概率與統(tǒng)計

?網(wǎng)絡(luò)體系總覽

?考點(diǎn)目標(biāo)定位

.了解離散型隨機(jī)變量的意義，會求出某些簡單的離散型隨機(jī)變量的分布列.

.了解離散型隨機(jī)變量的期望值、方差的意義，會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出期望

值、方差.

.會用隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本.

?會用樣本頻率分布估計總體分布.

.了解正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì).

.了解線性回歸的方法和簡單應(yīng)用.

.實(shí)習(xí)作業(yè)以抽樣方法為內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.

?復(fù)習(xí)方略指南

在復(fù)習(xí)中，要注意理解變量的多樣性，深化函數(shù)的思想方法在實(shí)際問題中的應(yīng)用，充分

注意一些概念的實(shí)際意義，理解概率中處理問題的基本思想方法，掌握所學(xué)概率知識的實(shí)際

應(yīng)用.

.把握基本題型

應(yīng)用本章知識要解決的題型主要分兩大類：一類是應(yīng)用隨機(jī)變量的概念，特別是離散型

隨機(jī)變量分布列以及期望與方差的基礎(chǔ)知識，討論隨機(jī)變量的取值范圍，取相應(yīng)值的概率及

期望、方差的求解計算；另一類主要是如何抽取樣本及如何用樣本去估計總體.作為本章知識

的一個綜合應(yīng)用，教材以實(shí)習(xí)作業(yè)作為一節(jié)給出，應(yīng)給予足夠的重視.

.強(qiáng)化雙基訓(xùn)練

主要是培養(yǎng)扎實(shí)的基礎(chǔ)知識，迅捷準(zhǔn)確的運(yùn)算能力，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)呐袛嗤评砟芰?

.強(qiáng)化方法選擇

特別在教學(xué)中要掌握思維過程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，達(dá)到舉一反三的目的，

還要進(jìn)行題后反思，使學(xué)生在大腦記憶中構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成條理化、有序化、

網(wǎng)絡(luò)化的有機(jī)體系.

.培養(yǎng)應(yīng)用意識

要挖掘知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，從形式結(jié)構(gòu)、數(shù)字特征、圖形圖表的位置特點(diǎn)等方面進(jìn)行

聯(lián)想和試驗(yàn)，找到知識的“結(jié)點(diǎn)”.再有就是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問題進(jìn)行訓(xùn)練，以培養(yǎng)

利用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.

離散型隨機(jī)變量的分布列

?知識梳理

.隨機(jī)變量的概念

如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個變量表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量，它常用希臘

字母人〃等表示.

（）離散型隨機(jī)變量.如果對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，那么這

樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.

（）若f是隨機(jī)變量，nf,其中、是常數(shù)，則〃也是隨機(jī)變量.

.離散型隨機(jī)變量的分布列

（）概率分布（分布列）.設(shè)離散型隨機(jī)變量f可能取的值為，，…，，…，§取每一個值

的概率（f）,則稱表

??????

??????

為隨機(jī)變量€的概率分布，簡稱f的分布列.

（）二項(xiàng)分布.如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個事

件恰好發(fā)生次的概率是（§）丁.

其中，，…，，一，于是得到隨機(jī)變量§的概率分布如下:

???…

01-???k-n

nnnn

我們稱這樣的隨機(jī)變量f服從二項(xiàng)分布，記作f?（，），其中、為參數(shù)，并記￡-（；,）.

特別提示

二項(xiàng)分布是一種常用的離散型隨機(jī)變量的分布.

?點(diǎn)擊雙基

.拋擲兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為f,那么f表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是

.一顆是點(diǎn)，一顆是點(diǎn)

.兩顆都是點(diǎn)

.兩顆都是點(diǎn)

.一顆是點(diǎn)，一顆是點(diǎn)或兩顆都是點(diǎn)

解析：對、中表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，隨機(jī)變量均取值，而是f代表的所有試驗(yàn)結(jié)果.

掌握隨機(jī)變量的取值與它刻畫的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果的對應(yīng)關(guān)系是理解隨機(jī)變量概念的關(guān)鍵.

答案：

解析：、不滿足分布列的基本性質(zhì)②，不滿足分布列的基本性質(zhì)①.

答案：

.已知隨機(jī)變量f的分布列為（」，，，…，則（＜4W）等于

2k

3111

16-416'5

答案：

.某批數(shù)量較大的商品的次品率為，從中任意地連續(xù)取出件，其中次品數(shù)f的分布列為.

解析：本題中商品數(shù)量較大，故從中任意抽取件（不放回）可以看作是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),

因而次品數(shù)f服從二項(xiàng)分布，

即f?（，）.

4的分布列如下：

.設(shè)隨機(jī)變量f?（，），〃?（，），若（f》）則（〃》）.

9

解析：（§2）一（§＜）—2?（一）—,

9

?典例剖析

【例】在件產(chǎn)品中有件次品，連續(xù)抽次，每次抽件，求：

（）不放回抽樣時，抽到次品數(shù)f的分布列；

（）放回抽樣時，抽到次品數(shù)〃的分布列.

剖析：隨機(jī)變量f可以取,，，〃也可以取，，，，放回抽樣和不放回抽樣對隨機(jī)變量的取值

和相應(yīng)的概率都產(chǎn)生了變化，要具體問題具體分析.

12

)5C5c1

JIo|'5J

所以f的分布列為

771

?5?5L5

（）（〃）；?一?（，，，），所以〃的分布列為

n

0123

88*8*8

評述：放回抽樣時，抽到的次品數(shù)為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件，即"?（，）.

特別提示

求離散型隨機(jī)變量分布列要注意兩個問題：一是求出隨機(jī)變量所有可能的值；二是求出

取每一個值時的概率.

【例】一袋中裝有只球，編號為，，，，，在袋中同時取只，以f表示取出的三只球中的最

小號碼，寫出隨機(jī)變量&的分布列.

剖析：因?yàn)樵诰幪枮?，，，，的球中，同時取只，所以小號碼可能是或或，即f可以取，，.

解：隨機(jī)變量f的可能取值為,，.

當(dāng)f時，即取出的三只球中最小號碼為，則其他兩只球只能在編號為，，，的四只球中任

取兩只，故有（f）§93：

C”o5

當(dāng)f時，即取出的三只球中最小號碼為，則其他兩只球只能在編號為,，的三只球中任取

兩只，故有（f）二上；

c”0

當(dāng)f時，即取出的三只球中最小號碼為，則其他兩只球只能在編號為，的兩只球中任取

C21

兩只，故有（f）=L.

c”0

因此，f的分布列如下表所示:

331

5ToTo

評述：求隨機(jī)變量的分布列，重要的基礎(chǔ)是概率的計算，如古典概率、互斥事件的概率、

相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率、次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有次發(fā)生的概率等.本題中基本事件總數(shù)，即；,

取每一個球的概率都屬古典概率（等可能性事件的概率）.

【例】（年春季安徽）已知盒中有個燈泡，其中個正品，個次品.需要從中取出個正品，

每次取出個，取出后不放回，直到取出個正品為止.設(shè)§為取出的次數(shù)，求f的分布列及。

剖析：每次取件產(chǎn)品，.?.至少需次，即f最小為，有件次品，當(dāng)前次取得的都是次品時,

f,所以f可以取，，.

冷"/E、8728

解：（f）—XKz------；

10945

82728714

k5z---/>—/X----ZX-ZX-------

1098109845

28141

454515

???f的分布列如下：

28141

454515

22

fX(f)X(f)X(f)—,

9

評述：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的概念，考查運(yùn)用概率知識解決實(shí)

際問題的能力.

思考討論

.f時有哪些情況？

.本題若改為取出后放回，如何求解？

?闖關(guān)訓(xùn)練

夯實(shí)基礎(chǔ)

.袋中有大小相同的個球，分別標(biāo)有，，，，五個號碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出

兩個球，設(shè)兩個球號碼之和為隨機(jī)變量f,則f所有可能取值的個數(shù)是

解析：號碼之和可能為.......共種.

答案：

袋中有個白球，個紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個記下顏色后放回,直到紅

球出現(xiàn)次時停止，設(shè)停止時共取了f次球，則(f)等于

288888

(-)?(-)

8888

解析：(4)表示第次為紅球，前次中有次為紅球，從而(f)-(-)(-)

"88

答案：

.現(xiàn)有一大批種子，其中優(yōu)質(zhì)良種占，從中任取粒，記◎?yàn)榱Ｖ械膬?yōu)質(zhì)良種粒數(shù),則f的

分布列是.

解析：f的分布列是(f)；

答案：(f)廠,

.袋中有只紅球只黑球，從袋中任取只球，取到只紅球得分，取到只黑球得分，設(shè)得分為

隨機(jī)變量f,貝U(fW).

解析：取出的只球中紅球個數(shù)可能為，，，個，黑球相應(yīng)個數(shù)為，，，個.其分值為f,,,分

…)9罟會

.(年天津，理)從名男生和名女生中任選人參加演講比賽.設(shè)隨機(jī)變量f表示所選人中女

生的人數(shù).

O求f的分布列；

()求f的數(shù)學(xué)期望；

()求“所選人中女生人數(shù)fWl”的概率.

解：()f的可能取值為，，.

「k「3-k

(O

C：

???f的分布列為

3J

555

()由()，可知

131

fX-X-X

555

()“所選人中女生人數(shù)f〈1”的概率為

4

(O(f)(f

5

培養(yǎng)能力

.(年高考?新課程)、兩個代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官悾筷?duì)三名隊(duì)員，隊(duì)隊(duì)員是、、，隊(duì)隊(duì)

員是、、，按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如1

對陣隊(duì)員隊(duì)隊(duì)員勝的概率隊(duì)隊(duì)員負(fù)的概率

2￡

對

i3

23

對

~55

23

對

~55

現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊(duì)得分，負(fù)隊(duì)得分.設(shè)隊(duì)、隊(duì)最后所得總分分別為f、n.

()求f、〃的概率分布；

()求f、n.

分析：本題考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，考查運(yùn)用概率知識解決實(shí)際

問題的能力.

解：()八〃的可能取值分別為，，，.

(-x-x-A,

35575

22312223228

(S)—z\—z\——z\—Z\——z\—z\----------

35535535575

￥)2乂331231322

(

3553553555

1333

(f)lx-X--；

35525

根據(jù)題意知f〃，所以

8

(n)

75

28

(n)

75

2

(n)一,

5

3

(n)

25

O”總義竺x2x2必

757552515

因?yàn)閒n,

所以〃一f空.

15

.金工車間有臺同類型的機(jī)床，每臺機(jī)床配備的電動機(jī)功率為，已知每臺機(jī)床工作時，

平均每小時實(shí)際開動，且開動與否是相互獨(dú)立的.現(xiàn)因當(dāng)?shù)仉娏?yīng)緊張，供電部門只提

供的電力，這臺機(jī)床能夠正常工作的概率為多大？在一個工作班的內(nèi)，不能正常工作的時

間大約是多少？

分析：由實(shí)際問題確定隨機(jī)變量的取值，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求概率值.

解：設(shè)臺機(jī)床中實(shí)際開動的機(jī)床數(shù)為隨機(jī)變量f,由于機(jī)床類型相同，且機(jī)床的開動與

否相互獨(dú)立，因此f?（，）.其中是每臺機(jī)床開動的概率，由題意乜工.從而（f）%（-）

6055

/4、-

（一）,,,,**,,.

5

電力同時供給臺機(jī)床開動，因而臺機(jī)床同時開動的臺數(shù)不超過臺時都可以正常工作.這一

事件的概率為（fW）,

55

因此，在電力供應(yīng)為的條件下，機(jī)床不能正常工作的概率僅約為，從而在一個工作班的

內(nèi)，不能正常工作的時間只有大約XX（）,這說明，臺機(jī)床的工作基本上不受電力供應(yīng)緊張

的影響.

評述：分布列的實(shí)際應(yīng)用，應(yīng)結(jié)合題意給出答案.

,一袋中裝有只球，編號為，，，，，在袋中同時取只，以4表示取出的只球中的最大號，寫

出隨機(jī)變量f的分布列.

解：根據(jù)題意可知隨機(jī)變量f的取值為，，.

C21

當(dāng)f時，即取出的三只球中最大號碼為，則其他兩球的編號只能是，，故有（f

C；10

當(dāng)§時，即取出的三只球中最大號碼為，則其他兩球只能在編號為,，的球中取個，故（f）

cf_2

c；io'

（§）￡|色

c；10

可得f的分布列為

136

76ToTo

探究創(chuàng)新

.如果f?（,則使（&）取最大值的的值是.

3

解析：?+1）2號里—空」X，》,

p（&=k）c§od）“2尸"k+12

得W.

所以當(dāng)W時，（f）》（f）,

當(dāng)〉時，（f）V（f）,

其中時，（f）（f）,

從而或時，（f）取得最大值.

答案：或

?思悟小結(jié)

.離散型隨機(jī)變量的概率分布的兩個本質(zhì)特征：》（，，一,）與￡是確定分布列中參數(shù)值

/=