高中數(shù)學解題思維策略

第一講數(shù)學思維的變通性

一、概念

數(shù)學問題千變?nèi)f化，要想既快又準的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通

性一一善于根據(jù)題設的相關知識，提出靈活的設想和解題方案。根據(jù)數(shù)學思維變通性的主要體現(xiàn)，本講將

著重進行以下幾個方面的訓練：

(1)善于觀察

心理學告訴我們：感覺和知覺是認識事物的最初級形式，而觀察則是知覺的高級狀態(tài)，是一種有目

的、有計劃、比較持久的知覺。觀察是認識事物最基本的途徑，它是了解問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前

提。

任何一道數(shù)學題，都包含一定的數(shù)學條件和關系。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對題目

進行深入的、細致的、透徹的觀察，然后認真思考，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找

到解題方法。

1111

例如，求和-----1----------1----------1-------1-

?22-33-4+1)

這些分數(shù)相加，通分很困難，但每項都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù)，且一--=--——,因此,

原式等于1—…——!一=1一一!一問題很快就解決了?

223n〃+1〃+1

(2)善于聯(lián)想

聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁。稍具難度的問題和基礎知識的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復雜的。因

此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運用有關知識，做出相應的聯(lián)想，將

問題打開缺口，不斷深入。

例如，解方程組2

xy=-3

這個方程指明兩個數(shù)的和為2,這兩個數(shù)的積為-3。由此聯(lián)想到韋達定理，x、y是一元二次方程

產(chǎn)―2f-3=0的兩個根,

x=-1fx=3

所以《或《?可見，聯(lián)想可使問題變得簡單。

、y=3[y=-l

(3)善于將問題進行轉(zhuǎn)化

數(shù)學家G.波利亞在《怎樣解題》中說過：數(shù)學解題是命題的連續(xù)變換?？梢?，解題過程是通過問

題的轉(zhuǎn)化才能完成的。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學題的一種十分重要的思維方法。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把

復雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題。在解題時，觀察具

體特征，聯(lián)想有關問題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關系。

例如，已知,+'-!—,(abc^O,a+b+c^O'),

abca+h+c

求證a、b.c,三數(shù)中必有兩個互為相反數(shù)。

恰當?shù)霓D(zhuǎn)化使問題變得熟悉、簡單。要證的結論，可以轉(zhuǎn)化為：(。+份0+c)(c+a)=O

思維變通性的對立面是思維的保守性，即思維定勢。思維定勢是指一個人用同一種思維方法解決若干

問題以后，往往會用同樣的思維方法解決以后的問題。它表現(xiàn)就是記類型、記方法、套公式，使思維受到

限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。

綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進行問題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學思維變通性的具體體現(xiàn)。要想提高思維

變通性，必須作相應的思維訓練。

二、思維訓練實例

(1)觀察能力的訓練

雖然觀察看起來是一種表面現(xiàn)象，但它是認識事物內(nèi)部規(guī)律的基礎。所以，必須重視觀察能力的訓練,

使學生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征，采用特殊方法來解題。

例1、已知都是實數(shù)，求證-1+/+G+d22-+(8—d)2.

思路分析從題目的外表形式觀察到，耍證的

結論的右端與平面上兩點間的距離公式很相似，而

左端可看作是點到原點的距離公式。根據(jù)其特點，

可采用下面巧妙而簡捷的證法，這正是思維變通的體現(xiàn)。

證明:不妨設A(a,b)妨(c,d)如圖1—2—1所示,

則q=J(a—c)2+0-d)2.

四=7a2+b2,\OB\=yjc2+d2,

在AOAB中，由三角形三邊之間的關系知:

\O^+\OB\>\A^當且僅當0在AB上時，等號成立。

因此，\la2+b2+y/c2+d2>7(?-c)2+(b-d)2.

思維障礙很多學生看到這個不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法

證明很繁。學生沒能從外表形式上觀察到它與平面上兩點間距離公式相似的原因，是對這個公式不熟，進

一步講是對基礎知識的掌握不牢固。因此，平時應多注意數(shù)學公式、定理的運用練習。

例2、已知3/+2y2=6x,試求/+；/的最大值。

解由3%2+2y2=6x得

y2---X2+3x.

2

3

y2>0,/.~~x^+3x>0,.1.0<x<2.

Xx2+y2=x2-^x2+3x=-J(x-3)2+-1,

,,1,9

當x=2時，/+>2有最大值，最大值為一上(2-3)2+二=4.

22

思路分析要求/+V的最大值，由已知條件很快將/+>2變?yōu)橐辉魏瘮?shù)

/(幻=一］。一3)2+1，然后求極值點的工值，聯(lián)系到丁20,這一條件，既快又準地求出最大值。上

述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的變通性。

思維障礙大部分學生的作法如下：

由3尤2+2,2=6%得/=-1X2+3X,

/.x1+y1=x2+3x=-^(x-3)2+1

Q

當X=3時，/+y2取最大值，最大值為

這種解法由于忽略了V?o這一條件，致使計算結果出現(xiàn)錯誤。因此，要注意審題，不僅能從表面

形式上發(fā)現(xiàn)特點，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件，

又要注意次要條件，這樣，才能正確地解題，提高思維的變通性。

有些問題的觀察要從相應的圖像著手.

例3,已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c=0(a>0),滿足關系

/(2+x)=/(2—x),試比較/(0.5)與/(萬)的大小。

思路分析由已知條件/(2+幻=/(2-幻可知，在與x=2左右等距離

的點的函數(shù)值相等，說明該函數(shù)的圖像關于直線x=2對稱，又由

圖1一2一

已知條件知它的開口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致圖像簡捷地解出此題。

解(如圖1—2—2)由/(2+幻=/(2-幻，

知/(幻是以直線x=2為對稱軸，開口向上的拋物線

它與x=2距離越近的點，函數(shù)值越小。

|2-0.5|>|2—川."(0.5)>于(兀)

思維障礙有些同學對比較/(0.5)與/(萬)的大小，只想到求出它們的值。而此題函數(shù)/(幻的表達

式不確定無法代值，所以無法比較。出現(xiàn)這種情況的原因，是沒有充分挖掘已知條件的含義，因而思維受

到阻礙，做題時要全面看問題，對每一個已知條件都要仔細推敲，找出它的真正含義，這樣才能順利解題。

提高思維的變通性。

(2)聯(lián)想能力的訓練

例4、在A45C中，若NC為鈍角，則tan/Ltan6的值

(A)等于1(B)小于1(C)大于1(D)不能確定

思路分析此題是在AABC中確定三角函數(shù)tan/LtanB的值。因此，聯(lián)想到三角函數(shù)正切的兩角和

八、，八、tanA+tanB_金一

公式tan(A+B)=------------可得下面解法。

1-tanA-tanB

解：/C為鈍角，tanC<0.在中A+8+C="C=?-(A+8)

且A、8均為銳角，

r.tanC=tan[?—(A+B)]=-tan(A+B)=--⑦"—+tan'<

L」1-tanAtanB

,/tanA>0,tanB>0,r.1-tanA-tanB>0.即tanA-tanB<1.

故應選擇(B)

思維障礙有的學生可能覺得此題條件太少，難以下手，原因是對三角函數(shù)的基本公式掌握得不牢固，

不能準確把握公式的特征，因而不能很快聯(lián)想到運用基本公式。

例5、若(z-x)2-4(X一50(>-2)=0,證明:2)=》+2.

思路分析此題一般是通過因式分解來證。但是，如果注意觀察已知條件的特點，不難發(fā)現(xiàn)它與一元

二次方程的判別式相似。于是，我們聯(lián)想到借助一元二次方程的知識來證題。

證明當x-yHO時，等式(z-x)?-4(x-y)(y-z)=0

可看作是關于t的一元二次方程(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0有等根的條件，在進一步觀察這個

方程，它的兩個相等實根是1,根據(jù)韋達定理就有:

-——=1即2y=x+z

^-y

若冗一y=0,由已知條件易得z-x=O,即％=y=z,顯然也有2y=x+z.

例6、已知a、b、C,均為正實數(shù)，滿足關系式標+^=。2,又〃為不小于3的自然數(shù)，

求證：<C".

思路分析由條件=/聯(lián)想到勾股定理，小h、?？蓸嫵芍苯侨切蔚娜叄M一步聯(lián)想到

三角函數(shù)的定義可得如下證法。

證明設a、b、c所對的角分別為A、B、C則。是直角，A為銳角，于是

ab

sinA=—,cosA=—，且0<sinA<l,0<cosA<1,

cc

當〃23時，有sin"A<sin?A,cos/:A<cos2A

于是有sin"A+cos〃A<sin2A+cos2A=1

即（3）"+（2）"<l,

cc

從而就有an+hn<cn.

思維阻礙由于這是一個關于自然數(shù)〃的命題，一些學生都會想到用數(shù)學歸納法來證明，難以進行數(shù)

與形的聯(lián)想，原因是平時不注意代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，單純學代數(shù)，學幾何，因而不能將題目條件的數(shù)

字或式子特征與直觀圖形聯(lián)想起來。

（3）問題轉(zhuǎn)化的訓練

我們所遇見的數(shù)學題大都是生疏的、復雜的。在解題時，不僅要先觀察具體特征，聯(lián)想有關知識，而

且要將其轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的，簡單的問題來解。恰當?shù)霓D(zhuǎn)化，往往使問題很快得到解決，所以，進行

問題轉(zhuǎn)化的訓練是很必要的。

①轉(zhuǎn)化成容易解決的明顯題目

例7、已知。+。+。=4+』+'=1,求證。、b、C中至少有一個等于1。

abc

思路分析結論沒有用數(shù)學式子表示，很難直接證明。首先將結論用數(shù)學式子表示，轉(zhuǎn)化成我們熟悉

的形式。a、b、c中至少有一個為1,也就是說。一1、〃一1、。一1中至少有一個為零，這樣，問題就容

易解決了。

證明V—H---F—=1,/.bc+ac+ab=abc.

abc

于是(。-1)(。一l)(c-l)=abc-(ab+acbe+(a+b+c)=0.

a—1、b—1、c—1中至少有一個為零，即a、b、c中至少有一個為1。

思維障礙很多學生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個為1,

其原因是不能把要證的結論“翻譯”成數(shù)學式子，把陌生問題變?yōu)槭煜栴}。因此，多練習這種“翻譯”，

是提高轉(zhuǎn)化能力的一種有效手段。

例8、直線L的方程為x=—",其中〃>0；橢圓E的中心為O'(2+5,0),焦點在x軸上，長半

軸為2,短半軸為1,它的一個頂點為45,0)，問〃在什么范圍內(nèi)取值時，橢圓上有四個不同的點，

它們中的每一點到點A的距離等于該點到直線L的距離。

思路分析從題目的要求及解析幾何的知識可知，四個不同的點應在拋物線

y2=2px(1)

是，又從已知條件可得橢圓E的方程為

._(2+9]2

------------——+y2=1(2)

4

因此，問題轉(zhuǎn)化為當方程組(1)、(2)有四個不同的實數(shù)解時，求p的取值范圍。將(2)代入(1)

得：

x2+(7p-4)x++2/?=0.(3)

4

確定p的范圍，實際上就是求(3)有兩個不等正根的充要條件，解不等式組：

(7/7-4)2-4(々+2/?)>0

2

?2+2/?>0

4

7/7-4<0

在〃>0的條件下，得0<〃<13.

本題在解題過程中，不斷地把問題化歸為標準問題：解方程組和不等式組的問題。

(2)逆向思維的訓練

逆向思維不是按習慣思維方向進行思考，而是從其反方向進行思考的一種思維方式。當問題的正面考

慮有阻礙時，應考慮問題的反面，從反面入手，使問題得到解決。

例9、已知函數(shù)/(x)=2/+西+〃，求證J/⑴卜⑵卜/(3)|中至少有一個不小于1.

思路分析反證法被譽為“數(shù)學家最精良的武器之一”，它也是中學數(shù)學常用的解題方法。當要證結

論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時，一般可考慮采用反證法。

證明（反證法）假設原命題不成立，即|/⑴卜/⑵|、|/（3）|都小于1。

伙1)1<1一1<2+陽+〃<1-3<m+n<-1①

則,|/⑵|<1n,-1<8+2m+〃<1n<-9<2m+〃<-7②

—1<18+3/zz+〃<1-19<3根+〃<-17③

①+③得一11<2加+〃<—9,

與②矛盾，所以假設不成立，即⑴|、|/（2）|、|/（3）］中至少有一個不小于1。

（3）一題多解訓練

由于每個學生在觀察時抓住問題的特點不同、運用的知識不同，因而，同一問題可能得到幾種不同的

解法，這就是“一題多解”。通過一題多解訓練，可使學生認真觀察、多方聯(lián)想、恰當轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學思

維的變通性。

例10、已知復數(shù)z的模為2,求|z—的最大值。

解法一(代數(shù)法)設2=%+歹(小yG/?),

則V+y2=4.|z-z|=yjx2+(y-l)2=j5-2y.

???當y=—2時,上一必'=3.

解法二（三角法）設z=2（cos8+isin。）,

則|z-j=J4cos24+(2sin6-=j5-4sin8.

當sin0=-1時」z—z|=3.

IImax

解法三（幾何法）

:忖=2,.?.點z是圓/+V=4上的點，

|z-i|表示2與?所對應的點之間的距離

如圖1—2—3所示，可知當z=-2i時，|z

解法四（運用模的性質(zhì)）

圖1一2一3

,.,|z-z|<|z|+|—/|=2+1=3

而當z=—2i時，|z-z|=3./.|z—z|niix=3.

解法五（運用模的性質(zhì)）

|z=(z-i)(z-i)=zz4-(z-z)z+l

=5+2/(z),(/(z)表z的虛部).

又??[/(小2,.#-/產(chǎn)9,小一九=3.

第二講數(shù)學思維的反思性

一、概述

數(shù)學思維的反思性表現(xiàn)在思維活動中善于提出獨立見解，精細地檢查思維過程，不盲從、不輕信。在解決

問題時能不斷地驗證所擬定的假設，獲得獨特的解決問題的方法，它和創(chuàng)造性思維存在著高度相關。本講

重點加強學生思維的嚴密性的訓練，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維。

二、思維訓練實例

(1)檢查思路是否正確，注意發(fā)現(xiàn)其中的錯誤。

X

例1、已知/(x)=ar+—,若一3</(1)<0,3?/(2)<6,求/(3)的范圍。

h

錯誤解法由條件得

—3<a+b<0①

3<2a+1<6②

②X2一①得6<a<15③

Qk7

①X2-②得④

333

③+④得—<3a+-<—,即竺4八3)〈電.

33333

X

錯誤分析采用這種解法，忽視了這樣一個事實：作為滿足條件的函數(shù)/(x)=?x+/,其值是同時

b

受a和力制約的。當a取最大(小)值時，人不一定取最大(小)值，因而整個解題思路是錯誤的。

正確解法由題意有

f(l)=a+b

vb

/⑵=2。+5

12

解得：a=-[2f(2)-f(l)]9b=-[2f(i)-f(2)]9

.??八3)=3〃+《="⑵一"⑴.

把/⑴和/(2)的范圍代入得y</(3)<y.

在本題中能夠檢查出解題思路錯誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。只有牢固地掌握基

礎知識，才能反思性地看問題。

例2、證明勾股定理：已知在ZVLBC中，ZC=90°,求證。2=/+〃.

錯誤證法在中，sinA=—,cos4=2,而sin?A+cos2A=1,

cc

(—)2+(—)2=1,BPc2=a2+b2.

cc

錯誤分析在現(xiàn)行的中學體系中，sin?A+cos2A=1這個公式本身是從勾股定理推出來的。這種利

用所要證明的結論，作為推理的前提條件，叫循環(huán)論證。循環(huán)論證的錯誤是在不知不覺中產(chǎn)生的，而且不

易發(fā)覺。因此，在學習中對所學的每個公式、法則、定理，既要熟悉它們的內(nèi)容，又要熟悉它們的證明方

法和所依據(jù)的論據(jù)。這樣才能避免循環(huán)論證的錯誤。發(fā)現(xiàn)本題犯了循環(huán)論證的錯誤，正是思維具有反思性

的體現(xiàn)。

(2)驗算的訓練

驗算是解題后對結果進行檢驗的過程。通過驗算，可以檢查解題過程的正確性，增強思維的反思性。

例3、已知數(shù)列｛4｝的前〃項和S“=2”+1,求明.

錯誤解法an=Sn-=(2"+1)-(2"-'+1)=2"-2"T=T''.

錯誤分析顯然，當〃=1時，/=S1=3/2i=l,錯誤原因，沒有注意公式*=S“—S'一成立

的條件是“N2(〃eN).因此在運用時，必須檢驗n=\時的情形。即：

5(〃=i)

CI=V

〃[Sn(n>2,ne7V)

例4、實數(shù)a為何值時，圓/+/—2?！?。2-1=0與拋物線/=gx有兩個公共點。

錯誤解法將圓/+'2-2辦+。2-1=0與拋物線聯(lián)立，消去y,

得X2-(2a--)x+a2-1=0(x>0).①

2

A=0

因為有兩個公共點，所以方程①有兩個相等正根，得j>0

2

a2-l>0.

17

解之，得。=一.

8

錯誤分析(如圖2—2—1；2—2—2)顯然，當。=0時;圓與拋物線有兩個公共點。

要使圓與拋物線有兩個交點的充要條件是方程①有一正根、一負根；或有兩個相等正根。

fA>0

當方程①有一正根、一負根時，得《，解之，得一

171

因此，當。=,或-l<a<l時，圓，+/一2。乂+。2—1=0與拋物線y2=一無有兩個公共點。

82

思考題：實數(shù)a為何值時，圓Zax+Y—i=o與拋物線/=gx,

(1)有一個公共點；

(2)有三個公共點；

(3)有四個公共點；

(4)沒有公共點。

養(yǎng)成驗算的習慣，可以有效地增強思維反思性。如：在解無理方程、無理不等式；對數(shù)方程、對數(shù)不

等式時，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能會發(fā)生變化，這樣就有可能產(chǎn)生增根或失根，

因此必須進行檢驗，舍棄增根，找回失根。

(3)獨立思考，敢于發(fā)表不同見解

受思維定勢或別人提示的影響，解題時盲目附和，不能提出自己的看法，這不利于增強思維的反思性。

因此，在解決問題時，應積極地獨立思考，敢于對題目解法發(fā)表自己的見解，這樣才能增強思維的反思性,

從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。

例5、30支足球隊進行淘汰賽，決出一個冠軍，問需要安排多少場比賽？

解因為每場要淘汰1個隊，30個隊要淘汰29個隊才能決出一個冠軍。因此應安排29場比賽。

思路分析傳統(tǒng)的思維方法是：30支隊比賽，每次出兩支隊，應有15+7+4+2+1=29場比賽。

而上面這個解法沒有盲目附和，考慮到每場比賽淘汰1個隊，要淘汰29支隊，那么必有29場比賽?

例6、解方程X?-2x+3=cosx.

考察方程兩端相應的函數(shù)y=(x-1尸+2,y=cosx,它們的圖象無交點。

所以此方程無解。

例7、設a、p是方程――2匕c+%+6=0的兩個實根，則。一I）?+（￡-1）2的最小值是（)

49

(B)8;(C)18;（。）不存在

思路分析本例只有一個答案正確，設了3個陷阱，很容易上當。

利用一元二次方程根與系數(shù)的關系易得：a+/3=2k,af3=k+6,

(a-1)~+("一=oc~-2a+14-—2/?4-1

—(fit+f3)~—2a/7—2(a+/3)+2

“749

=4(%—)----.

44

有的學生一看到-絲49，常受選擇答案（A）的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思性的體現(xiàn)。如果

4

能以反思性的態(tài)度考察各個選擇答案的來源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確答案。

原方程有兩個實根a、B，

：.A=4A:2-4(Z:+6)>0,k<-2或223.

當我23時，3-1）2+（￡—1）2的最小值是8；當ZW—2時，（a—ly+（夕一1）2的最小值是18；

這時就可以作出正確選擇，只有（B）正確。

第三講數(shù)學思維的嚴密性

一、概述

在中學數(shù)學中，思維的嚴密性表現(xiàn)為思維過程服從于嚴格的邏輯規(guī)則，考察問題時嚴格、準確，進行運算

和推理時精確無誤。數(shù)學是一門具有高度抽象性和精密邏輯性的科學，論證的嚴密性是數(shù)學的根本特點之

一。但是，由于認知水平和心里特征等因素的影響，中學生的思維過程常常出現(xiàn)不嚴密現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在

以下幾個方面：

概念模糊概念是數(shù)學理論體系中十分重要的組成部分。它是構成判斷、推理的要素。因此必須弄清概念,

搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定基礎0概念不清就容易陷入思維混亂，產(chǎn)生錯誤。

判斷錯誤判斷是對思維對象的性質(zhì)、關系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一種思維形式。數(shù)學中的判斷

通常稱為命題。在數(shù)學中，如果概念不清，很容易導致判斷錯誤。例如，"函數(shù)y=（g）7是一個減函數(shù)”

就是一個錯誤判斷。

推理錯誤推理是運用已知判斷推導出新的判斷的思維形式。它是判斷和判斷的聯(lián)合。任何一個論證都

是由推理來實現(xiàn)的，推理出錯，說明思維不嚴密。

例如，解不等式x>L.

X

解X2>1,

X

11,

X>1,或x<—1.這個推理是錯誤的。在由X>—推導>1時:沒有討論X的正、負，理由不

X

充分，所以出錯。

二、思維訓練實例

思維的嚴密性是學好數(shù)學的關鍵之一。訓練的有效途徑之一是查錯。

（1）有關概念的訓練

概念是抽象思維的基礎，數(shù)學推理離不開概念?！罢_理解數(shù)學概念是掌握數(shù)學基礎知識的前提《中學

數(shù)學教學大綱》（試行草案）

例1、不等式Iog（『+2）（3x2-2x-4）>log*+2）（x2-3X+2）.

錯誤解法

3x~—2x—4>x~—3x+2,

2x~+x—6>0,x>一<—2.

2

錯誤分析當x=2時，真數(shù)x2—3x+2=0且x=2在所求的范圍內(nèi)（因2>己），說明解法錯誤。原

2

因是沒有弄清對數(shù)定義。此題忽視了“對數(shù)的真數(shù)大于零”這一條件造成解法錯誤，表現(xiàn)出思維的不嚴密

性。

正確解法-,?X2+2>1

1+V13.1-V13

x>------或x<-------

3/-2x-4>033

—3x+2>0/.<x><1

3x~—2x—4>x~一3x+23TC

x>一<—2

x>2或％<-2.

例2、求過點（0,1）的直線，使它與拋物線>2=2%僅有一個交點。

錯誤解法設所求的過點（0,1）的直線為y=Qc+1,則它與拋物線的交點為

y=kx+1o

f,，消去y得：（乙+11—2x=0.

（7=2x

整理得k2x2+Qk-2）x+1=0.直線與拋物線僅有一個交點，

.?.△=0,解得女=；.，所求直線為丁=工工+1.

錯誤分析此處解法共有三處錯誤：

第一，設所求直線為y=Zx+l時，沒有考慮左=0與斜率不存在的情形，實際上就是承認了該直線的斜

率是存在的，且不為零，這是不嚴密的。

第二，題中要求直線與拋物線只有一個交點，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情

況，只考慮相交的情況。原因是對于直線與拋物線“相切”和“只有一個交點”的關系理解不透。

第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項系數(shù)不

能為零，即人聲0,而上述解法沒作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴密。

正確解法當所求直線斜率不存在時，即直線垂直x軸，因為過點(0,1),所以尤=0,即y軸，它正好與

拋物線>2=2x相切。

當所求直線斜率為零時，直線為y=l,平行x軸，它正好與拋物線V=2x只有一個交點。

設所求的過點(0,1)的直線為y=kx+\(k^0)則

V=kx+1,,11

「,.??女2/+(2左一2)x+l=o.令△=(),解得Z=—..??所求直線為y=—x+1.

y-2x22

綜上，滿足條件的直線為：

y=1,x=0,y=—x+1.

(2)判斷的訓練

造成判斷錯誤的原因很多，我們在學習中，應重視如下幾個方面。

①注意定理、公式成立的條件

數(shù)學上的定理和公式都是在一定條件下成立的。如果忽視了成立的條件，解題中難免出現(xiàn)錯誤。

例3、實數(shù)〃？，使方程/+(根+4i)x+l+2,位=0至少有一個實根。

錯誤解法?.?方程至少有一個實根，

A=(m+4z)2-4(1+2/MZ)=m2-20>0.

/.m>2V5,或〃？W-2-J5.

錯誤分析實數(shù)集合是復數(shù)集合的真子集，所以在實數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、定理，在復數(shù)范圍內(nèi)不一定成

立，必須經(jīng)過嚴格推廣后方可使用。一元二次方程根的判別式是對實系數(shù)一元二次方程而言的，而此題目

盲目地把它推廣到復系數(shù)一元二次方程中，造成解法錯誤。

正確解法設。是方程的實數(shù)根，則

a1+。％+旬。+1+2mi=0,

/.a2+ma+1+(4。+2m)z=0.

由于。、機都是實數(shù)，

人

"a2+ma+1=0

4a+2m=0

解得m=±2.

例4、已知雙曲線的右準線為x=4,右焦點廠(10,0),離心率e=2,求雙曲線方程。

錯解1*.*x=―4,c—10,.*.ci2=40,.,.h~—c2—a2—60.

c

故所求的雙曲線方程為

22

二-匕=1.

4060

錯解2由焦點F(10,0)知c=10,

e=—=2,.*.a=5,Z?2=c2—a2=75.

a

故所求的雙曲線方程為

22

二-"=1.

2575

錯解分析這兩個解法都是誤認為雙曲線的中心在原點，而題中并沒有告訴中心在原點這個條件。由

于判斷錯誤，而造成解法錯誤。隨意增加、遺漏題設條件，都會產(chǎn)生錯誤解法。

正解1設P(x,y)為雙曲線上任意一點，因為雙曲線的右準線為x=4,右焦點/(10,0),離心率

e=2,由雙曲線的定義知

J(x_10)2+V

|x-4|

U-2)2/

整理得

1648"

正解2依題意，設雙曲線的中心為(加,0)

貝i]vc+m=10解得vc=8

c_m=2.

—=2.i

a

所以b2=c2-?2=W-16=48,

故所求雙曲線方程為巨一2)[一21=]

1648

②注意充分條件、必要條件和充分必要條件在解題中的運用

我們知道：

如果A成立，那么8成立，即A=B,則稱A是B的充分條件。

如果3成立，那么A成立，即3=A,則稱A是5的必要條件。

如果AoB,則稱A是B的充分必要條件。

充分條件和必要條件中我們的學習中經(jīng)常遇到。像討論方程組的解，求滿足條件的點的軌跡等等。但充分

條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏忽，就會出錯。

例5、解不等式

錯誤解法要使原不等式成立，只需

x-1>0

<x-3>0,解得3<x<5.

x■—12(x-3尸

A>Q

A>Q

錯誤分析不等式y(tǒng)[A>B成立的充分必要條件是:<B>Q或

B<Q

A>B2

x-l>0

,而忽視了另一種情況I"=,所考慮的情況只

原不等式的解法只考慮了一種情況<x-3>0

x-3<0

x-12(x—3)~

是原不等式成立的充分條件，而不是充分必要條件,其錯誤解法的

實質(zhì)，是把充分條件當成了充分必要條件。

正確解法要使原不等式成立，則

X—1>0(

X-1>0

-x-3>0或<

、x—3<0

x—12(x—3)一

..3<x<5,或1<工<3.

?,?原不等式的解集為｛x|14x45｝

例6、（軌跡問題）求與y軸相切于右側(cè)，并與。C:d+/-6%=0也相切的圓的圓心的軌跡方程。

錯誤解法如圖3—2—1所示，

己知。C的方程為（》一3）2+；/=9.

設點P（x,y）（x>0）為所求軌跡上任意一點，并且。P與y軸相切于M點，

與。C相切于N點。根據(jù)已知條件得

|CP|=|PM\+3,即J（x—31+/=x+3.

化簡得V=12%（%>0）

錯誤分析本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點都滿足條件），而沒有考慮所求軌

跡的完備性（即滿足條件的點都在所求的軌跡上）。事實上，符合題目條件的點的坐標并不都滿足所求的

方程。從動圓與已知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以x軸正半軸上任一點為圓心，此點到原點的距離為半徑（不等于

3）的圓也符合條件，所以y=0（x>0且%。3）也是所求的方程。即動圓圓心的軌跡方程是

丁=12%（x>0）和

y=0（%>0且％力3）。因此，在求軌跡時，一定要完整的、細致地、周密地分析問題，這樣，才能保證

所求軌跡的純粹性和完備性。

③防止以偏概全的錯誤

以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問題的全部答案，從而表現(xiàn)出

思維的不嚴密性。

例7、設等比數(shù)列｛4｝的全〃項和為S”.若S3+S6=2Sg,求數(shù)列的公比q.

錯誤解法S3+S6=259,

.4（1一/）q（l—/）。（1一/）

…---------1---------=2----------

1-q]_qq

整理得/（2q6_g3_D=0.

由“w0得方程2/一/一1=0.；.（2/+1）（/_i）=o,

錯誤分析在錯解中，由-(1-/)+囚(1-")=2.爾7)

\-q\~q\-q

整理得=0時，應有4*0和在等比數(shù)列中，是顯然的，但公比“完

全可能為1,因此，在解題時應先討論公比4=1的情況，再在的情況下，對式子進行整理變形。

正確解法若q=l,510WS3=3fl],S6=6at,S9—9ax.

但卬工0,即得S3+S6w2Sg,與題設矛盾，故

又依題意S3+S6=2S9,

市俎4(1一/)(]_/)《(1_/)

口」得----------1-------------=2-------------

]_qi_q1一q

整理得/(2/_/_D=0.即(2q3+l)(g3_i)=o,

因為qwl,所以二一1彳0,所以2/+i=o.

V4

所以q=~—.

2

說明此題為1996年全國高考文史類數(shù)學試題第(21)題，不少考生的解法同錯誤解法，根據(jù)評分標

準而痛失2分。

④避免直觀代替論證

我們知道直觀圖形常常為我們解題帶來方便。但是，如果完全以圖形的直觀聯(lián)系為依據(jù)來進行推理，

這就會使思維出現(xiàn)不嚴密現(xiàn)象。

例8、(如圖3—2—2),具有公共y軸的兩個直角坐標平面a和夕所成的二面角。->軸一/7等于60°.

已知夕內(nèi)的曲線C'的方程是>2=2p￡(p>0),求曲線C'在a內(nèi)的射影的曲線方程。

錯誤解法依題意，可知曲線C'是拋物線,

在夕內(nèi)的焦點坐標是p>0.

因為二面角a-y軸一夕等于60°,

且V軸±y軸，x軸J_y軸，所以Zxox'=60°.

設焦點尸在a內(nèi)的射影是尸(x,y),那么，/位于x軸上,

從而y=0,ZF'OF=60°,ZF'FO=90°,

所以0E=0尸?cosGO。'］吟所以點唱,0)是所求射影的焦點。依題意，射影是一條拋物線,

開口向右，頂點在原點。

所以曲線C在&內(nèi)的射影的曲線方程是y2=px.

錯誤分析上述解答錯誤的主要原因是，憑直觀誤認為尸是射影(曲線)的焦點，

其次，未經(jīng)證明默認C'在a內(nèi)的射影(曲線)是一條拋物線。

正確解法在夕內(nèi)，設點A/(x',y')是曲線上任意一點

(如圖3—2—3)過點/作MN_La,垂足為N,

過N作軸，垂足為H.連接M”，

則軸。所以NMHN是二面角

a—y軸一尸的平面角，依題意，ZMHN=60°.

在R/AMNW中,HN=HM-cos60°=-x'.

2

又知'軸(或"與。重合)，

HN口x軸(或H與。重合)，設N(x,y),

1,

x=-x尤'=2x

則2

j'=y

j=V

因為點M(x',y')在曲線V=2px'(p>0)上，所以寸=2p(2x).

即所求射影的方程為丁=4Px(p>0).

(3)推理的訓練

數(shù)學推理是由已知的數(shù)學命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學求解的核心。以己知的真實數(shù)學

命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當?shù)慕忸}方法，達到解題目標，得出結論的一系列推

理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關系(充分性、必要性、充要性等)，做到思

考縝密、推理嚴密。

3

例9、設橢圓的中心是坐標原點，長軸x在軸上，離心率e=2,已知點P(0,?)到這個橢圓上的最遠距

22

離是正，求這個橢圓的方程。

錯誤解法依題意可設橢圓方程為=+[=13>8>0）

a-b~

b21

所以1_=一，即a=2b.

a24

設橢圓上的點（x,y）到點P的距離為d,

則/=/+（,_|）2

=々2（1-二）+>2-3y+-

b24

=-3（y+^）2+4b2+3.

1,

所以當y=-上時，/有最大值，從而Q也有最大值。

所以4/+3=（J7）2,由此解得：b2=l,a2=4.

于是所求橢圓的方程為工+>2=1.

4

錯解分析盡管上面解法的最后結果是正確的，但這種解法卻是錯誤的。結果正確只是碰巧而已。由

當>時，/有最大值，這步推理是錯誤的，沒有考慮y到的取值范圍。事實上，由于點（x,y）在橢

圓上，所以有—因此在求I?的最大值時，應分類討論。即：

若b<L則當y=—b時，d2（從而d）有最大值。

2'

于是（療）2=（b+』）2,從而解得。=J7—3>L與矛盾。

2222

11,

所以必有匕2萬，此時當y=—/時，d2（從而d）有最大值，

所以4/+3=（近）2,解得/=1,〃=4

于是所求橢圓的方程為二+V=1.

4

2Q

例10、求曠=—=+―-的最小值

sin-xcosx

電初128口18

錯解1y=--—+------>2-J—；-----口—=------------

sinxcosxVsin"xcos-x\sinxcosx|

—^>16二?Vmin=16.

|sin2x\

錯解2y=(---Fsin-x)+(-----—Fcos-x)—122+25/8—1=-1+6\/2.

sinrcosx