PAGEPAGE9曲線與方程學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應(yīng)關(guān)系．2．理解曲線的方程和方程的曲線的概念．(重點、易混點)3．學(xué)會依據(jù)已有的情境資料找規(guī)律，學(xué)會分析、推斷曲線與方程的關(guān)系，強化“形”與“數(shù)”的統(tǒng)一以及駕馭相互轉(zhuǎn)化的思想方法．4．駕馭求軌跡方程建立坐標(biāo)系的一般方法，熟識求曲線方程的五個步驟．5．駕馭求軌跡方程的幾種常用方法．(重點、難點)6．初步學(xué)會通過曲線的方程探討曲線的幾何性質(zhì)．1．通過曲線與方程概念學(xué)習(xí)，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助數(shù)形結(jié)合理解曲線的方程和方程的曲線，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)．3．通過由方程探討曲線的性質(zhì)，培育直觀想象素養(yǎng)．4．借助由曲線求它的方程，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．我國聞名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生對數(shù)形結(jié)合思想特別重視，他曾經(jīng)說過數(shù)缺形來少直觀，形缺數(shù)則難入微，可見，數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)特別重要的數(shù)學(xué)思想，在前面我們學(xué)習(xí)了直線和圓的方程．對數(shù)形結(jié)合思想有了初步的了解，本節(jié)內(nèi)容我們將進一步學(xué)習(xí)曲線與方程的概念，了解曲線與方程的關(guān)系，進一步體會數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．1．曲線與方程的概念一般地，一條曲線可以看成動點依某種條件運動的軌跡，所以曲線的方程又常稱為滿意某種條件的點的軌跡方程．一個二元方程總可以通過移項寫成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是關(guān)于x，y的解析式．在平面直角坐標(biāo)系中，假如曲線C與方程F(x，y)＝0之間具有如下關(guān)系：①曲線C上點的坐標(biāo)都是方程F(x，y)＝0的解；②以方程F(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點都在曲線C上．那么，方程F(x，y)＝0叫做曲線的方程；曲線C叫做方程的曲線．思索1：假如曲線與方程僅滿意“以方程F(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點都在曲線C上”，會出現(xiàn)什么狀況？舉例說明．[提示]假如曲線與方程僅滿意“以方程F(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點都在曲線C上”，有可能擴大曲線的邊界．如方程y＝eq\r(1－x2)表示的曲線是半圓，而非整圓．思索2：假如曲線C的方程是F(x，y)＝0，那么點P(x0，y0)在曲線C上的充要條件是什么？[提示]若點P在曲線C上，則F(x0，y0)＝0；若F(x0，y0)＝0，則點P在曲線C上，所以點P(x0，y0)在曲線C上的充要條件是F(x0，y0)＝0．2．兩條曲線的交點坐標(biāo)曲線C1：F(x，y)＝0和曲線C2：G(x，y)＝0的交點坐標(biāo)為方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Fx，y＝0，,Gx，y＝0))的實數(shù)解．3．解析幾何探討的主要問題(1)由曲線求它的方程．(2)利用方程探討曲線的性質(zhì)．4．求曲線的方程的步驟5．利用曲線的方程探討曲線的對稱性及畫法(1)由已知曲線的方程探討曲線的對稱性設(shè)曲線C的方程為：f(x，y)＝0，一般有如下規(guī)律：①假如以－y代替y，方程保持不變，那么曲線關(guān)于x軸對稱；②假如以－x代替x，方程保持不變，那么曲線關(guān)于y軸對稱；③假如同時以－x代替x，以－y代替y，方程保持不變，那么曲線關(guān)于原點對稱．另外，易證假如曲線具有上述三種對稱性中的隨意兩種，那么它肯定還具有另一種對稱性．例如，假如曲線關(guān)于x軸和原點對稱，那么它肯定關(guān)于y軸對稱．事實上，設(shè)點P(x，y)在曲線上，因為曲線關(guān)于x軸對稱，所以點P1(x，－y)必在曲線上；因為曲線關(guān)于原點對稱，所以P1關(guān)于原點的對稱點P2(－x，y)必在曲線上．因為P(x，y)，P2(－x，y)都在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱．(2)依據(jù)曲線的方程畫曲線①對于這類問題，往往要把方程進行同解變形．留意方程的附加條件和x，y的取值范圍，有時要把它看作y＝f(x)的函數(shù)關(guān)系，利用作函數(shù)圖像的方法畫出圖形．②對于變形過程肯定要留意其等價性，否則作出的曲線與方程不符．③留意方程隱含的對稱性特征，并充分予以運用，從而削減描點量．1．思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若以方程f(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點都在曲線上，則方程f(x，y)＝0，即為曲線C的方程． ()(2)方程x＋y－2＝0是以A(2,0)，B(0,2)為端點的線段的方程． ()(3)在求曲線方程時，對于同一條曲線，坐標(biāo)系的建立不同，所得的曲線方程也不一樣． ()(4)求軌跡方程就是求軌跡． ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×[提示](1)×曲線的方程必需滿意兩個條件．(2)×以方程的解為坐標(biāo)的點不肯定在線段AB上，如M(－4,6)就不在線段AB上．(3)√對于曲線上同一點，由于坐標(biāo)系不同，該點的坐標(biāo)就不一樣，因此方程也不一樣．(4)×求軌跡方程得出方程即可，求軌跡還要指出方程的曲線是什么圖形．2．點P(a＋1，a＋4)在曲線y＝x2＋5x＋3上，則a的值為()A．1或－5 B．－1或－5C．－2或3 D．2或－3B[由點P(a＋1，a＋4)在曲線y＝x2＋5x＋3上，得a＋4＝(a＋1)2＋5(a＋1)＋3，即a2＋6a＋5＝0得a＝－1或a＝－5．]3．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲線()A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于y軸對稱C．關(guān)于原點對稱 D．關(guān)于直線x－y＝0對稱C[將(－x，－y)代入xy2－x2y＝2x方程不變，故選C．]4．平面上有三點A(－2，y)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(y,2)))，C(x，y)若eq\o(AB,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，則動點C的軌跡方程為．y2＝8x(x≠0)[eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(y,2)))，eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(y,2)))，由eq\o(AB,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))得2x－eq\f(y2,4)＝0，即y2＝8x(x≠0)．]曲線與方程關(guān)系的應(yīng)用【例1】已知方程x2＋(y－1)2＝10．(1)推斷點P(1，－2)，Q(eq\r(2)，3)是否在此方程表示的曲線上；(2)若點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，－m))在此方程表示的曲線上，求m的值．[解](1)∵12＋(－2－1)2＝10，(eq\r(2))2＋(3－1)2＝6≠10，∴點P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上，點Q(eq\r(2)，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上．(2)∵點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，－m))在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上，∴x＝eq\f(m,2)，y＝－m適合上述方程，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)))eq\s\up12(2)＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－eq\f(18,5)，∴m的值為2或－eq\f(18,5)．1．推斷點是否在某個方程表示的曲線上，就是檢驗該點的坐標(biāo)是否是方程的解，是否適合方程．若適合方程，就說明點在曲線上；若不適合，就說明點不在曲線上．2．已知點在某曲線上，可將點的坐標(biāo)代入曲線的方程，從而可探討有關(guān)參數(shù)的值或范圍問題．eq\o([跟進訓(xùn)練])1．若曲線y2＝xy＋2x＋k通過點(a，－a)(a∈R)，則k的取值范圍是．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))[由曲線y2＝xy＋2x＋k通過點(a，－a)，所以(－a)2＝a×(－a)＋2×a＋k，即k＝2a2－2a＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,2)，所以k≥－eq\f(1,2)．]由方程探討曲線的性質(zhì)【例2】已知曲線C的方程是x4＋y2＝1．關(guān)于曲線C的幾何性質(zhì)，給出下列三個結(jié)論：①曲線C關(guān)于原點對稱；②曲線C關(guān)于直線y＝x對稱；③曲線C所圍成的區(qū)域的面積大于π．其中，全部正確結(jié)論的序號是．[思路探究]分析關(guān)于原點對稱的兩個點(x，y)，(－x，－y)，是否都在曲線上，可推斷①；分析關(guān)于直線y＝x對稱的兩個點(x，y)，點(y，x)，是否都在曲線上，可推斷②；求出曲線C所圍成的區(qū)域面積，可推斷③．①③[將方程中的x換成－x，y換成－y方程不變，所以曲線C關(guān)于原點對稱，故①正確；將方程中的x換成y，y換成x，方程變?yōu)閥4＋x2＝1與原方程不同，故②錯誤；在曲線C上任取一點M(x0，y0)，xeq\o\al(4,0)＋yeq\o\al(2,0)＝1，∵|x0|≤1，∴xeq\o\al(4,0)≤xeq\o\al(2,0)，∴xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)≥xeq\o\al(4,0)＋yeq\o\al(2,0)＝1，即點M在圓x2＋y2＝1外，故③正確．故正確的結(jié)論的序號是①③．]探討曲線的幾何性質(zhì)一般包括以下幾個方面：(1)探討曲線的組成和范圍，即看一下所求的曲線是由哪一些基本的曲線組成的，在某些狀況下可以依據(jù)方程求得方程所表示曲線的大致范圍；(2)探討曲線與坐標(biāo)軸是否相交，假如相交，求出交點的坐標(biāo)，因為曲線與坐標(biāo)軸的交點是確定曲線位置的關(guān)鍵點；(3)探討曲線的對稱性(關(guān)于x軸、y軸、原點)；(4)探討曲線的改變趨勢，即y隨x的增大或減小的改變狀況；(5)依據(jù)方程畫出曲線的大致形態(tài)，在畫曲線時，可充分利用曲線的對稱性，通過列表、描點的方法先畫出曲線在一個象限的圖像，然后依據(jù)對稱性畫出整條曲線．eq\o([跟進訓(xùn)練])2．畫出方程y＝eq\r(x2－2|x|＋1)的曲線．[解]∵y＝eq\r(x2－2|x|＋1)＝eq\r(|x|－12)＝||x|－1|，易知x∈R，y≥0．用－x代替x，得||－x|－1|＝||x|－1|＝y(tǒng)，所以曲線關(guān)于y軸對稱．當(dāng)x≥0時，y＝|x－1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1x＞1，,1－x0≤x≤1，))分段畫出該方程的圖像，即為y軸右側(cè)的圖像，再依據(jù)對稱性，便可以得到方程y＝eq\r(x2－2|x|＋1)的圖像，如圖所示．干脆法求曲線方程【例3】一個動點到直線x＝8的距離是它到點A(2，0)的距離的2倍，求動點的軌跡方程．[思路探究]利用動點到直線x＝8的距離是它到點A(2,0)的距離的2倍列等式，化簡即可求出動點的軌跡方程．[解]設(shè)動點P(x，y)，由題意，|x－8|＝2eq\r(x－22＋y2)，兩邊平方可得：x2－16x＋64＝4x2－16x＋16＋4y2．整理得：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1．所以動點的軌跡方程為：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1．干脆法求軌跡方程的2種常見類型及解題策略干脆法求軌跡方程，就是設(shè)出動點的坐標(biāo)(x，y)，然后依據(jù)題目中的等量關(guān)系列出x，y之間的關(guān)系并化簡．主要有以下兩類常見題型．(1)題目給出等量關(guān)系，求軌跡方程．可干脆代入即可得出方程．(2)題中未明確給出等量關(guān)系，求軌跡方程．可利用已知條件找尋等量關(guān)系，得出方程．提示：求出曲線的方程后要留意驗證方程的純粹性和完備性．eq\o([跟進訓(xùn)練])3．如圖，線段AB與CD相互垂直平分于點O，|AB|＝2a(a＞0)，|CD|＝2b(b＞0)，動點P滿意|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，求動點P的軌跡方程．[解]以O(shè)為坐標(biāo)原點，直線AB，CD分別為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(－a，0)，B(a,0)，C(0，－b)，D(0，b)，設(shè)P(x，y)是曲線上的隨意一點，由題意知，|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，eq\r(x＋a2＋y2)·eq\r(x－a2＋y2)＝eq\r(x2＋y＋b2)·eq\r(x2＋y－b2)，化簡得x2－y2＝eq\f(a2－b2,2)．故動點P的軌跡方程為x2－y2＝eq\f(a2－b2,2)．代入法求曲線方程[探究問題]1．當(dāng)所求動點P的運動很明顯地依靠于一已知曲線上的動點Q的運動時，怎樣求P點的軌跡？提示：設(shè)所求動點P的坐標(biāo)為(x，y)，再設(shè)與P相關(guān)的已知點坐標(biāo)為Q(x0，y0)，找出P、Q之間的坐標(biāo)關(guān)系，并表示為x0＝f(x)，y0＝f(y)，依據(jù)點Q的運動規(guī)律得出關(guān)于x0，y0的關(guān)系式，把x0＝f(x)，y0＝f(y)代入關(guān)系式中，即得所求軌跡方程．2．求得曲線方程后，如何避開出現(xiàn)“增解”或“漏解”？[提示]在化簡的過程中，留意運算的合理性與精確性，盡量避開“漏解”或“增解”．【例4】已知動點M在曲線x2＋y2＝1上移動，M和定點B(3,0)連線的中點為P，求P點的軌跡方程．[思路探究]所求動點與已知曲線上動點相關(guān)，可通過條件確定兩動點的坐標(biāo)間的關(guān)系求得．[解]設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，∵P為MB的中點．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋3,2)，,y＝\f(y0,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－3，,y0＝2y，))又∵M在曲線x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1，∴P點的軌跡方程為(2x－3)2＋4y2＝1．1．(變換條件)本例中把條件“M和定點B(3,0)連線的中點為P”改為“eq\o(MP,\s\up7(→))＝2eq\o(PB,\s\up7(→))”，求P點的軌跡方程．[解]設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則eq\o(MP,\s\up7(→))＝(x－x0，y－y0)，eq\o(PB,\s\up7(→))＝(3－x，－y)，由eq\o(MP,\s\up7(→))＝2eq\o(PB,\s\up7(→))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－x0＝3－x×2，,y－y0＝－2y，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3x－6，,y0＝3y，))又∵M在曲線x2＋y2＝1上，∴(3x－6)2＋9y2＝1，∴點P的軌跡方程為(3x－6)2＋9y2＝1．2．(變換條件)本例中把條件“M和定點B(3,0)連線的中點為P”改為“一動點P和定點B(3,0)連線的中點為M”，試求動點P的軌跡方程．[解]設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，∵M為PB的中點．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(x＋3,2)，,y0＝\f(y,2)，))又∵M在曲線x2＋y2＝1上，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq\s\up12(2)＝1，即(x＋3)2＋y2＝4，∴P點軌跡方程為(x＋3)2＋y2＝4．代入法求解曲線方程的步驟(1)設(shè)動點P(x，y)，相關(guān)動點M(x0，y0)；(2)利用條件求出兩動點坐標(biāo)之間的關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝fx，y，,y0＝gx，y；))(3)代入相關(guān)動點的軌跡方程；(4)化簡、整理，得所求軌跡方程．其步驟可總結(jié)為“一設(shè)、二找、三代、四整理”．1．曲線的方程和方程的曲線必需滿意兩個條件：曲線上點的坐標(biāo)都是方程的解，以方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上．2．點(x0，y0)在曲線C上的充要條件是點(x0，y0)適合曲線C的方程．坐標(biāo)系建立的不同，同一曲線的方程也不相同．3．一般地，求哪個點的軌跡方程，就設(shè)哪個點的坐標(biāo)是(x，y)，而不要設(shè)成(x1，y1)或(x′，y′)等．4．方程化簡到什么程度，課本上沒有給出明確的規(guī)定，一般指將方程f(x，y)＝0化成x，y的整式．假如化簡過程破壞了同解性，就須要剔除不屬于軌跡上的點，找回屬于軌跡而遺漏的點．求軌跡時須要說明所表示的是什么曲線，求軌跡方程則不必說明．5．“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念：求軌跡方程只要求出方程即可；而求軌跡則應(yīng)先求出軌跡方程，再說明軌跡的形態(tài)．1．下列四個圖形中，圖形下面的方程是圖形中曲線的方程的是()ABCDD[對于A，點(0，－1)滿意方程，但不在曲線上，解除A；對于B，點(1，－1)滿意方程，但不在曲線上，解除B；對于C，曲線上第三象限的點，由于x＜0，y＜0，不滿意方程，解除C．]2．若M(1,2)在曲線x2＋ay