培優(yōu)課1求數(shù)列的通項(xiàng)A級(jí)必備學(xué)問(wèn)基礎(chǔ)練1.［探究點(diǎn)二］將一些數(shù)排成倒三角形如圖所示,其中第一行各數(shù)依次為1,2,3,,,從其次行起,每一個(gè)數(shù)都等于他“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和,最終一行只有一個(gè)數(shù),則等于()A. B. C. D.2.［探究點(diǎn)三］（多選題）設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,則下列結(jié)論正確的是()A.數(shù)列為等比數(shù)列 B.數(shù)列的通項(xiàng)公式為C.數(shù)列為等比數(shù)列 D.數(shù)列為等比數(shù)列3.［探究點(diǎn)一］已知在數(shù)列中,,,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.4.［探究點(diǎn)二］已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的首項(xiàng)為1,且前項(xiàng)和滿意.試求數(shù)列的通項(xiàng)公式.5.［探究點(diǎn)四］已知是數(shù)列的前項(xiàng)和,且.（1）求的值;（2）若,試求數(shù)列的通項(xiàng)公式.B級(jí)關(guān)鍵實(shí)力提升練6.在數(shù)列中,,且滿意,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為()A. B. C. D.7.已知數(shù)列滿意,.若,則數(shù)列的通項(xiàng)公式等于()A. B. C. D.8.已知在數(shù)列中,,且,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.9.在數(shù)列中,,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.10.設(shè)關(guān)于的二次方程有兩根和,且滿意.（1）試用表示；（2）求證:是等比數(shù)列；（3）當(dāng)時(shí),求數(shù)列的通項(xiàng)公式.C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練11.已知有窮數(shù)列的各項(xiàng)均不相等,將的項(xiàng)由大到小重新排列后相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成新數(shù)列,稱為的“序數(shù)列”,例如：數(shù)列,,滿意,則其“序數(shù)列”為1,3,2.（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為,寫出的“序數(shù)列”;（2）若項(xiàng)數(shù)不少于5項(xiàng)的有窮數(shù)列,的通項(xiàng)公式分別為,,且的“序數(shù)列”與的“序數(shù)列”相同,求實(shí)數(shù)的取值范圍;（3）已知有窮數(shù)列的“序數(shù)列”為,求證：“為等差數(shù)列”的充要條件是“為單調(diào)數(shù)列”.培優(yōu)課1求數(shù)列的通項(xiàng)A級(jí)必備學(xué)問(wèn)基礎(chǔ)練1.B[解析]記第行的第一個(gè)數(shù)為,則,,,,,,,即是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.,.又每行比上一行的數(shù)字少1個(gè),最終一行為第2021行,.2.AD[解析]因?yàn)?所以.又,所以數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,故正確;所以,則.當(dāng)時(shí),,但,故錯(cuò)誤;由,,可得,,,即,故錯(cuò)誤;由,所以,故正確.3.[解析]由,可得,所以,,,,,.上述各式左右兩邊分別相乘得,故.又滿意上式,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為4.解,又,.又,數(shù)列{}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,,故.當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),符合上式..5.（1）解因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),,解得.（2）證明因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),,,即,所以,又,所以,且,所以數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,則.B級(jí)關(guān)鍵實(shí)力提升練6.C[解析]因?yàn)?所以,又,所以數(shù)列是以為首項(xiàng),公差為2的等差數(shù)列,所以,所以.7.C[解析]由,得,所以,又,所以數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以,所以.8.[解析],,即數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列.又,,.9.解由,得當(dāng)時(shí),,兩式作差得,得,即數(shù)列從其次項(xiàng)起是公比為3的等比數(shù)列,且,,于是,故當(dāng)時(shí),.于是.10.（1）解依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,得代入題設(shè)條件,得.所以.（2）證明因?yàn)?所以.若,則方程,可化為,即.此時(shí),所以,即.所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.（3）解當(dāng)時(shí),,所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.所以,所以,,即數(shù)列的通項(xiàng)公式為,C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練11.（1）解由,可得,,,,于是,故的“序數(shù)列”為4,2,1,3.（2）解由于,則,當(dāng)時(shí),,即,,,,,于是,由于,且的“序數(shù)列”與的“序數(shù)列”相同,則,由于,,,，則,得,當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)的學(xué)問(wèn)可知成立,即實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）證明必要性：若有窮數(shù)列的“序數(shù)列”為等差數(shù)列,①若為1,2,3,,,,,則有窮數(shù)列為遞減數(shù)列;②若為,,,,3,2,1,則有窮數(shù)列為遞增數(shù)列,所以由①②知,有窮數(shù)列為單調(diào)數(shù)列.充分性：由于有窮數(shù)列為單調(diào)數(shù)列,則①若有窮數(shù)列為遞減數(shù)列，為1,2,3,,,,,是等