集合的概念與運(yùn)算元素與集合的關(guān)系研究一個(gè)集合，要弄清楚集合中的代表元素．(1)用描述法表示的集合，先要弄清其元素表示的意義(主要考慮是數(shù)集還是點(diǎn)集)，如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合，然后再看元素的限制條件(性質(zhì))，最后根據(jù)元素的互異性，確定集合中的元素．(2)用列舉法表示的集合，要注意集合中元素的互異性．對(duì)于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性，從而確定集合中的元素．分考點(diǎn)講解例1集合與集合之間的關(guān)系分考點(diǎn)講解1．子集(真子集)個(gè)數(shù)的求解方法(1)列舉法：將集合的子集(真子集)一一列舉出來(lái)，從而得到子集(真子集)的個(gè)數(shù)．適用于集合元素較少的情況．(2)公式法：

含有n個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)是2n，真子集個(gè)數(shù)是2n－1，非空子集個(gè)數(shù)是2n－1，非空真子集個(gè)數(shù)是2n－2.例2已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，集合B＝{x||x|<2}，則A∩B的子集個(gè)數(shù)為(

)A．4 B．5C．7 D．15【解析】因?yàn)锳＝{x∈Z|x2－4x－5<0}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}，所以A∩B＝{0，1}，所以A∩B的子集個(gè)數(shù)為22＝4(提示：含有n個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)為2n)．故選A.【答案】A集合與集合之間的關(guān)系分考點(diǎn)講解2．判斷集合之間關(guān)系的方法(1)首先看集合能否化簡(jiǎn)，能化簡(jiǎn)的先化簡(jiǎn)，然后從表達(dá)式判斷兩集合之間的關(guān)系．(2)對(duì)于用列舉法表示的集合，可以從元素中判斷出兩集合之間的關(guān)系．(3)對(duì)于離散型數(shù)集或點(diǎn)集，常用列舉法或借助Venn圖判斷兩集合之間的關(guān)系；對(duì)于連續(xù)型數(shù)集，常借助數(shù)軸判斷兩集合之間的關(guān)系，此時(shí)要注意端點(diǎn)值的取舍．例3已知集合M＝{x|x2－3x＋2≤0}，N＝{x|x>－1}，則(

)A．N?M

B．M?NC．M∩N≠?

D．M∪?RN＝R【解析】由M＝{x|x2－3x＋2≤0}得M＝{x|1≤x≤2}．對(duì)于A，B，由題意得M?N，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，M∩N＝{x|1≤x≤2}≠?，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?RN＝{x|x≤－1}，所以M∪?RN＝(－∞，－1]∪[1，2]≠R，故D錯(cuò)誤．故選BC.【答案】BC集合與集合之間的關(guān)系分考點(diǎn)講解3．利用集合間的關(guān)系求參數(shù)的值(取值范圍)(1)若未指明集合非空，則應(yīng)考慮空集的情況，即由A?B知存在A＝?和A≠?兩種情況，需要分類(lèi)討論；此外，集合中含有參變量時(shí)，求得結(jié)果后還需要利用元素的互異性進(jìn)行檢驗(yàn)．(2)若集合是連續(xù)數(shù)集的問(wèn)題，則可以利用數(shù)軸求解，注意數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．例4已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}．若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．集合的基本運(yùn)算分考點(diǎn)講解1．集合的基本運(yùn)算解集合運(yùn)算問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意以下三點(diǎn)：(1)看元素構(gòu)成，即集合中的元素是數(shù)還是有序數(shù)對(duì)，是函數(shù)的自變量還是函數(shù)值等；(2)對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)，明確集合中元素的特點(diǎn)；(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常見(jiàn)形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖等．例5集合的基本運(yùn)算分考點(diǎn)講解2．利用集合運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)的取值范圍根據(jù)集合運(yùn)算的結(jié)果確定參數(shù)取值范圍的步驟：(1)化簡(jiǎn)所給集合；(2)用數(shù)軸表示所給集合；(3)根據(jù)集合端點(diǎn)的大小關(guān)系列出不等式(組);(4)解不等式(組);(5)檢驗(yàn)．注意：(1)確定不等式解集的端點(diǎn)的大小關(guān)系時(shí)，需檢驗(yàn)?zāi)芊袢　埃健保?/p>

(2)千萬(wàn)不要忘記考慮空集．例6集合新定義問(wèn)題分考點(diǎn)講解集合新定義問(wèn)題的解決方法(1)遇到新定義問(wèn)題，先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到解題的過(guò)程中，這是解答新定義型問(wèn)題的關(guān)鍵所在．常見(jiàn)的新定義有新概念、新運(yùn)算、新法則等．(2)集合的性質(zhì)是解答集合新定義問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是突破口，在解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些條件．例7設(shè)U是一個(gè)非空集合，F(xiàn)是U的子集構(gòu)成的集合，如果F同時(shí)滿足：①?∈F，②若A，B∈F，則A∩(?UB)∈F且A∪B∈F，那么稱F是U的一個(gè)環(huán)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A．若U＝{1，2，3，4，5，6}，則F＝{?，{1，3，5}，{2，4，6}，U}是U的一個(gè)環(huán)B．若U＝{a，b，c}，則存在U的一個(gè)環(huán)F，F(xiàn)含有8個(gè)元素C．若U＝Z，則存在U的一個(gè)環(huán)F，F(xiàn)含有4個(gè)元素且{2}，{3，5}∈FD．若U＝R，則存在U的一個(gè)環(huán)F，F(xiàn)含有7個(gè)元素且[0，3]，[2，4]∈F【解析】對(duì)于A，由題意可得F＝{?，{1，3，5}，{2，4，6}，U}滿足環(huán)的兩個(gè)要求，故F是U的一個(gè)環(huán)，故A正確；對(duì)于B，若U＝{a，b，c}，則U的子集有8個(gè)，則U的所有子集構(gòu)成的集合F滿足環(huán)的定義，且有8個(gè)元素，故B正確；對(duì)于C，若F＝{?，{2}，{3，5}，{2，3，5}}，則F滿足環(huán)的要求，含有4個(gè)元素，且{2}，{3，5}∈F，故C正確；對(duì)于D，設(shè)A＝[0，3]，B＝[2，4]，∵A，B∈F，∴A∩(?UB)＝[0，2)∈F，B∩(?UA)＝(3，4]∈F，A∪B＝[0，4]∈F，設(shè)C＝[0，2)，A∩(?UC)＝[2，3]∈F，設(shè)D＝[0，4]，E＝[2，3]，D∩(?UE)＝[0，2)∪(3，4]∈F，再加上?，F(xiàn)中至少含有8個(gè)元素，故D錯(cuò)誤．故選D.【答案】D容斥原理分考點(diǎn)講解容斥原理的基本思想是先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來(lái)，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù)．如果被計(jì)數(shù)的事物有A，B，C三類(lèi)，那么A類(lèi)和B類(lèi)和C類(lèi)元素個(gè)數(shù)的總和＝

A類(lèi)元素個(gè)數(shù)＋

B類(lèi)元素個(gè)數(shù)＋C類(lèi)元素個(gè)數(shù)－既是A類(lèi)又是B類(lèi)的元素個(gè)數(shù)－既是A類(lèi)又是C類(lèi)的元素個(gè)數(shù)－既是B類(lèi)又是C類(lèi)的元素個(gè)數(shù)＋既是A類(lèi)又是B類(lèi)且是C類(lèi)的元素個(gè)數(shù)，即card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－

card(C∩A)＋

card(A∩B∩C)．例8某小學(xué)對(duì)小學(xué)生的課外活動(dòng)進(jìn)行了調(diào)查．調(diào)查結(jié)果顯示：參加舞蹈課外活動(dòng)的有63人，參加唱歌課外活動(dòng)的有89人，參加體育課外活動(dòng)的有47人，三種課外活動(dòng)都參加的有24人，只選擇兩種課外活動(dòng)參加的有46人，不參加其中任何一種課外活動(dòng)的有15人，問(wèn)接受調(diào)查的小學(xué)生人數(shù)為(

)A．120

B．144C．177

D．192A【解析】如圖所示，用Venn圖表示題設(shè)中的集合關(guān)系．不妨將參加舞蹈、唱歌、體育課外活動(dòng)的小學(xué)生分別用集合A，B，C表示，則card(A)＝63，card(B)＝89，card(C)＝47，card(A∩B∩C)＝24.設(shè)小學(xué)生總?cè)藬?shù)為n，Venn圖中三塊區(qū)域的人數(shù)分別為x，y，z，則card(A∩B)＝24＋x，card(A∩C)＝y(tǒng)＋24，card(B∩C)＝z＋24，x＋y＋z＝46.由容斥原理，得n－15＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)＝63＋89＋47－(24＋x)－(24＋y)－(24＋z)＋24，解得n＝120.故選A.元素與集合間的關(guān)系對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化設(shè)集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|2x＋y＝1}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)是(

)A．2

B．1C．0

D．以上都不對(duì)A集合與集合間的關(guān)系對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化B集合間的基本運(yùn)算對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化設(shè)全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，則(

C)A．A∩B＝{0，1}B．?UB＝{4}C．A∪B＝{0，1，3，4}D．集合A的真子集個(gè)數(shù)為8A【解析】對(duì)于A，由題意，得A∩B＝{0，1}，故A正確；對(duì)于B，?UB＝{2，4}，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，A∪B＝{0，1，3，4}，故C正確；對(duì)于D，集合A的真子集個(gè)數(shù)為23－1＝7，故D錯(cuò)誤．集合新定義問(wèn)題對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化若X是一個(gè)集合，τ是一個(gè)以X的某些子集為元素的集合，且滿足：(1)X屬于τ，?屬于τ；(2)τ中任意兩個(gè)元素的并集屬于τ；(3)τ中任意兩個(gè)元素的交集屬于τ，則稱τ是集合X上的一個(gè)拓?fù)洌阎猉＝{a，b，c}，對(duì)于下列四個(gè)選項(xiàng)，其中是集合X上的拓?fù)涞募夕拥氖?B

)A．τ＝{?，{a}，{c}，{a，b，c}}B．τ＝{?，，{c}，{b，c}，{a，b，c}}C．τ＝{?，{a}，{a，b}，{a，c}}D．τ＝{?，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}D【解析】對(duì)于A，τ＝{?，{a}，{c}，{a，b，c}}，{a}∪{c}＝{a，c}?τ，所以A不是集合X上的拓?fù)涞募夕?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，τ＝{?，，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，滿足(1)X屬于τ，?屬于τ；(2)τ中任意兩個(gè)元素的并集屬于τ；(3)τ中任意兩個(gè)元素的交集屬于τ，所以B是集合X上的拓?fù)涞募夕?，故B正確；對(duì)于C，τ＝{?，{a}，{a，b}，{a，c}}，X＝{a，b，c}?τ，所以C不是集合X上的拓?fù)涞募夕?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，τ＝{?，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}，滿足(1)X屬于τ，?屬于τ；(2)τ中任意兩個(gè)元素的并集屬于τ；(3)τ中任意兩個(gè)元素