專題21空間幾何體的內(nèi)切球、外接球問題一、單選題1.設(shè)正三棱錐的高為，且此棱錐的內(nèi)切球的半徑，則(

)A. B. C. D.2.在三棱柱中，底面，，且若三棱柱存在內(nèi)切球，則(

)A. B. C. D.3.九章算術(shù)中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”現(xiàn)有一“陽馬”，平面，，的面積為，則該“陽馬”外接球的表面積的最小值為(

)A. B. C. D.4.九章算術(shù)是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，該書內(nèi)容非常豐富，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就．其中卷五“商功”中記載“今有鱉臑下廣五尺，無袤；上袤四尺，無廣；高七尺”即“現(xiàn)有四面都是直角三角形的三棱錐，底寬尺而無長，上底長尺而無寬，高尺”，如圖，，，，，則此三棱錐外接球的表面積是(

)A. B. C. D.5.如圖，在幾何體中，底面是正方形，平面，，其余棱長都為，則這個幾何體的外接球的體積為(

)

A. B. C. D.6.如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且個頂點在同一個平面內(nèi)，假如是邊長為的正方形，則這個八面體的內(nèi)切球的體積為(

)A. B. C. D.7.如圖，在三棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為(

)A. B. C. D.8.已知正方體的外接球的體積為，若，，，分別為棱，，，的中點，則三棱錐內(nèi)切球的半徑為(

)A. B. C. D.9.在中，，，現(xiàn)以為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到一個旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的體積為A. B. C. D.10.如圖，在三棱錐中，，，若三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，則此三棱錐的體積為(

)

A. B. C. D.二、多選題11.如圖，有三個球，球內(nèi)切于正方體，球與正方體的全部棱都相切，球外接于正方體已知三個正方體的棱長都為，三個球、、半徑依次為、、，表面積依次為、、，體積依次為、、則(

)

A. B.

C. D.12.如圖，在三棱錐中，平面，，則下列結(jié)論正確的有．(

)A.三棱錐的表面積

B.三棱錐的體積

C.三棱錐的外接球表面積

D.三棱錐的內(nèi)切球體積三、填空題（本大題共14小題，共70.0分）13.在上、下底面均為正方形的四棱臺中，已知，，，則該四棱臺的表面積為

；該四棱臺外接球的體積為

．14.在一次數(shù)學(xué)探究活動中，某手工制作小組利用硬紙板做了一個如圖所示的幾何模型，底面為矩形，，半圓面底面經(jīng)探討發(fā)覺，當(dāng)點在半圓弧上不含，點運動時，四棱錐的外接球始終保持不變，則該外接球的體積為

．15.在四面體中，底面，，、、、均為直角三角形，若該四面體最大棱長等于，則該四面體外接球的表面積為

；該四面體體積的最大值為

．16.已知等邊的邊長為，將其圍著邊旋轉(zhuǎn)角度，使點旋轉(zhuǎn)到位置記四面體的內(nèi)切球半徑和外接球半徑依次為，，當(dāng)四面體的表面積最大時，

，

．17.在九章算術(shù)中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．如圖，若四棱錐為陽馬，側(cè)棱底面，且，，設(shè)該陽馬的外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，則

．

18.在棱長為的正方體中，是的中點，是上的動點，則三棱錐外接球表面積的最小值為

．19.如圖，在三棱臺中，，平面平面，則該三棱臺外接球的表面積為

．

20.已知棱長為的正方體，為棱的中點，動點在面包括邊界上運動，且的體積為，當(dāng)最大時，三棱錐外接球的表面積是

．21.如圖，在四面體中，和都是等腰直角三角形，，，平面平面，則四面體外接球的表面積為

．22.如圖，將一個圓柱等分切割，再重新組合成一個與圓柱等底等高的幾何體，當(dāng)越大，重新組合的幾何體就越接近于一個“長方體”，若新幾何體的表面積比遠圓柱的表面積增加了，則圓柱的側(cè)面積為

，在滿意前面條件且圓柱外接球表面積最小時，它的外接球體積為

．23.已知正四棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為，其內(nèi)切球與兩側(cè)面，分別切于點，，則的長度為

．24.如圖，二面角的平面角的大小為，，，，，則四面體的外接球表面積為

．25.在四棱錐中，，且，，，若該四棱錐存在半徑為的內(nèi)切球，則

．26.在直四棱柱中，底面是邊長為的菱形，且，，分別為上靠近點和點的兩個四等分點，線段包括端點上存在點使得，則三棱錐的外接球表面積的最大值為

答案和解析1.【答案】

解：設(shè)在底面的射影為，為的中點，連接，

設(shè)正的邊長為，則，，，

，，

，

，

，

化簡可得，

，

．

故本題選D．

2.【答案】

解：設(shè)三棱柱內(nèi)切球的半徑為，則，

利用等體積

化簡得，

故，

故答案為：．

3.【答案】

解：如圖，將四棱錐補成長方體，則該四棱錐的外接球與長方體的外接球相同．因為長方體外接球的半徑，所以該“陽馬”外接球的表面積為：

，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．故選C．

4.【答案】

解：把三棱錐補成如圖所示長方體，

則三棱錐的外接球就是長方體的外接球，

設(shè)外接球的直徑為，

則，

所以三棱錐外接球的表面積是

．

故選A．

5.【答案】

解：取的中點，連接，，

平面，平面平面，平面，

，即，

又，四邊形為菱形，，同理，

易得，

即這個幾何體的外接球的球心為，半徑為，

這個幾何體的外接球的體積為．

故選D．

6.【答案】

解：因為八面體的表面積為，八面體的體積為，設(shè)內(nèi)切球半徑為，則，得，所以內(nèi)切球的體積為，故選D．

7.【答案】

解：依據(jù)題意，作出圖形，如圖所示，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，

因為是以為斜邊的等腰直角三角形，

所以的外心在中點，設(shè)為，

設(shè)的外心為，中點為，，

因為，所以必在連線上，

則，即，

因為兩平面交線為，為平面所在圓面中心，

所以，，

又因為二面角的大小為，，

所以，，

所以，

錐體外接球半徑，

則三棱錐的外接球表面積為．

8.【答案】

解：設(shè)正方體外接球的半徑為，由正方體的外接球的體積為，得

設(shè)正方體的棱長為，則，得．

依據(jù)題意得，，，．

因為，，

所以，．

又因為，，所以平面，

所以三棱錐的表面積

．

設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，

依據(jù)等體積法得，

即，

故選B．

9.【答案】

解：如圖所示，旋轉(zhuǎn)體的軸截面是邊長為的菱形，為內(nèi)切球的球心，

因為，，所以，，所以內(nèi)切球的半徑，故，故選A．

10.【答案】

解：由，則三棱錐為正四面體，設(shè)其棱長為，內(nèi)切球半徑為，

則由內(nèi)切球的表面積為，得，解得；

設(shè)正四面體的底面中心為，的中點為，則，且底面，，，，如圖所示，

所以，

于是由，得，

所以，，

則此三棱錐的體積．

故本題選D．

11.【答案】

解：由正方體的棱長為，則它的內(nèi)切球的半徑為，

正方體的面對角線長為，則正方體的棱切球的半徑為，

正方體的體對角線長為，則它的外接球的半徑為，

其內(nèi)切球、棱切球、外接球的半徑比：：故A錯誤，

所以，故B正確；

，故C正確；

，故D錯誤，

故選BC．

12.【答案】

解：因為平面，所以，

所以，，

作，則，則，所以，，

取中心，作，則球心在上，且，則，

所以，所以；

設(shè)內(nèi)切球的半徑為，依據(jù)等體積法，，得，則，故D錯誤；故選：．

13.【答案】解：在等腰梯形中，過作，垂足為，易求，，

則四棱臺的表面積為

設(shè)，，

由棱臺的性質(zhì)，可將該棱臺補成四棱錐如圖，

因為，，可知與相像比為；

則，，則，則，即該四棱臺的高為．

由于上、下底面都是正方形，則外接球的球心在上，在平面上，

由于，，則，即點到點與到點的距離相等，

同理到，，，，，的距離均為，

于是為外接球的球心，且外接球的半徑，

故該四棱臺外接球的體積為．

故答案為：；．

14.【答案】

解：由題意，為直角三角形，

取中點，則，

取矩形的中心，連接，則，

面底面，且面底面，面，

平面，

可得到四棱錐各頂點的距離相等，

為四棱錐的外接球的球心，

半徑，

所以該外接球的體積為．

故答案為．

15.【答案】解：利用長方體模型，因為四面體的全部面均為直角三角形，因此取長方體的四個頂點作為四面體的頂點，如圖所示，所以該四面體外接球半徑為：所以該四面體外接球的表面積為：由圖知，，即當(dāng)且僅當(dāng)時取等號故答案為：，．

16.【答案】解：明顯當(dāng)時，四面體的表面積最大，此時，

故應(yīng)填

當(dāng)四面體的表面積最大時易知四面體的表面積最大值為，

設(shè)的中點為，易知，

，

即為四面體的外接球球心，

四面體的外接球半徑，

，且，，，

易知平面，

不難求得四面體的體積為，

又，，解得，

，故應(yīng)填．

17.【答案】

解：四棱錐為陽馬，側(cè)棱底面，

且，，設(shè)該陽馬的外接球半徑為，

該陽馬補形所得到的長方體的對角線為外接球的直徑，

，

，

內(nèi)切球半徑為

故．

故答案為：．

18.【答案】

解：連結(jié)，取中點，設(shè)上點到點距離，

的中點為，過作垂直平面，設(shè)，為三棱錐的外接球的球心，

以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

則三棱錐外接球半徑，

整理得，，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值，

三棱錐外接球表面積的最小值為

故答案為．

19.【答案】

解：在三棱臺中，，，，

可得，都是等腰三角形，

，四邊形為等腰梯形即，

如圖，取與中點，，連接，，，

則可得，，，

又平面平面，兩面交線為，所以平面，

因為，，平面平面，

所以球心必在直線上，所以在直角梯形中可求得，

由題意可知，該三棱臺外接球的外接球的球心必在直線上，

設(shè)球的半徑為，球心為，則，

解得，所以球心恰好為點，

所以球的半徑為，所以該三棱臺外接球的

表面積為．

故答案為：．

20.【答案】

解：由為棱的中點可得，，，

設(shè)點到平面的距離為，

則，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

設(shè)，則

設(shè)平面的一個法向量為

則，令，則

，

當(dāng)時，取最大值，即為棱上靠近的四等分點，即

設(shè)三棱錐的外接球的球心為，

則，，

，

由可得，，故

三棱錐外接球的表面積是

21.【答案】

解：取中點，中點，連結(jié)、、，

四面體中，三角形和三角形都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小為，

，，

是二面角的平面角，，

，，，

，，

則點為外接圓的圓心，點為外接圓的圓心，

過點作平面的垂線，過點作平面的垂線，

且直線與直線交于點，則點為四面體外接球的球心，

易知和重疊，則四面體的外接球半徑為，

因此，球的表面積為．

故答案為：．

22.【答案】

解：設(shè)圓柱的底面半徑為，高，外接球半徑，則即，

所以圓柱的側(cè)面積為，

，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

此時外接球的表面積最小，．

故答案為：；．

23.【答案】

解：為正四棱錐，

為正方形，

四個側(cè)面均全等，設(shè)內(nèi)切球半徑為，

由等體積法有，

作，，則，

有，

過點作平面，則必為與的交點，

又，

，

，

，

由對稱性，球與四個面的切點均在一個平面上，且分析知該平面平行于平面，

連接球心與、，則平面，平面，

由上述分析知，，

，

，

易知點在上，點在上，

，，

，

在中，，

，

又，

，均為中點，

在中，，

．

故答案為．

24.【答案】

解：在中，，，所以依據(jù)余弦定理可得：，設(shè)的外接圓的半徑為，則，所以，在中，，，，

所以，設(shè)的外接圓的半徑為，則，所以，作，所以為二面角的平面角，

即，

所以，，所以，設(shè)四面體的外接球的球心為，球半徑為，

則，所以，

所以四面體的外接球表面積為．

故答案為．

25.【答案】

解：

如圖取點，使，，四棱錐為正四棱錐，設(shè)，四棱錐內(nèi)切球到側(cè)面距離為，可推出即為球心，再使到的距離為，即到的距離為．

如圖所示，由題知：

，，，，，，，

，．

26.【答案】