第三節(jié)圓的方程·最新考綱·1．駕馭確定圓的幾何要素，駕馭圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程．2．初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想．·考向預(yù)料·考情分析：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程，圓心到直線的距離，與圓有關(guān)的軌跡、最值問(wèn)題仍是高考考查的熱點(diǎn)，題型將以選擇與填空題為主，也可能出現(xiàn)在解答題中．學(xué)科素養(yǎng)：通過(guò)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及利用圓的方程求最值，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)．積累必備學(xué)問(wèn)——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開(kāi)端一、必記2個(gè)學(xué)問(wèn)點(diǎn)1．圓的定義及方程定義平面內(nèi)與________的距離等于________的點(diǎn)的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程________(r＞0)圓心：________，半徑：________一般方程________________(D2＋E2－4F＞0)圓心：________，半徑：________2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則________________．(2)若M(x0，y0)在圓上，則________________．(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則________________．二、必明2個(gè)常用結(jié)論1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．二元二次方程表示圓的條件對(duì)于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓時(shí)易忽視D2＋E2－4F＞0這一條件．三、必練4類基礎(chǔ)題(一)推斷正誤1．推斷下列說(shuō)法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．()(2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓．()(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.()(二)教材改編2．[必修2·P124A組T1改編]圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是()A．(2，3)，3B．(－2，3)，3C．(－2，－3)，13D．(2，－3)，133．[必修2·P124A組T4改編]圓C的圓心在x軸上，并且過(guò)點(diǎn)A(－1，1)和B(1，3)，則圓C的方程為_(kāi)_______．(三)易錯(cuò)易混4．(錯(cuò)用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系)若點(diǎn)(1，1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．－1＜a＜1B．0＜a＜1C．a(chǎn)＞1或a＜－1D．a(chǎn)＝±45．(忽視方程中變量的取值范圍)已知點(diǎn)P(x，y)為圓x2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，則x2＋4y的最大值為_(kāi)_______．(四)走進(jìn)高考6．[天津卷]在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0，0)，(1，1)，(2，0)的圓的方程為_(kāi)_______．提升關(guān)鍵實(shí)力——考點(diǎn)突破駕馭類題通法考點(diǎn)一求圓的方程[基礎(chǔ)性]1．[2024·赤峰二中檢測(cè)]已知圓心在x軸上，半徑為5的⊙C位于y軸左側(cè)，且與直線x＋y＝0相切，則⊙C的方程是()A．(x－10)2＋y2＝5B．(x＋5)2＋y2＝5C．(x＋10)2＋y2＝5D．x2＋(y＋10)2＝52．以點(diǎn)(1，－1)為圓心，且與直線x－y＋2＝0相切的圓的方程為()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x＋1)2＋(y－1)2＝8D．(x－1)2＋(y＋1)2＝83．若直線l：mx＋ny＋3＝0始終平分圓C：x2－2x＋y2＋3y－1＝0，則2m－3n＝()A．－6B．－3C．3D．64．已知圓x2＋y2－2mx－(4m＋2)y＋4m2＋4m＋1＝0(m≠0)的圓心在直線x＋y－7＝0上，則該圓的面積為()A．4πB．2πC．πD．π反思感悟求圓的方程的兩種方法(1)干脆法依據(jù)圓的幾何性質(zhì)，干脆求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程．(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；②若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．[提示]解答圓的有關(guān)問(wèn)題，應(yīng)留意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)．考點(diǎn)二與圓有關(guān)的最值問(wèn)題[綜合性]角度1借助幾何性質(zhì)求最值[例1]已知實(shí)數(shù)x，y滿意方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．聽(tīng)課筆記：一題多變(變問(wèn)題)若例1中條件不變，求P(x，y)到直線3x＋4y＋12＝0的距離的最大值和最小值．反思感悟與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的三種幾何轉(zhuǎn)化法(1)形如μ＝y(tǒng)-bx-a(2)形如t＝ax＋by形式的最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題．(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題.角度2建立函數(shù)關(guān)系求最值[例2](1)若點(diǎn)P為圓x2＋y2＝1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)為兩個(gè)定點(diǎn)，則|PA|＋|PB|的最大值為()A．2B．22C．4D．42(2)[2024·山東濰坊模擬]設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓x2+y-32＝1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(2，0)，B(－2，0)，則聽(tīng)課筆記：反思感悟建立函數(shù)關(guān)系式求最值依據(jù)已知條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，再依據(jù)關(guān)系式的特征選用基本不等式、函數(shù)單調(diào)性等方法求最值．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．已知兩點(diǎn)A(0，－3)，B(4，0)，若點(diǎn)P是圓C：x2＋y2－2y＝0上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABP的面積的最小值為()A．6B．11C．8D．212．設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓：(x－3)2＋y2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(0，2)，B(0，－2)，則|PA+考點(diǎn)三與圓有關(guān)的軌跡方程[綜合性][例3]已知圓x2＋y2＝4上肯定點(diǎn)A(2，0)，B(1，1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．聽(tīng)課筆記：反思感悟求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的四種方法【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2024·六盤山高級(jí)中學(xué)測(cè)試]已知圓C：x2＋y2＋4x＝0的圓心和圓上兩點(diǎn)A，B構(gòu)成等邊三角形，則AB中點(diǎn)M的軌跡方程是()A．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝3C．(x＋1)2＋y2＝2D．(x＋2)2＋y2＝32．[2024·江蘇南通高三測(cè)試]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓A：(x－1)2＋y2＝1，點(diǎn)B(3，0)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P引圓A的切線，切點(diǎn)為T.若PT＝2PB，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為()A．x2＋y2－14x＋18＝0B．x2＋y2＋14x＋18＝0C．x2＋y2－10x＋18＝0D．x2＋y2＋10x＋18＝0第三節(jié)圓的方程積累必備學(xué)問(wèn)一、1．定點(diǎn)定長(zhǎng)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b)rx2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0-2．(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2(2)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2三、1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．解析：由公式可知圓心坐標(biāo)為(－D2，－E2)，半徑r＝12D2答案：D3．解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a，0)，因?yàn)辄c(diǎn)A(－1，1)和B(1，3)在圓C上，所以|CA|＝|CB|，即a+12+1＝a-12+9，解得a＝2，所以圓心為C(2，0)，又|CA|＝2+12+1＝10，所以圓C的半徑為10，所以圓C的方程為(x答案：(x－2)2＋y2＝104．解析：因?yàn)辄c(diǎn)(1，1)在圓內(nèi)，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，即－1＜a＜1.答案：A5．解析：因?yàn)辄c(diǎn)P(x，y)為圓x2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，所以x2＋4y＝1－y2＋4y＝－(y－2)2＋5.因?yàn)閥∈[－1，1]，所以當(dāng)y＝1時(shí)，x2＋4y取得最大值4.答案：46．解析：方法一依據(jù)題意畫出圖形如圖所示，結(jié)合圖形知經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0，0)，(1，1)，(2，0)的圓，其圓心為(1，0)，半徑為1，則該圓的方程為(x－1)2＋y2＝1.即x2＋y2－2x＝0.方法二設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，由已知條件可得F=0，12所以所求圓的方程為x2＋y2－2x＝0.答案：x2＋y2－2x＝0提升關(guān)鍵實(shí)力考點(diǎn)一1．解析：設(shè)圓心為C(a，0)(a＜0)，由題意a2＝5，所以a＝－10圓方程為(x＋10)2＋y2＝5.答案：C2．解析：因直線與圓相切，所以圓的半徑等于點(diǎn)(1，－1)到直線x－y＋2＝0的距離，即r＝d＝1--1+212+-12＝22，則所求圓的方程為(x答案：D3．解析：由C：x2－2x＋y2＋3y－1＝0得圓心C1，-32，因?yàn)橹本€平分圓，所以直線必過(guò)圓心1，-32，則m－32n答案：A4．解析：圓的方程可化為(x－m)2＋(y－2m－1)2＝m2(m≠0)，其圓心為(m，2m＋1)．依題意得，m＋2m＋1－7＝0，解得m＝2，∴圓的半徑為2，面積為4π.答案：A考點(diǎn)二例1解析：原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)為圓心，3為半徑的圓．(1)yx的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)yx＝k，即y＝當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)2k-0k2+1＝3.解得k＝±3(如圖1)．所以yx的最大值為解析：(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，在y軸上的截距b取得最大值或最小值，此時(shí)2-0+b2＝3，解得b＝－2±6(如圖2)．所以y－x的最大值為－2＋6，最小值為－2－6(3)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何學(xué)問(wèn)知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值(如圖3)．又圓心到原點(diǎn)的距離為2-02+0-02＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)一題多變解析：∵圓心(2，0)到直線3x＋4y＋12＝0的距離d＝6+125＝185，∴P(x，y)到直線3x＋4y＋12＝0的距離的最大值為185例2解析：(1)由已知可得線段AB是圓x2＋y2＝1的直徑，且|AB|＝2，∴∠APB＝90°.∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝4，由基本不等式可得PA+PB22≤PA2+PB22即|PA|＋|PB|的最大值是22.(2)由題意知PA＝(2－x，－y)，PB＝(－2－x，－y)，所以PA·PB＝x2＋y2－4.由于點(diǎn)P(x，y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿意方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以PA·PB＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圓的方程x2＋(y－3)2＝1知2≤y≤4，所以當(dāng)y＝4時(shí)，PA·PB的值最大，最大值為12.答案：(1)B(2)12對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：x2＋y2－2y＝0可化為x2＋(y－1)2＝1，則圓C為以(0，1)為圓心，1為半徑的圓．如圖，過(guò)圓心C向直線AB作垂線交圓于點(diǎn)P，連接BP，AP，這時(shí)△ABP的面積最小，直線AB的方程為x4+y-3＝1，即3x－4y－12＝0，圓心C到直線AB的距離d＝165，又|AB|＝32+42答案：B2．解析：由題意知PA＝(－x，2－y)，PB＝(－x，－2－y)，所以PA+PB＝(－2x，－2y)．由于點(diǎn)P(x，y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿意方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|PA+PB|＝4x2+4y2＝26x-5.由圓的方程(x－3)2＋y2答案：10考點(diǎn)三例3解析：(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x－2，2y)．因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON(圖略)，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所