§6.1點(diǎn)估計(jì)的幾種方法§6.2點(diǎn)估計(jì)的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)§6.3最大似然估計(jì)§6.4最小方差無偏估計(jì)§6.6區(qū)間估計(jì)

第六章參數(shù)估計(jì)一般常用

表示參數(shù)，參數(shù)

所有可能取值組成的集合稱為參數(shù)空間，常用

表示。參數(shù)估計(jì)問題就是根據(jù)樣本對上述各種未知參數(shù)作出估計(jì)。參數(shù)估計(jì)的形式有兩種：點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)。設(shè)x1,x2,…,xn是來自總體X的一個(gè)樣本，我們用一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的取值作為

的估計(jì)值，稱為

的點(diǎn)估計(jì)（量），簡稱估計(jì)。在這里如何構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量并沒有明確的規(guī)定，只要它滿足一定的合理性即可。這就涉及到兩個(gè)問題：

其一

是如何給出估計(jì)，即估計(jì)的方法問題；

其二

是如何對不同的估計(jì)進(jìn)行評價(jià)，即估計(jì)的好壞判斷標(biāo)準(zhǔn)。6.1.1

替換原理和矩法估計(jì)

一、矩法估計(jì)

替換原理是指用樣本矩及其函數(shù)去替換相應(yīng)的總體矩及其函數(shù)，譬如：用樣本均值估計(jì)總體均值E(X)，即；用樣本方差估計(jì)總體方差Var(X)，即用樣本的p分位數(shù)估計(jì)總體的p分位數(shù)，用樣本中位數(shù)估計(jì)總體中位數(shù)。

6.1點(diǎn)估計(jì)的幾種方法例6.1.1

對某型號的20輛汽車記錄其每加侖汽油的行駛里程(km)，觀測數(shù)據(jù)如下：29.827.628.327.930.128.729.928.027.928.728.427.229.528.528.030.029.129.829.626.9經(jīng)計(jì)算有

由此給出總體均值、方差和中位數(shù)的估計(jì)分別為:28.695,0.9185和28.6。矩法估計(jì)的實(shí)質(zhì)是用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)去替換總體分布，其理論基礎(chǔ)是格里紋科定理。

設(shè)總體具有已知的概率函數(shù)P(x,

1,

…,

k)，

x1,x2

,

…,xn是樣本，假定總體的k階原點(diǎn)矩

k存在，若

1,

…,

k能夠表示成

1,

…,

k的函數(shù)

j=

j(

1,

…,

k)，則可給出諸

j的矩法估計(jì)為

其中例6.1.2設(shè)總體服從指數(shù)分布，由于EX=1/

，即

=1/EX，故

的矩法估計(jì)為

另外，由于Var(X)=1/

2，其反函數(shù)為因此，從替換原理來看，

的矩法估計(jì)也可取為

s為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。這說明矩估計(jì)可能是不唯一的，這是矩法估計(jì)的一個(gè)缺點(diǎn)，此時(shí)通常應(yīng)該盡量采用低階矩給出未知參數(shù)的估計(jì)。例6.1.3

x1,x2,

…,xn是來自(a,b)上的均勻分布U(a,b)的樣本，a與b均是未知參數(shù)，這里k=2，由于不難推出由此即可得到a,b的矩估計(jì)：6.2.1

相合性Consistency

我們知道，點(diǎn)估計(jì)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，因此它是一個(gè)隨機(jī)變量，在樣本量一定的條件下，我們不可能要求它完全等同于參數(shù)的真實(shí)取值。但如果我們有足夠的觀測值，根據(jù)格里紋科定理，隨著樣本量的不斷增大，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)逼近真實(shí)分布函數(shù)，因此完全可以要求估計(jì)量隨著樣本量的不斷增大而逼近參數(shù)真值，這就是相合性，嚴(yán)格定義如下。6.2點(diǎn)估計(jì)的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)定義6.2.1設(shè)

∈Θ為未知參數(shù)，是

的一個(gè)估計(jì)量，n是樣本容量，若對任何一個(gè)ε>0，有(6.2.1)則稱為

參數(shù)的相合估計(jì)。相合性被認(rèn)為是對估計(jì)的一個(gè)最基本要求,如果一個(gè)估計(jì)量,在樣本量不斷增大時(shí)，它都不能把被估參數(shù)估計(jì)到任意指定的精度,那么這個(gè)估計(jì)是很值得懷疑的。通常,不滿足相合性要求的估計(jì)一般不予考慮。證明估計(jì)的相合性一般可應(yīng)用大數(shù)定律或直接由定義來證.若把依賴于樣本量n的估計(jì)量看作一個(gè)隨機(jī)變量序列,相合性就是依概率收斂于

,所以證明估計(jì)的相合性可應(yīng)用依概率收斂的性質(zhì)及各種大數(shù)定律。在判斷估計(jì)的相合性時(shí)下述兩個(gè)定理是很有用的。定理6.2.1設(shè)是

的一個(gè)估計(jì)量，若

則是

的相合估計(jì)，定理6.2.2

若分別是

1,

…,

k的相合估計(jì)，

=g(

1

,

…,

k)是

1,

…,

k的連續(xù)函數(shù)，則是

的相合估計(jì)。例6.2.2設(shè)x1,x2

,

…,xn是來自均勻總體U(0,

)的樣本，證明

的極大似然估計(jì)是相合估計(jì)。證明：在例6.1.7中我們已經(jīng)給出

的極大似然估計(jì)是x(n)。由次序統(tǒng)計(jì)量的分布，我們知道x(n)的分布密度函數(shù)為p(y)=nyn-1/

n,y<

,

故有由定理6.2.1可知，x(n)是

的相合估計(jì)。由大數(shù)定律及定理6.2.2，我們可以看到：矩估計(jì)一般都具有相合性。比如：

樣本均值是總體均值的相合估計(jì)；樣本標(biāo)準(zhǔn)差是總體標(biāo)準(zhǔn)差的相合估計(jì)；樣本變異系數(shù)是總體變異系數(shù)的相合估計(jì)。定義6.2.2

設(shè)是

的一個(gè)估計(jì)，

的參數(shù)空間為Θ，若對任意的

∈Θ，有

則稱是

的無偏估計(jì)，否則稱為有偏估計(jì)。

無偏性Unbiasedness例6.2.4對任一總體而言，樣本均值是總體均值的無偏估計(jì)。當(dāng)總體k階矩存在時(shí)，樣本k階原點(diǎn)矩ak是總體k階原點(diǎn)矩

k的無偏估計(jì)。但對中心矩則不一樣，譬如，由于，樣本方差s*2不是總體方差

2的無偏估計(jì)，對此，有如下兩點(diǎn)說明：

(1)當(dāng)樣本量趨于無窮時(shí)，有E(s*2)

2，我們稱s*2為

2的漸近無偏估計(jì)。

(2)若對s*2作如下修正：，則s2是總體方差的無偏估計(jì)。例6.2.5設(shè)總體為N(

,

2)，x1,x2,

…,xn是樣本，則s2是

2的無偏估計(jì)，且可求出這說明s不是

的無偏估計(jì).利用修正技術(shù)可得cns是

的無偏估計(jì)，其中是修偏系數(shù).可以證明，當(dāng)n

時(shí),有cn1.這說明s是

的漸近無偏估計(jì)。定義6.2.3設(shè)是

的兩個(gè)無偏估計(jì)，如果對任意的

∈Θ,有且至少有一個(gè)

∈Θ使得上述不等號嚴(yán)格成立，則稱比有效。

有效性Effectiveness例6.2.6設(shè)x1,x2

,

…,xn是取自某總體的樣本，記總體均值為

，總體方差為

2，則,,都是

的無偏估計(jì)，但

顯然，只要n>1，比有效。這表明用全部數(shù)據(jù)的平均估計(jì)總體均值要比只使用部分?jǐn)?shù)據(jù)更有效。例6.2.7均勻總體U(0,

)中

的極大似然估計(jì)是x(n)，由于，所以x(n)不是

的無偏估計(jì)，而是

的漸近無偏估計(jì)。經(jīng)過修偏后可以得到

的一個(gè)無偏估計(jì)：。且另一方面，由矩法我們可以得到

的另一個(gè)無偏估計(jì)，且由此，當(dāng)n>1時(shí)，比有效。極大似然原理的直觀想法是：一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)如有若干個(gè)可能的結(jié)果A，B，C，…。若在一次試驗(yàn)中，結(jié)果A出現(xiàn)，則一般認(rèn)為試驗(yàn)條件對A出現(xiàn)有利，也即A出現(xiàn)的概率很大。思想（idea）在已經(jīng)得到試驗(yàn)結(jié)果的情況下，我們應(yīng)該尋找使這個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性最大的那個(gè)作為真

的估計(jì)6.3極（最）大似然估計(jì)MaximumlikelihoodEstimation最大似然估計(jì)提供了一種給定觀察數(shù)據(jù)來評估模型參數(shù)的方法，即：“模型已定，參數(shù)未知”。簡單而言，假設(shè)我們要統(tǒng)計(jì)全國人口的身高，首先假設(shè)這個(gè)身高服從服從正態(tài)分布，但是該分布的均值與方差未知。我們沒有人力與物力去統(tǒng)計(jì)全國每個(gè)人的身高，但是可以通過采樣，獲取部分人的身高，然后通過最大似然估計(jì)來獲取上述假設(shè)中的正態(tài)分布的均值與方差。定義6.3.1設(shè)總體的概率函數(shù)為P(x;

)，

是參數(shù)

可能取值的參數(shù)空間，x1,x2

,…,xn是樣本，將樣本的聯(lián)合概率函數(shù)看成

的函數(shù)，用L(

;x1,x2,

…,xn)表示，簡記為L(

)，

稱為樣本的似然函數(shù)。

如果某統(tǒng)計(jì)量滿足

則稱是

的極(最)大似然估計(jì)，簡記為MLE（MaximumLikelihoodEstimate）。

求極大似然函數(shù)估計(jì)值的一般步驟：（1）寫出似然函數(shù)；（2）對似然函數(shù)取對數(shù)，并整理；（3）求導(dǎo)數(shù)；（4）解似然方程；（5）判斷最大值人們通常更習(xí)慣于由對數(shù)似然函數(shù)lnL(

)出發(fā)尋找

的極大似然估計(jì)。當(dāng)L(

)是可微函數(shù)時(shí)，求導(dǎo)是求極大似然估計(jì)最常用的方法，對lnL(

)求導(dǎo)更加簡單些。例6.3.6設(shè)一個(gè)試驗(yàn)有三種可能結(jié)果，其發(fā)生概率分別為現(xiàn)做了n次試驗(yàn)，觀測到三種結(jié)果發(fā)生的次數(shù)分別為n1,n2,n3(n1+n2+n3=n)，則似然函數(shù)為其對數(shù)似然函數(shù)為將之關(guān)于

求導(dǎo)，并令其為0得到似然方程解之，得由于所以是極大值點(diǎn)。例6.3.7對正態(tài)總體N(,2)，θ=(,2)是二維參數(shù)，設(shè)有樣本x1,x2

,

…,xn，則似然函數(shù)及其對數(shù)分別為

將lnL(,2)分別關(guān)于兩個(gè)分量求偏導(dǎo)并令其為0,即得到似然方程組

(6.3.9)

(6.3.10)

解此方程組，由(6.3.9)可得

的極大似然估計(jì)為將之代入(6.3.10)，得出

2的極大似然估計(jì)利用二階導(dǎo)函數(shù)矩陣的非正定性可以說明上述估計(jì)使得似然函數(shù)取極大值。

雖然求導(dǎo)函數(shù)是求極大似然估計(jì)最常用的方法，但并不是在所有場合求導(dǎo)都是有效的。

極大似然估計(jì)有一個(gè)簡單而有用的性質(zhì)：如果是

的極大似然估計(jì)，則對任一函數(shù)g(

)，其極大似然估計(jì)為。該性質(zhì)稱為極大似然估計(jì)的不變性，從而使一些復(fù)雜結(jié)構(gòu)的參數(shù)的極大似然估計(jì)的獲得變得容易了。

例6.3.9

設(shè)x1,x2,

…,xn是來自正態(tài)總體N(

,

2)的樣本，則

和

2的極大似然估計(jì)為，于是由不變性可得如下參數(shù)的極大似然估計(jì)，它們是:

標(biāo)準(zhǔn)差

的MLE是；概率的MLE是；總體0.90分位數(shù)x0.90=+

u0.90

的MLE是，其中u0.90為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的0.90分位數(shù)。總結(jié)：極大似然估計(jì)，只是一種概率論在統(tǒng)計(jì)學(xué)的應(yīng)用，它是參數(shù)估計(jì)的方法之一。已知某個(gè)隨機(jī)樣本滿足某種概率分布，但是其中具體的參數(shù)不清楚，參數(shù)估計(jì)就是通過若干次試驗(yàn)，觀察其結(jié)果，利用結(jié)果推出參數(shù)的大概值。極大似然估計(jì)是建立在這樣的思想上：已知某個(gè)參數(shù)能使這個(gè)樣本出現(xiàn)的概率最大，我們當(dāng)然不會再去選擇其他小概率的樣本，所以干脆就把這個(gè)參數(shù)作為估計(jì)的真實(shí)值。確定最大似然估計(jì)量的問題歸結(jié)為微分學(xué)求最大值問題當(dāng)然極大似然估計(jì)只是一種粗略的數(shù)學(xué)期望，要知道它的誤差大小還要做區(qū)間估計(jì)。統(tǒng)計(jì)學(xué)上，最小方差無偏估計(jì)（minimum-varianceunbiasedestimator，簡寫為MVUE）是一個(gè)對於所有無偏估計(jì)中，擁有最小方差的無偏估計(jì)。若無論真實(shí)參數(shù)值θ是多少，最小方差無偏估計(jì)（MVUE）都比其他不偏估計(jì)有更小或至多相等的方差，則稱此估計(jì)為一致最小方差無偏估計(jì)（uniformlyminimum-varianceunbiasedestimator，簡寫為UMVUE） -fromWikipedia6.4最小方差無偏估計(jì)minimum-varianceunbiasedestimatorAmongunbiasedestimators,oneimportantgoalistofindanestimatorthathasassmallavarianceaspossible,Amoreprecisegoalwouldbetofindanunbiasedestimatorthathasuniformminimumvariance.--USArizonaU

定義6.4.1對參數(shù)估計(jì)問題，設(shè)是

的一個(gè)無偏估計(jì)，如果對另外任意一個(gè)

的無偏估計(jì)，在參數(shù)空間Θ上都有

則稱是

的一致最小方差無偏估計(jì)，簡記為

UMVUE。如果UMVUE存在，則它一定是充分統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)。6.4.2一致最小方差無偏估計(jì)

定理6.4.1

設(shè)x=(x1,x2

,

…,xn)是來自某總體的一個(gè)樣本，是

的一個(gè)無偏估計(jì)，如果對任意一個(gè)滿足E(

(x))=0的

(x)，都有則是

的UMVUE。關(guān)于UMVUE，有如下一個(gè)判斷準(zhǔn)則。例6.4.2設(shè)x1,x2

,…,xn是來自指數(shù)分布Exp(1/

)的樣本，則T=x1+…+xn是

的充分統(tǒng)計(jì)量，而是

的無偏估計(jì)。設(shè)

=

(x1,x2,

…,xn)是0的任一無偏估計(jì)，則

兩端對

求導(dǎo)得這說明，從而，由定理6.4.1，它是

的UMVUE。6.4.1

Rao-Blackwell定理

定理6.4.2

設(shè)總體概率函數(shù)是

p(x,

)，x1,x2

,

…,xn

是其樣本，T=T(x1,x2

,

…,xn)是

的充分統(tǒng)計(jì)量，則對

的任一無偏估計(jì)，令，則也是

的無偏估計(jì)，且

定理6.4.2說明：如果無偏估計(jì)不是充分統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)，則將之對充分統(tǒng)計(jì)量求條件期望可以得到一個(gè)新的無偏估計(jì)，該估計(jì)的方差比原來的估計(jì)的方差要小，從而降低了無偏估計(jì)的方差。換言之，考慮

的估計(jì)問題只需要在基于充分統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)中進(jìn)行即可，該說法對所有的統(tǒng)計(jì)推斷問題都是正確的，這便是所謂的充分性原則。

例6.4.1

設(shè)x1,x2

,

…,xn是來自b(1,p)的樣本，則是p的充分統(tǒng)計(jì)量。為估計(jì)

=p2，可令由于，所以是

的無偏估計(jì)。這個(gè)只使用了兩個(gè)觀測值的估計(jì)并不好.下面我們用Rao-Blackwell定理對之加以改進(jìn)：求關(guān)于充分統(tǒng)計(jì)量的條件期望，得定義6.4.3設(shè)總體的概率函數(shù)P(x,

),

∈Θ滿足下列條件：(1)參數(shù)空間Θ是直線上的一個(gè)開區(qū)間；(2)支撐S={x:P(x,

)>0}與

無關(guān)；(3)導(dǎo)數(shù)對一切

∈Θ都存在；(4)對P(x,

)，積分與微分運(yùn)算可交換次序；(5)期望存在；則稱為總體分布的費(fèi)希爾(Fisher)信息量。

6.4.4Cramér–Rao不等式Inequality費(fèi)希爾信息量是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中一個(gè)基本概念，很多的統(tǒng)計(jì)結(jié)果都與費(fèi)希爾信息量有關(guān)。如極大似然估計(jì)的漸近方差，無偏估計(jì)的方差的下界等都與費(fèi)希爾信息量I(

)有關(guān)。I(

)的種種性質(zhì)顯示，“I(

)越大”可被解釋為總體分布中包含未知參數(shù)

的信息越多。例6.4.3設(shè)總體為泊松分布P(

)分布，則于是例6.4.4設(shè)總體為指數(shù)分布，其密度函數(shù)為

可以驗(yàn)證定義6.3.2的條件滿足，且于是定理6.4.4（Cramér–Rao不等式）

設(shè)定義6.4.2的條件滿足，x1,x2

,

…,xn是來自該總體的樣本，T=T(x1,x2

,

…,xn)是g(

)的任一個(gè)無偏估計(jì)，存在，且對

∈Θ

中一切

，微分可在積分號下進(jìn)行，則有上式稱為克拉美-羅（C-R）不等式;

[g’(θ)]2/(nI(

))稱為g(

)的無偏估計(jì)的方差的C-R下界，簡稱g(

)的C-R下界。特別，對

的無偏估計(jì),有;

如果等號成立，則稱T=T(x1,

…,xn)是

g(

)的有效估計(jì)，有效估計(jì)一定是UMVUE。例6.4.5設(shè)總體分布列為p(x,

)=

x(1-

)1-x,x=0,1，它滿足定義6.3.2的所有條件，可以算得該分布的費(fèi)希爾信息量為，若x1,x2,

…,xn是該總體的樣本，則

的C-R下界為(nI(

))-1=

(1-

)/n。因?yàn)槭?/p>

的無偏估計(jì)，且其方差等于

(1-

)/n，達(dá)到C-R下界，所以是

的有效估計(jì)，它也是

的UMVUE。例6.4.6設(shè)總體為指數(shù)分布Exp(1/

)，它滿足定義6.4.2的所有條件，例6.4.4中已經(jīng)算出該分布的費(fèi)希爾信息量為I(

)=

-2，若x1,x2,

…,xn是樣本，則

的C-R下界為(nI(

))-1=

2/n。而是

的無偏估計(jì)，且其方差等于

2/n，達(dá)到了C-R下界，所以，是

的有效估計(jì)，它也是

的UMVUE。能達(dá)到C-R下界的無偏估計(jì)不多:例6.4.7設(shè)總體為N(0,

2)，滿足定義6.4.2的條件，且費(fèi)希爾信息量為，令,則

的C-R下界為,而

的UMVUE為其方差大于C-R下界。這表明所有

的無偏估計(jì)的方差都大于其C-R下界。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，一個(gè)概率樣本的置信區(qū)間（Confidenceinterval）是對這個(gè)樣本的某個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。置信區(qū)間展現(xiàn)的是這個(gè)參數(shù)的真實(shí)值有一定概率落在測量結(jié)果的周圍的程度。置信區(qū)間給出被測量參數(shù)的測量值的可信程度，即前面所要求的「一定概率」。這個(gè)概率被稱為置信水平。舉例來說，如果在一次大選中某人的支持率為55%，而置信水平0.95上的置信區(qū)間是（50%,60%），那麼他的真實(shí)支持率有百分之九十五的機(jī)率落在百分之五十和百分之六十之間，因此他的真實(shí)支持率不足一半的可能性小於百分之2.5（假設(shè)分佈是對稱的）-wikipedia上海師范大學(xué)ppt(p1-3)6.6區(qū)間估計(jì)IntervalEstimation6.6.1區(qū)間估計(jì)的概念

定義6.6.1

設(shè)

是總體的一個(gè)參數(shù)，其參數(shù)空間為Θ，x1,x2

,

…,xn是來自該總體的樣本，對給定的一個(gè)

(0<

<1)，若有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量和，若對任意的

∈Θ，有（6.6.1）則稱隨機(jī)區(qū)間[]為

的置信水平為1-

的置信區(qū)間，或簡稱[]是

的1-

置信區(qū)間.

和分別稱為

的（雙側(cè)）置信下限和置信上限.

這里置信水平1-

的含義是指在大量使用該置信區(qū)間時(shí)，至少有100(1-

)%的區(qū)間含有

。

置信區(qū)間-Confidenceinterval例6.6.1

設(shè)x1,x2

,

…,x10是來自N(,

2)的樣本，則

的置信水平為1-

的置信區(qū)間為其中，,s分別為樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。這個(gè)置信區(qū)間的由來將在6.6.3節(jié)中說明，這里用它來說明置信區(qū)間的含義。若取

=0.10，則t0..95(9)=1.8331，上式化為現(xiàn)假定

=15,

2=4，則我們可以用隨機(jī)模擬方法由N(15,4)產(chǎn)生一個(gè)容量為10的樣本，如下即是這樣一個(gè)樣本：14.8513.0113.5014.9316.9713.8017.953313.3716.2912.38由該樣本可以算得從而得到

的一個(gè)區(qū)間估計(jì)為該區(qū)間包含

的真值--15?，F(xiàn)重復(fù)這樣的方法100次，可以得到100個(gè)樣本，也就得到100個(gè)區(qū)間，我們將這100個(gè)區(qū)間畫在圖6.6.1上。由圖6.6.1可以看出，這100個(gè)區(qū)間中有91個(gè)包含參數(shù)真值15，另外9個(gè)不包含參數(shù)真值。圖6.6.1

的置信水平為0.90的置信區(qū)間取

=0.50，我們也可以給出100個(gè)這樣的區(qū)間，見圖6.6.2。可以看出，這100個(gè)區(qū)間中有50個(gè)包含參數(shù)真值15，另外50個(gè)不包含參數(shù)真值。圖6.6.2

的置信水平為0.50的置信區(qū)間定義6.6.2沿用定義6.6.1的記號，如對給定的

(0<

<1)，對任意的

∈Θ，有

（6.6.2）

稱為

的1-

同等置信區(qū)間。

同等置信區(qū)間是把給定的置信水平1-

用足了。常在總體為連續(xù)分布場合下可以實(shí)現(xiàn)。定義

若對給定的

(0<

<1)和任意的

∈Θ，有，則稱為

的置信水平為1-

的（單側(cè)）置信下限。假如等號對一切

∈Θ成立，則稱為

的1-

同等置信下限。若對給定的

(0<

<1)和任意的

∈Θ，有,則稱為

的置信水平為1-

的（單側(cè)）置信上限。若等號對一切

∈Θ成立，則稱為1-

同等置信上限。單側(cè)置信限是置信區(qū)間的特殊情形。因此，尋求置信區(qū)間的方法可以用來尋找單側(cè)置信限。構(gòu)造未知參數(shù)

的置信區(qū)間的最常用的方法是樞軸量法，其步驟可以概括為如下三步：1.設(shè)法構(gòu)造一個(gè)樣本和

的函數(shù)G=G(x1,x2

,

…,xn,

)使得G的分布不依賴于未知參數(shù)。一般稱具有這種性質(zhì)的G為樞軸量。2.適當(dāng)?shù)剡x擇兩個(gè)常數(shù)c,d，使對給定的

(0<

<1)有P(c≤G≤d)=1-

3.假如能將c≤G

≤d進(jìn)行不等式等價(jià)變形化為則[，]是

的1-

同等置信區(qū)間。6.6.2樞軸量法關(guān)于置信區(qū)間的構(gòu)造有兩點(diǎn)說明：

滿足置信度要求的c與d通常不唯一。若有可能，應(yīng)選平均長度達(dá)到最短的c與d，這在G的分布為對稱分布場合通常容易實(shí)現(xiàn)。實(shí)際中，選平均長度盡可能短的c與d，這往往很難實(shí)現(xiàn)，因此，常這樣選擇c與d，使得兩個(gè)尾部概率各為

/2，即P(G<c)=P(G>d)=

/2，這樣的置信區(qū)間稱為等尾置信區(qū)間。這是在G的分布為偏態(tài)分布場合常采用的方法。例6.5.2

設(shè)x1,x2

,

…,xn是來自均勻總體U(0,

)的一個(gè)樣本，試對給定的

(0<

<1)給出

的1-

同等置信區(qū)間。解:（1）取x(n)

(p316)作為樞軸量，其密度函數(shù)為p(y;

)=nyn

，0<y<1；

（2）x(n)/

的分布函數(shù)為F(y)=yn,0<y<1，故P(c≤x(n)/

≤d)=dn-cn，因此我們可以適當(dāng)?shù)剡x擇c和d滿足dn-cn=1-

（3）利用不等式變形可容易地給出

的1-

同等置信區(qū)間為[x(n)/d，x(n)/c]，該區(qū)間的平均長度為。不難看出，在0≤c<d≤1及dn-cn=1-

的條件下，當(dāng)d=1,c=

時(shí)，取得最小值，這說明是

的置信水平1-

為最短置信區(qū)間。一、

已知時(shí)

的置信區(qū)間在這種情況下，樞軸量可選為，c和d應(yīng)滿足P(c≤G≤d)=

(d)-

(c)=1-

，經(jīng)過不等式變形可得該區(qū)間長度為。當(dāng)d=-c=u1-

/2時(shí)，d-c達(dá)到最小，由此給出了的同等置信區(qū)間為[，]。（6.5.8）這是一個(gè)以為中心，半徑為的對稱區(qū)間，常將之表示為。【Za/2是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上側(cè)面積為a/2時(shí)的z值】6.5.3單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間例6.5.3

用天平秤某物體的重量9次，得平均值為（克），已知天平秤量結(jié)果為正態(tài)分布，其標(biāo)準(zhǔn)差為0.1克。試求該物體重量的0.95置信區(qū)間。解：此處1-

=0.95，

=0.05，查表知u0.975=1.96，于是該物體重量

的0.95置信區(qū)間為，從而該物體重量的0.95置信區(qū)間為

[15.3347，15.4653]。例6.5.4

設(shè)總體為正態(tài)分布N(

,1)，為得到

的置信水平為0.95的置信區(qū)間長度不超過1.2，樣本容量應(yīng)為多大？解：由題設(shè)條件知

的0.95置信區(qū)間為

其區(qū)間長度為，它僅依賴于樣本容量n而與樣本具體取值無關(guān)?，F(xiàn)要求，立即有n(2/1.2)2u21-

/2.現(xiàn)1-

=0.95，故u1-

/2=1.96，從而n(5/3)21.962=

10.6711。即樣本容量至少為11時(shí)才能使得

的置信水平為0.95的置信區(qū)間長度不超過1.2。二、

2未知時(shí)

的置信區(qū)間

這時(shí)可用t統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)?，因此t可以用來作為樞軸量。完全類似于上一小節(jié)，可得到

的1-

置信區(qū)間為

此處是

2的無偏估計(jì)。例6.5.5假設(shè)輪胎的壽命服從正態(tài)分布。為估計(jì)某種輪胎的平均壽命，現(xiàn)隨機(jī)地抽12只輪胎試用，測得它們的壽命（單位：萬公里）如下：4.684.854.324.854.615.025.204.604.584.724.384.70此處正態(tài)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，可使用t分布求均值的置信區(qū)間。經(jīng)計(jì)算有=4.7092，s2=0.0615。取

=0.05，查表知t0.975(11)=2.2010，于是平均壽命的0.95置信區(qū)間為（單位：萬公里）在實(shí)際問題中，由于輪胎的壽命越長越好，因此可以只求平均壽命的置信下限，也即構(gòu)造單邊的置信下限。由于由不等式變形可知

的1-

置信下限為

將t0.95(11)=1.7959代入計(jì)算可得平均壽命

的0.95置信下限為4.5806（萬公里）。取樞軸量，由于

2分布是偏態(tài)分布，尋找平均長度最短區(qū)間很難實(shí)現(xiàn)，一般都用等尾置信區(qū)間：采用

2的兩個(gè)分位數(shù)

2

/2(n-1)和

21-

/2(n-1)，在

2分布兩側(cè)各截面積為

/2的部分，使得由此給出

2的1-

置信區(qū)間為例6.5.6某廠生產(chǎn)的零件重量服從正態(tài)分布N(,

2)，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的零件中抽取9個(gè)，測得其重量為（單位：克）45.345.445.145.345.545.745.445.345.6試求總體標(biāo)準(zhǔn)差

的0.95置信區(qū)間。解：由數(shù)據(jù)可算得s2=0.0325，(n-1)s2=8

0325=0.26.查表知

20.025(8)=2.1797，

20.975(8)=17.5345，代入可得

2的0.95置信區(qū)間為

從而

的0.95置信區(qū)間為:[0.1218，0.3454]。在樣本容量充分大時(shí)，可以用漸近分布來構(gòu)造近似的置信區(qū)間。一個(gè)典型的例子是關(guān)于比例p的置信區(qū)間。6.5.4大樣本置信區(qū)間

設(shè)x1,…,xn是來自b(1,p)的樣本,有對給定

，，通過變形，可得到置信區(qū)間為

其中記

=u21-

/2，實(shí)用中通常略去

/n項(xiàng)，于是可將置信區(qū)間近似為例6.5.7對某事件A作120次觀察，A發(fā)生36次。試給出事件A發(fā)生概率p的0.95置信區(qū)間。解：此處n=120，=36/120=0.3而u0.975=1.96，于是p的0.95（雙側(cè)）置信下限和上限分別為故所求的置信區(qū)間為[0.218，0.382]例6.5.8

某傳媒公司欲調(diào)查電視臺某綜藝節(jié)目收視率p，為使得p的1-

置信區(qū)間長度不超過d0，問應(yīng)調(diào)查多少用戶？解：這是關(guān)于二點(diǎn)分布比例p的置信區(qū)間問題，由（6.5.11）知，1-

的置信區(qū)間長度為這是一個(gè)隨機(jī)變量，但由于，所以對任意的觀測值有。這也就是說p的1-

的置信區(qū)間長度不會超過。現(xiàn)要求p的的置信區(qū)間長度不超過d0，只需要即可，從而

（6.5.12）這是一類常見的尋求樣本量的問題。比如，若取d0=0.04，

=0.05，則。這表明，要使綜藝節(jié)目收