

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為9—y2=1.

故選：B.

【變式3.2］（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為Fi（0,5）,F2（0,-5）,P是雙曲線上

一點(diǎn)且滿足|伊凡|一伊七1|=6,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.^-^=1B.三―”=1C.工一三=1D.^-^=1

169916169916

【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義求得正確答案.

【解答過(guò)程】依題意c=5,IIP&I-IPF2II=2a=6,a=3,

所以匕=Vc2—a2=4,

由于雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，

y.22

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是七v-靠=1.

故選：D.

【考點(diǎn)4求雙曲線的軌跡方程】

【例4.1］（2023秋?廣東?高二統(tǒng)考期末）動(dòng)圓尸過(guò)定點(diǎn)M（0,2）,且與圓M產(chǎn)+。+2）2=4相內(nèi)切，則

動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是（）

22

A.y2-y=l（y<0）B.y2-y=1

C.—x2=l（y<0）D.x2+^-=1

【解題思路】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，結(jié)合雙曲線的定義得出動(dòng)圓圓心P的軌跡方程.

【解答過(guò)程】圓Mx2+(y+2)2=4的圓心為N(0,-2),半徑為2,且|MN|=4

設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r,則|PM|=r,|PN|=r■—2,即|PM|—|PN|=2<|MN|.

即點(diǎn)P在以M,N為焦點(diǎn)，焦距長(zhǎng)為2c=4,實(shí)軸長(zhǎng)為2a=2,

虛軸長(zhǎng)為2b=2Gl=2百的雙曲線上，且點(diǎn)P在靠近于點(diǎn)N這一支上，

丫2

故動(dòng)圓圓心尸的軌跡方程是y2一白=l(y<0)

故選：A.

【例4.2](2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)點(diǎn)4(—8,0),F(V3,0),M為動(dòng)點(diǎn)，已知直線4M與直線8M的斜率

之積為定值支點(diǎn)M的軌跡是()

A.力0)B.9-M=i(y￥0)

C.9-必=1”0)D.^--x2=l(y*0)

【解題思路】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y),根據(jù)已知條件，結(jié)合斜率公式，即可求解.

【解答過(guò)程】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y),則xw土汽，

則人"4=x+y/3,々MB=x-yfs,&*土國(guó))，

???直線4M與直線BM的斜率之積為定值

???WrU化簡(jiǎn)可得，AV-”。)，

故點(diǎn)M的軌跡方程為9-y2=l(yh0).

故選：C.

【變式4.1](2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點(diǎn)4(一3,0),8(3,0),其內(nèi)

切圓圓心在直線x=2上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為()

A.y-^=l(x>2)B.J—?=l(x>3)

C.—+g=1(0<x<2)D.—+?=1(0<x<3)

【解題思路】根據(jù)圖可得：|C*-|CB]為定值，利用根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以4、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)

為6的雙曲線的右支，從而寫(xiě)出其方程即得.

【解答過(guò)程】解：如圖設(shè)A4BC與圓的切點(diǎn)分別為。、E、F,

則有|AD|=|4國(guó)=5,|BF|=|BE|=1,|CD|=

所以|CA|—|CB|=5-1=4.

根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以4B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支(右頂點(diǎn)除外)，

即c=3、a=2,又〃=。2+/)2,所以=5,

所以方程為歲一《=l(x>2).

45

故選：A.

【變式4.2](2023秋?湖北?高二校聯(lián)考期末)已知圓M:(x+4)2+y2=16,“為圓心，P為圓上任意一點(diǎn)，

定點(diǎn)4(4,0),線段P4的垂直平分線I與直線PM相交于點(diǎn)Q,則當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡方程為()

A.1(%<-2)B.1

412v7412

C.X2—y=1（X<-1）D.T=1

【解題思路】利用圓的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.

【解答過(guò)程】解：因?yàn)榫€段P4的垂直平分線，與直線PM相交于點(diǎn)Q,

所以有IQ川=|QP|,由圓M:(x+4)2+y2=16,得M(-4,0),該圓的半徑r=4,

因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

所以有||QP|-|QM||=4,于是有||Q*一|QM||=4,

所以點(diǎn)Q的軌跡是以4M為焦點(diǎn)的雙曲線，

所以c=4,2a=4,可得Q=2,所以川=c2—a2=12,

所以點(diǎn)Q的軌跡方程為:一2=1?

故選:B.

1.雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

雙曲線的一些幾何性質(zhì)：

圖形

春-$=1(Q>0,6>0)_

標(biāo)準(zhǔn)方程=l(Q>0,b>0)

范圍x>a或爛y>a或產(chǎn)-。口￡R

對(duì)稱性關(guān)于X軸、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

頂點(diǎn)Ai(-a,0),A2(a,0)AI(0,?〃)/2(0,〃)

半軸長(zhǎng)實(shí)半軸長(zhǎng)為”,虛半軸長(zhǎng)為b

離心率

e=—(e>1)

a

漸近線方程,b1a

v=土不

2.雙曲線的離心率

(1)定義：雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比￡,叫作雙曲線的離心率.

a

(2)雙曲線離心率的范圍：e>\.

(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開(kāi)口大小.

因?yàn)間=產(chǎn)算=，e2—1,所以e越大，

越大，則雙曲線的開(kāi)口越大.

a

（4）等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=，5.

3.雙曲線中的最值問(wèn)題

求解此類問(wèn)題一般有以下兩種思路：

（1）幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)兒何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決，這就是兒何

法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問(wèn)題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.

（2）代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一

個(gè)（或多個(gè)）變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三

角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對(duì)最值的影響.

考點(diǎn)剖析

【考點(diǎn)1利用雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程】

【例1.1］（2023春?四川成都?高二校聯(lián)考期末）若雙曲線的漸近線方程為y=±3x,實(shí)軸長(zhǎng)為2a=2,且

焦點(diǎn)在尤軸上，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A./一匕=1或^--%2=1B.---%2=1

999

C.x2-^-=1D.—-y2=1

99,

【解題思路】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解.

【解答過(guò)程】由題可得｛j,解得｛%:；,

因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/-9=1.

故選:C.

【例1.2］（2023?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）與橢圓卷+：=1有公共焦點(diǎn)，且離心率e=|的雙曲線的方程為（）

1562

A.立—旺=1B.蘭―乃=1

5445

C.式一片=1D.立一e=1

41349

【解題思路】由題意易知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且c=3,由e=|,可求出a=2,則可求出b的值，由此

即可選出答案.

【解答過(guò)程】橢圓三+胃=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（一3,0）,（3,0）

156

在雙曲線中：c=3,e=-=所以Q=2,a2=4,b2=c2-a2=9—4=5,

a2

所以雙曲線的方程為：。一（=1.

45

故選：B.

【變式1.1］（2023春?四川宜賓?高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線C與雙曲線?一q=1有相同的焦點(diǎn)，且其

中一條漸近線方程為y=-2x,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

A.”一日=1B.尤一/=1

432

C.^-^=1D.^-x2=l

824

【解題思路】比較焦點(diǎn)坐標(biāo)，再比較漸近線方程可得.

【解答過(guò)程】已知雙曲線的半焦距為c=V2+3=V5,A中c=V7,B中c=V5,c中c=V10,D中?=遍，

只有D的焦點(diǎn)與已知雙曲線相同，D中雙曲線的漸近線方程也為y=±2x,滿足題意.

故選：D.

【變式1.2］（2023秋?廣東梅州?高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C:攝-總=1（a>0,b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別

為&、&，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，IPFJ-|PFz|=6,離心率為3,則雙曲線C的方程為（）

A.^-^=1B.日一^=1

972729

C.江—廿=1D.立—e=i

9889

【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義以及離心率，即可求出a,b,c的值.

【解答過(guò)程】根據(jù)雙曲線的定義可知，2a=6,所以a=3.

又雙曲線的離心率為3,所以e=￡=3,所以c=9,b2=c2-a2=72.

a

所以，雙曲線的方程為=

故選：A.

【考點(diǎn)2雙曲線的漸近線方程】

【例2.1］（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）雙曲線3/一必=3的漸近線方程是（）

A.y—±3xB.y=±^xC.y—±V3xD.y=

【解題思路】令3--y2=。即可求出答案.

【解答過(guò)程】令3/—y2=0可得y=+V3x,

故雙曲線3尤2-y2=3的漸近線方程是y=±V3X,

故選：C.

【例2.2］（2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線捺一?=l（a>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,3）,則其漸近線方程是（）

A.y=±A/^XB.y=±|x

c.y=±|xD.y=±yx

【解題思路】先應(yīng)用雙曲線捺-q=1但>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,3）求出。=1"=百，再根據(jù)雙曲線幾何性質(zhì)漸近

線方程解決即可.

【解答過(guò)程】由題知雙曲線1一!=1（。>03>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,3）,；.馬一。=1,二三=4,所以<12=1萬(wàn)=3,

Q，3Q“3Q"

所以a=l,b=V5,雙曲線焦點(diǎn)在x軸匕

所以雙曲線的漸近線方程為y=±^x,y=±V3x,

故選：A.

【變式2.1］（2023.全國(guó)?高三專題練習(xí)）雙曲線。吟-\=19>0*>0）的離心率為遙，其漸近線方程

為（）

A.y=±2xB.y=±V2x

C.y=±D.y=±；x

【解題思路】根據(jù)e=￡=百，結(jié)合雙曲線的結(jié)合性質(zhì)求得2=V2,進(jìn)而求得雙曲線的漸近線方程.

aa

【解答過(guò)程】由題意知，雙曲線。:，一\=1但>0/>0）的離心率為8，

可得e=-=V3,即匕？=14-（2）2=3,解得=V2,

所以雙曲線C的漸近線方程為y=±gx=±V2x.

故選：B.

【變式2.2］（2023春?江西贛州?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)FL是雙曲線?！兑痪?l（a>0,b>

0）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線C的右支上存在一點(diǎn)B滿足B&1BB，B&與雙曲線C的左支的交點(diǎn)4平分線段BQ,

A.±3B.±2^3C.±\<13D.±V15

【解題思路】設(shè)|AB|=M&l=x,則|8F/=2x,由雙曲線的定義得|B&I=2x-2a,\AF2\=x+2a,

2

根據(jù)1BF2,列出方程求得出&|=6a,\BF2\=4a,在直角AB&F?中，利用勾股定理求得c?=13a,

進(jìn)而求得雙曲線C的漸近線.

【解答過(guò)程】設(shè)|4B|=|40|=%(%>0),則出&|=2%,

由雙曲線的定義得IBEI=2x-2a,\AF2\=X+2a,

又由8%1BF2得MB/=|4B|2+IBF2E，BP(x+2a)2=x2+(2x-2a)2,解得x=3a,所以=

6a,\BF2\=4a,

在直角△B&B中，由勾股定理得|月尸2『=|8&|2+|3尸2|2,即(2c)2=(6Q)2+(4Q)2,

整理得。2=13<?,則爐=c?-a2=12a2,雙曲線C的漸近線斜率為土聾=±2V1

故選：B.

【考點(diǎn)3求雙曲線的離心率的值或取值范圍】

【例3.1](2023春?四川宜賓?高二?？计谀?已知雙曲線。搐一《=l(a>0,b>0)的離心率e是它的一

條漸近線斜率的2倍，則e=()

A.2V3B.V2C.手D.2

【解題思路】根據(jù)離心率和漸近線的斜率公式，列式求雙曲線的離心率.

【解答過(guò)程】由題意可知，￡=2x±,即c=2b,

aa

則c?=4b2=4(c2—a2),解得：：=

所以雙曲線的離心率e=竽.

故選：C.

【例3.2](2023春仞川達(dá)州?高二統(tǒng)考期末)已知&,F?分別是雙曲線l(a>0,b>0)的左、右

焦點(diǎn)，直線x=c與C的一個(gè)交點(diǎn)為尸，IPFJ=3|PF2|,則C的離心率為()

A.V5B.2C.V2D.V3

【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合|PFzl=3|P&|可求得a,c關(guān)系即可得出答案.

由|PFil=3|PFzl，得點(diǎn)P在雙曲線的右支上，

則|PF/—IPF2I=2\PF2\=2a,所以|PBI=a,|PF/=3a,

在RtA員PF1中,\PF2\=a,\PFi\=3a,

故I&F2I=0PF/2-|PFz|2=2c=V9a2-a2=2y/2a,

所以￡=V2,

a

即雙曲線c的離心率為近.

故選：C.

【變式3.1]（2023?河北?校聯(lián)考三模）已知雙曲線C:次一E=a（其中m>0"力0）,若；1<0,則雙曲

mm+1

線C離心率的取值范圍為（）

A.（1,V2）B.（V2,+oo）C.（1,2）D.（2,+oo）

【解題思路】先將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)離心率的定義，用M表示出離心率，進(jìn)而可得其取值范

圍.

【解答過(guò)程】由雙曲線啜-若=，（其中心。"<。），

..2v2

得=1,

則雙曲線C離心率e=J哪空

因?yàn)?71>0,所以771+1>1,則0<---V1,

所以1<2----<2,

所以即雙曲線C離心率的取值范圍為（1,四）.

故選：A.

【變式3.2]（2023春?福建泉州?高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線C:3一1（。>0”>0）的上下焦點(diǎn)分別

為乙尸2，點(diǎn)M在C的下支上，過(guò)點(diǎn)M作C的一條漸近線的垂線，垂足為C,若|MD|>IaF2I-|"&|恒成立,

則C的離心率的取值范圍為（）

A.（1,|）B.（I，2）C.（1,2）D.（I，+oo）

【解題思路】過(guò)點(diǎn)F2作漸近線的垂線，垂足為E,則|E4I=b,再根據(jù)雙曲線的定義得|MD|+|Ma|=\MD\+

|MF2|+2a>|EF2|+2a,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為2a+b>2c恒成立，再根據(jù)齊次式求解即可.

【解答過(guò)程】如圖，過(guò)點(diǎn)尸2作漸近線的垂線，垂足為以

設(shè)|&&1=2c,則點(diǎn)七到漸近線y=的距離IEF2I==b.

由雙曲線的定義可得一IMF2I=2a,故IMF/=|MF2|+2a,

所以|MD|+=\MD\+\MF2\+2a>\EF2\+2a=b+2a,即|MD|+|M0|的最小值為2a+b,

因?yàn)閨M￡）|>IF/2I-IMF/恒成立,

所以|MD|+IMF/>|招尸2|恒成立，即2a+b>2c恒成立，

所以，b>2c—2a,即〃>4c2+4M—Sac,即c?—a2>4c2+4a2-8ac,

所以，3c2+5。2-8ac<0,即3e2-8e+5<0,解得1<e<*

故選：A.

【考點(diǎn)4雙曲線中的最值問(wèn)題】

【例4.1]（2023春?四川成都?高二?？茧A段練習(xí)）已知4（0,4）,雙曲線。一1=1的左、右焦點(diǎn)分別為&,

尸2，點(diǎn)P是雙曲線左支上一點(diǎn)，則IP川+仍尸2|的最小值為（）

A.5B.7C.9D.11

【解題思路】根據(jù)雙曲線的方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，由雙曲線的性質(zhì)，整理|P*+IP&I，利用三角形三邊關(guān)

系，可得答案.

【解答過(guò)程】由雙曲線￡一《=1,則。2=4,/=5,即c2=。2+〃=9,且&（一3,0）,尸2（3,0），

45

由題意，\PF2\-\PFt\=2a

22

\PA\+\PF2\=\PA\+2a+\PFi\>\AFt\+2a=V3+4+4=9,

當(dāng)且僅當(dāng)4匕&共線時(shí)，等號(hào)成立.

故選：C.

【例4.2]（2023?高二課時(shí)練習(xí)）P是雙曲線?一《=1的右支上一點(diǎn)，M、'分別是圓（％+5）2+/=1和

（x-5）2+y2=4上的點(diǎn)，則|PM|-|PN|的最大值為（）

A.6B.7C.8D.9

【解題思路】先由已知條件可知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為兩個(gè)圓的圓心，再利用平面幾何知識(shí)把-|PN|轉(zhuǎn)化

為雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)之間的距離,即可求|PM|-|PN|的最大值.

【解答過(guò)程】■■■v-S=1

:,a2=9b2=16貝Ue?=25

故雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為&（一5,0）尸2（5,0）

心（-5,0）,尸2（5,0）也分別是兩個(gè)圓的圓心，半徑分別為q=l,r2=2,

|PM|max=|P&l+l

l^|min=|PF2|-2

則|PM|-|PN|的最大值為（|PFJ+1）-（IPF21-2）

=IPF/-IP&I+3

=2x3+3=9

故選：D.

【變式4.1]（2023?云南昆明?云南省?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線C：/-（=1的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別是Fi，

F2，點(diǎn)4是C右支上的一點(diǎn)，則|4&|+總的最小值為（）

A.5B.6C.7D.8

【解題思路】根據(jù)雙曲線的方程求出的值，由雙曲線的定義可得|4&|+-=偽產(chǎn)21+—+2,由雙

曲線的性質(zhì)可知MF2I>c-a=4,利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得最小值.

【解答過(guò)程】由雙曲線C：/一4=1可得

24

a2=1,b2=24,所以c?=/+爐=25,

所以Q=1,C=5,

由雙曲線的定義可得|4后|一MF2I=2Q=2,所以INF/=\AF2\+2,

所以依F/+息=14引+意+2,

由雙曲線的性質(zhì)可知：\AF2\>c-a=4f令|4尸2|=3則t24,

所以|4居|+:=\AF2\+7-7+2=t+：+2在［4,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)t=4時(shí)，取得最小值4+3+2=7,此時(shí)點(diǎn)力為雙曲線的右頂點(diǎn)(1,0),

即MF/+高的最小值為7,

\AF2\

故選：C.

【變式4.2］(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))己知&,后為雙曲線C：X=l(a>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)2在雙曲

線的右支上，點(diǎn)P(7,2)是平面內(nèi)一定點(diǎn).若對(duì)任意實(shí)數(shù)m,直線4工+3、+血=0與雙曲線。的漸近線平行,

則|4P|+|”2l的最小值為()

A.2V37-6B.10-3遮C.8-V37D.275-2

【解題思路】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得直線4x+3y+巾=0與雙曲線的漸近線方程為y=土(x，重合或平行，

即可求出a,再利用雙曲線的定義轉(zhuǎn)化可求最小值.

【解答過(guò)程】,??雙曲線C：條—、=l(a>0),.?.雙曲線的漸近線方程為y=土］,

?對(duì)任意實(shí)數(shù)如直線4x+3y+m=0與雙曲線C的漸近線平行，

...直線4久+3y+巾=0與雙曲線的漸近線方程為y=±)平行，

：.a=3,：.c=5,...F!為(一5,0),

,:P(7,2),：.\PFr\=，(7+5)2+4=2737,

：.\AP\+\AF2\=\AP\+\AFx\-6>|PFJ-6=2737-61

A\AP\+|A尸2I的最小值為2府一6.

故選:A.

【考點(diǎn)5雙曲線的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題】

【例5.1】（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲

面，如圖所示，它的最小半徑為4百米，上口半徑為竽米，下口半徑為竽米，高為24米，則該雙曲線的

D.2V2

【解題思路】以他的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的方程為會(huì)會(huì)1,設(shè)

G（等,血），為（竿,m—24）,代入雙曲線的方程，求得b=12,得到（=進(jìn)而求得雙曲線的離心率.

【解答過(guò)程】以的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則|。*=|0①|(zhì)=4V3,

設(shè)雙曲線的方程為三一4=1（。>0/>0）,則a=4g,

可設(shè)G（-y-,m）,Bim—24）（0VmV24）,

【例5.2]（2023春,江蘇鹽城?高二?？计谥校﹩稳~雙曲面是最受設(shè)計(jì)師青睞的結(jié)構(gòu)之一，它可以用直的鋼

梁建造，既能減少風(fēng)的阻力，又能用最少的材料來(lái)維持結(jié)構(gòu)的完整.如圖1,俗稱小蠻腰的廣州塔位于中國(guó)

廣州市，它的外形就是單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.某市計(jì)劃建造類

似于廣州塔的地標(biāo)建筑，此地標(biāo)建筑的平面圖形是雙曲線，如圖2,最細(xì)處的直徑為100m,樓底的直徑為

50V22m,樓頂直徑為50傷m,最細(xì)處距樓底300m,則該地標(biāo)建筑的高為()

圖1圖2

A.350mB.375mC.400mD.450m

【解題思路】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的方程是1一］=l(a>0,b>0),

a2b2

由已知可得a,將點(diǎn)C坐標(biāo)代入解得6的值，從而得到雙曲線的方程，最后利用雙曲線的方程

解得8的坐標(biāo)即可求得地標(biāo)建筑的高.

【解答過(guò)程】解：以地標(biāo)建筑的最細(xì)處所在直線為x軸，雙曲線的虛軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖

所示.

由題意可得：4(50,0),C(25V22,-300),

設(shè)B(25傷,%)(丫0>0)，雙曲線的方程是《一A=l(a>0,b>0),

a=50

解臉;。猊

貝(25短J_(-300)2

502b2

22

所以雙曲線的方程是：嬴-嬴=1，

將點(diǎn)B(25而y。)代入得親-四=1，

解得光=100,

所以該地標(biāo)建筑的高為：300+100=400（m）.

故選：C.

【變式5.1]（2023?北京海淀?高三校考階段練習(xí)）地震預(yù)警是指在破壞性地震發(fā)生以后，在某些區(qū)域可以

利用“電磁波”搶在“地震波”之前發(fā)出避險(xiǎn)警報(bào)信息，以減小相關(guān)預(yù)警區(qū)域的災(zāi)害損失.根據(jù)Rydelek和Pujol

提出的雙臺(tái)子臺(tái)陣方法，在一次地震發(fā)生后，通過(guò)兩個(gè)地震臺(tái)站的位置和其接收到的信息，可以把震中的

位置限制在雙曲線的一支上，這兩個(gè)地震臺(tái)站的位置就是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn).在一次地震預(yù)警中，兩地震

臺(tái)4站和B站相距10km.根據(jù)它們收到的信息，可知震中到B站與震中到4站的距離之差為6km.據(jù)此可以判斷,

震中到地震臺(tái)B站的距離至少為（）

A.8kmB.6kmC.4kmD.2km

【解題思路】設(shè)震中為P，根據(jù)雙曲線的定義以及|P川+\PB\>\AB\=10可求出結(jié)果.

【解答過(guò)程】設(shè)震中為P,依題意有|PB|-|PA|=6<\AB\=10,所以點(diǎn)P的軌跡是以4B為焦點(diǎn)的雙曲

線靠近4的一支，

因?yàn)閨PA|+|PB121ABi=10,當(dāng)且僅當(dāng)4P,8三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，

所以|P8|-6+\PB\>10,所以|P8|>8,

所以震中到地震臺(tái)B站的距離至少為8km.

故選：A.

【變式5.2]（2023秋?陜西咸陽(yáng)?高二?？计谀┤鐖D為陜西博物館收藏的國(guó)寶——唐金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯,

杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐代金銀細(xì)作的典范之作.該杯的主體部分可以近似看作是雙曲

線。:圣一\=16>0,匕>0）的右支與直線％=0,y=4,y=-2圍成的曲邊四邊形4BMN繞y軸旋轉(zhuǎn)一

周得到的幾何體.若該金杯主體部分的上口外直徑為竽，下底外直徑為等，則下列曲線中與雙曲線C有

B.正上=1

93

X2y21

D.-------------=1

36

【解題思路】根據(jù)給定條件求出雙曲線C的漸近線方程，再逐一分析各個(gè)選項(xiàng)判斷作答.

【解答過(guò)程】依題意，雙曲線C：三一卷=l（a>0,b>0）過(guò)點(diǎn)M（竽,4）,川（3,一2）,

(=

3

16=

J--_

有

2/

Ha

13_4解得a=g,b=3,因此，雙曲線C的漸近線方程為）/=±6久,

V3

-_>一=

a2

對(duì)于A,雙曲線看一言=1的漸近線方程為y=±Bx,A正確;

對(duì)于B,雙曲線差―3=1的漸近線方程為丫=土簧，B不正確;

對(duì)于C,雙曲線（一二=1的漸近線方程為'=土或％,C不正確;

63

對(duì)于D,雙曲線￡—1的漸近線方程為丁=土魚(yú)x,D不正確.

36

故選：A.

模塊三課后作業(yè)

1.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）“m>1”是“方程次-上=1表示雙曲線”的（）

mm-1

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【解題思路】利用方程為表示雙曲線的條件，求得m的取值范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷條

件和結(jié)論的關(guān)系.

【解答過(guò)程】因?yàn)榉匠潭?2±=1表示雙曲線，

mm-1

所以m（m-1）>0,

解得m<?；騧>1,

因?yàn)橛蒻>1可推出ntV0或m>1,,但是由m<0或zn>1,不能推出?n>1,

所以1”是“方程至-。1=1表示雙曲線”的充分不必要條件，

故選：A.

2.（2023春?安徽滁州?高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）若雙曲線E:?-（=1的左、右焦點(diǎn)分別為a,尸2,點(diǎn)P在雙

曲線E上，且|PF/=5,則|PF2l=（）

A.11B.8C.1或11D.2或8

【解題思路】根據(jù)雙曲線定義即可解決問(wèn)題.

【解答過(guò)程】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程得：a=3,6=4,c=5,

由雙曲線定義得-|P&I|=2a=6

即IIPF2ITP6II=6,

解得IPF2I=-1（舍去）或口心1=11，

故選:A.

3.（2023春?四川德陽(yáng)?高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)M（-右,0）,N（底0）,動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM|-|PN|=4.則

動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）

A.y—y2=l（x>V2）B.y-y2=1（x<—V2）

C.Y-y2=>2）D.y-y2=1（%<-2）

【解題思路】根據(jù)題意得到|PM|-|PN|=4<|MN|=2V5,結(jié)合雙曲線的定義，即可求解.

【解答過(guò)程】由點(diǎn)M（-通,0）,/V（V5,0）,可得|MN|=2有，

又由|PM|-|PN|=4,可得|PM|-|PN|=4<|MN|=2相,

根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)P的軌跡表示以M,N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，

且2a=4,2c=2近，可得a=2,c=V5.則從=c2—a2=1,

v2

所以點(diǎn)P的軌跡方程為亍―y2=i（x>2）.

故選：C.

4.（2023春?四川達(dá)州?高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線接一卷=1（。>0涉>0）的離心率為2,則它的漸近線方

程為（）

A.y=+V3