2/2專題15導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 10【考點(diǎn)1】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 10【考點(diǎn)2】導(dǎo)數(shù)的幾何意義 14【考點(diǎn)3】導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用 20【分層檢測(cè)】 25【基礎(chǔ)篇】 25【能力篇】 31【培優(yōu)篇】 35考試要求：1.通過(guò)實(shí)例分析，了解平均變化率、瞬時(shí)變化率，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.2.通過(guò)函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.了解利用導(dǎo)數(shù)定義求基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).5.能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)(形如f(ax＋b))的導(dǎo)數(shù).知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.導(dǎo)數(shù)的概念(1)如果當(dāng)Δx→0時(shí)，平均變化率eq\f(Δy,Δx)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的值，即eq\f(Δy,Δx)有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱瞬時(shí)變化率)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0)).(2)當(dāng)x＝x0時(shí)，f′(x0)是一個(gè)唯一確定的數(shù)，當(dāng)x變化時(shí)，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù))，記為f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y(tǒng)′＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos__xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin__xf(x)＝ax(a＞0且a≠1)f′(x)＝axln__af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a＞0且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝cf′(x).5.復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)(1)一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過(guò)中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)與u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x)).(2)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.1.f′(x0)代表函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值；(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù)，則(f(x0))′＝0.2.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,f（x）)))′＝－eq\f(f′（x）,[f（x）]2)(f(x)≠0).3.曲線的切線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，而直線與二次曲線相切只有一個(gè)公共點(diǎn).4.函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢(shì)，其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國(guó)·高考真題）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．13．（2021·全國(guó)·高考真題）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．二、多選題4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D．直線是曲線的切線三、填空題5．（2022·全國(guó)·高考真題）曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為，．6．（2022·全國(guó)·高考真題）若曲線有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是．7．（2021·全國(guó)·高考真題）曲線在點(diǎn)處的切線方程為．8．（2021·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則取值范圍是．參考答案：1．C【分析】先由切點(diǎn)設(shè)切線方程，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，代入所設(shè)方程即可求解.【詳解】設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)?，所以，所以所以所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故選：C2．B【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)取最大值，滿足題意，即有．故選：B.3．D【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，令，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.【點(diǎn)睛】解法一是嚴(yán)格的證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識(shí)范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)特性進(jìn)行估計(jì)，解法二是根據(jù)基于對(duì)指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，直觀解決問(wèn)題的有效方法.4．AC【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱中心，將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.5．【分析】分和兩種情況，當(dāng)時(shí)設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時(shí)同理可得；【詳解】[方法一]：化為分段函數(shù)，分段求分和兩種情況，當(dāng)時(shí)設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時(shí)同理可得；解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；[方法二]：根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，圖象為：所以當(dāng)時(shí)的切線，只需找到關(guān)于y軸的對(duì)稱直線即可.[方法三]：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；.6．【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過(guò)原點(diǎn)，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：7．【分析】先驗(yàn)證點(diǎn)在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可．【詳解】由題，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在曲線上．求導(dǎo)得：，所以．故切線方程為．故答案為：．8．【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合直線方程及兩點(diǎn)間距離公式可得，，化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】由題意，，則，所以點(diǎn)和點(diǎn)，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，消去一個(gè)變量后，運(yùn)算即可得解.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算一、單選題1．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．42．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最小距離為（

）A．1 B． C． D．二、多選題3．（2024·湖南·二模）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記.若滿足的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，則（

）A．是偶函數(shù) B．C． D．4．（2024·甘肅隴南·一模）已知函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn),且，則（

）A． B．的解集為C．是曲線的切線 D．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心三、填空題5．（23-24高三上·上海普陀·期末）函數(shù)，如果為奇函數(shù)，則的取值范圍為6．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則.參考答案：1．D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合已知方程求出的關(guān)系，再根據(jù)不等式中“1”的整體代換即可得出答案.【詳解】對(duì)求導(dǎo)得，由得，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：D．2．D【分析】求出平行于的直線與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得結(jié)論．【詳解】設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線時(shí)，，則，而，解得，于是，平行于的直線與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以點(diǎn)到直線的最小距離即點(diǎn)到直線的距離．故選：D3．ABD【分析】推導(dǎo)出函數(shù)的奇偶性，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)出為常值函數(shù)，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義可判斷A選項(xiàng)；推導(dǎo)出，令代值計(jì)算可判斷B選項(xiàng)；由、推導(dǎo)可判斷C選項(xiàng)；求出的值，結(jié)合函數(shù)的周期性可判斷D選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，即，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)?，令，可得，即，?duì)等式兩邊求導(dǎo)得，即，故，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)?，則，令，則，所以，為常值函數(shù)，設(shè)，其中為常數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋裕?，可得，，由，令，可得，則，所以，因?yàn)?，則，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查抽象函數(shù)的對(duì)稱性與周期性，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，滿足，則函數(shù)的周期為；（2）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，滿足，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱；（3）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，滿足，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．4．AC【分析】利用三次函數(shù)的零點(diǎn)式，結(jié)合條件可求得，從而可判斷AB，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷C，舉反例排除D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)橛?個(gè)不同的零點(diǎn),所以不妨設(shè)，易知展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故，又，所以，解得，所以，解得，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，令，即，利用?shù)軸穿根法，解得或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，易得，當(dāng)切線斜率為時(shí)，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)切線為，即，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故D錯(cuò)誤.故選：AC.5．【分析】求出，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義判斷可得出結(jié)果.【詳解】由可得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，則，又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，對(duì)任意的，，對(duì)任意的實(shí)數(shù)都滿足條件，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.6．【分析】左右兩側(cè)同時(shí)求導(dǎo)得到，求出原函數(shù)后再求即可.【詳解】由題意知，令，得，解得，所以，所以.故答案為：反思提升：1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo).2.抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.【考點(diǎn)2】導(dǎo)數(shù)的幾何意義一、單選題1．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）（

）A．72 B．12 C．8 D．42．（2024·江蘇南通·二模）已知曲線與曲線在第一象限交于點(diǎn)，在處兩條曲線的切線傾斜角分別為，，則（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為為拋物線的焦點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．若過(guò)原點(diǎn)可作函數(shù)的三條切線，則（

）A．恰有2個(gè)異號(hào)極值點(diǎn) B．若，則C．恰有2個(gè)異號(hào)零點(diǎn) D．若，則三、填空題5．（2024·山東泰安·三模）已知函數(shù)若曲線與直線恰有2個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是.6．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)．過(guò)A作C的切線m及平行于x軸的直線，過(guò)F作平行于m的直線交于M，過(guò)B作C的切線n及平行于x軸的直線，過(guò)F作平行于n的直線交于N．若，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為．參考答案：1．B【分析】令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念，可求解.【詳解】令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念，，，所以.故選：B．2．A【分析】聯(lián)立曲線曲線與曲線方程求出切點(diǎn)，再由圓的切線與圓心和切點(diǎn)連線垂直，結(jié)合兩垂直直線斜率乘積等于可求出在處圓的切線斜率，從而得出；由導(dǎo)數(shù)知識(shí)里在某點(diǎn)處的切線方程求法可得出，進(jìn)而根據(jù)兩角和與差的正切公式進(jìn)行檢驗(yàn)判斷即可.【詳解】因?yàn)榍€，即，所以曲線是以為圓心，為半徑的圓，且，即曲線過(guò)原點(diǎn)O，聯(lián)立，得，所以在處圓的切線斜率為，所以，由，所以曲線在A處的切線斜率為，又，所以，所以，從而，即，故A正確，C錯(cuò)誤，注意到，，且，故B、D錯(cuò)誤，故選：A.3．BC【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出兩切線斜率，即可求出兩切線方程，然后根據(jù)韋達(dá)定理判斷AB，根據(jù)焦半徑公式化簡(jiǎn)求解判斷CD.【詳解】設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)，拋物線的方程為，即，則,設(shè)，則切線PA，PB的斜率分別為，切線方程分別為，將的坐標(biāo)及代入，并整理得，可得為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得，故A錯(cuò)誤，B正確；，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：BC4．BD【分析】利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可判斷AC，設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，代入原點(diǎn)方程有三解，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值，由數(shù)形結(jié)合求解即可判斷BD.【詳解】因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，故AC錯(cuò)誤；設(shè)過(guò)原點(diǎn)的函數(shù)的切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率，所以切線方程為，即，因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)得，即方程有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，令，則，當(dāng)時(shí)，或時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以極大值，極小值為，如圖，所以與相交有三個(gè)交點(diǎn)需滿足，故B正確；同理，當(dāng)時(shí)，可知極大值，極小值為，如圖，

可得時(shí)，與相交有三個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選：BD5．【分析】由導(dǎo)函數(shù)等求出函數(shù)單調(diào)性和切線方程，畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，則；當(dāng)時(shí)，，，其在上單調(diào)遞減，且.作出的圖像，如圖，易知的取值范圍是.故答案為：6．3【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線的斜率，并利用直線的交點(diǎn)求點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)方程，求點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè),，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限，

當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)處切線的斜率為，所以過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線為，當(dāng)時(shí)，得，即當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)處切線的斜率為，所以過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線為，當(dāng)時(shí)，得，即，所以，所以，（*）設(shè)直線，聯(lián)立，得，得，，代入（*），得，化簡(jiǎn)為，解得：，或（舍）所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.故答案為：3【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，以及利用韋達(dá)定理得到.反思提升：1.求曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線，則表明P點(diǎn)是切點(diǎn)，只需求出函數(shù)在P處的導(dǎo)數(shù)，然后利用點(diǎn)斜式寫出切線方程，若在該點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)不存在，則切線垂直于x軸，切線方程為x＝x0.2.求曲線的切線方程要分清“在點(diǎn)處”與“過(guò)點(diǎn)處”的切線方程的不同.過(guò)點(diǎn)處的切點(diǎn)坐標(biāo)不知道，要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)斜率相等建立方程(組)求解，求出切點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)3】導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用一、單選題1．（2024·遼寧大連·一模）斜率為的直線與曲線和圓都相切，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或2．（2024·河北邢臺(tái)·二模）已知函數(shù)的圖像在，兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程根的一種解法.具體步驟如下：設(shè)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取作為的初始近似值，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的1次近似值；過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱為的2次近似值.一般地，過(guò)點(diǎn)（）作曲線的切線，記與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的次近似值.對(duì)于方程，記方程的根為，取初始近似值為，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．切線：C． D．4．（2024·江西·二模）設(shè)函數(shù)（）在處的切線與直線平行，則（

）A．B．函數(shù)存在極大值，不存在極小值C．當(dāng)時(shí)，D．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)三、填空題5．（2024·河南·二模）若兩個(gè)函數(shù)和存在過(guò)點(diǎn)的公切線，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則.6．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若曲線在處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)；若不等式有且僅有一個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.參考答案：1．A【分析】設(shè)直線的方程為，先根據(jù)直線和圓相切算出，在根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義算.【詳解】依題意得，設(shè)直線的方程為，由直線和圓相切可得，，解得，當(dāng)時(shí)，和相切，設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，，又切點(diǎn)同時(shí)在直線和曲線上，即，解得，即和相切，此時(shí)將直線和曲線同時(shí)向右平移兩個(gè)單位，和仍會(huì)保持相切狀態(tài)，即時(shí)，，綜上所述，或.故選：A2．B【分析】函數(shù)在兩點(diǎn)處的切線平行，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)相等，得到的關(guān)系，在結(jié)合不等式求的取值范圍即可.【詳解】因?yàn)椋?所以，.由因?yàn)樵?，兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線相互平行，所以，又，所以，故CD錯(cuò)誤；因?yàn)榍?，所以，故A不成立；當(dāng)時(shí)，.故B成立.故選：B3．ABD【分析】由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理和，得到，可判定A正確；求得，設(shè)切點(diǎn)，求得切線方程，令，求得，可判定D正確；當(dāng)時(shí)，求得，得出切線方程，可判定B正確；計(jì)算求得的值，可得判定C錯(cuò)誤.【詳解】由，可得，即，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，可得，所以A正確；又由，設(shè)切點(diǎn)，則切線的斜率為，所以切線方程為，令，可得，所以D正確；當(dāng)時(shí)，可得，則，所以的方程為，即，所以B正確；由，可得，，此時(shí)，所以C錯(cuò)誤；故選：ABD4．AC【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判定A，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值可判定B，構(gòu)造差函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值即可判定C，作出的圖象結(jié)合條件可判定D.【詳解】對(duì)于A，，故，解得，故A正確；對(duì)于B．因?yàn)?，，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，不存在極值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令（），則，由，故，故在上單調(diào)遞減，所以.即當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又，在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，如圖所示，所以函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AC．5．9【分析】分別求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求出斜率，由求出切點(diǎn)坐標(biāo)得，利用斜率相等得，代入原式即得【詳解】，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，切線方程為，將代入得，即.，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，切線方程為，將代入得，即，又因?yàn)?，可得，即，，所?故答案為：96．1【分析】根據(jù)在處的導(dǎo)數(shù)與已知直線的斜率之積等于-1可得；將不等式轉(zhuǎn)化為，令，，考察的最值點(diǎn)，結(jié)合題意可解.【詳解】依題意，，所以.因?yàn)榍€在處的切線與直線垂直，所以，解得；若不等式，即，可化為.令，，且函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，.又，設(shè)點(diǎn)，，若滿足不等式有且僅有一個(gè)正整數(shù)解，則必有.又因?yàn)椋?，即?shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：1，反思提升：1.處理與切線有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，通常利用曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程(組)并解出參數(shù)：(1)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；(2)切點(diǎn)在切線上，故滿足切線方程；(3)切點(diǎn)在曲線上，故滿足曲線方程.2.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)問(wèn)題時(shí)，注意利用數(shù)形結(jié)合，化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（23-24高三下·江西撫州·階段練習(xí)）如圖1，現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為高為的圓錐容器，以的速度向該容器內(nèi)注入溶液，隨著時(shí)間（單位：）的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當(dāng)時(shí)，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為（

）A． B． C． D．2．（2024·黑龍江·二模）函數(shù)在處的切線方程為（

）A． B．C． D．3．（2024·山東·二模）已知為定義在上的奇函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，若，則（

）A．1 B． C．2 D．20234．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A．0 B． C．1 D．2二、多選題5．（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．6．（22-23高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）為了評(píng)估某治療新冠肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關(guān)部門對(duì)該藥物在人體血管中的藥物濃度進(jìn)行測(cè)量．已知該藥物在人體血管中藥物濃度隨時(shí)間的變化而變化，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖所示．則下列結(jié)論正確的是（

）

A．在時(shí)刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同B．在時(shí)刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率相同C．在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同D．在和兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同7．（2023·廣東·二模）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，則（

）A．的斜率的最小值為 B．的斜率的最小值為C．的方程為 D．的方程為三、填空題8．（2024·上海靜安·二模）已知物體的位移（單位：m）與時(shí)間（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系，則在時(shí)間段內(nèi)，物體的瞬時(shí)速度為的時(shí)刻（單位：s）．9．（2024·廣西賀州·一模）已知直線與曲線的某條切線平行，則該切線方程為10．（2024·山西呂梁·二模）若曲線在點(diǎn)處的切線過(guò)原點(diǎn)，則.四、解答題11．（2024·江蘇南京·二模）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若在區(qū)間上的最小值為，求a的值．12．（2024·四川成都·一模）設(shè)函數(shù)，(1)求、的值；(2)求在上的最值．參考答案：1．C【分析】先根據(jù)圓錐的體積公式列出等式得出；再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算得出；最后令即可求解.【詳解】設(shè)注入溶液的時(shí)間為（單位：）時(shí)，溶液的高為，則，得.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，即圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為.故選：C2．D【分析】當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再由點(diǎn)斜式求出切線方程.【詳解】因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，則，所以，所以切點(diǎn)為，切線的斜率為，所以切線方程為，即.故選：D3．C【分析】根據(jù)進(jìn)行奇偶性和周期性的推導(dǎo)，得到是周期為4的偶函數(shù)，從而算出的值.【詳解】因?yàn)?，所以兩邊求?dǎo)，得，即①因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，則，所以兩邊求導(dǎo)，得，所以是定義在上的偶函數(shù)，所以，結(jié)合①式可得，，所以，兩式相減得，，所以是周期為4的偶函數(shù)，所以.由①式，令，得，所以.故選：C.4．A【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)的定義域關(guān)于軸對(duì)稱，求得，進(jìn)而通過(guò)導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】易知的定義域?yàn)椋驗(yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，顯然是奇函數(shù)，滿足題意，所以，故，故選:A．5．ABD【分析】根據(jù)已知函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)，依次代入驗(yàn)證各選項(xiàng)的正確性即可.【詳解】由已知得，故A正確：，故B正確；，而，所以不成立，故C錯(cuò)誤；，故D正確：故選：ABD6．AC【分析】利用圖象可判斷A選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷B選項(xiàng)；利用平均變化率的概念可判斷C選項(xiàng)；利用平均變化率的概念可判斷D選項(xiàng).【詳解】選項(xiàng)A，在時(shí)刻，兩圖象相交，說(shuō)明甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，即選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，在時(shí)刻，兩圖象的切線斜率不相等，即兩人的不相等，說(shuō)明甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率不相同，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，由平均變化率公式知，甲、乙兩人在內(nèi)，血管中藥物濃度的平均變化率均為，即選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，在和兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率分別為和，顯然不相同，即選項(xiàng)D不正確．故選：AC.7．BCD【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，表示出在點(diǎn)的切線斜率即可.【詳解】因?yàn)椋缘男甭实淖钚≈禐?因?yàn)?，所以的方程?因?yàn)?，所以的方程為，?故選：BCD.8．【分析】可求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)即可求解．【詳解】由題可得：，可得，又，可得．故答案為：．9．【分析】先求出切點(diǎn)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，所以切點(diǎn)為，故切線方程為，即.故答案為：.10．【分析】求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線方程，即可代入求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以在點(diǎn)處的切線方程為.又切線過(guò)原點(diǎn)，則，所以.故答案為：11．(1)(2)【分析】（1）由，分別求出及，即可寫出切線方程；（2）計(jì)算出，令，解得或，分類討論的范圍，得出的單調(diào)性，由在區(qū)間上的最小值為，列出方程求解即可．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，所以，所以曲線在處的切線方程為：，即．（2），令，解得或，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以，則，符合題意；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，則，不合題意；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以，不合題意；綜上，．12．(1)，(2)，【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令求出，再令求出；（2）由（1）可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值，再由區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，取，則有，即；所以，取，則有，即．故，．（2）由（1）知，，則，所以、與，的關(guān)系如下表：0120單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減故，．【能力篇】一、單選題1．（2024·河北邢臺(tái)·一模）如果方程能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)．隱函數(shù)的求導(dǎo)方法如下：在方程中，把y看成x的函數(shù)，則方程可看成關(guān)于x的恒等式，在等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將方程的兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，則（是中間變量，需要用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則），得．那么曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2024·湖北·二模）已知拋物線，過(guò)y軸正半軸上任意一點(diǎn)的直線交拋物線于，，拋物線在A，B處的切線、交于點(diǎn)Q，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的最小值為B．如果P為定點(diǎn)，那么Q為定點(diǎn)C．，的斜率之積為定值D．如果P為定點(diǎn)．那么的面積的最小值為三、填空題3．（2024·遼寧·二模）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)且的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則，切線方程為.四、解答題4．（2024·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性．參考答案：1．B【分析】利用給定隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法確定斜率，再求出切線方程即可.【詳解】由給定定義得，對(duì)左右兩側(cè)同時(shí)求導(dǎo)，可得，將點(diǎn)代入，得，解得，故切線斜率為，得到切線方程為，化簡(jiǎn)得方程為，故B正確.故選：B2．AD【分析】設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可判斷A，利用導(dǎo)數(shù)可得切線方程進(jìn)而可判斷C，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)關(guān)系可判斷B，求出面積表達(dá)式可判斷D.【詳解】顯然直線AB的斜率存在，設(shè)，與聯(lián)立得，由韋達(dá)定理得，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以A正確；因?yàn)閷?duì)于拋物線，，所以，即，同理，即，所以，的斜率之積為，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以有，同理有，這表明，在直線上，即直線AB的方程為，又因?yàn)锳B經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，所以，解得，又因?yàn)镼是直線，的交點(diǎn)，所以，所以，所以，當(dāng)P為定點(diǎn)時(shí)，Q在直線上，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)?，到直線AB的距離，所以的面積，顯然如果m為定值．那么當(dāng)時(shí)，S有最小值，且最小值為，所以D正確．故選：AD3．【分析】設(shè)公共點(diǎn)為，即可得到，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，從而求出，即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出，再求出切線方程.【詳解】設(shè)公共點(diǎn)為，則，即，所以，所以，由，，所以，，又在公共點(diǎn)處有相同的切線，所以，即，所以，則，，則，則，所以切線