四川省成都市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第五次質(zhì)量檢測(cè)（理）試題一單項(xiàng)選擇題（每題5分，共12道小題，共計(jì)60分）1.若z=1+i，則(z+z?)/z的虛部是（）A.-1 B.1 C.-i D.i2.已知集合A={x∣x^2-4?0}，B={x∣√x<2，x∈Z}，則A∩B=（）A.{0，1，2} B.(0，2) C.[0，2) D.{0，1}3.某地區(qū)2024年夏天迎來(lái)近50年來(lái)罕見的高溫極端天氣，當(dāng)?shù)貧庀蟛块T統(tǒng)計(jì)了八月份每天的最高氣溫柔最低氣溫，得到如下圖表：依據(jù)圖表推斷，以下結(jié)論正確的是（）A.8月每天最高氣溫的極差小于15℃B.8月每天最高氣溫的中位數(shù)高于40℃C.8月前15天每天最高溫的方差大于后16天每天最高溫的方差D.8月每天最高氣溫的方差大于每天最低氣溫的方差4.已知拋物線〖C：y〗^2=2x的焦點(diǎn)是F，若點(diǎn)P是C上一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為4，則|PF|的值是（）A.2 B.4 C.9/2 D.55.已知(1/√x-x/2)^n的綻開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則n的可能取值為（）A.4 B.5 C.6 D.86.若直線y=kx+1為曲線y=lnx的一條切線，則實(shí)數(shù)k的值是（）A.e B.e^2C.1/e D.1/e^27.已知sinβ+cosβ=1/5，β∈(0，π)，則tanβ的值為（）A.3/4 B.4/3C.-4/3 D.-3/48.銀行儲(chǔ)蓄卡的密碼由6位數(shù)字組成．某人在銀行自助取款機(jī)上取錢時(shí)，遺忘了密碼的最終1位數(shù)字，假如記得密碼的最終1位是偶數(shù)，不超過(guò)2次就按對(duì)的概率是（）A.1/4 B.2/5 C.3/5 D.1/39.雙曲線C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F，以F為圓心，√(a^2+b^2)為半徑的圓與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)(異于原點(diǎn)O)，若四邊形OAFB為菱形，則雙曲線C的離心率等于（）A.√2 B.2C.√3 D.(2√3)/310.《九章算術(shù)》中關(guān)于“芻童”(上、下底面均為矩形的棱臺(tái))體積計(jì)算的注釋：將上底面的長(zhǎng)乘以二與下底面的長(zhǎng)相加，再與上底面的寬相乘，將下底面的長(zhǎng)乘以二與上底面的長(zhǎng)相加，再與下底面的寬相乘，把這兩個(gè)數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一．現(xiàn)有“芻童”ABCD-EFGH，其上、下底面均為正方形，若EF=2AB=8，且每條側(cè)棱與底面所成角的正切值均為3√2，則該“芻童”的體積為（）A.224 B.448C.224/3D.14711.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(x)=2-f(-x)，且函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f(x)〖=1-x〗^2，則f(2024/5)=（）A.9/25 B.16/25C.34/25 D.41/2512.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿意x(1+lnx)=ye^(y-1)，給出下列不等式：①y<x<1；②1<x<y；③1<y<x；④y<1<x.其中可能成立的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3二填空題（每題5分，共4道小題，共計(jì)20分）13.13.在邊長(zhǎng)為2的正△ABC中，(AC)?在(AB)?方向上的投影是____________．14.寫出訪“函數(shù)f(x)=cos(2x+φ)為奇函數(shù)”的φ的一個(gè)取值____________．15.已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周都在表面積為20π的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為____________．16.在△ABC中，BC=2，AB=2AC，D為BC的中點(diǎn)，則tan∠ADC的最大值為____________．三解答題（共6道小題，共計(jì)70分，寫清晰必要演算步驟和解題過(guò)程）17.（本題滿分12分）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n滿意S_n=-3/2a_(n+1)+3/2，已知a_1=1.（Ⅰ）求a_n；（Ⅱ）在①b_n=a_n+2〖log〗_(1/3)a_n+1；②b_n=a_n^2+n+1這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為條件，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18.（本題滿分12分）強(qiáng)基安排?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^(guò)程中通過(guò)筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩所高校的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過(guò)相互獨(dú)立，若某考生報(bào)考甲高校，每門科目通過(guò)的概率均為1/2；該考生報(bào)考乙高校，每門科目通過(guò)的概率依次為1/6，2/3，m，其中0<m<1.（Ⅰ）若m=2/3，分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所高校在筆試環(huán)節(jié)恰好通過(guò)一門科目的概率；（Ⅱ）強(qiáng)基安排規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過(guò)程中通過(guò)科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作決策，當(dāng)該考生更希望通過(guò)乙高校的筆試時(shí)，求m的取值范圍．19.（本題滿分12分）如圖，在斜三棱柱〖ABC-A〗_1B_1C_1中，AB⊥AC，AB=AC，側(cè)面〖BB〗_1C_1C為菱形，且∠B_1B〖C=60〗^°，點(diǎn)D為棱A_1A的中點(diǎn)，〖DB〗_1=DC，平面B_1DC⊥平面〖BB〗_1C_1C.設(shè)平面B_1DC與平面ABC的交線為l.（Ⅰ）求證：l⊥平面〖BB〗_1C_1C；（Ⅱ）求二面角〖C-B〗_1D-B的余弦值．20.（本題滿分12分）已知橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦點(diǎn)F(-1，0)，點(diǎn)P(√6/2，1/2)在橢圓C上．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F與l垂直的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，求(AM)??(BN)?的取值范圍．21.（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=ae^x-x+lna-2.（Ⅰ）若x=0是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，求f(x)的最小值；（Ⅱ）若函數(shù)g(x)=f(x)+x-ln(x+2)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．選做題（22題，23題，選做一題，多做或做錯(cuò)依據(jù)第一題計(jì)分）22.（本題滿分10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為{├■(x=√3cosα，@y=sinα)┤(α┤為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ-π/6)-√3m=0.（Ⅰ）寫出l的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)P(0，2m)，若l與C交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|PB|=3/2，求m的值．23.（本題滿分10分）已知函數(shù)f(x)=|x+2|+|x-m|.（Ⅰ）若對(duì)?x∈R，f(x)?3恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（Ⅱ）若f(x)的最小值為5，且正數(shù)a，b，c滿意a+3b+4c=m.求證〖：a〗^2+〖2ab+5b〗^2+c^2?1/2.參考答案及解析1.【答案】A【解析】略2.【答案】A【解析】∵集合A={x|x^2≤4，x∈R}={x|-2≤x≤2}，B={x|√x<2，x∈Z}={0，1，2，3}，∴A∩B={0，1，2}.3.【答案】D【解析】對(duì)于B，8月每天最高氣溫不低于40℃的數(shù)據(jù)有7個(gè)，其它都低于40℃，把31個(gè)數(shù)據(jù)由小到大排列，中位數(shù)必小于40，因此8月每天最高氣溫的中位數(shù)低于40℃，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，8月前半月每天最高氣溫的數(shù)據(jù)極差小，波動(dòng)較小，后半月每天最高氣溫的極差大，數(shù)據(jù)波動(dòng)很大，因此8月前半月每天最高氣溫的方差小于后半月最高氣溫的方差，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，8月每天最高氣溫的數(shù)據(jù)極差大，每天最低氣溫的數(shù)據(jù)極差較小，每天最高氣溫的數(shù)據(jù)波動(dòng)也比每天最低氣溫的數(shù)據(jù)波動(dòng)大，因此8月每天最高氣溫的方差大于每天最低氣溫的方差，故D正確.4.【答案】C 【解析】由拋物線〖C：y〗^2=2x，可知2p=2，則p=1，又點(diǎn)P是C上一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為4，所以x_P=4，所以依據(jù)拋物線定義，可得〖|PF|=x〗_P+p/2=4+1/2=9/2.5.【答案】C【解析】略6.【答案】D【解析】略7.【答案】C【解析】 ∵sinβ+cosβ=1/5，①∴兩邊平方可得：〖sin〗^2β〖+cos〗^2β+2sinβcosβ=1/25，可得：1+sin2β=1/25，∴sin2β=-24/25，又0<β<π，∴sinβ>0，cosβ<0，∴〖(sinβ-cosβ)〗^2=1-sin2β=49/25，∴sinβ-cosβ=7/5，②由①②得：sinβ=4/5，cosβ=-3/5.∴tanβ=-4/3.8.【答案】B【解析】記得密碼的最終1位是偶數(shù)，不超過(guò)2次就按對(duì)的概率：P=1/5+4/5×1/4=2/5.9.【答案】B【解析】略10.【答案】B【解析】略11.【答案】C【解析】略12.【答案】C【解析】因?yàn)椤紋e〗^(y-1)=x(1+lnx)，所以〖ye〗^(y-1)=(1+lnx)e^((1+lnx-1))，因?yàn)閥>0，所以〖ye〗^(y-1)>0，則1+lnx>0，令f(y)〖=ye〗^(y-1)，y∈(0，+∞)，則f'(y)=(y+1)e^(y-1)>0，所以f(y)〖=ye〗^(y-1)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，由f(y)=f(1+lnx)，可得y=1+lnx，令g(y)=lny+1-y，則g'(y)=1/y-1=(1-y)/y，所以當(dāng)0<y<1時(shí)g'(y)>0，當(dāng)y>1時(shí)g'(y)<0，所以g(y)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減，所以g〖(y)〗_max=g(1)=0，則g(y)=lny+1-y≤0，即lny+1≤y當(dāng)且僅當(dāng)y=1時(shí)取等號(hào)，即1+lnx≤x當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，又y=1+lnx，所以y≤x，當(dāng)且僅當(dāng)y=x=1時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x≠1時(shí)1<y<x或y<x<1，結(jié)合x=lny+1與y=x的圖象也可得1<y<x或y<x<1.13.【答案】1【解析】略14.【答案】φ=kπ+π/2(k∈Z)，【解析】∵函數(shù)f(x)=cos(2x+φ)是奇函數(shù)，∴φ=kπ+π/2，k∈Z，15.【答案】10π【解析】略16.【答案】4/3【解析】以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B(-1，0)，C(1，0)，設(shè)A(x，y)，由AB=2AC，得√(〖(x+1)〗^2+y^2)=2√(〖(x-1)〗^2+y^2)，整理得x^2+y^2-10/3x+1=0，∴〖(x-5/3)〗^2+y^2=16/9，∴點(diǎn)A的軌跡方程為〖(x-5/3)〗^2+y^2=16/9(x≠0)，當(dāng)AD與圓〖(x-5/3)〗^2+y^2=16/9(x≠0)相切時(shí)，∠ADC最大，記圓心為M，此時(shí)AD=1，AM=4/3，∴tan∠ADC=AM/AD=4/3.17.【解析】（Ⅰ）因?yàn)镾_n=-3/2a_(n+1)+3/2，①所以當(dāng)n?2時(shí)，S_(n-1)=-3/2a_n+3/2，②由①，②相減得〖：a〗_n=-3/2a_(n+1)+3/2a_n，即a_(n+1)=1/3a_n，在S_n=-3/2a_(n+1)+3/2中令n=1得，S_1=-3/2a_2+3/2，即a_2=1/3，所以數(shù)列{a_n}是以a_1=1為首項(xiàng)，公比為1/3的等比數(shù)列，所以a_n=(1/3)^(n-1)；（Ⅱ）若選①．因?yàn)閎_n=a_n+2〖log〗_(1/3)a_n+1=(1/3)^(n-1)+2〖log〗_(1/3)(1/3)^(n-1)+1=(1/3)^(n-1)+2n-1所以T_n=(1-(1/3)^n)/(1-1/3)+(n(1+2n-1))/2=3/2(1-1/3^n)〖+n〗^2若選②b_n=a_n^2+n+1=(1/3)^(2n-2)+n+1=(1/9)^(n-1)+n+1所以T_n=(1-(1/9)^n)/(1-1/9)+(n(2+n+1))/2=9/8(1-1/3^n)+1/2(n^2+3n).18.【解析】（Ⅰ）設(shè)“該考生報(bào)考甲高校恰好通過(guò)一門筆試科目”為事務(wù)A，"該考生報(bào)考乙高校恰好通過(guò)一門筆試科目”為事務(wù)B，依據(jù)題意得：P(A)〖=C〗_3^1(1/2)^1(1/2)^2=3/8P(B)=1/6×(1/3)^2+5/6×2/3×1/3×2=7/18；（Ⅱ）設(shè)該考生報(bào)考甲高校通過(guò)的科目數(shù)為X，報(bào)考乙高校通過(guò)的科目數(shù)為Y，依據(jù)題意可知，X~B(3，1/2)，所以，E(X)=3×1/2=3/2，P(Y=0)=5/6×1/3(1-m)=5/18(1-m)，P(Y=1)=1/6×1/3(1-m)+5/6×2/3(1-m)+5/6×1/3m=11/18-1/3m，P(Y=2)=1/6×2/3(1-m)+1/6×1/3m+5/6×2/3m=1/9+1/2m，P(Y)=3=1/6×2/3m=1/9m.則隨機(jī)變量Y的分布列為：E(Y)=11/18-1/3m+2/9+m+1/3m=5/6+m，若該考生更希望通過(guò)乙高校的筆試時(shí)，有E(Y)>E(X)，所以5/6+m>3/2，又因?yàn)?<m<1，所以2/3<m<1，所以m的取值范圍是(2/3，1).19.【解析】證明（Ⅰ）分別延長(zhǎng)B_1D，BA，設(shè)BA∩B_1D=E，連接CE，則CE即為平面B_1CD與平面ABC的交線l，因?yàn)椤糄B〗_1=DC，取B_1C中點(diǎn)F，連接DF，所以DF⊥B_1C，DF?平面B_1CD，因?yàn)槠矫鍮_1CD⊥平面〖BB〗_1C_1C，且交線為B_1C，所以DF⊥平面〖BB〗_1C_1C，因?yàn)镈為棱A_1A的中點(diǎn)，A_1B_1//AB，所以D為B_1E的中點(diǎn)，所以l//DF，所以l⊥平面〖BB〗_1C_1C；（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知BA=AE，因?yàn)椤螧A〖C=90〗^°，AB=AC，所以∠BC〖E=90〗^°，在平面〖BB〗_1C_1C內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作GC⊥BC，垂足為G，則GC⊥平面BCE，分別以CB，CE，CG所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC=2，則B_1(1，0，√3)，E(0，2，0)，B(2，0，0)，則(〖CB〗_1)?=(1，0，√3)，(CE)?=(0，2，0)，(BE)?=(-2，2，0)，(〖BB〗_1)?=(-1，0，√3)，設(shè)平面B_1DC的法向量為m=(x，y，z)，則{├■(x+√3z=0@2y=0)┤┤，取m=(√3，0，-1)，設(shè)平面B_1DB的法向量為n=(x，y，z)，則{├■(-x+y=0@-x+√3z=0)┤┤，取n=(√3，√3，1)，所以cos?m，n?=(√3?√3-1)/(2?√7)=√7/7，即二面角〖C-B〗_1D-B的余弦值為√7/7.方法二：連接BF，因?yàn)樗倪呅巍糂B〗_1C_1C為菱形，且∠B_1B〖C=60〗^°，所以BF⊥B_1C，BF?平面B_1CB，因?yàn)槠矫鍮_1CD⊥平面〖BB〗_1C_1C，且交線為B_1C，所以BF⊥平面B_1CD，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥B_1E，連接BG，所以BG⊥B_1E，故∠BGF為二面角〖C-B〗_1D-B的平面角，在Rt△B_1DF中，B_1F=1，DF=1/2CE=1，F(xiàn)G⊥B_1E，所以FG=√2/2，在Rt△BFG中，BF=√3，所以BG=√14/2，所以cos∠BGF=√7/7，即二面角〖C-B〗_1D-B的余弦值為√7/7.20.【解析】（Ⅰ）因?yàn)镻(√6/2，1/2)在C上，所以3/〖2a〗^2+1/〖4b〗^2=1，因?yàn)镃的左焦點(diǎn)F(-1，0)，所以a^2-b^2=1，所以a^2=〖2，b〗^2=1，C的方程為x^2/2〖+y〗^2=1；（Ⅱ）（1）當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，點(diǎn)A(-√2，0)，B(√2，0)，M(-1，√2/2)，N(-1，-√2/2)，(AM)?=(√2-1，√2/2)，(BN)?=(-√2-1，-√2/2)，所以(AM)??(BN)?=-3/2（2）當(dāng)直線l與x軸不重合時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=my-1，代入x^2/2〖+y〗^2=1消去x得(m^2+2)y^2-2my-1=0，因?yàn)橹本€l與C交于點(diǎn)A(x_1，y_1)，B(x_2，y_2)，所以y_1y_2=-1/(m^2+2)，因?yàn)?AM)??(BN)?=((AF)?+(FM)?)?((BF)?+(FN)?)=(AF)??(BF)?+(FM)??(FN)?，所以(AF)??(BF)?=(x_1+1)(x_2+1)〖+y〗_1y_2=(〖1+m〗^2)y_1y_2=-(m^2+1)/(m^2+2)，①當(dāng)m≠0時(shí)，同理可得(FM)??(FN)?=-((-1/m)^2+1)/((-1/m)^2+2)=-(m^2+1)/(〖2m〗^2+1)，(AM)??(BN)?=-(m^2+1)/(m^2+2)-(m^2+1)/(〖2m〗^2+1)=-(3(m^2+1)^2)/(〖2m〗^4+〖5m〗^2+2)=3/2(1/(〖2m〗^2+2/m^2+5)-1)，因?yàn)閙^2+1/m^2?2，所以(AM)??(BN)?的取值范用是(-3/2，-4/3]，②當(dāng)m=0時(shí)，(AM)??(BN)?=-3/2，綜上知(AM)??(BN)?的取值范圍是[-3/2，-4/3].21.【解析】（Ⅰ）f^'(x)=ae^x-1，因?yàn)閤=0是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f^'(0)=ae^0-1=a-1=0，得a=1，所以f^'(x)=e^x-1，因此f(x)在(-∞，0)上單減，在(0，+∞)上單增，所以當(dāng)x=0時(shí)，f(x)有最小值f(0)=e^0-2=-1；（Ⅱ）方法一：因?yàn)間(x)=ae^x-ln(x+2)+lna-2，所以g^'(x)=ae^x-1/(x+2)，則g^'(x)在(-2，+∞)上單增，記x_1=max{ln1/2a，0}，當(dāng)ln1/2a>0時(shí)，g^'(x_1)=ae^(x_1)-1/(x_1+2)=ae^(1/ln2a)-1/(1/ln2a+2)>ae^(1/ln2a)-1/(0+2)=1/2-1/2=0，當(dāng)ln1/2a<0時(shí)，g^'(x_1)=ae^(x_1)-1/(x_1+2)=ae^0-1/(0+2)>ae^(1/ln2a)-1/(0+2)=1/2-1/2=0，記x_2=min{1/a-2，0}，當(dāng)1/a-2>0時(shí)，g^'(x_2)=ae^(x_2)-1/(x_2+2)=ae^0-1/(0+2)<ae^0-1/(1/a-2+2)=0；當(dāng)1/a-2<0時(shí)，g^'(x_2)=ae^(x_2)-1/(x_2+2)=ae^(1/a-2)-1/(1/a-2+2)<ae^0-1/(1/a-2+2)=0；所以存在唯一的x_0∈(-2，+∞)，使得g^'(x_0)=0，當(dāng)-2<x<x_0時(shí)，g^'(x_0)<0；當(dāng)x>x_0時(shí)，g^'(x_0)>0，所以函數(shù)g(x)在(〖-2，x〗_0)上單減，在(x_0，+∞)上單增，若函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，只需g(x_0)<0，即g(x_0)=ae^(x_0)-ln(x_0+2)+lna-2<0，又ae^(x_0)-1/(x_0+2)=0，即a=1/(e^(x_0)(x_0+2))，則x_0+2+2ln(x_0+2)-1/(x_0+2)>0，設(shè)h(t)=t+2lnt-1/t，則h(t)為增函數(shù)，h(1)=0，所以當(dāng)t>1時(shí)，h(t)?0，則x_0+2>1，即x_0>-1，令φ(x)=e^x(x+2)(x>-1)，φ^'(x)=e^x(x+3)>0，則φ(x)在(-1，+∞)上單增，由x_0>-1得φ(x_0)>φ(-1)=1/e，所以a=1/(e^(x_0)(x_0+2))∈(0，e)，所以a的取值范圍是(0，e).方法二：若g(x)=f(x)+x-ln(x+2)有兩個(gè)零點(diǎn)，即e^(x+lna)+x+lna=ln(x+2)+x+2有兩個(gè)解，即e^(x+lna)+x+lna=ln(x+2)+e^(ln(x+2))有兩個(gè)解，利用同構(gòu)式，設(shè)函數(shù)h(x)=e^x+x，問(wèn)題等價(jià)于方程h(x+lna)=h(ln(x+2))有兩個(gè)解，h^'(x)=e^x+1>0恒成立，即h(x)=e^x+x單調(diào)遞增，所以x+lna=ln(x+2)，問(wèn)題等價(jià)于方程x+lna=ln(x+2)有兩個(gè)解，即ln(x+2)-(x+2)+2-lna=0有兩個(gè)解，設(shè)t=x+2，2-lna=m，即lnt-t+m=0有兩個(gè)解，令φ(t)=lnt-t+m，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)φ(t)有兩個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)棣誢'(t)=1/t-1，當(dāng)t∈(0，1)時(shí)，φ^'(t)>