.5空間角與距離、空間向量及其應(yīng)用一、選擇題1.(2024廣東佛山月考,3)直線l∥α,且l的方向向量為(2,m,1),平面α的法向量為1,12,2,則A.-4B.-6C.-8D.8答案C∵l∥α,∴(2,m,1)·1,12,2=2+122.(2024合肥八中月考,6)如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,M,N分別為A1B和AC上的點(diǎn),A1M=AN=2a3,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是(A.斜交B.平行C.垂直D.不確定答案B建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則C1(0,0,0),D1(0,a,0),Ma,2a3,a3,N2a3,2a3,a,則MN=-a3,0,2a3,因?yàn)镃1D1⊥平面BB1C1C,所以C1D1=(0,a,0)為平面BB1C1C的一個(gè)法向量.因?yàn)镸N·C1D13.(2024福建廈門三模,7)如圖,在四棱錐P-ABCD的平面綻開圖中,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,△ADE是以AD為斜邊的等腰直角三角形,∠HDC=∠FAB=90°,則四棱錐P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距離為()A.305B.306C.55答案C四棱錐P-ABCD如圖所示,分別取AD,BC的中點(diǎn)O,M,連接OM,OP,PM,由已知得PO=1,OM=2,PM=PB2-BM∴OP2+OM2=PM2,∴OP⊥OM,又∵PO⊥AD,OM∩AD=O,∴PO⊥平面ABCD.以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OM,OP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(1,2,0),C(-1,2,0),D(-1,0,0),P(0,0,1),則PB=(1,2,-1),PC=(-1,2,-1),設(shè)四棱錐P-ABCD外接球的球心為N,且N(0,1,a),∵PN=NA,∴1+(1-a)2=1+1+a2,解得a=0,則N(0,1,0),NP=(0,-1,1),設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),則PB·n=0,PC則n=(0,1,2),則四棱錐P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距離d=|NP|·|cos<n,NP>|=|NP|·n·NP|n||NP|=4.(多選)(2024屆廣州荔灣調(diào)研,11)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=BB1,O為A1C的中點(diǎn).點(diǎn)P滿意BP=λBC1,其中λ∈[0,1],則(A.?λ∈[0,1],都有A1P⊥OB1B.當(dāng)λ=13時(shí),直線A1P與AB所成的角是C.當(dāng)λ=12時(shí),直線A1P與平面A1B1C1所成的角的正切值為D.當(dāng)λ=12時(shí),直線A1P與OB1相交于一點(diǎn)Q,則PQQ答案ACD以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BA,BC,BB1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=1,則A(1,0,0),A1(1,0,1),O12,12,12,B1(0,0,1),B(0,0,0),C1(0,1,1),對(duì)于A,因?yàn)锳1P=(-1,λ,λ-1),OB1=-12,-12,12,所以所以A1P⊥OB1,故A正確.對(duì)于B,當(dāng)λ=13時(shí),A1P=-1,13,-23,又AB=(-1,0,0),所以|cos<A1P,AB>|=11+19+49×對(duì)于C,當(dāng)λ=12時(shí),A1P=-1,12,-12,易知平面A所以|cos<A1P,n>|=-121+14+14×1=66,所以sinθ=66,cosθ=1-662=306,所以tanθ=55,故C正確.對(duì)于D,當(dāng)λ=12時(shí),P為BC1的中點(diǎn),連接B1C,則P為B1C的中點(diǎn),連接OP,則OP∥A1B1,OP=12A1B1,所以PQQA1=二、填空題5.(2024豐臺(tái)綜合練習(xí)一,15)如圖,從長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c的長(zhǎng)方體AEBF-GCHD中截去部分幾何體后,所得幾何體為三棱錐A-BCD.下列四個(gè)結(jié)論中,全部正確結(jié)論的序號(hào)是.

①三棱錐A-BCD的體積為13②三棱錐A-BCD的每個(gè)面都是銳角三角形;③三棱錐A-BCD中,二面角A-CD-B不會(huì)是直二面角;④三棱錐A-BCD中,三條側(cè)棱與底面所成的角分別記為α,β,γ,則sin2α+sin2β+sin2γ≤2.答案①②④解析對(duì)于①,VA-BCD=abc-13×12×abc×4=13對(duì)于②,三棱錐A-BCD的每個(gè)面三邊長(zhǎng)分別是a2+b2、a2+c2、b2+c2,由(a2+b2)2+(a2+c2)2>(b2+c2)2,(a2+b對(duì)于③,舉出反例即可.以F為坐標(biāo)原點(diǎn)建系,經(jīng)計(jì)算,平面BCD的一個(gè)法向量為n1=(-ac,bc,ab),平面ACD的一個(gè)法向量n2=(ac,-bc,ab),當(dāng)n1·n2=-a2c2-b2c2+a2b2=0時(shí),二面角A-CD-B是直二面角.化簡(jiǎn)得a2b2=(a2+b2)·c2,隨意取一組符合題意的值,如a=2,b=2,c=1,③錯(cuò)誤.對(duì)于④,由③知,平面BCD的一個(gè)法向量為n1=(-ac,bc,ab),AC=(0,a,c),設(shè)AC與平面BCD所成角為β,則sinβ=|cos<n1,AC>|=2abcsin2β=4=8≤8a2b2c22ac·(2a2bc+2ab2c+2abc2)=2思路分析①用長(zhǎng)方體的體積減去四個(gè)全等三棱錐的體積即得三棱錐A-BCD的體積;②計(jì)算三棱錐A-BCD的棱長(zhǎng),運(yùn)用余弦定理即可推斷三棱錐A-BCD的每個(gè)面都是銳角三角形;③建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面BCD與平面ACD的法向量,即可推斷平面BCD與平面ACD可能垂直;④在③的基礎(chǔ)上求sinβ,同理求得sinα、sinγ,運(yùn)用a2+b2≥2ab即可進(jìn)行推斷.三、解答題6.(2024屆河北張家口11月階段測(cè)試)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四邊形ABCD是菱形,∠BAD=45°,PD=AD=5,點(diǎn)E,F分別在棱AB,PC上,且AE∶AB=PF∶FC=2∶3.(1)證明:PA∥平面DEF;(2)求四棱錐F-BCDE的體積.解析(1)證明:以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,5),D(0,0,0),A522,-522,0,∴PA=5∵PFFC=23,PC=PD2+CD2=52,∴PF=22∴DE=522,103-522,0,DF=(2,0,3),設(shè)平面∴522x1+103-522y1=0,2y1+3z1=0,取y1=32,則z1=-22,x1=32-4,∴n=(32-4,32,-22),∵n(2)設(shè)點(diǎn)F到平面BCDE的距離為h,則VF-BCDE=13S四邊形BCDE·h,由(1)知,h=3,又S四邊形BCDE=12×53+5×522=2523,∴V7.(2024屆山東濰坊月考,20)如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,點(diǎn)E,F分別在棱DD1,BB1上,且DE=12ED1,(1)證明:A,E,C1,F在同一個(gè)平面上;(2)設(shè)直線AE與平面BB1D1D所成的角為α,直線AF與平面BB1D1D所成的角為β,推斷α與β的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由.解析(1)證明:在CC1上取點(diǎn)M,使得CM=2MC1,連接DM,MF,EC1,∵D1E=2ED,DD1=CC1,∴ED=MC1,又ED∥MC1,∴四邊形DMC1E為平行四邊形,∴DM∥EC1,∵M(jìn)F∥DA,MF=DA,∴四邊形MFAD為平行四邊形,∴DM∥AF,∴EC1∥AF,∴A,E,C1,F在同一個(gè)平面上.(2)α>β.理由如下:設(shè)BD∩AC=O,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面ABCD,∴AC⊥BB1,由題意知四邊形ABCD為正方形,∴AC⊥BD,∵BB1∩BD=B,BB1,BD?平面BB1D1D,∴AC⊥平面BB1D1D,連接OE,OF,則α=∠AEO,β=∠AFO,在Rt△AEO和Rt△AFO中,AO=22,AE=2,AF=5,則sinα=12>sinβ=8.(2024屆重慶南開中學(xué)月考,20)如圖,P-ABCD是一個(gè)四棱錐,已知四邊形ABCD是梯形,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AB∥CD,PD=AD=AB=1,CD=2,點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱PB上,PF=12(1)證明:BE∥平面PAD;(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值;(3)求平面DEF與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值.解析(1)證明:取PD的中點(diǎn)G,連AG,GE,因?yàn)镚,E分別是PD,PC的中點(diǎn),所以GE∥DC,GE=12DC,因?yàn)锳B∥DC,AB=12DC,所以GE∥AB,GE=AB,所以四邊形AGEB為平行四邊形,所以BE∥AG,因?yàn)锽E?平面PAD,AG?平面PAD,所以BE∥(2)因?yàn)镻D⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥DC,又AD⊥CD,所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則D(0,0,0),B(1,1,0),E0,1,12,P(0,0,1),則BE=-1,0,12,DP=(0,0,1),DB=(1,1,0),設(shè)平面PBD的法向量為m=(x1,y1,z1),則m·DP=z1=0,m·DB=x1+y1=0,取x1=1,則y1=-1,則m=(1,-1,0),設(shè)直線(3)因?yàn)镻F=12FB,所以PF=12FB,所以DF-DP=12(所以DF=23DP+13DB=23由(2)可知,DE=0,1,12,設(shè)平面DEF的法向量為n=(x2,y2,z則n·DF=13x2+13y2+23z2=0,n·DE=y2則cosβ=n·DP|n|·|所以平面DEF與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為1479.(2024屆湖南三湘名校、五市十校聯(lián)考,20)如圖,已知E是平面ABCD外一點(diǎn),AD=2BC,AE=2BF,AB⊥AD,AB⊥AE.(1)四點(diǎn)C,D,E,F在同一平面內(nèi)嗎?說(shuō)明理由;(2)若∠DAE=2π3,AB=BC=2BF,求平面AFC與平面BCE所成銳二面角的余弦值解析(1)在同一平面內(nèi).理由如下:取AD的中點(diǎn)G,AE的中點(diǎn)H,連接CG,FH,GH.則GH∥DE.∵AD=2BC,AE=2BF,∴AG=BC,AH=BF,∴四邊形ABCG和四邊形ABFH都是平行四邊形.∴CG∥BA,BA∥FH,CG=BA,BA=FH,∴CG∥FH,CG=FH,即四邊形CGHF是平行四邊形,∴FC∥HG,∴FC∥ED.∴四點(diǎn)C,D,E,F在同一平面內(nèi).(2)∵AB⊥AD,AB⊥AE,AD∩AE=A,∴BA⊥平面ADE.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD所在直線分別為x軸,y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0).設(shè)BF=2,則B(4,0,0),C(4,4,0),F(4,-1,3),E(0,-2,23),∴AC=(4,4,0),AF=(4,-1,3),BC=(0,4,0),BE=(-4,-2,23).設(shè)m=(x1,y1,z1)和n=(x2,y2,z2)分別是平面AFC和平面BCE的法向量,則m∴4x1+4y1=0,4x1-y1+3z1=0,4y2=0,∴cos<m,n>=m·n|m|·|n|=-2173110.(2024屆北京十三中期中,16)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,Q為棱PD的中點(diǎn),PA=AB.(1)求證:AQ⊥CD;(2)求直線PC與平面ACQ所成角的正弦值;(3)求二面角C-AQ-D的余弦值.解析(1)證明:因?yàn)镻A⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD,在正方形ABCD中,AD⊥CD,又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,因?yàn)锳Q?平面PAD,所以AQ⊥CD.(2)由題意知AP、AD、AB兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,不妨設(shè)AB=2,則A(0,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),Q(0,1,1),所以CP=(-2,-2,2),AC=(2,2,0),AQ=(0,1,1).設(shè)平面ACQ的法向量為n=(x,y,z),則n·AC令x=1,得y=-1,z=1,即n=(1,-1,1),所以cos<n,CP>=n·CP|所以直線PC與平面ACQ所成角的正弦值為13(3)由(1)知CD⊥平面PAD,所以DC=(2,0,0)為平面PAD的一個(gè)法向量,cos<n,DC>=n·DC|易知二面角C-AQ-D為銳二面角,所以二面角C-AQ-D的余弦值為3311.(2024屆北京市中關(guān)村中學(xué)開學(xué)測(cè)試,17)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明:l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q為l上的點(diǎn),求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.解析(1)證明:因?yàn)镻D⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.又底面ABCD為正方形,所以AD⊥DC.因此AD⊥平面PDC.因?yàn)锳D∥BC,AD?平面PBC,所以AD∥平面PBC.由已知得l∥AD.因此l⊥平面PDC.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),所以DC=(0,1,0),PB=(1,1,-1).由(1)可設(shè)Q(a,0,1),則DQ=(a,0,1).設(shè)n=(x,y,z)是平面QCD的法向量,則n·DQ=0,n·所以cos<n,PB>=n·PB|設(shè)PB與平面QCD所成角為θ,則sinθ=33×|a+1|因?yàn)?31+2aa2+1≤63,當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)等號(hào)成立12.(2024屆湖南三湘名校、五市十校聯(lián)考,20)如圖,已知E是平面ABCD外一點(diǎn),AD=2BC,AE=2BF,AB⊥AD,AB⊥AE.(1)四點(diǎn)C,D,E,F在同一平面內(nèi)嗎?說(shuō)明理由;(2)若∠DAE=2π3,AB=BC=2BF,求平面AFC與平面BCE所成銳二面角的余弦值解析(1)在同一平面內(nèi).理由如下:取AD的中點(diǎn)G,AE的中點(diǎn)H,連接CG,FH,GH.則GH∥DE.∵AD=2BC,AE=2BF,∴AG=BC,AH=BF,∴四邊形ABCG和四邊形ABFH都是平行四邊形.∴CG∥BA,BA∥FH,CG=BA,BA=FH,∴CG∥FH,CG=FH,即四邊形CGHF是平行四邊形,∴FC∥HG,∴FC∥ED.∴四點(diǎn)C,D,E,F在同一平面內(nèi).(2)∵AB⊥AD,AB⊥AE,AD∩AE=A,∴BA⊥平面ADE.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD所在直線分別為x軸,y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0).設(shè)BF=2,則B(4,0,0),C(4,4,0),F(4,-1,3),E(0,-2,23),∴AC=(4,4,0),AF=(4,-1,3),BC=(0,4,0),BE=(-4,-2,23).設(shè)m=(x1,y1,z1)和n=(x2,y2,z2)分別是平面AFC和平面BCE的法向量,則m∴4x1+4y1=0,4x1-y1+3z1=0,4y2=0,∴cos<m,n>=m·n|m|·|n|=-2173113.(2024屆北京三十五中期中,19)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,∠BCD=135°,側(cè)面PAB⊥底面ABCD,∠BAP=90°,AB=AC=PA=2,E,F分別為BC,AD的中點(diǎn),點(diǎn)M在線段PD上.(1)求證:EF⊥平面PAC;(2)若M為PD的中點(diǎn),求證:ME∥平面PAB;(3)假如直線ME與平面PBC所成的角和直線ME與平面ABCD所成的角相等,求PMPD的值解析(1)證明:在平行四邊形ABCD中,因?yàn)椤螧CD=135°,所以