北師大版高中數(shù)學(xué)選修1專題3空間向量的綜合應(yīng)用

1.若d=[x,2y-lf-是平面a的一個(gè)法向量，且b=(-1,2,1)，下=(33,—2)都與平面a

平行，則向量d等于()

A.27531\B.9531\

52，26'4752，26，47

9_27_工、_9__1__1\

C.D./，~

52，52'4/522647

2.已知點(diǎn)4(2,—1,2)在平面a內(nèi)，元=(3,1,2)是平面a的一個(gè)法向量，則下列點(diǎn)P中，在平面

a內(nèi)的是()

A.P(l,-U)B.P(1,3,|)

C.P。，-3,|)D,P(-l,3,-|)

3.已知平面a,B的法向量分別為a=(-l,y,4),b=(x,-l,-2)且aL0,則x+y的值為

()

A.-8B.-4C.4D.8

4.已知n為平面a的一個(gè)法向量，l為一條直線，則"，1元"是"，〃a"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.下列命題是真命題的有()

A.直線I的方向向量為a=(1,-1,2),直線m的方向向量為族=(2,1,-：),則/與m垂

直

B.直線I的方向向量為a=(0,1,-1).平面a的法向量為元=(1,-1,-1),則11a

C.平面a,0的法向量分別為4=(0,1,3),石=(1,0,2),則a//p

D.平面a經(jīng)過(guò)三點(diǎn)4(1,0,-1),6(0,1,0),6(-1,2,0),向量n=是平面a的法向量，

則u+t=1

6.如圖，正方體ABCD-A,B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,E,F分別是棱BC,DD1上的點(diǎn)，如果B】E1

平面4BF,則CE與DF之和為

7.如圖所示，在直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,AE=EB,F為

CE上的點(diǎn)，且BF_L平面4CE.

(1)求證：4E1平面BCE：

(2)求證：平面BDFJ.平面48CD.

8.如圖，在正四面體ABCD中，。是ABCD的中心，E,F分別是AB,AC上的動(dòng)點(diǎn)，且

BE=ABA,CF=(1-X)CA.

⑴若0E〃平面ACD,求實(shí)數(shù)A的值.

(2)若A=|,求平面DEF和平面BCD所成角的余弦值.

9.如圖所示，在直三棱柱ABC-A^Cr中，ACLBC,且BC=3,AC=4,CQ=3,點(diǎn)P在棱

力必上，且三棱錐A-PBC的體積為4,則直線BG與平面PBC所成角的正弦值等于

「x/10

A.當(dāng)B.在c-VD.W

4

10.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體ABCD-A.B^Dr，AB=1,BC=2,AA.=3,則點(diǎn)B

到直線4C的距離為()

D.1

11.在正四棱錐P-ABCD中，M,N分別為PA,PB的中點(diǎn)，且側(cè)面與底面所成二面角的正切值

為V2,則異面直線DM與AN所成角的余弦值為()

1

A.BcD

3-3-I-A

12.在直三棱柱ABC-A'B'C中，所有的棱長(zhǎng)都相等，M為B'C的中點(diǎn)，N為A'B'的中點(diǎn)，則

AM與BN所成角的余弦值為_.

13.如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上,

E,F分別為AB,BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線EM與AF所成的角為9,則cos。的最大值

為一.

14.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD_L底面4BCD,E是48上一點(diǎn),

(1)求二面角E-PC-D的大小；

(2)求點(diǎn)B到平面PEC的距離.

15.如圖所示，四棱錐P-ABCD的底而為矩形，各棱及底邊BC,DA的長(zhǎng)均為a,AB,CD的長(zhǎng)

為\[2a,過(guò)底面對(duì)角線AC作與PB平行的平面交PD于點(diǎn)E.

(1)求二面角E-AC-D的余弦值；

⑵記AC與BD的交點(diǎn)為0,求E0與底面ABCD所成角的大小;

⑶求DO與平面EAC所成角的正弦值.

答案

【答案】D

【解析】由題意知5-K=0,a-c=0,

_x+4y__=o,解得

3%+y=0,

所以a=

52'26

【知識(shí)點(diǎn)】利用空間向量判定線線的垂直、平行關(guān)系

2.【答案】B

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,PA=(1,0,1).則對(duì)?元=5#0,故排除A；

對(duì)于選項(xiàng)B,港=(1,一4弓)，則PA-n=0,故B正確；

同理可排除C,D.

故選B.

【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的應(yīng)用

3.【答案】A

【解析】因?yàn)槠矫鎍,p的法向量分別為a=(-l,y,4),6=(x,-l,-2)且a10,

所以ab=0,

即—x—y—8=0,

則x+y=-8.

【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

4.【答案】B

【解析】當(dāng)"l_L方'時(shí)，由于I可能在平面a內(nèi)，所以無(wú)法推出“2〃a”.

當(dāng)"l〃a"時(shí),"11n".

綜上所述，"I14是"l〃a"的必要不充分條件.

【知識(shí)點(diǎn)】充分條件與必要條件

5.【答案】A；D

【解析】因?yàn)?=(1,-1,2),6

所以五不=1x2—lxl+2x(~m=0,則五1B,

所以直線I與m垂直，故A正確；

u,—(0,1,—1)?n—(1,—1,—1),則d,元=0x1+1x(—1)+(—1)x(—1)—0,則5J_it,

所以I//a或，ua,故B錯(cuò)誤；

因?yàn)閚7=(0,1,3),而=(1,0,2),

所以汨與我不共線，

所以a〃￡不成立，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)?(1,0,-1),6(0,1,0),C(-1,2,0),

所以AB=(-1,1,1),BC=(-1,1,0),

因?yàn)橄蛄縩=(l,u,t)是平面a的法向量，

所以尼?亞=0,即10,解得u+f=1(故D正確.

【知識(shí)點(diǎn)】利用空間向量判定線面的垂直、平行關(guān)系、利用空間向量判定面面的垂直、平行關(guān)系

6.【答案】1

【解析】以D］為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以石工，國(guó),取的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系.

設(shè)CE=x,DF=y,則易知E(x,l,l),F(0,0,l-y),B(l,l,l),

所以庭=(x-1,0,1)，~FB=(1,1,y),

因?yàn)锽iE1平面4BF,

所以FB-O=(l.l,y)?(x-1,0,1)=0,則x+y=l.

［知識(shí)點(diǎn)】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問(wèn)題

7.【答案】

(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，

所以BC1.AB.

因?yàn)槎娼荄-AB-E為直二面角，

所以8cl平面4EB.

以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)0,OE所在直線為x軸，4B所在直線為y軸，過(guò)。點(diǎn)平行于AD

的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,

則4(0,-1,0),8(0,1,0),C(0,l,2),0(0,-1,2).

設(shè)E(XQ,0,0)(x0>0).

因?yàn)镕為CE上的點(diǎn)，正=(一％,1,2),

所以設(shè)EF=AEC=(-Ax0,A,2A),

所以F((l-A)x0,/l,2A),

所以BF=((1-A)X0,A-1,2A),AC=(0,2,2),荏=(Xo，l,O).

因?yàn)锽F1平面4CE,

所以喬?阮=2(4-1)+44=0,

且BF-AE=(<1-X)x^+A-1=0,解得與=1或—1(舍)，％=土

所以E(1,O,O),F(|,g|).

AE=(1,1,0),BE=(1,-1,0),

所以AE-BE=O,

所以AE1BE.

因?yàn)锽C1平面4EB,

所以BCLAE.

又因?yàn)锽CC\BE=B,BCu平面BCE,BEu平面BCE,

所以AE1平面BCE.

(2)由題意可知，平面ABCD的法向量為OE=(1,0,0).

設(shè)平面BDF的法向量為沅=(x,y,z),喬=(|,一|,|),

BD=(0,-2,2),

所以m-BF=|x—|y+|z=0且m-BD=—2y+2z=0,

取z=l,則y=l,x=0,

所以m=(0,1,1).

因?yàn)閙-OE=0,

所以平面BDFJ.平面力BCD.

【知識(shí)點(diǎn)】平面與平面垂直關(guān)系的判定、直線與平面垂直關(guān)系的判定、利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立

體幾何問(wèn)題

8.【答案】

(1)如圖，取CD的中點(diǎn)G,連接BG,AG.

因?yàn)?。是等邊三角形BCD的中心，

所以點(diǎn)。在BG上，

且五=2-

因?yàn)镺E〃平面ACO,平面ABGn平面AC。=AG,OEu平面ABG,

所以O(shè)E//AG,

所以BE=^BA,

即麗=|就

所以A=|.

(2)當(dāng)4=g時(shí)，點(diǎn)E,F分別是AB,AC的中點(diǎn).連接BO并延長(zhǎng)，過(guò)。作。生平行于

CD,連接AO,則易知Ox,OB,OA兩兩垂直.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。町z,

不妨設(shè)OB=2,

則5(0,-2,0),A(0,0,2?,C(V3,l,0),D(一氣1,0),f(0,-l,V2),F(y,1,V2),

所以麗=(今}°)，屁=(8，-2,或).

設(shè)平面DEF的法向量為n=(x,y,z),

則露

fV3x+3y=0,

所以

(V3x-2y+V2z=0,

令z=1,

則五=(一.,1,1)?

又平面BCD的一個(gè)法向量為沅=(0,0,1).

設(shè)平面DEF和平面BCD所成的角為6,

mA\mn\5VH

則cos0=^i=^r-

【知識(shí)點(diǎn)】利用空間向量判定線面的垂直、平行關(guān)系、二面角、利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何

問(wèn)題、直線與平面平行關(guān)系的性質(zhì)

9.【答案】C

【解析】由已知得AAy_L底面ABC,且ACLBC,

所以

^A-PBC=^P-ABC

=gXS&ABC,P4

=""3X4-

=4,

解得PA=2.

如圖所示，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB,CA,CCi所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則€(0,0,0),P(0,4,2),8(3,0,0),6(0,0,3),

貝I」CB=(3,0,0),CP=(0,4,2),西=(-3,0,3).

設(shè)平面BCP的法向量為n=(x,y,z),

則由［HE?=0,

{n-CP=0,

可得修照=0,

即航L

得x=0,

令y=l,得z=-2,

所以n=(0.1.-2)為平面BCP的一個(gè)法向量.

設(shè)直線BC、與平面PBC所成的角為3,

貝IJ

sin。=|cos值,BCj|

_R跖I

~同兩

__________H6|_________

-V12+(-2)2XV(-3)2+32

_包

一

故選C.

【知識(shí)點(diǎn)】線面角

10.【答案】B

【解析】過(guò)點(diǎn)B作BE垂直&C,垂足為E,設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（居％z）,

易知4式0,0,3),5(1,0,0),C(l,2,0),A^C=(1,2,-3),砧=(x,y,z-3),BE=(x-l,y,z).

CA^E//A^C,

因?yàn)?/p>

W-A^C=0,

{x_y_z-3

所以l=2=~f

%—1+2y—3z=0,

5

10

解得

y=T

z=*

所以BE=(-,，W),

所以點(diǎn)B到直線&C的距離|麗|=竿.

【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)面距離（線面距離、點(diǎn)線距離、面面距離）、利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問(wèn)題

11.【答案】B

【解析】如圖所示.

不妨設(shè)正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2,則由該正四棱錐側(cè)面與底面所成二面角的正切值為V2,易得其高

為V2,取底面正方形的中心為原點(diǎn)0,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4（1,一1,0）,8（1,1,0）,C（-l,l,0）,￡）（-1,-1,0）,P（0,0,V2）,

則M療），

所以麗=（右若）,福=（-昊,￥）?

設(shè)DM與視所成的角為9,則3。=用嗎

故選B.

【知識(shí)點(diǎn)】異面直線所成的角、利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問(wèn)題

12.【答案】絆

14

【解析】以A為原點(diǎn)，在平面ABC中，過(guò)4作AC的垂線為x軸，AC所在直線為y軸,

AA1所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)直三棱柱ABC-A'B'C中，所有的棱長(zhǎng)都為2,則4（0,0,0）,M（y,|,2）,B（V3,l,0）,

N（黑,2），

所以而?=停,|,2）,前=（-苧，甘,2）.

設(shè)AM與BN所成的角為6,

則8$。=瞥饕；=比現(xiàn)=叵.

\AM\\BN\V7XV514

【知識(shí)點(diǎn)】異面直線所成的角、利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問(wèn)題

13.【答案】1

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,M(0,y,2)(0<y<2),則EM=(-l,y,2),AF=(2,1,0),

...cos0=|S|=_^.

llEMIMFlI75-7^2+5

令t=2—y,則0WtW2.當(dāng)t=0時(shí)，cos6>=0；

當(dāng)0<t<2時(shí)，cos”營(yíng)庫(kù)『=今育法|>p當(dāng)泊|，即t=2時(shí)，cos。

取最大值

【知識(shí)點(diǎn)】異面直線所成的角、空間向量的應(yīng)用

14.【答案】

(1)以D為原點(diǎn)，向量DA,DC,DP的方向分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示，

所以0(0,0,0),P(0,0,V2),C(0,2,0),E仔泗,而=停卷,一甸,FC=(-y,1,0).

設(shè)平面PEC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

由n-PF=0,元?前=0,

Y%+1y-V2z=0,

得

V3,3n

-------X+-7=0,

I22：

令y=1,貝！I%=V3,z=V2,

所以n=(V3,1,V2).

取平面PCD的法向量為訪=(1,0,0).

設(shè)二面角E-PC-D的大小為仇

由圖可知0為銳角,

所以…黑V2

T9

所以8=；,

4

即二面角E-PC-D的大小為7.

4

（2）由（1）知平面PEC的一個(gè)法向量為n=（V3,1,V2）,

又B停,2,0）,

所以麗=（0,-|,0）,

所以點(diǎn)B到平面PEC的距離4=噂=4.

|n|4

【知識(shí)點(diǎn)】二面角、點(diǎn)面距離（線面距離、點(diǎn)線距離、面面距離）