專題8：導(dǎo)數(shù)(文)

經(jīng)典例題剖析

考點(diǎn)一：求導(dǎo)公式。

例Lf'M是/(x)=1x3+2x+l的導(dǎo)函數(shù)，則/'(—1)的值是o

解析：/'(%)=X2+2,所以/'(-1)=1+2=3

答案：1,3

考點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

例2.已知函數(shù)y=/(x)的圖象在點(diǎn)例(1,/⑴)處的切線方程是y=；x+2,則

/⑴+川)=o

解析：因?yàn)榕?g,所以尸(l)=g,由切線過點(diǎn)M(l,/(I)),可得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為

所以所以/⑴+廣⑴=3

答案：3

例3.曲線y=V-2x2—4x+2在點(diǎn)(1,-3)處的切線方程是。

解析：y=3x2—4x—4,.?.點(diǎn)(1,一3)處切線的斜率為％=3-4-4=-5,所以設(shè)切

線方程為y=-5x+6,將點(diǎn)(L-3)帶入切線方程可得b=2,所以，過曲線上點(diǎn)(1,-3)

處的切線方程為：5x+y-2=0

答案：5x+y-2=0

點(diǎn)評(píng)：以上兩小題均是對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的考查。

考點(diǎn)三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用。

例4.已知曲線C：y=x3-3x2+2x,直線=H，且直線/與曲線C相切于點(diǎn)

(4，凡)%。^。，求直線/的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)。

解析：?.,直線過原點(diǎn)，則女=&(/*0)。由點(diǎn)(x0,yo)在曲線C上，則

■Vo=x(),—3%Q+2xy>――=—3x0+2。又y'=3x~—6x+2,在

x。

2

(x0,y0)處曲線C的切線斜率為k=/'(X0)=3X0-6X0+2,

3

?-3%+2=3無；一6%+2,整理得：2%-3%=。，解得：龍。=萬或％=0

311

(舍)，此時(shí)，y=——，k=——o所以，直線/的方程為了=——x,切點(diǎn)坐標(biāo)是

00844

3)。

13_3

答案：直線/的方程為y—X,切點(diǎn)坐標(biāo)是

42-8

點(diǎn)評(píng)：本小題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用。解決此類問題時(shí)應(yīng)注意“切點(diǎn)既在曲線上又在

切線上”這個(gè)條件的應(yīng)用。函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)是相應(yīng)曲線上過該點(diǎn)存在切線的充分條件，而不

是必要條件.

考點(diǎn)四：函數(shù)的單調(diào)性。

例5.已知+3》2-x+1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍。

解析：函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)為/'(x)=3ax2+6x—l。對(duì)于xeR都有r(x)<0時(shí)，/(x)

a<0

為減函數(shù)。由3ax2+6x-l<0(xe/?)可得《,解得〃<—3。所以,

△=36+12。<0

當(dāng)。<一3時(shí)，函數(shù)/(x)對(duì)xeR為減函數(shù)。

(1)當(dāng)a=—3時(shí)，f(x)=-3x3+3x2

由函數(shù)y=d在R上的單調(diào)性，可知當(dāng)&=-3是，函數(shù)/(x)對(duì)xeR為減函數(shù)。

(2)當(dāng)。>一3時(shí)，函數(shù)/(x)在R上存在增區(qū)間。所以，當(dāng)?！狄?時(shí)，函數(shù)/(x)在

R上不是單調(diào)遞減函數(shù)。

綜合(1)(2)(3)可知”4一3。

答案：a<-3

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用。對(duì)于高次函數(shù)單調(diào)性問題，要有求導(dǎo)意識(shí)。

考點(diǎn)五：函數(shù)的極值。

例6.設(shè)函數(shù)/(x)=2x3+3ax2+3bx+8。在x=l及x=2時(shí)取得極值。

(1)求b的值；

(2)若對(duì)于任意的[0,3],都有/魚)<02成立，求C的取值范圍。

解析：(1)f'(x)^6x2+6ax+3b,因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在x=1及x=2取得極值，則有

6+6。+3匕=0,

r(i)=o,r(2)=o.即《，解得a=—3,b=4。

24+12。+3b=0.

(2)由(I)可知，/(x)=2x，-9x?+12x+8c,/'(x)=6x?-18x+12=6(x—l)(x-2)。

當(dāng)xe(0,l)時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)xe(l,2)時(shí)，f'(x)<0：當(dāng)xe(2,3)時(shí)，/'(x)>0。所以,

當(dāng)x=l時(shí)，/(x)取得極大值/⑴=5+8c,又/(0)=8c,/(3)=9+8c。則當(dāng)xe[0,3]

時(shí)，/(x)的最大值為/(3)=9+8c。因?yàn)閷?duì)于任意的xe[0,3],有〃x)<c2恒成立，

所以9+8c<c2,解得c<—1或c>9,因此c的取值范圍為(―8,—1)U(9,+OO)。

答案：(1)a=-3,b=4；(2)(-oo,-l)U(9,+oo)0

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值。求可導(dǎo)函數(shù)/(x)的極值步驟：①求導(dǎo)數(shù)r(x)；

②求尸(x)=o的根；③將/(x)=0的根在數(shù)軸上標(biāo)出，得出單調(diào)區(qū)間，由/'(X)在各

區(qū)間上取值的正負(fù)可確定并求出函數(shù)/(x)的極值。

考點(diǎn)六：函數(shù)的最值。

例7.已知a為實(shí)數(shù)，/(x)=Q2—“x—a)。求導(dǎo)數(shù)/'(x)；⑵若尸(―1)=0,求/(x)

在區(qū)間［-2,2］上的最大值和最小值。

解析：(1)/(x)=x3-ax2-4x+4tz,(x)=3x2-2ax-4(>

(2)/'(-l)=3+2a-4=0,.?.a=g。.?./?)=31—X—4=(3X-4)(X+1)

令r(x)=0,即(3x-4)(x+1)=0,解得x=-1或x=—,則/(x)和_T(x)在區(qū)間[—2,2]

上隨x的變化情況如下表：

4

X-2(-2,-1)-12

3

小)+0—0+

/(X)0增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)0

50旦

“1)=”?所以，/(x)在區(qū)間［—2,2］上的最大值為f——，最

27

/、9

小值為了（—1）=3。

答案：（1）/'（6=3/-2以—4；（2）最大值為/（：）=—稱/、9

最小值為/（—1）=：。

點(diǎn)評(píng)：本題考查可導(dǎo)函數(shù)最值的求法。求可導(dǎo)函數(shù)/（x）在區(qū)間上的最值，要先求

出函數(shù)/（x）在區(qū)間上的極值，然后與/（。）和進(jìn)行比較，從而得出函數(shù)的最大最

小值。

考點(diǎn)七：導(dǎo)數(shù)的綜合性問題。

例8.設(shè)函數(shù)/0）=。/+a+。伍。0）為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)（1J⑴）處的切線與直線

x—6），-7=0垂直，導(dǎo)函數(shù)尸（x）的最小值為—12。（1）求。，b,c的值;

(2)求函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間,并求函數(shù)/(九)在［-1,3］上的最大值和最小值。

解析：(1)?.?/(X)為奇函數(shù)，**./(-x)=-/(x),IP-ax3-hx+c=-ax3-bx-c

，c=0,丁/'(x)=3ax~+/?的最小值為一12,，Z?=—12,又直線x—6y—7=0

的斜率為2?，因此，/'(1)=3。+/?=—6,:?a=2,b=—12,c=0.

6

(2)/(X)=2X3-12X?f'(x)=6x2-12=6(x+V2)(x->/2),列表如下:

X(-°O,—V2)-8(—V2,V2)（立+00）

f'(x)+0—0+

/（X）增函數(shù)極大減函數(shù)極小增函數(shù)

所以函數(shù)/（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-oo,-V2）和（逝,+8）,V/（-1）=10,

/（行）=—8四，/⑶=18,/（x）在［一1,3］上的最大值是/⑶=18,最小值是

/（揚(yáng)=-80。

答案：（1）。=2,b=-12,c=0；⑵最大值是八3）=18,最小值是/（后）=-8行。

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、二次函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，以

及推理能力和運(yùn)算能力。

導(dǎo)數(shù)強(qiáng)化訓(xùn)練

(一)選擇題

x~1

1.已知曲線y=a的一條切線的斜率為/，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(A)

A.1B.2C,3D,4

2.曲線y=d-3/+1在點(diǎn)(i,—i)處的切線方程為(B)

A.y=3x-4B.y=-3x+2C.y=-4x4-3D.y=4x-5

3.函數(shù)y=(x+l)2(x-l)在x=l處的導(dǎo)數(shù)等于(D)

A.1B.2C.3D.4

4.已知函數(shù)/(x)在x=l處的導(dǎo)數(shù)為3,則/(x)的解析式可能為(A)

A./(x)=(x-1)2+3(x-l)B.f(x)=2(x-l)

C./(x)=2(x-1)2D./(x)=x-1

5.函數(shù)/(x)=d+〃/+3x—9,已知/J)在工二一3時(shí)取得極值，則。二(D)

(A)2(B)3(C)4(D)5

6.函數(shù)/(x)=Y一3寸+i是減函數(shù)的區(qū)間為(口)

(A)(2,+oo)(B)(-oo,2)(C)(-oo,0)(D)(0,2)

7.若函數(shù)/(x)=/+云+c的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，則函數(shù)/'（x）的圖象是（A）

［vAv,上，

3/vI，

R

ACD

8.函數(shù)/(x)=2/-*3在區(qū)間［0,6］上f

為最大值是（A）

A32「16

A.—B.—C.12D.9

33

9.函數(shù)y=/-3x的極大值為〃z,極小值為幾，則根+〃為（A）

A.0B.1C.2D.4

10.三次函數(shù)/（X）=+X在X￡（-8,+8）內(nèi)是增函數(shù)，貝lj（A）

A.a>0B.a<0C.a-1D.a=—

3

11.在函數(shù)y=/-8x的圖象上，其切線的傾斜角小于四的點(diǎn)中，坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)

是（D）

A.3B.2C.1D.0

12.函數(shù)/（X）的定義域?yàn)殚_區(qū)間（a,b）,導(dǎo)函數(shù)/（X）在（見加內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)

/（x）在開區(qū)間（。力）內(nèi)有極小值點(diǎn)（A）

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

（二）填空題

13.曲線y=/在點(diǎn)（1,1）處的切線與x軸、

14

14.已知曲線則過點(diǎn)p（2,4）“改為在點(diǎn)尸（2,4）”的切線方程是

15.已知/""（X）是對(duì)函數(shù)/0）連續(xù)進(jìn)行n次求導(dǎo)，若/。）=/+x5,對(duì)于任意xcR,

都有尸"）（x）=0,則n的最少值為o

16.某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲(chǔ)

費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則》=噸.

（三）解答題

17.已知函數(shù)/（x）=1+以2+8x+c,當(dāng)x=-l時(shí)，取得極大值7；當(dāng)x=3時(shí)，取得極

小值.求這個(gè)極小值及a,dc的值.

18.已知函數(shù)/(x)=-/+3/+9x+a.

⑴求/(x)的單調(diào)減區(qū)間；

(2)若/(X)在區(qū)間[—2,2].上的最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小值.

19.設(shè)點(diǎn)P(t,0)是函數(shù)/(x)=X21+ax與g(x)=bV+c的圖象的一個(gè)公共點(diǎn),

兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線。

(1)用f表示a,b,c；

(2)若函數(shù)y=/(x)—g(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減，求f的取值范圍。

20.設(shè)函數(shù)/(x)=/+bx?+cx(xeR),已知g(x)=/(x)-/'(x)是奇函數(shù)。

(1)求b、c的值。

(2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。

21.用長為18cm的鋼條圍成一個(gè)長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1,|hj

該長方體的長、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？

1,1,

22.已知函數(shù)=法在區(qū)間[_],]),(1,3]內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn).

(1)求/―你的最大值；

(1)當(dāng)a?—4匕=8時(shí)，設(shè)函數(shù)y="x)在點(diǎn)A(l,/(I))處的切線為/,若/在點(diǎn)A處穿

過函數(shù)y=/(x)的圖象(即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)A附近沿曲線y=/(x)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，

從/的??側(cè)進(jìn)入另一側(cè))，求函數(shù)/(x)的表達(dá)式.

強(qiáng)化訓(xùn)練答案：

LA2.B3.D4.A5.D6.D7.A8.A9.A10.All.D12.A

(四)填空題

13.114.y-4x+4=015.716.20

(五)解答題

2

17.解：f\x)=3x+2ax+b0

據(jù)題意，一1,3是方程312+2ax+/?=0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得

-1+3=--

3

b

-1x3=—

I3

:.a=—3,b=—9

/(x)-xy—3x2—9x+c

v/(-l)=7,.\c=2

極小值/(3)=33-3x32—9x3+2=—25

，極小值為-25,a——3,b=—9,c=2o

18.解：⑴f'(x)=-3x2+6x+9.令/'(x)<0,解得x<-l或x>3,

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(—8,—1),(3,+8).

(2)因?yàn)?(—2)=8+12—18+〃=2+Q,/(2)=—8+12+18+〃=22+Q,

所以/⑵>/(—2).因?yàn)樵?一1,3)上/(％)>0,所以/(X)在［-1,2］上單調(diào)遞增，又由

于/(X)在［-2,—1］上單調(diào)遞減，因此/⑵和/(—I)分別是/(X)在區(qū)間［—2,2］上的最大值和最小

值.于是有22+a=20,解得a=-2.

故/(x)=_x3+3x2+9X-2.因此/(-1)=1+3-9-2=-7,

即函數(shù)/(%)在區(qū)間［-2,2］上的最小值為-7.

19.解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)/*),g(x)的圖象都過點(diǎn)a,0),所以

即F+G=0.因?yàn)椋?0,所以4=一/.g?)=0,即初2+c=0,所以c=ab.

又因?yàn)?(x),g(x)在點(diǎn)(f,0)處有相同的切線，所以r(￡)=g'?).

而/'(%)=3%2+o,g'(x)=26%,所以3J+.=2bt.

將。=一/2代入上式得。=九因此c==-".故Q=-J,b=t,c--t3.

(2)y=/(x)-g(x)=x3-t2x-tx2+戶,y'=31-2tx-t2=(3x+f)(x-r).

當(dāng)V=(3x+f)(x-￡)<0時(shí):函數(shù)y=/(x)—g(x)單調(diào)遞減.

由y'<0,若f>0,貝1」一,<工<￡；若1<0,貝ijf

33

由題意，函數(shù)y=f(x)—g(x)在(一1,3)上單調(diào)遞減，則

(-1,3)u(-：")或(一1,3)u(r,--).所以fN3或一：N3.即f<—9或f>3.

333

又當(dāng)一9<f<3時(shí)，函數(shù)y=/(x)-g(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減.

所以f的取值范圍為(一8,-9]u[3,+00).

20.解：(1)T/(x)=x，+bx?+cx,/'(x)=3x?+2匕x+c。從而

g(x)=f(x')-fXx)=x3+bx2+cx—(3x2+2bx+c)=x3+(b—3)x2+{c—2b)x—c是一

個(gè)奇函數(shù)，所以g(0)=0得c=0,由奇函數(shù)定義得b=3；

(2)由(I)知g(x)=x'-6x,從而g'(x)=3--6,由此可知，

(-8,-近)和(血,+00)是函數(shù)g(X)是單調(diào)遞增區(qū)間；

(-0,3)是函數(shù)g(X)是單調(diào)遞減區(qū)間；

g(x)在x=-V2時(shí),取得極大值,極大值為472,g(x)在x=J5時(shí),取得極小值,極小值為-472。

21.解：設(shè)長方體的寬為X(m),則長為2x(m),高為

/i=18~12a=4.5-3x(m)(gv')

故長方體的體積為

V(x)=2X2(4.5-3X)=9X2-6x3(m3)(0<x<g

從而V,(X)=18X-18X2(4.5-3X)=18X(1-X).

令V<x)=0,解得x=0(舍去)或x=l,因此x=L

3

當(dāng)0<x<l時(shí)，V'(x)>0；當(dāng)1<X<5時(shí)，V'(x)<0,

故在X=1處丫(X)取得極大值，并且這個(gè)極大值就是丫(X)的最大值。

從而最大體積V=V'(x)=9xl2-6xp伍3),此時(shí)長方體的長為2m,高為1.5m.

答：當(dāng)長方體的長為2m時(shí)，寬為1m,高為1.5m時(shí)，體積最大，最大體積為3%工

1,1,

22.解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)/0)=§》3+]。獷+bx在區(qū)間,(1,3]內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以

f'(x)=x1+ax+b=0在[-1,1),(1,3]內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，

設(shè)兩實(shí)根為Xi，x2(<x2),則―卜=J/-4匕,且0<%2—玉W4.于是

0<Ja~-4bW4>0