高中數(shù)學(xué)高考知識練習(xí)

1.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。

如：集合A={x|y=Igx},B={y|y=lgx},C={（x,y）|y=Igx},A、B、C中元素各表示什么？

2.進行集合的交、并、補運算時，不要忘記集合本身和空集0的特殊情況。（注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。）

空集是■切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合A=卜枕-2x-3=0},B={x|ax=l}

3.注意下列性質(zhì)：

（3）德摩根定律：Cu（AUB）=（CuA）A（CvB）,^（AAB）=（CL,A）U（CL,B）

4.你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）

如：已知關(guān)于x的不等式竽e<0的解集為M,若3eM且5eM,求實數(shù)a的取值范圍。

x—a

6.命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？（互為逆否關(guān)系的命題是等價命題。）

原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。

7.對映射的概念了解嗎？映射f：A~B,是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射？

（一對一，多對一，允許B中有元素?zé)o原象。）

8.函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？（定義域、對應(yīng)法則、值域）

9.求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？

10.如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？

如：函數(shù)f（x）的定義域是|a,b］,b>-a>0,則函數(shù)F（x）=f（x）+f（-x）的定義域是一。（答：［a,-a］）

11.求?個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？

12.反函數(shù)存在的條件是什么？（一一對應(yīng)函數(shù)）

求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？（①反解x；②互換x、y；③注明定義域）

13.反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？

①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱；②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；

14.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？（取值、作差、判正負(fù)）

如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？

當(dāng)x引1,2）時，uJ,又k）g［uJ,/.yT:....）

2

15.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？

如：已知a>0,函數(shù)f（x）=x3-ax在［1,+8）上是單調(diào)增函數(shù)，貝人的最大值是（）

A.OB.1C.2D.3

由已知f（x）在［1,+8）上為增函數(shù)，則的41，即a43，a的最大值為3）

16.函數(shù)7U）具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？

（f（x）定義域關(guān)于原點對稱）

注意如下結(jié)論:

（1）在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；?個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。

17.你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？

（若存在實數(shù)T（TwO）,在定義域內(nèi)總有f（x+T）=f（x）,則f（x）為周期函數(shù)，T是一個周期。）

18.你掌握常用的圖象變換了嗎？

注意如下“翻折”變換：f（X）>|f(x)|

f（x）>f(|x|)

19.你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？

（2）反比例函數(shù)：y=&（k*0）推廣為y=b

應(yīng)用：①“三個二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系一一二次方程

②求閉區(qū)間［m,n］上的最值。③求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。④一元二次方程根的分布問題。

由圖象記性質(zhì)?。ㄗ⒁獾讛?shù)的限定?。?/p>

指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)

利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？

20.你在基本運算上常出現(xiàn)錯誤嗎？

21.如何解抽象函數(shù)問題？（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）

22.掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？

（二次函數(shù)法（配方法），反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)單調(diào)性法，導(dǎo)數(shù)法等。）

如求下列函數(shù)的最值:

23.你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為a,半徑為R的弧長公式探形面積公式嗎？

24.熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義T

1強度

25.你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫也單調(diào)稱點、對稱軸嗎?

3兀

（2）五點作圖：令cox+（p依次為0,冗,=A儂點x

2

27.在三角函數(shù)中求一個角時要注意兩個方面一一先求出某一個函數(shù)值，/判定角的范圍。

28.在解含有正、余弦函數(shù)的問題時，你注意（到）運用函數(shù)的有界性「嗎？

29.熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎？（平移變換、伸縮變換）

平移公式：

如：函數(shù)y=2sin（2x-3-1的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到y(tǒng)=sinx的圖象?

30.熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式了嗎？

“k?巴士a”化為a的三角函數(shù)——“奇變，偶不變，符號看象限"，"奇"、"偶"指k取奇、偶數(shù)。

2

A.正值或負(fù)值B.負(fù)值C.非負(fù)值D.正值

31.熟練掌握兩角和、差、倍、降幕公式及其逆向應(yīng)用了嗎？

理解公式之間的聯(lián)系：

應(yīng)用以上公式對三角函數(shù)式化簡。（化簡要求：項數(shù)最少、函數(shù)種類最少，分母中不含三角函數(shù)，能求值，盡可能求值。）

具體方法:

(2)名的變換：化弦或化切

(3)次數(shù)的變換：升、降幕公式

(4)形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式，注意運用代數(shù)運算。

32.正、余弦定理的各種表達形式你還記得嗎？如何實現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化，而解斜三角形？

(應(yīng)用：己知兩邊一夾角求第三邊；己知三邊求角。)

33.用反三角函數(shù)表示角時要注意角的范圍。

34.不等式的性質(zhì)有哪些？

A.a2<b2B.ab<b2C.|a|+|b|>|a+b|D.—+—>2答案：c

ba

利用均值不等式:

35.a2+b2>2ab(a,bGR+)；a+b>2Vab：ab<j求最值時，你是否注

意到“a,bcR+”且“等號成立”時的條件，積(ab)或和(a+b)其中之一為定值？(一正、二定、三相等)

注意如下結(jié)論：，甘L之亨2疝2端(a,1?61^)當(dāng)且僅當(dāng)2=15時等號成立。

36.不等式證明的基本方法都掌握了嗎？(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等)并注意簡單放縮法的應(yīng)用。

37解分式不等式曲?>a(a*0)的一般步驟是什么？(移項通分，分子分母因式分解，x的系數(shù)變?yōu)?,穿軸法解得結(jié)果。)

'g(X)'70有壬q

1是偶重根，

38.用“穿軸法”解高次不等式一一“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開始、/

39.解含有參數(shù)的不等式要注意對字母參數(shù)的討論如：對數(shù)或指數(shù)的底分a>

40.對含有兩個絕對值的不等式如何去解？(找零點，分段討論，去掉絕對值符號，最后取各段的并集。)

證明：|f(x)—f(a)|=|(x~—x+13)—(a~一a+13)1

，|f(x)-f(a)|<2|a|+2=2(|a|+l)(按不等號方向放縮)

42.不等式恒成立問題，常用的處理方式是什么？(可轉(zhuǎn)化為最值問題，或“△”問題)

43.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

(5)卜“｝為等差數(shù)列。5?=21?+所(a,b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項為0的二次函數(shù))

S”的最值可求二次函數(shù)S“=an?+bn的最值；或者求出｛a0｝中的正、負(fù)分界項，即：

44.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)

46.你熟悉求數(shù)列通項公式的常用方法嗎？

例如：(1)求差(商)法

解：n=l時，—a,=2x1+5,/.a,=14

2

［練習(xí)］

(2)疊乘法

a2a3an12n-1.an1T-,。?3

解：上?二....---....——，-.—=-又2=3,/.an=-

a,a2an_j23na〕nn

（3）等差型遞推公式

［練習(xí)］

（4）等比型遞推公式

［練習(xí)］

（5）倒數(shù)法

47.你熟悉求數(shù)列前n項和的常用方法嗎？

例如：（1）裂項法：把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項。

解：由---------=-----r=——------（d豐0）

ak-ak+Iak（ak+d）dkakak+1J

［練習(xí)］

（2）錯位相減法：

（3）倒序相加法：把數(shù)列的各項順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加。

已知f(x)=,則f(l)+f(2)+f(3+f(3)+f(?+f(4)+f(；)=

［練習(xí)］

48.你知道儲蓄、貸款問題嗎？

△零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型:

若每期存入本金p元，每期利率為r,n期后，本利和為：

△若按復(fù)利，如貸款問題一一按揭貸款的每期還款計算模型（按揭貸款一一分期等額歸還本息的借款種類）

若貸款（向銀行借款）p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，第n次還清。

如果每期利率為r（按復(fù)利），那么每期應(yīng)還x元，滿足

pr(l+r)n

/?X=p一一貸款數(shù)，1?--利率，n一一還款期數(shù)

(l+r)?

49.解排列、組合問題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。

（2）排列：從n個不同元素中，任取m（mWn）個元素，按照一定的順序排成一

（3）組合：從n個不同元素中任取m（mWn）個元素并組成一組，叫做從n個同元素中取出m個元素的一個組合，所有組合個數(shù)記為C。

50.解排列與組合問題的規(guī)律是：

相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；至多至少問題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數(shù)量

不大時可以逐一排出結(jié)果。

如：學(xué)號為1,2,3,4的四名學(xué)生的考試成績

則這四位同學(xué)考試成績的所有可能情況是（）

A.24B.15C.12D.10

解析：可分成兩類：

（2）中間兩個分?jǐn)?shù)相等

X）<x2=x3<x4相同兩數(shù)分別取90,91,92,對應(yīng)的排列可以數(shù)出來，分別有3,4,3種，，有10種。

二共有5+10=15（種）情況

51.二項式定理（a+b）11+C；aib+C：aA2b2+?“+C：an-b+???+C：b”

性質(zhì)：

（3）最值：n為偶數(shù)時，n+1為奇數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大且為第

如：在二項式（x-l）”的展開式中，系數(shù)最小的項系數(shù)為（用數(shù)字表示）

52.你對隨機事件之間的關(guān)系熟悉嗎？

（3）事件的和（并）：A+B或AUB“A與B至少有一個發(fā)生”叫做A與B的和（并％

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A與B不能同時發(fā)生”叫做A、B互斥。

（6）對立事件（互逆事件）：,一、（\

（7）獨立事件：A發(fā)生與否對B發(fā)生的概率沒有影響，這木（人B）

53.對某一事件概率的求法：'------'

A包含的等可能結(jié)果m

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列組合的方法，即P（A）=

一次試驗的等可能結(jié)果的總數(shù)

（5）如果在一次試驗中A發(fā)生的概率是p,那么在n次獨立重復(fù)試驗中A恰好發(fā)生k次的概率：P“（k）=C：pk（l-p）"Y

如：設(shè)10件產(chǎn)品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

（c22）

（1）從中任取2件都是次品；p=T=—

I或\5）

1C2c310、

（2）從中任取5件恰有2件次品；P,==——

【C；o21J

（3）從中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），；.n=103

而至少有2件次品為“恰有2次品”和“三件都是次品"，m=C1?4-61+43AP,----------=—

31（戶125

（4）從中依次取5件恰有2件次品。

..5「2A2?3.cC4A5A?10

解析：???一件一件抽取（有順序），11=人：0，m=C；AgA：.\P4=.4-I±

A1。21

分清（1）、（2）是組合問題，（3）是可重復(fù)排列問題，（4）是無重復(fù)排列問題。

54.抽樣方法主要有：簡單隨機抽樣（抽簽法、隨機數(shù)表法）常常用于總體個數(shù)較少時，它的特征是從總體中逐個抽??；系統(tǒng)抽樣，常

用于總體個數(shù)較多時，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一個；分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明

顯差異，它們的共同特征是每個個體被抽到的概率相等，體現(xiàn)了抽樣的客觀性和平等性。

55.對總體分布的估計一一用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望（平均值）和方差去估計總體的期望和方差。

要熟悉樣本頻率直方圖的作法：

（1）算數(shù)據(jù)極差（Xm穌-XmiJ;（2）決定組距和組數(shù)：（3）決定分點；（4）列頻率分布表；（5）畫頻率直方圖。

（型）

如:從10名女生與5名男生中選6名學(xué)生參加比賽,如果按性別分層隨機抽樣，則組成此參賽隊的概率為

56.你對向量的有關(guān)概念清楚嗎？

(1)向量——既有大小又有方向的量。

在此規(guī)定下向量可以在平面(或空間)平行移動而不改變。

(6)并線向量(平行向量)---方向相同或相反的向量。

—

規(guī)定零向量與任意向量平行。b〃a(bw0)=存在唯一實數(shù)九，使b=九a

(7)向量的加、減法如圖：

(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)

—>—>—>—>

實數(shù)對心、入2，使得a=%ei+%e2,ei、

(9)向量的坐標(biāo)表示：；，；是一對互相垂直的單位向量，則有且只有一對實數(shù)x,y,使得

a=xi+yj,稱(x,y)為向量a的坐標(biāo)，記作：a=(x,y),即為向量的坐標(biāo)表示。

57.平面向量的數(shù)量積

數(shù)量積的幾何意義：a,b等于|a|與b在a的方向上的射影|b|cos0的乘積。

(2)數(shù)量積的運算法則

［練習(xí)］

—f—>f—->T—>—>

(1)已知正方形ABCD,邊長為1,AB=a,BC=b,AC=c,則|a+b+c|=

(2)若向量a=(x,1),b=(4,x),當(dāng)乂=時a與b共線且方向相同答案：2

(3)已知a、b均為單位向量，它們的夾角為60°,那么|a+3bl=答案：J13

58.線段的定比分點

X.你能分清三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心及其性質(zhì)嗎？

59.立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎？

線〃線<——>線〃面<——>面〃面

平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：上一線，線一線，面一面，面

線〃線<__>線_1_面<_一>面〃面

線面平行的判定：a/7b,bu面a,aaana〃面a

線面平行的性質(zhì)：

三垂線定理(及逆定理)：

線面垂直:

面面垂直：

60.三類角的定義及求法

(1)異面直線所成的角0,0°<0<90°

(2)直線與平面所成的角0,0°weW90°

(三垂線定理法：AWa作或證ABJ.B于B,作BO_L棱于O,連AO,則AOJ_棱/,.\NAOB為所求。)

三類角的求法:

①找出或作出有關(guān)的角。②證明其符合定義，并指出所求作的角。③計算大小(解直角三角形，或用余弦定理)。

［練習(xí)］A

AB

61.空間有兒種距離？如何求距離？點與點，點與線，點與面，線與線，線與面，面與面間距離。

將空間距離轉(zhuǎn)化為兩點的距離，構(gòu)造三角形，解三角形求線段的長(如：三垂線定理法，或者用等積轉(zhuǎn)化法)。

如：正方形ABCD—AIBICIDI中，棱長為a,貝!I：

(1)點C到面AB.Ci的距離為；

(2)點B到面ACBi的距離為；

(3)直線AIDI到面ABICI的距離為；

(4)面ABiC與面AIDCI的距離為；

(5)點B到直線AiG的距離為。

62.你是否準(zhǔn)確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質(zhì)？

正棱柱一一底面為正多邊形的直棱柱

正棱錐一一底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面的中心。

正棱錐的計算集中在四個直角三角形中：

它們各包含哪些元素？

63.球有哪些性質(zhì)？

(2)球面上兩點的距離是經(jīng)過這兩點的大圓的劣弧長。為此，要找球，I

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