一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題

ln(x-2),x>2

1.設(shè)函數(shù)/(x)=<,|,三，g(X)=x2-(m+l)x+m2-2,下列選項(xiàng)正確的有

|x+l|,x<2

()

A.當(dāng)m>3時(shí)，/[/(x)]=m有5個(gè)不相等的實(shí)根

B.當(dāng)m=0時(shí)，g[g(x)有4個(gè)不相等的實(shí)根

C.當(dāng)0<m<l時(shí)，f[g(x)]=m有6個(gè)不相等的實(shí)根

D.當(dāng)m=2時(shí)，g[/(x)]=m有5個(gè)不相等的實(shí)根

【答案】BCD

【分析】

作出函數(shù)/。)的圖象，利用函數(shù)〃x)的圖象和函數(shù)g(x)的圖象分析可解得結(jié)果.

【詳解】

作出函數(shù)/(x)的圖象：

3

當(dāng)相>3時(shí)，f(x)=加有兩個(gè)根：tt<-4,r2>2+e,方程/(x)=4有1個(gè)根，方程

/(%)=。2有.2個(gè)根，所以A錯(cuò)誤；

②當(dāng)加=0時(shí)，g(x)=x2-x-2,g[g(x)]=0,令g(x)=f,

由g(f)=。，得4=2,右=一1，

r+t.C2、1-Vi71+V17

由4=2=x-1一2nx=--—，%2=--—,

由，2=-1=X?—X—2=>七='!~/=I+,，所以B正確；

③令g(x)=f,，/⑺二根，因?yàn)?<根<1,所以/(，)=加有3個(gè)實(shí)根根彳出，與，

設(shè)％V，2<’3，所以F-1=帆q+1=帆ln(g-2)=tn.

/、2/ix2c,m+l.3m2-2m-9〉3m2-2m-9

g(x)=x-("2+l)x+〃z-2=(x------)2+-----------

244

3m2-2m-9-3m2-2m-9-3m2-2m+5

t,------------=—in-1--------

1444

因?yàn)橐?加2—2加+5在(0」)上遞減，所以一3機(jī)2一2機(jī)+5>—3-2+5=0,

...i—3ni~-2??z+5八,—3m~—27?i+5

所cc以4-------------->0>所c以rB>-------------,

'414

即方程/⑺=m的最小根A大于g(x)的最小值，

所以g(x)=%、g(x)=，2、g(x)=A都有2個(gè)不等實(shí)根，且這6個(gè)實(shí)根互不相等,

所以當(dāng)0<m<l時(shí)，f[g(x)]=m有6個(gè)不相等的實(shí)根，所以C正確；

④令/'(x)=f,則g?)=機(jī)，

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，方程g?)=2化為產(chǎn)一3，=()，得4=3,%=。；

當(dāng)「2=0=/。)，得用=-1,々=3;

當(dāng)％=3=/(x),得X,--4,x4=2,=2+e'符合題意，所以。正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解是解題關(guān)鍵.

2.已知函數(shù)〃x)=2"+x-2的零點(diǎn)為。，函數(shù)8(>)=1082%+8-2的零點(diǎn)為/7,則

()

W22

A.a+b=2B.2+log2&=2C.a+b>3D.Q<ab<\

【答案】ABD

【分析】

在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=2*,y=log2x,y=2-x的圖象，圖像的交點(diǎn)即為函

數(shù)的零點(diǎn)，反函數(shù)的性質(zhì)知A,3關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱，進(jìn)而可判斷4B,。正確.由函數(shù)

/(X)在R上單調(diào)遞增，且/[g)<0,/(l)>o,可得零點(diǎn)。的范圍，可得C不正確.

【詳解】

由/(x)=0,g(x)=O得2、=2-x，log2x=2-x,

函數(shù)y=2*與y=10g2X互為反函數(shù)，

在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=2"y=log2x,y=2-x的圖象，如圖所示，

-3

則A（a,2"）,B（0,log2勸.

由反函數(shù)的性質(zhì)知A,3關(guān)于點(diǎn)（1,1）對(duì)稱,

則。+人=2,2"+log2b=2.因?yàn)椤?gt;0,b>0,且〃b,

所以0<4〃<（生女］=1,故A,B,D正確.

I2）

因?yàn)?（x）=2'+x-2在R上單調(diào)遞增，且=-?<°，

/（D=l>0,

所以，<a<l.

2

因?yàn)椤?+/J?=#+（2—a）?=2（?！?2（s<a<1］,所以a-+/r,故C不正

確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖象把零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，本題考查了運(yùn)算能力

和邏輯推理能力，屬于難題.

3.已知函數(shù)y=/（x—l）的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱，且對(duì)y=/（x）,xeR,當(dāng)

%,々€（7,0］時(shí)，<0成立,若〃2狽）</（2/+1）對(duì)任意的恒

成立，則。的可能取值為（）

A.-V2B.-1C.1D.72

【答案】BC

【分析】

由已知得函數(shù)/（x）是偶函數(shù)，在［0,+=o）上是單調(diào)增函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為120rl<|2X2+1|對(duì)

任意的xeR恒成立，由基本不等式可求得范圍得選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)y=/（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，所以函數(shù)y=/（x）的圖象關(guān)于直線

尤=0（即y軸）對(duì)稱，所以函數(shù)/（X）是偶函數(shù).

又不（-00,0］時(shí)，、一1」,二<0成立,所以函數(shù)/（幻在［0,+8）上是單調(diào)增函數(shù).

且/（2ar）<f（2x2+1）對(duì)任意的xeR恒成立，所以120rl<|+11對(duì)任意的xeR恒成

立，

當(dāng)尤=0時(shí)，0<1恒成立，當(dāng)XN0時(shí)，臣斗=|x+W-Rx|+|，-|,

12x|2x2x

又因?yàn)閨x|+l1lN2j|x|」1l=VL當(dāng)且僅當(dāng)|燈=也時(shí)，等號(hào)成立，

2xV2x2

所以|a|＜也，因此一

故選：BC.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法：①分離參數(shù)aN/(x)恒成立(aN/(x)nm(即可)

或aW/(x)恒成立(。4/(力加即可)；②數(shù)形結(jié)合(y=/(x)圖象在y=g(x)上方

即可)；③討論最值〃力*NO或/")3W0恒成立.

4.設(shè)[用表示不超過(guò)X的最大整數(shù)，如：[1.2]=1,[-1.2]=-2,y=[x]又稱為取整函

數(shù)，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，諸如停車收費(fèi)，出租車收費(fèi)等均按"取整函數(shù)”進(jìn)行計(jì)

費(fèi)，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的描述，正確的是()

A.VxeR,[2x]=2[x]

B.Vx,yeR,若印=[可，則了一,＞一1

C.VxeR,[x]+x+；=[2x]

D.不等式2[xf—[x]—320的解集為{x|x＜0或xN2}

【答案】BCD

【分析】

通過(guò)反例可得A錯(cuò)誤，根據(jù)取整函數(shù)的定義可證明BC成立，求出不等式2r-/-3\()的

解后可得不等式2[x『_[x]-3＞0的解集，從而可判斷D正確與否.

【詳解】

對(duì)于A,x=-1.5,則[2司=[一3]=-3,2[x]=2x(_2)=T,故[2%卜2國(guó),故A不成

立.

對(duì)于B,[x]=[y]=m,則〃2Kx+y＜加+1,

,所以故B成立.

對(duì)于C,設(shè)龍=〃z+r,其中〃?€2/€[0,1),

則[x]+x+g=2機(jī)+r+g,[2x]=2〃?+[2r],

若O?r＜L則r+-=0,[2r]=0,故[x]+x+；=[2x]；

若(＜廠＜1,則r+；=1,[2r]=l,故[*]+x+；=[2x],故c成立.

3

對(duì)于D,由不等式2［.寸9—卜］—320可得國(guó)W—1或［司22,

故x<0或x22,故D正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】

本題考查在新定義背景下恒等式的證明與不等式的解法，注意把等式的證明歸結(jié)為整數(shù)部

分和小數(shù)部分的關(guān)系，本題屬于較難題.

5.若“X)滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)。，〃都有/(a+b)=/(a)/9)且/⑴=2,則下列判

斷正確的有()

A.7(x)是奇函數(shù)

B./(X)在定義域上單調(diào)遞增

C.當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，函數(shù)〃X)>1

n/(2)+/(4)+/(6)/(2016),/(2018),/(2020)

/(l)/(3)/(5)/(2015)/(2017)/(2019)

【答案】BCD

【分析】

利用新定義結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.計(jì)算出/(I)判斷A；先利用/⑴=2〉1證明所有

有理數(shù)〃，有了(P)>I,然后用任意無(wú)理數(shù)q都可以看作是一個(gè)有理數(shù)列的極限，由極限

的性質(zhì)得/(4)>1,這樣可判斷C,由此再根據(jù)單調(diào)性定義判斷B,根據(jù)定義計(jì)算

/(2〃)

八(及eN),然后求得D中的和，從而判斷D.

【詳解】

令。=0,6=1,則/(1)=/(1+0)=/(1"(0),即2=2/(0),「.”0)=1,/(x)不可

能是奇函數(shù)，A錯(cuò)；

對(duì)于任意xwR,F(X)H0,若存在使得/(%)=0,則

/(0)=/(%+(-/))=/(%)/(-%)=0,與9(0)=1矛盾,故對(duì)于任意xeR,

/(X)H0,

???對(duì)于任意xeR,f(-)=+=>0,

x(I)

?.?/(1)=2>1,.?.對(duì)任意正整數(shù)"，

同理f(理=/(I+1+…+1)==2">1,

m

對(duì)任意正有理數(shù)顯然有〃=—(加,"是互質(zhì)的正整數(shù))，則

對(duì)任意正無(wú)理數(shù)9,可得看作是某個(gè)有理數(shù)列P1，P2，P3,…的極限，而/他)>1，

ieN,，f⑷與f(pj的極限，二f(q)>l,

綜上對(duì)所有正實(shí)數(shù)x,有f(x)>l,C正確，

設(shè)％<超，則—尤1>0，二一玉)>1,貝!]

f(電)=+(%-%))=f(X)?/(X2-Xi)>/(/)，???/(X)是增函數(shù),B正確:

由已知f(2n)=f(2n-l+D=f(2n-l)f(l)=2/(2〃-1)，二對(duì))、、=2,

/(2016)1/(2018)1/(2020)

7(2015)+7(2017)+7(2019)=2+2+…+2=2,1010=2020

川)〃3)〃5)-101杯2-

,D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】

本題考查新定義函數(shù)，考查學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，邏輯思維能力，運(yùn)算求解能

力，對(duì)學(xué)生要求較高，本題屬于難題.

-----,x>2

6.已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x),滿足/(x)=12x—3,下列敘述正確的

x2-2x+2,Q<x<2

是()

A.存在實(shí)數(shù)k,使關(guān)于X的方程/5)=依有7個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.當(dāng)-1<占<X?<1時(shí)，恒有/(%)>/(工2)

C.若當(dāng)XC(0,0時(shí)，/(X)的最小值為1,則ae[1,2]

2

33

D.若關(guān)于x的方程/(x)=5和/(x)=加的所有實(shí)數(shù)根之和為零，則機(jī)=一萬(wàn)

【答案】AC

【分析】

根據(jù)奇函數(shù)/(-幻=-/(口，利用已知定義域的解析式，可得到對(duì)稱區(qū)間上的函數(shù)解析

式，然后結(jié)合函數(shù)的圖象分析各選項(xiàng)的正誤，即可確定答案

【詳解】

函數(shù)是奇函數(shù)，故/(x)在R上的解析式為：

2x+3

—%2—2.x—2,—2<x<0

/(x)=<0,x=0

x2-2x+2,0<x<2

---,x>2

[2x-3

對(duì)4如下圖所示直線4與該函數(shù)有7個(gè)交點(diǎn)，故人正確;

故當(dāng)f(x)的最小值為1時(shí)有故C正確

若使得其與/(x)=m的所有零點(diǎn)之和為o,

【點(diǎn)睛】

本題考查了分段函數(shù)的圖象，根據(jù)奇函數(shù)確定對(duì)稱區(qū)間上函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的

圖象分析命題是否成立

7.定義：若函數(shù)尸(x)在區(qū)間［。，句上的值域?yàn)椋踑,b］,則稱區(qū)間［a,?是函數(shù)F(x)

的“完美區(qū)間"，另外，定義區(qū)間/(力的"復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”為2(。-0),已知函數(shù)

/(%)=|x2-l|,則()

A.［0,1］是/(x)的一個(gè)"完美區(qū)間"

B.與^，笥6是/(X)的一個(gè)"完美區(qū)間”

C./(X)的所有“完美區(qū)間"的"復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度，的和為3+石

D.“X)的所有“完美區(qū)間"的"復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”的和為3+26

【答案】AC

【分析】

根據(jù)定義，當(dāng)時(shí)求得了(x)的值域，即可判斷A；對(duì)于B,結(jié)合函數(shù)值域特點(diǎn)即可

判斷；對(duì)于C、D,討論〃VI與力>1兩種情況，分別結(jié)合定義求得"復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”，即可判

斷選項(xiàng).

【詳解】

對(duì)于A,當(dāng)xe[O,l]時(shí)，/(x)=|x2-l|=l-x2,則其值域?yàn)閇0,1],滿足定義域與值域的

范圍相同，因而滿足“完美區(qū)間"定義，所以A正確；

對(duì)于B,因?yàn)楹瘮?shù)/(》)=卜2-1卜0,所以其值域?yàn)閇0,+8),而上￡5<o,所以不存

在定義域與值域范圍相同情況，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由定義域?yàn)閇a,b\,可知0<a<。，

當(dāng)HI時(shí)，[a，^]U[0,l],此時(shí)〃力=,2_1卜1_父，所以在卜，口內(nèi)單調(diào)遞

減，

f(a)=\-cr=b

貝I滿足j；J=i_/=q，化簡(jiǎn)可得a2—a=廬一人，

r1、2(1?1111

即—I=b—>所以a—=b—或a—=—b,

I2jI2；2222

解得。=b(舍)或。+力=1,

a+b=l

由《,2，解得。=1或。=0(舍)，

a+b-=1

所以a=h—l=0,經(jīng)檢驗(yàn)滿足原方程組，所以此時(shí)完美區(qū)間為[0,1],貝『'復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”為

29-。)=2；

當(dāng)。>1時(shí)，①若0Wa<l,則lw[a,b],此時(shí)/(4加=/(1)=。.當(dāng)”力在[。，句

的值域?yàn)閇a，b],則a=0,/(/?)=/?,因?yàn)閆?>1,所以即滿足

b2_b_i=(),解得匕=匕*，8=上手(舍).所以此時(shí)完美區(qū)間為10,上半]，則

"復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度"為2伍-。)=2'匕普=1+6；

②若iWa,W/(x)=x2-l,xe[a,b],此時(shí)/(%)在[a,句內(nèi)單調(diào)遞增,若/(x)

/(a)=er—1—a

的值域?yàn)閇a，b],貝上?，則為方程V一%—1=()的兩個(gè)不等式實(shí)數(shù)

f(b)=b-l=b

根,

1-亞

解得玉=與叵2

所以‘廣，與iWa矛盾，所以此時(shí)不存在完美

1+V5

2

區(qū)間.

綜上可知，函數(shù)/（月=卜2-1|的"復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”的和為2+1+君=3+6，所以C正確，

D錯(cuò)誤；

故選：AC.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)新定義的綜合應(yīng)用，由函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的值域，函數(shù)與方程的綜合應(yīng)

用，分類討論思想的綜合應(yīng)用，屬于難題.

8.下列選項(xiàng)中a的范圍能使得關(guān)于x的不等式f+|x—4一2<0至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解的是

A.1-如］B.（2,3）C.（1,2）D.（0,1）

【答案】ACD

【分析】

將不等式變形為及一4<2一》2,作出函數(shù)丁=上一〃|,丁=2一/的圖象，根據(jù)恰有一個(gè)負(fù)

數(shù)解時(shí)判斷出臨界位置，再通過(guò)平移圖象得到。的取值范圍.

【詳解】

因?yàn)椋?+,一同一2<0,所以|x-a|<2-f且2-*2>0,

在同一坐標(biāo)系中作出>=卜一同,丁=2-%2的圖象如下圖：

當(dāng)丁=卜一&與y=2-f在>軸左側(cè)相切時(shí)，

_￥-口=2-丁僅有一解，所以A=l+4（a+2）=0,所以。=一;，

將y=向右移動(dòng)至第二次過(guò)點(diǎn)（0,2）時(shí)，|0-a|=2,此時(shí)a=2或a=-2（舍），

結(jié)合圖象可知：。€(一；,2),所以ACD滿足要求.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，著重考查數(shù)形結(jié)合的思想，難度較難.利用數(shù)形結(jié)合可解

決的常見(jiàn)問(wèn)題有：函數(shù)的零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題、求解參數(shù)范圍或者解不等式、研究函

數(shù)的性質(zhì)等.

9.己知函數(shù)/(x)=J不+2+]<0，則下列判斷正確的是()

A.“X)為奇函數(shù)

B.對(duì)任意X1,%2eR，則有(XI-切"(％)-/(%2)]40

C.對(duì)任意xwR,則有/(x)+/(-x)=2

D.若函數(shù)y=|/(x)卜〃說(shuō)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(―8,0)U(4,+8)

【答案】CD

【分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性判斷AB選項(xiàng)；對(duì)X進(jìn)行分類討論，判斷C選項(xiàng)；對(duì)選項(xiàng)D,

構(gòu)造函數(shù)，將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，即可得出實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)尤>0時(shí)，一x<0,則

f(-x)———(-x)~+2(-x)+1=-(x2+2x-1)w-f(x)

所以函數(shù)不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，y=%2+2%+1的對(duì)稱軸為元=-1,y=-/+2x+l的對(duì)稱軸為尤=1

所以函數(shù)y=f+2%+1在區(qū)間[0,+oo)上單調(diào)遞增，函數(shù)丁=一%2+2%+1在區(qū)間(一00,0)

上單調(diào)遞增，并且02+2x0+1=-02+2x0+1

所以/(x)在H上單調(diào)遞增

即對(duì)任意/<,,(%,aeR),都有/(再)</(w)

則x]—x2<0,/&)-/(”2乂00&-芍)[〃玉)-"々)])。,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)x〉0時(shí)，一x<0,貝U/(—%)=—(―x)-+2(—%)+1=-—2x+1

則/(%)+/(-x)=M+2x+l—-2x+l=2

當(dāng)x=0時(shí)，/(-0)=/(0)=l,則/(-0)+/(0)=2

當(dāng)x<0時(shí)，一x>0,則/(—x)=(―x)-+2(—x)+1=Y—2x+1

則/(x)+/(-幻=一％?+2x+1+x2-2x4-1=2

即對(duì)任意xeR,則有〃x)+“r)=2,故C正確;

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)尤=0時(shí)，y=|/(0)|=lw0,則x=0不是該函數(shù)的零點(diǎn)

令函數(shù)g(x)=El必，函數(shù)丁=加

由題意可知函數(shù)y=機(jī)與函數(shù)g(x)=乜工」的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

因?yàn)?(X)?。時(shí),xe[l-0,+8),/(x)<。時(shí),xe(-00,l-忘)

1cC

Xd--F2,X>0

X

所以g(x)=<-*+,+2,1-&?%<0

x----2,xv1—>/2

/\/、11(x-1)

當(dāng)兀>0時(shí)，設(shè)0<大〈工2<1，g(X)-g(工2)=%----X2--=----=---z--

%"

因?yàn)橛褚淮?<0,王々一1<0，所以g(xJ-g(X2)>0，即g(%)>g(%2)

設(shè)1<玉<工2，g—g(工2)=("_?I/"JvO,即g(xJ<g(X2)

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增

同理可證，函數(shù)g(x)在區(qū)間［1-a,0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間卜8,1-0)上單調(diào)遞增

g⑴=1H——卜2=4

函數(shù)g(x)圖象如下圖所示

由圖可知，要使得函數(shù)y=m與函數(shù)g(x)=H必的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

X

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(TQ,0)U(4,+s),故D正確；

故選：CD

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性，由函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的范

圍，屬于較難題.

2x-\\,x<\,,

10.已知/(x)=?1,則關(guān)于x的方程［/(X)F—/(X)+2A-1=0,下列正

Inx,x>1,

確的是()

A.存在實(shí)數(shù)A，使得方程恰有1個(gè)不同的實(shí)數(shù)解

B.存在實(shí)數(shù)A,使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解

C.存在實(shí)數(shù)上，使得方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解

D.存在實(shí)數(shù)攵，使得方程恰有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解

【答案】ACD

【分析】

令/(X)=f20,根據(jù)判別式確定方程/一/+2%一1=0根的個(gè)數(shù)，作出了(X)的大致圖

象，根據(jù)根的取值，數(shù)形結(jié)合即可求解.

【詳解】

令"X)=年0,則關(guān)于X的方程[/(X)]2-f(x)+2k-l=Q,

可得/一，+2左一1=0，

當(dāng)上=*時(shí)，A=l—4(2%-1)=0,此時(shí)方程僅有一個(gè)根

82

當(dāng)女＜，時(shí)，A=l-4（2攵-1）＞0,此時(shí)方程有兩個(gè)根乙也，

且。+，2=1，此時(shí)至少有一個(gè)正根；

當(dāng)人＞|時(shí)，△=1-4（2"1）＜0,此時(shí)方程無(wú)根；

當(dāng).e（O』）、Z2e（O,l）,且4HH時(shí)，/（x）=Z,有6個(gè)不同的交點(diǎn),D正確;

當(dāng)方程有兩個(gè)根4,弓，一個(gè)大于1，另一個(gè)小于0，

此時(shí)/（x）=f,僅有1個(gè)交點(diǎn)，故A正確；

當(dāng)方程有兩個(gè)根44,一個(gè)等于1，另一個(gè)等于0，/（力=乙有3個(gè)不同的交點(diǎn)，

當(dāng)女時(shí)，A=l-4（2左-1）＜0,此時(shí)方程無(wú)根.

8

故選：ACD

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了根的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵是利用換元法將方程化

為一一t+2Z-1=0,根據(jù)方程根的分布求解，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想.

二、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題

11.已知。＞0,b＞0,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.若則a+Z;22

B.若e“+2a=e"+38，則匕

C.a(lna-lnO)2a-Zj恒成立

D.二—恒成立

ee

【答案】AD

【分析】

對(duì)A式化簡(jiǎn)，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法，結(jié)合函數(shù)圖象，說(shuō)明A錯(cuò)誤；對(duì)B不等式放縮

ea+2a>eb+2b，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法，由函數(shù)的單調(diào)性，即可證明B正確；對(duì)C不等

式等價(jià)變型a(lna-ln6)Na-8=lngzi-2,通過(guò)Vx>O,lnx>1-,恒成立，可得

C正確；D求出二-bln8的最大值，當(dāng)且僅當(dāng)41時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤.

eb=—

、e

【詳解】

A.相?//=1<=>qlna+hln/?=0

設(shè)/(x)=xlnx,.,./3)+/S)=。

-4-3-2-1O

由圖可知，當(dāng)b.「時(shí)，存在afo+,使/3)+/'S)=。

此時(shí)u+b—>1,故A錯(cuò)誤.

B.ea+2a=eb+3b>eb+2b

設(shè)/(x)="+2x單調(diào)遞增，.?/>〃，B正確

Qb

C.(2(ln6(-ln/?)>6Z-/?oln—>1——

又Vx>0/nx>1—,/.In—21,C正確

xba

x1

D.丁=~7=>凡小=一當(dāng)且僅當(dāng)％=1；

ee

y=xlnx=%加=--當(dāng)且僅當(dāng)工=」；

ee

a=\

所以二—4nbV-,當(dāng)且僅當(dāng)〈1時(shí)取等號(hào)，D錯(cuò)誤.

故選：AD

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和數(shù)

形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于難題.

12.對(duì)于函數(shù)/(x)=一丁，下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)在x="處取得極大值/B.函數(shù)的值域?yàn)?/p>

C./(X)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)D./(2)</(V^)</(V3)

【答案】ABD

【分析】

求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而研究函數(shù)的極值可判斷A選項(xiàng)，作出函數(shù)

的抽象圖像可以判斷BCD選項(xiàng).

【詳解】

—X1-lnx-2x

函數(shù)的定義域?yàn)?0,+。)，求導(dǎo)l-21nx,

r(%)=x

令/'(x)=(),解得：x=&

X(G,+oo)

f(X)+0—

/(X)/極大值

所以當(dāng)無(wú)=及時(shí)，函數(shù)有極大值/(&)=：,故A正確；

對(duì)于BCD,令/(x)=0,得lnx=0,即x=l,當(dāng)x—>+℃時(shí)，lnx>0,%2>0>則

/(x)>0

作出函數(shù)/(X)的抽象圖像，如圖所示:

故B正確；函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；又函數(shù)

/(X)在(&,+℃)上單調(diào)遞減，且〃<&<正<2,則/(2)</(6)</(G),故D

正確；

故選：ABD

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)的極值，函數(shù)的值域，及求函數(shù)零點(diǎn)

個(gè)數(shù)，求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)常用的方法：

(1)方程法：令/(x)=0,如果能求出解，有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間“上是連續(xù)不斷的曲線，且

/(a)?/°)<(),還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才

能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)或零點(diǎn)值所具有的性質(zhì).

(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.先畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖像，看其

交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

13.已知函數(shù)/(x)=ln|x|-x+：,g(x)=x-(x-l)lnx,則下列結(jié)論正確的是()

A.g(x)存在唯一極值點(diǎn)與,且毛€(1,2)

B./(X)恰有3個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)女<1時(shí)，函數(shù)g(x)與〃(x)=丘的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)

D.若蒼龍2>0且/(xj+/(w)=o，則X1%2=1

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)g'(x)在(0,+8)上為單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定，可判定A正

確；利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)/(x)在(-8,0),(0,+8)單調(diào)遞減，進(jìn)而得到函數(shù)/(X)只有2

個(gè)零點(diǎn)，可判定B不正確；由g(x)=依，轉(zhuǎn)化為函數(shù)e(x)=(x-l)lnx和〃?(x)=(l-Qx

的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可判定c正確；由/(%)+/(毛)=0,化簡(jiǎn)得到/■(%)=/('),

結(jié)合單調(diào)性，可判定D正確.

【詳解】

由函數(shù)g(x)=x_(x-l)lnx,可得g，(x)=_lnx+g,x>0,貝ijg"(x)=_4_5<0,

所以g'(x)在(0,+s)上為單調(diào)遞減函數(shù)，又由g'⑴=l>0,g⑵=-ln2+g<0,

所以函數(shù)g(尤)在區(qū)間(1,2)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以A正確；

由函數(shù)“x)=lnW-x+J,

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=\nx-x+-,可得r(x)=r-+jT,

XX

i3

因?yàn)楱D/+1-1=一0-/)2-：<0,所以./(x)<0,函數(shù)“X)在(0,+⑼單調(diào)遞減；

又由/(1)=0,所以函數(shù)在(0,+8)上只有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)了<0時(shí)，/(x)=ln(-x)-x+-,可得尸(x)=7]l,

XX

13

因?yàn)橐粻t+%-1=-0-5)2-：<0,所以,/(力<0,函數(shù)“X)在(一8,0)單調(diào)遞減；

又由/(-1)=0,所以函數(shù)在(一8,0)上只有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上可得函數(shù)〃x)=lnW-x+(在定義域內(nèi)只有2個(gè)零點(diǎn)，所以B不正確；

令g(x)=Ax,即x-(x-l)lnx=h，即(x-l)lnx=(l-&)x,

設(shè)=(x-1)Inx,/n(x)=(1-k)x,

可得"(x)=lnx+l-J,貝ijs"(x)=g+5>0,所以函數(shù)°,(X)(0,+℃)單調(diào)遞增，

又由"(1)=0,可得當(dāng)xe(0,l)時(shí)，"(x)<0,函數(shù)°(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(l,+co)時(shí)，"(x)>0,函數(shù)°(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)e(x)取得最小值，最小值為9(1)=0,

又由鞏x)=(l—A)x,因?yàn)?<1,貝UI—%>0,且過(guò)原點(diǎn)的直線，

結(jié)合圖象，即可得到函數(shù)S(x)=(x-l)lnx和鞏x)=(l-幻x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以C正

確；

由西々〉0，若王〉。,*2>0時(shí)，因?yàn)?(石)+/(w)=o，

可得/㈤=一小2)=-['”-％+三I、「無(wú)I+1I-三1=/(已I]即

X2

/(%)=/(—),因?yàn)?.(X)在(0,+°0)單調(diào)遞減，所以工1=,，即3馬=1，

同理可知，若%<0,》2<0時(shí)，可得X々=1，所以D正確.

故選:ACD.

y

c?(x)=(x-l)lnx

\=(1-A,)x

【點(diǎn)睛】

函數(shù)由零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：

1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為

從/(x)中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條

件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)的取值范圍；

2、分類討論法：一般命題情境為沒(méi)有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常

解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符

合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.

14.設(shè)函數(shù)，(幻=1+6+伙下列條件中，使得y=/(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

的是()

A.a=\,b=2B,a=-3,b=-3c,a>0,b<2D.a<0,b>0

【答案】ABC

【分析】

求導(dǎo)7*)=3/+”，分和。<0進(jìn)行討論，當(dāng)aNO時(shí)，可知函數(shù)單調(diào)遞增，有且

只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)。<0時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性，要使函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，則需比較函數(shù)的極

大值與極小值與0的關(guān)系，再驗(yàn)證選項(xiàng)即可得解.

【詳解】

Qf(x)=x3+ax+b,求導(dǎo)得/'(x)=3/

當(dāng)aNO時(shí)，/'(xRO,；./(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xf-s時(shí)，f(x)->-oo；當(dāng)x—用

時(shí)，/0)f+8；由零點(diǎn)存在性定理知，函數(shù)/(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故A,C滿足題

意;

當(dāng)。<0時(shí)，令/(x)=0,即3/+。=0,解得/=_息,“后

當(dāng)x變化時(shí)，f'(x),/(?的變化情況如下表:

D選項(xiàng)，a<O,b>Q,不一定滿足，故D不符合題意；

故選：ABC

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,加上的圖像是連續(xù)不

斷的一條曲線，并且有/(辦/(，)<0,那么，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,6)內(nèi)有零點(diǎn)，

即存在ce(a,〃)，使得/(c)=0,這個(gè)c也就是方程/(x)=0的根，考查學(xué)生的邏輯推

理與運(yùn)算能力，屬于較難題.

15.關(guān)于函數(shù)/(x)=e'+sinx,xe(—?,+oo),下列結(jié)論正確的有()

A./(x)在(0,+o))上是增函數(shù)

B.7(x)存在唯一極小值點(diǎn)與

C./(x)在(一肛+0。)上有一個(gè)零點(diǎn)

D.f(x)在(一肛+8)上有兩個(gè)零點(diǎn)

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)函數(shù)人M求得/'(%)與尸(X),再根據(jù)_r(x)>o在(-/,+o。)恒成立，確定r(x)在

(一4,”)上單調(diào)遞增，及xe(0,+w)/'(x)>(),且存在唯一實(shí)數(shù)與€(-3,一^),使

/'(%)=0,從而判斷A,B選項(xiàng)正確；再據(jù)此判斷函數(shù)/*)的單調(diào)性，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】

xx

由已知/(x)=e*+sinx,xe(一肛+8)得f\x)=e+cosx，f\x)=e-sin%,

XG(-TT,+。。)，/"(x)>0恒成立，

f(x)在(一肛+8)上單調(diào)遞增,

3萬(wàn)-網(wǎng)/4-三

又八-R=e4一號(hào)<o,八一2>0/(0)=2〉0

xe(0,y)時(shí)/'(x)>/'(())>(),且存在唯一實(shí)數(shù)小€(-芳,一9,使/'(%)=(),即

e*=-cosx0,

所以/(x)在(0,+o。)上是增函數(shù)，且/(x)存在唯一極小值點(diǎn)看,故A,B選項(xiàng)正確.

且/(x)在(一萬(wàn),/)單調(diào)遞減，(陽(yáng)),+8)單調(diào)遞增，

又f(-兀)=""+0>0,/(x())=e*+sinx0=sinx0-cosx0=V2sin(x0-?)<0,

/(0)=l>0,所以f(x)在(一4,+8)上有兩個(gè)零點(diǎn)，故D選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)

點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：⑴考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析

幾何、微積分相聯(lián)系.⑵利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參

數(shù).⑶利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題.(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)

用.

16.(多選)已知函數(shù)/(幻=以-Inx(awR),則下列說(shuō)法正確的是()

A.若a40,則函數(shù)f(x)沒(méi)有極值

B.若。>0,則函數(shù)/(X)有極值

C.若函數(shù)/(x)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是［-8,J］

D.若函數(shù)/(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一叫02，)

【答案】ABD

【分析】

先對(duì)/(x)進(jìn)行求導(dǎo)，再對(duì)。進(jìn)行分類討論，根據(jù)極值的定義以及零點(diǎn)的定義即可判斷.

【詳解】

解：由題意得，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),且==，

xx

當(dāng)aVO時(shí)，/'(x)<0恒成立，此時(shí)/(x)單調(diào)遞減，沒(méi)有極值，

又???當(dāng)x趨近于。時(shí)，f(x)趨近于+00,當(dāng)x趨近于+8時(shí)，f(x)趨近于-°。，

/(幻有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)a>0時(shí)，在(0,5)上，/'(x)<o,〃幻單調(diào)遞減，

在上，尸(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

.,.當(dāng)x=L時(shí)，f(x)取得極小值，同時(shí)也是最小值，

a

/(x)min=/(5)=l+lna,

當(dāng)x趨近于0時(shí)，Inx趨近于~0°,/(X)趨近于+8,

當(dāng)X趨近于+8時(shí)，f(x)趨近于+8,

當(dāng)l+lna=O,即a=!時(shí)，Ax)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

e

當(dāng)l+lna<0,即0<a<，時(shí)，/(%)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，

e

綜上可知ABD正確，C錯(cuò)誤.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：

⑴直接求零點(diǎn)：令/(力=0,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；

⑵零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間［。，加上是連續(xù)不斷的曲線，且

f(a)f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少

個(gè)零點(diǎn)；

⑶利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

17.定義在R上的函數(shù)f(x),若存在函數(shù)g(x)=ax+8(a,b為常數(shù))，使得

/(x)Ng(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則稱g(x)為函數(shù)/(x)的一個(gè)承托函數(shù)，下列命題中

正確的是()

fInx,x>0

A.函數(shù)g(尤)=-2是函數(shù)/(尤)=〈，的一個(gè)承托函數(shù)

J,%,0

B.函數(shù)g(x)=x-l是函數(shù)/(x)=x+sinx的一個(gè)承托函數(shù)

C.若函數(shù)g(x)=ax是函數(shù)/(尤)=6,的一個(gè)承托函數(shù)，則a的取值范圍是［0,e］

D.值域是R的函數(shù)f(x)不存在承托函數(shù)

【答案】BC

【分析】

由承托函數(shù)的定義依次判斷即可.

【詳解】

解：對(duì)A,?.?當(dāng)X>0時(shí)，/(X)=lnA-G(-oo,4w),

/(x)2g(x)=-2對(duì)一切實(shí)數(shù)x不一定都成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,令f(x)=/.(x)-g(x),則f(x)=x+sinx-(x-l)=sinx+120恒成立，

函數(shù)g(x)=x-l是函數(shù)/(X)=x+sinx的一個(gè)承托函數(shù)，故B正確；

對(duì)C,令h(x)=ex-ax,貝?。輙i(x)=ex-a,

若a=0,由題意知，結(jié)論成立，

若a>0,令"(x)=0,得x=Ina,

函數(shù)力(x)在(-8,Ina)上為減函數(shù)，在(Ina,+0。)上為增函數(shù)，

，當(dāng)x=lna時(shí)，函數(shù)"x)取得極小值，也是最小值，為a-alna,

???g(x)=?x是函數(shù)/(x)=e'的一個(gè)承托函數(shù)，

a-alna>0,

即InaS1,

0<a<e,

若a<0,當(dāng)x--8時(shí)，h(x)->-oo,故不成立，

綜上，當(dāng)噫上e時(shí)，函數(shù)g(x)=av是函數(shù)/(x)=e'的一個(gè)承托函數(shù)，故C正確：

對(duì)D,不妨令/(幻=2r送(%)=2%-1,則f(x)-g(x)=120恒成立，

故g(x)=2x-l是f(x)=2x的一個(gè)承托函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：以函數(shù)為載體的新定義問(wèn)題，是高考命題創(chuàng)新型試題的一個(gè)熱點(diǎn)，常見(jiàn)的命題

形式有新概念、新法則、新運(yùn)算等，這類試題中函數(shù)只是基本的依托，考查的是考生創(chuàng)造

性解決問(wèn)題的能力.

18.設(shè)函數(shù)〃x)=a'-x"(a>l)的定義域?yàn)?0,+8),已知〃力有且只有一個(gè)零點(diǎn)，下

列結(jié)論正確的有()

A.a=eB.在區(qū)間(l,e)單調(diào)遞增

C.尤=1是/(X)的極大值點(diǎn)D./⑻是人力的最小值

【答案】ACD

【分析】

f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程優(yōu)一￡=0在(0,+8)上只有一個(gè)根，即叱=色色只有

xa

Inx

一個(gè)正根.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)〃(x)=——的性質(zhì)，可得a=e,判斷A,然后用導(dǎo)數(shù)研究

x

函數(shù)/(x)=e，-f的性質(zhì)，求出,(X),令/'(x)=(),利用新函數(shù)確定/(x)只有兩個(gè)零

點(diǎn)1和e,并證明出f(x)的正負(fù)，得八》)的單調(diào)性，極值最值.判斷BCD.

【詳解】

f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程優(yōu)一￡=0在(0,y)上只有一個(gè)根，a'=xa，取對(duì)數(shù)得

x\na=a\nx,即史匹=3?只有一個(gè)正根.

xa

設(shè)餌幻=叱，則”(%)=上坐，當(dāng)0<x<e時(shí)，l(x)>0,〃(x)遞增，x-0時(shí)，

XX

〃(x)f-oo,時(shí)，/ir(x)<0,/z(x)遞減，此時(shí)〃(x)>0,

〃(X)max=〃(C)=L

e

???要使方程”竺=則只有一個(gè)正根.則四=」或電9<0,解得a=e或a<0,又

xaaea

'：a>\,..a=e.A正確；

f(x)=e'-xe,f\x)=ex-exe'',

f\x)=e*-exe-'=0,*=-，取對(duì)數(shù)得x-1=(e-1)Inx,

易知x=1和x=e是此方程的解.

設(shè)p(x)=(e-I)lnx-x+l,=當(dāng)0cx<e-l時(shí)，p'M>0,p(x)遞

x

增，x>e-l時(shí)，”(x)<0,p(x)遞減，是極大值，

又p(l)=p(e)=0,

所以P(x)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，

elxex

0<x<l或x>e時(shí)，〃(x)<(),即(e-l)lnx<x-l,x~<e~'.ex~'<e?

f(x)>0,同理l<x<e時(shí)，f(x)<0,

所以/(x)在(0,1)和(e,+oo)上遞增，在以,e)上遞減,所以極小值為/(e)=0,極大值為