人教A版2019高一數(shù)學(xué)（必修一）第一章集合與常用邏輯用語1.1

集合的概念目錄/CONTENTS新知探究情景導(dǎo)入學(xué)習(xí)目標(biāo)課堂小結(jié)分層練習(xí)錯因分析學(xué)習(xí)目標(biāo)難點：1.對新概念、新符號的理解與區(qū)分；2.集合表示方法的恰當(dāng)選擇。1.了解集合的含義及元素的特征；2.理解元素與集合的屬于關(guān)系；3.掌握常用的數(shù)集及其記法；4.初步掌握用列舉法和描述法表示集合的基本方式和一般規(guī)則，能夠根據(jù)實際問題選擇合適的方法來表示集合.初中我們接觸了那些集合？數(shù)集：自然數(shù)的集合，有理數(shù)的集合...點集：圓（同一平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長的點的集合）線段的垂直平分線（到一條線段的兩個端點的距離相等的點的集合）情景導(dǎo)入例1.看下面的例子：（1）1～10之間的所有偶數(shù)；（2）立德中學(xué)今年入學(xué)的全體高一學(xué)生；（3）所有的正方形；（4）到直線l的距離等于定長d的所有點；（5）方程的所有實數(shù)根；（6）地球上的四大洋。上述每個問題都由若干個對象組成，每組對象的全體分別形成一個集合，集合中的每個對象都稱為元素.組成集合的元素所屬對象是否有限制？集合中元素個數(shù)的多少是否有限制？集合的概念新知探究一．元素與集合的相關(guān)概念1.元素：一般地，把

統(tǒng)稱為元素，常用小寫的拉丁字母

表示．2.集合：一些

組成的總體，簡稱集，常用大寫拉丁字母

表示．3.集合相等：指構(gòu)成兩個集合的元素是

的．研究對象a，b，c…元素一樣A，B，C…概念歸納二．元素與集合的關(guān)系1.屬于：如果a是集合A的元素，就說

，記作

.2.不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說

，記作

.a屬于集合Aa∈Aa不屬于Aa?A思考：設(shè)集合A表示“1～20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)”，那么3，4，5，6這四個元素哪些在集合A中？哪些不在集合A中？“我們班高個子的同學(xué)”、“年輕人”、“接近數(shù)0的數(shù)”能否分別組成一個集合，為什么？確定性：集合的元素必須是確定的，不能確定的對象不能構(gòu)成集合.給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素也就確定了.集合中元素的特性新知探究問題1：由1、2、2、3、5組成的集合的元素個數(shù)是多少？互異性：集合的元素一定是互異的.相同的幾個對象歸于同一個集合時只能算一個元素.問題2

無序性：集合中的元素沒有先后順序.問題31.確定性2.互異性3.無序性

集合元素必須是確定的。不能確定的對象不能組成集合。集合中的元素可以任意排列，與次序無關(guān)。給定一個集合，集合中的元素一定是不同的。若相同的對象歸入同一個集合時，只能算集合中的一個元素。二、集合元素的特性概念歸納

答案：D.

典例剖析

典例剖析

典例剖析你從哪個角度分析一些研究對象能否構(gòu)成集合？1.判斷下列說法是否正確．（1）所有好看的花可以構(gòu)成一個集合．（2）由1，3，0，5，|－3|這些數(shù)組成的集合中有5個元素．（3）高一（1）班的全體同學(xué)組成一個集合，調(diào)整座位后這個集合發(fā)生了改變．錯誤錯誤錯誤從集合中的元素是否確定來分析．練一練2.考查下列每組對象，能構(gòu)成一個集合的是（

）B①某校高一年級成績優(yōu)秀的學(xué)生；②直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點；③不小于3的自然數(shù)；④我國新型冠狀病毒疫情期間支援武漢的白衣天使．A．③④B．②③④C．②③D．②④練一練三.常見的數(shù)集及表示符號數(shù)集非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集_______有理數(shù)集_______符號___________Z___R整數(shù)集實數(shù)集NN*或N＋QN*或N＋NZQRB典例剖析變式1：下列關(guān)系中，正確的有

（

）C①

∈R；②

；③|－3|∈N；④|

|∈Q；⑤0＝{0}

A．1個B．2個C．3個D．4個典例剖析變式2：【多選題】下列所給關(guān)系正確的是()AB典例剖析××√?

∈

?

?

∈

練一練

集合的表示方法新知探究【注意】（1）大括號表示的是“所有”“整體”的含義，如實數(shù)集可以寫成｛實數(shù)｝，但不能寫成｛實數(shù)集｝｛全體實數(shù)｝｛R｝（2）列舉法表示集合時要注意：

①元素之間用逗號隔開；

②一個集合中的元素書寫一般不考慮順序四、集合的表示方法——列舉法哪些集合適合用列舉法表示呢？（1）含有有限個元素且元素個數(shù)較少的集合（2）元素較多，但是元素的排列呈現(xiàn)一定的規(guī)律，在不至于發(fā)生誤解的情況下，也可以列出幾個元素作代表，其他元素用省略號表示，如自然數(shù)集N可以表示為｛0，1，2，…，n…｝

集合的分類【有限集】含有有限個元素的集合【無限集】含有無限個元素的集合概念歸納

【解】（1）｛0，1，2，3，4，5，6，7｝（2）｛-1，0｝注意：由于集合具有無序性，所以第(1)題的答案可以有多種呈現(xiàn)方式，如｛0，1，2，4，5，6，7，3｝等典例剖析

以下集合用列舉法表示方便嗎？如果不方便，你覺得可以怎樣表示？（1）滿足x>3的所有數(shù)組成的集合A；

（2）所有有理數(shù)組成的集合Q。想一想

四、集合的表示方法——描述法用描述法表示集合需要注意什么問題？

（2）豎線后面寫清元素滿足的條件，一般是方程或者不等式.

概念歸納

例6.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）方程x(x-1)=0的所有解組成的集合A；（2）平面直角坐標(biāo)系下，第一象限內(nèi)所有點組成的集合B.判斷A與B是有限集還是無限集，由此思考該選用哪種表示方法。典例剖析

練一練列舉法和描述法的轉(zhuǎn)化列舉法表示的集合描述法表示的集合明確集合中元素的共同特征找準(zhǔn)代表元素，滿足什么條件描述法表示的集合列舉法表示的集合分析集合中的元素及其特征逐一列出集合中的元素歸納總結(jié)A.a∈A,且b?A B.a?A,且b∈AC.a∈A,且b∈A D.a?A,且b?A練一練B2.(多選題)下列說法正確的是(

)A.花壇上色彩艷麗的花朵構(gòu)成一個集合B.正方體的全體構(gòu)成一個集合C.未來世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個集合D.不大于3的所有自然數(shù)構(gòu)成一個集合BD解析

花壇上色彩艷麗的花朵是一個不確定的概念,不能構(gòu)成一個集合,故A錯誤;正方體的全體能構(gòu)成一個集合,故B正確;未來世界的高科技產(chǎn)品是一個不確定的概念,因此不能構(gòu)成一個集合,故C錯誤;不大于3的所有自然數(shù)能構(gòu)成一個集合,故D正確.練一練3.若以正實數(shù)x,y,z,w四個元素構(gòu)成集合A,以A中四個元素為邊長構(gòu)成的四邊形可能是(

)A.梯形 B.平行四邊形C.菱形 D.矩形解析

由于集合中的元素具有互異性,所以正實數(shù)x,y,z,w互不相等.因為平行四邊形、菱形、矩形都有相等的邊,而梯形四邊不一定相等,故以集合A中四個元素為邊長構(gòu)成的四邊形可能是梯形,故選A.A練一練4.用符號∈或?填空:(其中A表示由所有質(zhì)數(shù)組成的集合)?

∈

∈

?

∈

∈

練一練5.若方程x2-ax+2=0的解集為M,且1∈M,則a=

,集合M中的另一個元素是

.

解析

由于1∈M,因此1是方程x2-ax+2=0的一個根,將1代入可得a=3,當(dāng)a=3時,方程x2-3x+2=0的根是x=1或x=2,因此集合的另一個元素是2.3

2練一練6.已知集合M中含有3個元素0,x2,-x,求實數(shù)x滿足的條件.練一練課本例題課本例題課本例題1.判斷下列元素的全體是否組成集合，并說明理由．(1)與定點A，B等距離的點；(2)高中學(xué)生中的游泳能手．解：(1)能組成集合.(2)不能組成集合，因為不滿足集合元素的確定性.課本練習(xí)2.用符號“?”或“?”填空：??????課本練習(xí)3.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎炯希?1)方程x2-9=0的所有實數(shù)根組成的集合；(2)一次函數(shù)y=x+3與y=-2x+6圖象的交點組成的集合；(3)不等式4x-5<3的解集.解：（1）{-3,3}；（2）{(1,4)}；（3）{x|x<2}.課本練習(xí)習(xí)題1.1復(fù)習(xí)鞏固1.用符號“∈”或“?”填空：（1）設(shè)A為所有亞洲國家組成的集合，則中國

A，美國

A，印度

A，英國

A；（2）若A={x|x2=x}，則-1

A；（3）若B={x|x2+x-6=0}，則3

B；（4）若C={x∈N|1≤x≤10}，則8

C，9.1

C.∈?∈????∈2.用列舉法表示下列集合：（1）大于1且小于6的整數(shù)；（2）A={x|（x-1）（x+2）=0}；（3）B={x∈Z|-3<2x-1<3}.復(fù)習(xí)鞏固解：（1）大于1且小于6的整數(shù)有4個：2，3，4，5，∴集合為{2，3，4，5}.（2）（x-1）（x+2）=0的解為x=1或x=-2，∴集合A={1，-2}.（3）由-3<2x-1<3，得-1<x<2.∴x∈Z，∴x=0或x=1.∴集合B={0，1}.復(fù)習(xí)鞏固綜合運用3.把下列集合用另一種方法表示出來：（1）{2，4，6，8，10}；（2）由1，2，3這三個數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字（沒有重復(fù)）所組成的一切自然數(shù)；（3）{x∈N|3<x<7}；（4）中國古代四大發(fā)明.解:（1）{x|x=2n，n∈Z且1≤n≤5}.

（2）{1，2，3，12，21，13，31，23，32，123，132，213，231，312，321}.

（3）{4，5，6.}

（4）{造紙術(shù)，印刷術(shù)，指南針，火藥}.綜合運用

綜合運用

綜合運用拓廣探索5.集合論是德國數(shù)學(xué)家康托爾于19世紀(jì)末創(chuàng)立的.當(dāng)時，康托爾在解決涉及無限量研究的數(shù)學(xué)問題時，越過“數(shù)集”限制，提出了一般性的“集合”概念，關(guān)于集合論，希爾伯特贊譽其為“數(shù)學(xué)思想的驚人的產(chǎn)物，在純粹理性的范疇中人類活動的最美的表現(xiàn)之一”，羅素描述其為“可能是這個時代所能夸耀的最偉大的工作”，請你查閱相關(guān)資料，用簡短的報告闡述你對這些評價的認(rèn)識.

解：集合論是德國著名數(shù)學(xué)家康托爾于19世紀(jì)末創(chuàng)立的.人們把康托爾于1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日.集合論是數(shù)學(xué)的一個基本分支，在數(shù)學(xué)中占據(jù)著一個極其獨特的地位，其基本概念已滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域.如果把現(xiàn)代數(shù)學(xué)比作一座無比輝煌的大廈，那么可以說集合論正是構(gòu)成這座大廈的基石，由此可見它在數(shù)學(xué)中的重要性.其創(chuàng)始人康托爾也以其集合論的成就被譽為對二十世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展影響最深的學(xué)者之一.拓廣探索因忽視集合中元素的互異性致錯【例1】關(guān)于x的方程x2-(a+1)x+a=0的解集中有幾個元素 錯解:因為x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)=0, 所以方程的解為1,a, 則方程的解集中有兩個元素1,a.以上解答過程中都有哪些錯誤出錯的原因是什么你如何改正你如何防范提示:以上錯解中沒有注意到字母a的取值帶有不確定性.事實上,當(dāng)a=1時,不滿足集合中元素的互異性.錯因分析正解:因為x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)=0,所以方程的解為1,a.若a=1,則方程的解集中只有一個元素1;若a≠1,則方程的解集中有兩個元素1,a.點撥：1.先由解方程得到x的可能值,再根據(jù)元素的互異性進(jìn)行檢驗.2.在解方程求得x的值后,不要因忘記驗證集合中元素的互異性,而造成失分.3.注意培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).錯因分析【變式訓(xùn)練】

若一個集合中的三個元素a,b,c是△ABC的三邊長,則此三角形一定不是(

)A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等腰三角形解析:△ABC的三邊長兩兩不等,故選D.答案:DDB分層練習(xí)-基礎(chǔ)分層練習(xí)-基礎(chǔ)AC分層練習(xí)-基礎(chǔ)ABC分層練習(xí)-基礎(chǔ)分層練習(xí)-基礎(chǔ)BB分層練習(xí)-基礎(chǔ)分層練習(xí)-鞏固A分層練習(xí)-基礎(chǔ){1,2,3}2分層練習(xí)-基礎(chǔ){0,3,6,9,…}分層練習(xí)-基礎(chǔ)1分層練習(xí)-基礎(chǔ)分層練習(xí)-基礎(chǔ)分層練習(xí)-鞏固D分層練習(xí)-鞏固2分層練習(xí)-鞏固16．已知集合A中含有3個元素1，x，x2－2x，且3∈A，求x的值．以下是小明同學(xué)給出的解題過程：解：∵3∈A，∴x＝3或x2－2x＝3，解得x＝－1或3.∴x的值為－1或3.分析以上解題過程，你能找出錯誤之處嗎？請寫出正確的解題過程．提示：沒有對求得的值進(jìn)行互異性檢驗從而產(chǎn)生增根．分層練習(xí)-鞏固正解如下：∵A中含有