振動(dòng)和波

人們習(xí)慣于按照物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的形態(tài)，把經(jīng)典物理學(xué)分成力（包括聲）、熱、電、光等子學(xué)科。然而，某些形式的運(yùn)動(dòng)是橫跨所有這些學(xué)科的，其中最典型的要算振動(dòng)和波了。在力學(xué)中有機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波，在電學(xué)中有電磁振蕩和電磁波，聲是一種機(jī)械波，光則是一種電磁波。在近代物理中更是處處離不開振動(dòng)和波，僅從微觀理論的基石——量子力學(xué)又稱波動(dòng)力學(xué)這一點(diǎn)就可看出，振動(dòng)和波的概念在近代物理中的重要性了。盡管在物理學(xué)的各分支學(xué)科里振動(dòng)和波的具體內(nèi)容不同，在形式上它們卻具有極大的相似性。所以，本章的意義絕不局限于力學(xué)，它將為學(xué)習(xí)整個(gè)物理學(xué)打基礎(chǔ)。7.1.1平衡與振動(dòng)7.1.2恢復(fù)力與彈性力7.1.3簡諧振動(dòng)的描述7.1.4諧振子的能量7.1.5振動(dòng)的合成與分解§7.1簡諧振動(dòng)§7.1簡諧振動(dòng)7.1.1平衡與振動(dòng)

處于靜止?fàn)顟B(tài)的物體，我們稱之為平衡，此時(shí)物體不受力或所受的合力為零。如果處于平衡位置的物體受到某種擾動(dòng)而離開了平衡位置，則我們根據(jù)該物體以后能否保持平衡而將平衡分為以下四種：穩(wěn)定平衡、亞穩(wěn)平衡、不穩(wěn)平衡和隨遇平衡，如圖7.1所示?！?.1簡諧振動(dòng)7.1.1平衡與振動(dòng)

我們僅討論處于穩(wěn)定平衡（嚴(yán)格地說，穩(wěn)定平衡是理想情況，絕對的穩(wěn)定平衡是沒有的）或亞穩(wěn)平衡而擾動(dòng)較小的情況，此時(shí)物體將會(huì)發(fā)生振動(dòng)。我們把振動(dòng)的物體稱為振子。7.1.2恢復(fù)力與彈性力

圖7.2的“彈簧振子”有一個(gè)平衡位置O，在那個(gè)位置，彈簧既沒有伸長也沒有縮短，對物體不施加作用力，物體得以平衡。試把物體從平衡位置移開，例如移到點(diǎn)，然后放手，拉長的彈簧有收縮的趨勢，它施加于物體的作用力驅(qū)使物體向平衡位置移動(dòng)。這種驅(qū)使物體向平衡位置移動(dòng)的力叫作恢復(fù)力。

恢復(fù)力和慣性這一對矛盾不斷斗爭，它們的作用交替消長，力學(xué)系統(tǒng)就在平衡位置左右一定范圍內(nèi)來回振動(dòng)。7.1.2恢復(fù)力與彈性力

彈簧振子的恢復(fù)力是彈簧的彈性力，其大小正比于彈簧的伸長或縮短。它滿足胡克定律：式中x是物體對平衡位置的位移，k叫作彈性系數(shù)（或倔強(qiáng)系數(shù)），k越大表示彈簧越硬。由胡克定律可知彈性力有兩個(gè)特點(diǎn)：因?yàn)閺椥粤的指向總與位移x的方向相反，故彈性力F總是指向平衡位置，總是力圖把質(zhì)點(diǎn)拉回到平衡位置；因?yàn)镕的數(shù)值大小正比于位移x的大小，所以物體偏離平衡位置越遠(yuǎn)，則它受到的拉回平衡點(diǎn)的力也越大。7.1.2恢復(fù)力與彈性力

除了彈簧外，其他的力也可能具有(7.1.1)式的形式。如圖7.3所示的單擺，如將小球從平衡位置拉到點(diǎn)再松手，小球?qū)⒃谄胶馕恢命c(diǎn)附近往復(fù)擺動(dòng)。它的結(jié)構(gòu)雖與上述彈簧振子完全不同，但它們的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)是十分相似的。式中負(fù)號(hào)表示

F與角位移方向相反。

可見，單擺所受的雖不是彈性力，但(7.1.2)式在形式上與(7.1.1)式完全相似。我們把這種與彈性力具有相似表達(dá)式的力，叫做準(zhǔn)彈性力。7.1.2恢復(fù)力與彈性力

準(zhǔn)彈性力的實(shí)例，還可以舉出許多。例如琴弦的顫動(dòng)，樹木的搖曳，分子的振動(dòng)等，都是在準(zhǔn)彈性力作用下的運(yùn)動(dòng)。一般質(zhì)點(diǎn)在其穩(wěn)定的平衡點(diǎn)附近的運(yùn)動(dòng)，大都是準(zhǔn)彈性力作用下的運(yùn)動(dòng)。

現(xiàn)在我們來證明：一維保守力在穩(wěn)定平衡位置附近一定是準(zhǔn)彈性力。

7.1.2恢復(fù)力與彈性力定理：一維保守力在穩(wěn)定平衡位置附近一定是準(zhǔn)彈性力。

證：設(shè)F(x)是保守力，則它具有勢能V(x)。把勢能函數(shù)V(x)在平衡點(diǎn)x0附近作泰勒展開因F(x)=﹣dV/dt,x0是平衡點(diǎn)，在該點(diǎn)有F(x0)=0，故7.1.2恢復(fù)力與彈性力令由于x0是平衡點(diǎn)，故k>0。將(7.1.6)式代入(7.1.5)，只保留第一項(xiàng)，得：可見，只要把平衡點(diǎn)x0取為原點(diǎn)，它的形式就與(7.1.1)式完全一樣了。這就證明了F(x)是準(zhǔn)彈性力。[證畢]7.1.2恢復(fù)力與彈性力取V0=0,x0=0，在(7.1.4)中只保留一項(xiàng)，得勢能為：

勢能的曲線示于圖7.4。由圖可見，在一個(gè)嚴(yán)格的彈性力作用下的質(zhì)點(diǎn)只可能作束縛運(yùn)動(dòng)，對任何大的能量E，質(zhì)點(diǎn)都不能作自由運(yùn)動(dòng)，而只能在下列有限范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)，即：其中：7.1.3簡諧振動(dòng)的描述1.簡諧振動(dòng)解

如圖7.2所示，設(shè)彈簧振子的質(zhì)量為m，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k，選取x軸，以平衡位置O為原點(diǎn)，則振子的運(yùn)動(dòng)方程為：令：解為：其中為待定常數(shù)，由初始條件確定。稱這種運(yùn)動(dòng)為簡諧振動(dòng)。

7.1.3簡諧振動(dòng)的描述2.簡諧振動(dòng)的特征參量

描繪一個(gè)簡諧振動(dòng)的特征參量有三個(gè)：振幅、角頻率和相位。振幅AA代表質(zhì)點(diǎn)偏離中心（平衡位置）的最大距離，它正比于(E)1/2，即它的平方正比于系統(tǒng)的機(jī)械能，A2∝E

；7.1.3簡諧振動(dòng)的描述2.簡諧振動(dòng)的特征參量(2)角頻率ω（也稱圓頻率）振動(dòng)的特征之一是運(yùn)動(dòng)具有周期性。完成一次完整的振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間稱為周期，用T表示。由(7.1.13)可知周期T與角頻率ω的關(guān)系為：T=2π/ω。周期的倒數(shù)稱為頻率ν，ν=1/T=ω/2π。周期的單位是“秒”；頻率的單位是“秒-1”，這有個(gè)專門的名稱“赫茲（Hz）”；角頻率的單位是“弧度／秒（rad/s）”。對于彈簧振子，頻率與周期為可見彈簧振子的頻率（或周期）由其固有參量和決定，而與初始條件無關(guān)，故稱為振子的固有頻率。7.1.3簡諧振動(dòng)的描述2.簡諧振動(dòng)的特征參量

相位（或位相）

其中時(shí)刻t=0的相位，稱為初相位。相位是相對的，通過計(jì)時(shí)零點(diǎn)的選擇，我們總可以使初相位：而多個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)之間的相位差是重要的。7.1.3簡諧振動(dòng)的描述

我們說振幅、角頻率（或頻率、周期）和相位是描繪簡諧振動(dòng)的三個(gè)特征參量，是因?yàn)橛辛怂鼈兙涂梢园岩粋€(gè)簡諧振動(dòng)完全確定下來。振幅和相位與頻率不同，它們不是振子的固有性質(zhì)，而是由初始條件決定的。

2.簡諧振動(dòng)的特征參量7.1.3簡諧振動(dòng)的描述3.簡諧振動(dòng)的描述(1)x-t曲線圖示法

簡諧振動(dòng)可以用三角函數(shù)表示，也可用圖7.6的曲線圖表示，圖上已將振幅、周期和初相標(biāo)出。7.1.3簡諧振動(dòng)的描述3.簡諧振動(dòng)的描述(2)

振幅矢量法

簡諧振動(dòng)還可以用旋轉(zhuǎn)振幅矢量（也稱相矢量）來表示。自原點(diǎn)畫一條長等于振幅的矢量A，開始時(shí)(t=0)，讓矢量A與x軸的夾角等于振動(dòng)的初位相，令A(yù)以角速度（就是振動(dòng)角頻率）逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則矢量在軸上的投影就是振動(dòng)的位移（如圖7.7）。

這種表示簡諧振動(dòng)的方法清晰明了，它能比較直觀地把振幅、頻率和初位相表示出來，我們以后將經(jīng)常用到這種表示法。7.1.3簡諧振動(dòng)的描述3.簡諧振動(dòng)的描述(3)復(fù)數(shù)法利用三角函數(shù)與復(fù)數(shù)的關(guān)系，簡諧振動(dòng)也可用復(fù)數(shù)表示或其中：是復(fù)數(shù)，稱復(fù)振幅，它已包含了初位相。但要注意，有意義的是(7.1.15)式的實(shí)部。7.1.4諧振子的能量下面計(jì)算簡諧振動(dòng)的能量。振子的坐標(biāo)和速度為：其中動(dòng)能：

勢能：

機(jī)械能：

此式表示簡諧振動(dòng)的機(jī)械能是守恒的。7.1.4諧振子的能量

由(7.1.17)、(7.1.18)式可見動(dòng)能和勢能的變化頻率都是原振子振動(dòng)頻率的兩倍。不難求出，一個(gè)周期內(nèi)動(dòng)能、勢能的時(shí)間平均值都等于總能量的二分之一。7.1.5振動(dòng)的合成與分解

簡諧振動(dòng)是最簡單、最基本的振動(dòng)，任何一個(gè)復(fù)雜的振動(dòng)都可以看成若干個(gè)簡諧振動(dòng)的合成。方向、頻率相同，初位相不同的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成方向相同，頻率不同的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成

方向垂直、頻率相同的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成（二維振動(dòng)）方向垂直、頻率不同的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成，利薩如圖形振動(dòng)的分解、諧波分析（Fourier分析）

方向、頻率相同，初位相不同的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合 成

設(shè)物體同時(shí)參與兩個(gè)同方向、同頻率的簡諧振動(dòng)，每個(gè)振動(dòng)的位移與時(shí)間關(guān)系可表為

利用振幅矢量法，由圖7.8不難看出，合運(yùn)動(dòng)仍是同頻率的簡諧振動(dòng)，即方向、頻率相同，初位相不同的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合 成

從圖7.8中或(7.1.24)式可知，合振動(dòng)的振幅取決于兩振動(dòng)的位相差則為一般值則則方向相同，頻率不同的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成

設(shè)為簡單起見，設(shè)若有方向相同，頻率不同的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成

此簡諧振動(dòng)的頻率與原來兩振動(dòng)頻率幾乎相等而振幅隨時(shí)間的變化為由于振幅所涉及的是絕對值，故其變化周期由下式?jīng)Q定故振幅變化頻率：方向相同，頻率不同的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成

即兩頻率之差。這一現(xiàn)象稱為拍，⊿v稱為拍頻，拍的振動(dòng)曲線如圖7.9所示。當(dāng)兩振動(dòng)的振幅不等，即A1≠A2時(shí)，也有拍現(xiàn)象，此時(shí)合振幅仍有時(shí)大時(shí)小的變化，但不會(huì)達(dá)到零。方向相同，頻率不同的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成

校正樂器，例如校正鋼琴，往往拿待校的鋼琴同已校好的鋼琴作比較，彈奏兩架鋼琴的同一個(gè)音鍵，細(xì)聽有無拍的現(xiàn)象。如果聽得出有拍的現(xiàn)象，說明尚未校準(zhǔn)，必須再校，使得拍頻越來越小直到拍完全消失為止，這一音鍵才算校準(zhǔn)。方向垂直、頻率相同的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成（二維振動(dòng)）

振動(dòng)系統(tǒng)可以同時(shí)參與方向互相垂直的兩個(gè)振動(dòng)，例如單擺，就可以同時(shí)參與這樣的兩個(gè)振動(dòng)。設(shè)一個(gè)振動(dòng)沿x方向，一個(gè)沿y方向，即：這實(shí)際上就是合振動(dòng)的坐標(biāo)參量方程。方向垂直、頻率不同的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成，利薩如圖形

如果x方向振動(dòng)的頻率vx和y方向振動(dòng)的頻率vy不相等，它們的合成振動(dòng)為：當(dāng)ωx與ωy成整數(shù)比時(shí)，合振動(dòng)的軌跡仍是一些閉合曲線，如下圖所示，稱為利薩如圖形。當(dāng)ωx與ωy的比例一定時(shí)，初位相差不同，對應(yīng)的曲線形狀和走向也不同。圖7.11中給出了三種頻率比，五種初位相差的圖形。方向垂直、頻率不同的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成，利薩如圖形

當(dāng)ωx與ωy不成整數(shù)比時(shí)，合振動(dòng)的軌跡不再是閉合曲線。利用利薩如圖形的這些性質(zhì)，可精確判定兩種頻率是否成整數(shù)比，并可據(jù)此由己知頻率確定未知頻率。

振動(dòng)的分解、諧波分析（Fourier分析）

對于非簡諧振動(dòng)，直接分析它們往往較困難。如果把它們分解為許多簡諧振動(dòng)的疊加，事情就好辦得多，數(shù)學(xué)上稱這種分解為傅里葉（Fourier）分析。我們不打算在這里講數(shù)學(xué)的定理和相應(yīng)的推導(dǎo)，下面只給出一些定性的結(jié)論：

任何一個(gè)周期性的振動(dòng)都可分解為一系列頻率為原振動(dòng)頻率（稱為基頻）整數(shù)倍的簡諧振動(dòng)，在數(shù)學(xué)上這稱為諧波分析。以頻率為橫坐標(biāo)、各諧頻振幅為縱坐標(biāo)所做的圖解，叫做頻譜，此時(shí)的頻譜為分立譜。不同的樂器有不同的頻譜，反映在它們不同的音色上。非周期振動(dòng)也可以用頻譜來表示。這時(shí)頻譜不再為分立譜，而是連續(xù)譜。不過，有些特殊的非周期振動(dòng)可以分解為頻率不可通約的若干個(gè)分立的分振動(dòng)?！?.2阻尼振動(dòng)

前面所討論的振動(dòng)，振幅保持不變，振動(dòng)能量也保持不變。這只是實(shí)際情況的一種抽象，實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)，當(dāng)無外界能量補(bǔ)充時(shí)，振幅都要隨時(shí)間逐漸衰減，衰減的原因，一是有摩擦力存在，將振動(dòng)能量逐漸變?yōu)闊崮芎纳⒘?；二是振?dòng)能量以波的形式向四周傳播，使振動(dòng)能量逐漸變?yōu)椴ǖ哪芰?，本?jié)討論有摩擦力存在的振動(dòng)。7.2.1運(yùn)動(dòng)方程及其解

7.3.2欠阻尼振動(dòng)

7.2.3臨界阻尼與過阻尼

§7.2阻尼振動(dòng)7.2.1運(yùn)動(dòng)方程及其解

我們主要考慮摩擦力與速度成正比的情形。當(dāng)速度不大時(shí)，粘滯阻力就屬這種情形。在考慮了粘滯阻力后，彈簧振子的運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)槠渲蟹Q為阻尼系數(shù)。令：ω0是阻力不存在時(shí)振子的固有角頻率，β稱為阻尼因數(shù)或衰減常數(shù)。于是方程(7.2.1)為：這是常系數(shù)二階線性微分方程。7.2.1運(yùn)動(dòng)方程及其解對于復(fù)雜問題，復(fù)數(shù)法能顯示其優(yōu)越性。該方程的解法是，視x為復(fù)數(shù)，用試探解代入，其中r

為待定常數(shù)?？山獾茫河谑欠匠?7.2.3)的解可寫成如下形式：其中A1,A2為待定常數(shù)，由初始條件決定。7.2.2欠阻尼振動(dòng),1.振動(dòng)解

令將(7.2.4)代入(7.2.5)，得取上式的實(shí)部得：此時(shí)振子的運(yùn)動(dòng)嚴(yán)格講己不再是周期運(yùn)動(dòng)，但仍可看作振幅逐漸衰減的周期運(yùn)動(dòng)，其振幅和周期為7.2.2欠阻尼振動(dòng)，2.阻尼振子的能量動(dòng)能：勢能：機(jī)械能：

7.2.2欠阻尼振動(dòng)，2.阻尼振子的能量可見機(jī)械能并不守恒。當(dāng)時(shí)，有于是對時(shí)間微商，得：和(7.2.11)式比較知：這是摩擦力的功率，即損失的能量用于克服摩擦力作功。7.2.2欠阻尼振動(dòng)，3.品質(zhì)因數(shù)

衰減常數(shù)的大小反映了阻尼的大小。我們也可用一周中振子損失的能量在總能量中所占的比例來描寫阻尼的大小。通常將t時(shí)刻時(shí)振子的能量E與經(jīng)一周后損失的能量⊿E之比的2π倍稱為振子的品質(zhì)因數(shù)，并用Q表之：小阻尼情況下，根據(jù)上面的能量表示式(7.2.15)，可得7.2.2欠阻尼振動(dòng)，3.品質(zhì)因數(shù)因所以可見，Q僅由振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定。7.2.3臨界阻尼與過阻尼過阻尼情況為此時(shí)r1,r2皆為實(shí)數(shù)由解的表達(dá)式(7.2.5)知：其中A1,A2可由初條件決定，此時(shí)已沒有振動(dòng)現(xiàn)象。7.2.3臨界阻尼與過阻尼臨界阻尼情況為此時(shí)

我們只得到了阻尼方程(7.2.3)的一個(gè)特解，為了求另一個(gè)特解，可令代入阻尼方程(7.2.3)，得阻尼方程(7.2.3)的通解為：其中A1,A2可由初條件決定，此時(shí)也沒有振動(dòng)現(xiàn)象。

臨界阻尼狀態(tài)之所以重要，是因?yàn)樗鶎?yīng)的回復(fù)時(shí)間，即由靜止開始從偏離平衡位置的某處回復(fù)到平衡位置（在一定觀察精度內(nèi)）所需的時(shí)間，比欠阻尼和過阻尼狀態(tài)都要短。7.2.3臨界阻尼與過阻尼阻尼的作用：欠阻尼：振動(dòng)存在，但周期變長，振幅隨時(shí)間減小，最終振動(dòng)停止；臨界阻尼：不可能振動(dòng)，但趨于平衡最快；過阻尼：不可能振動(dòng)，但趨于平衡變慢?！?.3受迫振動(dòng)與共振

只受彈性力或準(zhǔn)彈性力和粘滯阻力作用的振動(dòng)系統(tǒng)，其振幅總是隨時(shí)間衰減，振動(dòng)不能持久。如果要使振動(dòng)持久不衰，就必須由外界不斷供給能量。振動(dòng)系統(tǒng)在外界強(qiáng)迫力作用下的振動(dòng)，叫做受迫振動(dòng)。7.3.1運(yùn)動(dòng)方程及其解7.3.2穩(wěn)態(tài)解分析7.3.3共振

§7.3受迫振動(dòng)與共振7.3.1運(yùn)動(dòng)方程及其解1.受恒定外力作用

設(shè)外界的強(qiáng)迫力F0為常數(shù)，則阻尼振動(dòng)系統(tǒng)滿足的方程為：該方程有一特解：令代入(7.3.1)得：

這就是阻尼運(yùn)動(dòng)的方程(7.2.1)，只是平衡位置改變了。即當(dāng)外界的強(qiáng)迫力F0為常數(shù)時(shí)，不產(chǎn)生任何新的內(nèi)容，故我們以后不考慮恒定的外力作用。7.3.1運(yùn)動(dòng)方程及其解2.受周期外力作用

任何非正弦型外力都可以看成正弦型外力的線性迭加。研究了振動(dòng)系統(tǒng)對正弦型外力的響應(yīng)，也就原則上解決了振動(dòng)系統(tǒng)對任何外力的響應(yīng)問題。下面我們僅考慮簡諧強(qiáng)迫力彈簧振子的運(yùn)動(dòng)方程為：令上式變?yōu)椋?.3.1運(yùn)動(dòng)方程及其解2.受周期外力作用下面求其特解。為此，將方程寫成復(fù)數(shù)形式：其中令代入得：于是：7.3.1運(yùn)動(dòng)方程及其解2.受周期外力作用方程(7.3.5)的特解應(yīng)為(7.3.9)式的實(shí)部，即其中7.3.1運(yùn)動(dòng)方程及其解2.受周期外力作用(7.3.10)式是方程(7.3.5)的特解，該方程的通解等于該方程的一個(gè)特解加上對應(yīng)的齊次方程的通解。而在小阻尼的情況下，(7.2.8)式即為對應(yīng)的齊次方程的通解。于是方程(7.3.5)的通解為：其中為待定常數(shù)，由初始條件決定，的表達(dá)式見(7.2.6)。7.3.1運(yùn)動(dòng)方程及其解2.受周期外力作用對(7.3.13)式討論如下：其中第一項(xiàng)即阻尼振動(dòng)，它隨著時(shí)間衰減，故稱暫態(tài)解，第二項(xiàng)不隨時(shí)間衰減，稱為穩(wěn)態(tài)解。開始時(shí)，振子的運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜，為暫態(tài)解和穩(wěn)態(tài)解的疊加，經(jīng)過一段時(shí)間以后，暫態(tài)解衰減掉了，只留下穩(wěn)態(tài)解。穩(wěn)態(tài)解的特點(diǎn)是它的頻率與強(qiáng)迫力頻率相同，它的振幅及初位相與初始條件無關(guān)，完全由強(qiáng)迫力和系統(tǒng)的固有參量決定，而暫態(tài)解的頻率由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅及初位相則由初始條件決定。7.3.2穩(wěn)態(tài)解分析

下面分析受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)解，受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為：穩(wěn)態(tài)解：其中注意到：故運(yùn)動(dòng)方程中各項(xiàng)可用旋轉(zhuǎn)矢量表示如圖7.13所示，則各量之間的相位關(guān)系一目了然。7.3.2穩(wěn)態(tài)解分析我們只討論的欠阻尼情況。(頻率甚低)

此時(shí)對應(yīng)的矢量旋轉(zhuǎn)圖見圖7.14所示。我們可得如下結(jié)論：(1)頻率甚低時(shí)，物體加速度和速度均很小，故物體的慣性與阻力都可以忽略，彈力幾乎時(shí)時(shí)與外力相平衡。(2)振幅矢量稍落后于矢量外力，振動(dòng)與外力同位相。7.3.2穩(wěn)態(tài)解分析(頻率甚高)

對應(yīng)的矢量旋轉(zhuǎn)圖見圖7.15所示。我們可得如下結(jié)論：因頻率甚高，物體的慣性很重要。速度并不大，位移更小，阻力和彈力均可忽略，物體幾乎只在外力作用下振動(dòng)，而且振幅很小。此時(shí)(2)振幅矢量落后于矢量外力f0，相位約為π。7.3.3共振

現(xiàn)在讓我們來仔細(xì)討論一下，受迫振動(dòng)所給出的振幅和相位隨頻率變化的情況。上式中無論選ω或ω0作變量，位移和速度的振幅都有一個(gè)極大值。阻尼越小峰值越尖銳。這種現(xiàn)象叫做共振。7.3.3共振

這里應(yīng)注意到，在力學(xué)里和電學(xué)里考察的著眼點(diǎn)還有所不同。在機(jī)械的振動(dòng)系統(tǒng)里，往往系統(tǒng)的固有頻率ω0是固定的，驅(qū)動(dòng)力的頻率ω可以調(diào)節(jié)；此外，機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)中的位移是比較容易觀察并產(chǎn)生直接效果的。

然而，在振蕩電路里，固有頻率ω0是可調(diào)的，驅(qū)動(dòng)力是外來的訊號(hào)，其頻率ω是給定的；此外，電路中重要的變量是電流，它相當(dāng)于這里的速度。

所以，在力學(xué)里應(yīng)著重考察位移隨驅(qū)動(dòng)頻率ω的變化，而在電學(xué)里應(yīng)著重考察電流（速度）隨固有頻率ω0的變化。然而從功率的角度看，在任何情況里我們都應(yīng)著重考察速度。7.3.3共振1.振幅共振

當(dāng)

dB/dω=0時(shí)，B最大，由(7.3.18)式知，振幅B最大。此時(shí)稱為達(dá)到振幅共振。時(shí)，有共振時(shí)相移：7.3.3共振1.振幅共振

即位移落后于驅(qū)動(dòng)力π/2相位，而速度恰好與驅(qū)動(dòng)力同相位。功率=F0

v，故此時(shí)外力永遠(yuǎn)做正功。7.3.3共振1.振幅共振

B-ω圖常稱頻率響應(yīng)曲線或稱共振曲線。當(dāng)Q>1時(shí)，所有的曲線都有一個(gè)峰，這就是共振峰。品質(zhì)因素Q越大，曲線的峰越明顯。共振峰處7.3.3共振2.能量共振

既然外力供給振子的能量等于阻力消耗的能量，則振子得到的功率：當(dāng)

dP/dω=0時(shí)，P最大，此時(shí)稱為能量共振。由(7.3.19)可得，ω=ω0時(shí)能量共振。

共振時(shí)強(qiáng)迫力的功率時(shí)刻與阻力的功率相抵，因而振子的機(jī)械能恒定不變。這時(shí)振子以固有頻率振動(dòng)，猶如一個(gè)不受阻力的自由振子，故動(dòng)能與勢能之和與時(shí)間無關(guān)。同時(shí)，共振時(shí)強(qiáng)迫力與速度同位相，因而時(shí)刻對體系作正功，這正是共振開始時(shí)振幅急劇增大的原因所在。但隨著振幅的增大，阻力的功率也不斷增大，最后與強(qiáng)迫力的功率相抵，遂使振子的振幅保持恒定。

7.3.3共振2.能量共振與振幅共振不同的是，能量共振時(shí)ω和ω0嚴(yán)格相等，如圖7.18所示。7.3.3共振3.共振峰的銳度，Q的第二種意義

通常用銳度來描寫共振曲線的尖銳程度，共振峰銳度定義為：稱為共振峰寬度。7.3.3共振3.共振峰的銳度，Q的第二種意義當(dāng)β很小時(shí)，由從(7.3.18)式得故于是共振峰銳度恰等于品質(zhì)因數(shù)。這是Q值的第二種意義。7.3.3共振4.系統(tǒng)放大倍數(shù)，Q的第三種意義由(7.3.14)式知，當(dāng)ω≈0時(shí)，振幅我們定義系統(tǒng)放大倍數(shù)其中Br為共振時(shí)的振幅，由(7.3.18)式知，代入(7.3-23)式得于是系統(tǒng)放大倍數(shù)恰等于品質(zhì)因數(shù)。這是Q值的第三種意義。7.3.3共振

據(jù)說，160多年前，不可一世的拿破侖率領(lǐng)法國軍隊(duì)入侵西班牙時(shí)，部隊(duì)行軍經(jīng)過一座鐵鏈懸橋，隨著軍官雄壯的口令，隊(duì)伍跨著整齊的步伐趨向?qū)Π?。正在這時(shí)，轟隆一聲巨響，大橋坍塌，士兵、軍官紛紛墜水。幾十年后，圣彼得堡卡但卡河上，一支部隊(duì)過橋時(shí)也發(fā)生了同樣的慘劇。從此，世界各國的軍隊(duì)過橋時(shí)都不準(zhǔn)齊步走，必須改用凌亂無序的碎步通過。一般認(rèn)為，這是由于軍隊(duì)步伐的周期與橋的固有周期相近，發(fā)生共振所致。1940年，美國的一座大橋剛啟用四個(gè)月，就在一場不算太強(qiáng)的大風(fēng)中坍塌了。風(fēng)的作用不是周期性的，這難道也是共振所致？其實(shí)，風(fēng)有時(shí)也能產(chǎn)生周期性的效果，君不見節(jié)日的彩旗迎風(fēng)飄揚(yáng)嗎？§7.4二自由度振動(dòng)*

略§7.5機(jī)械波

如果在空間某處發(fā)生的擾動(dòng)，以一定的速度由近及遠(yuǎn)向四處傳播，則稱這種傳播著的擾動(dòng)為波。機(jī)械擾動(dòng)在彈性介質(zhì)內(nèi)的傳播形成機(jī)械波（又稱彈性波），電磁擾動(dòng)在真空或介質(zhì)內(nèi)的傳播形成電磁波。不同性質(zhì)的擾動(dòng)的傳播機(jī)制雖不相同，但由此形成的波卻具有共同的規(guī)律性，波是能量傳播的形式之一。此外，近代物理指出，微觀粒子以至任何物體都具有波性，這種波叫物質(zhì)波，盡管物質(zhì)波與機(jī)械波或電磁波有本質(zhì)的不同（例如它并不傳播能量），但在傳播、疊加等方面仍與上述兩種波有著共同的性質(zhì)。7.5.1機(jī)械波的產(chǎn)生和傳波7.5.2波的分類7.5.3平面簡諧波7.5.4波動(dòng)方程和波的傳播速度7.5.5波的能量密度§7.5機(jī)械波7.5.1機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播

由連續(xù)不斷的、無窮個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)，若其各部分有相互作用力而且可以有相互運(yùn)動(dòng)，稱為連續(xù)媒質(zhì)。若連續(xù)媒質(zhì)之間的相互作用力是彈性力，則稱為彈性媒質(zhì)。機(jī)械波特點(diǎn)：機(jī)械波是一種機(jī)械運(yùn)動(dòng)形式，必須具備兩個(gè)條件：振源和彈性媒質(zhì)；2.波是指媒質(zhì)整體所表現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；波的傳播是質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)的傳播過程，亦即振動(dòng)位相的傳播過程，而所有的質(zhì)點(diǎn)都仍在各自的平衡位置附近振動(dòng)。7.5.1機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播

在彈性媒質(zhì)中，可以設(shè)想各質(zhì)點(diǎn)（質(zhì)元）有一個(gè)平衡位置，它一離開平衡位置，即受到各附近質(zhì)點(diǎn)的指向平衡位置的合力。

質(zhì)元間的相互作用（如彈性）使波得以傳播，質(zhì)元的慣性使波以有限的速度傳播。

引起媒質(zhì)振動(dòng)的振動(dòng)物體稱為波源。彈性媒質(zhì)形變分類：切變：物體受力后層間發(fā)生位移的現(xiàn)象稱為切變。切變物體企圖恢復(fù)原狀而產(chǎn)生的彈性力稱為切變彈性。張變：媒質(zhì)伸長或壓縮這種變形稱為張變。張變物體企圖恢復(fù)原狀而產(chǎn)生的彈性力稱為張變彈性。7.5.2波的分類1.按傳播方式

如果波源振動(dòng)方向與波的傳播方向垂直，就會(huì)形成周期性峰、谷的傳播。這樣的波稱為橫波。其具體形成過程如圖7.21所示。7.5.2波的分類1.按傳播方式

橫波傳播條件：媒質(zhì)具有切變彈性。

液體內(nèi)部、氣體不能產(chǎn)生切變彈性力，故液體內(nèi)部和氣體中不能傳播橫波。7.5.2波的分類1.按傳播方式

如果波源振動(dòng)方向與波的傳播方向平行，就會(huì)形成周期性疏、密的傳播，這就是縱波?？v波的形成過程如圖7.22所示。7.5.2波的分類1.按傳播方式

在橫波中，波形曲線就是具體的波形圖。在縱波中則不是?？v波的波形曲線在圖7.22中用細(xì)實(shí)線表示，它與橫波的波形曲線相似，圖中虛線為各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線。

以質(zhì)點(diǎn)的位置為橫坐標(biāo)，以質(zhì)點(diǎn)的位移為縱坐標(biāo)所畫的曲線稱為波形曲線。7.5.2波的分類2.按空間形狀

如果波在各向同性的均勻無限介質(zhì)中傳播，那么，從一個(gè)點(diǎn)波源發(fā)出的擾動(dòng)，經(jīng)過一定時(shí)間后，擾動(dòng)將到達(dá)一個(gè)球面上，如果擾動(dòng)是周期性的，介質(zhì)中各處也相繼發(fā)生同頻率的周期性擾動(dòng)。介質(zhì)中振動(dòng)位相相同的點(diǎn)的軌跡稱為波陣面，簡稱波面。最前面的波陣面稱為波前。波陣面是球面的波稱為球面波，在離波源足夠遠(yuǎn)處，在觀察的不大范圍內(nèi)，球面可看成平面，這種波就稱為平面波，自波源出發(fā)且沿著波的傳播方向所畫的線叫波線，在各向同性介質(zhì)中，波線與波面互相垂直。7.5.2波的分類2.按空間形狀7.5.2波的分類3.按波源振動(dòng)方式波源作周期振動(dòng)形成的波稱為周期波。波源作間歇振動(dòng)形成的波稱為脈沖波。波源作簡諧振動(dòng)形成的波稱為簡諧波。7.5.3平面簡諧波

如果波源作簡諧振動(dòng)，介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)也將相繼作同頻率的簡諧振動(dòng)，這樣形成的波叫簡諧波。如果波面為平面,則這樣的波稱為平面簡諧波。由于平面簡諧波的波面上每一點(diǎn)的振動(dòng)和傳播規(guī)律完全一樣，故平面簡諧波可以用一維的方式來處理。

如圖7.24所示，設(shè)一簡諧波沿正x方向傳播，已知在t時(shí)刻坐標(biāo)原點(diǎn)O處振動(dòng)位移的表式為7.5.3平面簡諧波于是P點(diǎn)的位移為v稱為波的位相速度，也稱為波速，它表示單位時(shí)間某一振動(dòng)相位所傳播的距離。(7.5.2)式就是簡諧波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。由于波是向右傳播的，又稱為右行波。令λ稱為波長，它表示振動(dòng)在一個(gè)周期中傳播的距離。7.5.3平面簡諧波由于令k稱為波數(shù)，它表示在2π米內(nèi)所包含的波長數(shù)。于是簡諧波方程(7.5.2)又可以寫成：(7.5.2)、(7.5.4)和(7.5.6)都是簡諧波的方程。7.5.3平面簡諧波是和時(shí)間有關(guān)的量是和空間有關(guān)的量其對應(yīng)關(guān)系為：時(shí)間t：

圓頻率ω

周期

T空間x：

波數(shù)

k

波長λ

而它們由波速相互聯(lián)系：若v與ω?zé)o關(guān)，則稱波是無色散的。7.5.3平面簡諧波簡諧波運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的物理意義：

波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是一個(gè)二元函數(shù)，位移既是時(shí)間t的函數(shù)，又是位置x的函數(shù)。當(dāng)x一定，y僅為t的函數(shù)，例如x=x1時(shí)，即盯住某一位置看，它表示x=x1這一質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間作簡諧振動(dòng)，時(shí)刻t和t+T的振動(dòng)狀態(tài)相同，說明波動(dòng)過程在時(shí)間上具有周期性，振動(dòng)的周期（頻率）和振幅與波源相同，位相落后7.5.3平面簡諧波簡諧波運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的物理意義：2.t一定，則y僅為x的函數(shù)，當(dāng)t=t1時(shí)其中表示任一時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移的分布?？梢钥闯?，波動(dòng)過程在空間上具有周期性，波長就是波動(dòng)的空間周期。7.5.3平面簡諧波簡諧波運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的物理意義：3.y一定，則波表達(dá)式的宗量即波的位相一定，則隨著時(shí)間的增加，波必須在空間傳播一定的距離。將上式對時(shí)間求導(dǎo)，得vp稱為波的位相速度，簡稱相速。它表示確定的位相在單位時(shí)間內(nèi)傳播的距離。7.5.3平面簡諧波簡諧波運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的物理意義：將以上各方程中的v換成-v，即得向坐標(biāo)軸負(fù)向傳播的平面簡諧波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為該波又稱為左行波。7.5.3平面簡諧波簡諧波運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的物理意義：波速為波在媒質(zhì)中傳播的速度，它是振動(dòng)位相在媒質(zhì)中傳播的速度，它不同于波線上各質(zhì)元繞平衡位置的振動(dòng)速度。波速對于各向同性媒質(zhì)而言是一個(gè)常數(shù)，而各質(zhì)元的振動(dòng)速度和加速度則是時(shí)間的函數(shù)，為：7.5.3平面簡諧波簡諧波運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的物理意義：6.在空間中傳播的平面簡諧波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為其中k稱為波矢，它是一個(gè)矢量，而它的絕對值就是波數(shù)。7.5.4波動(dòng)方程和波的傳播速度1.彈性棒中縱波的波動(dòng)方程和波速

設(shè)波在其中傳播的介質(zhì)是質(zhì)量連續(xù)分布的彈性棒。在棒中取橫截面坐標(biāo)為x到x+⊿x的一段作為考察對象，如圖7.25所示。令棒的截面積S為密度為ρ。當(dāng)棒中有縱向擾動(dòng)傳播時(shí)，各截面的位移并不相同，棒中發(fā)生縱向形變（張變），從而出現(xiàn)應(yīng)力（彈性力）。所考察的這段棒受到左方介質(zhì)所施的彈力F(x)和右方介質(zhì)所施彈力F(x+⊿x)的作用，F(xiàn)(x)由x處的相對形變決定。設(shè)x處的橫截面的位移為y，x+dx處的橫截面的位移為y+dy，則x處的相對形變?yōu)閐y/dx。根據(jù)胡克定律，作用在x處橫截面上單位面積的正應(yīng)力T與該處縱向相對形變（應(yīng)變）成正比：7.5.4波動(dòng)方程和波的傳播速度1.彈性棒中縱波的波動(dòng)方程和波速

式中Y稱為楊氏模量。于是，x處的彈力：同理，在x+⊿x處的彈力：7.5.4波動(dòng)方程和波的傳播速度

當(dāng)時(shí)dy/dx>0為伸長形變，應(yīng)力是張力，相應(yīng)的F(x)應(yīng)取負(fù)號(hào)，F(xiàn)(x+⊿x)應(yīng)取正號(hào)，故所考察的這段棒的運(yùn)動(dòng)方程為1.彈性棒中縱波的波動(dòng)方程和波速

兩邊除以并將求導(dǎo)符號(hào)改為求偏導(dǎo)的符號(hào)，得：7.5.4波動(dòng)方程和波的傳播速度上式就是波動(dòng)過程所滿足的動(dòng)力學(xué)方程，稱為波動(dòng)方程，這是一個(gè)線性偏微分方程。設(shè)其解為：1.彈性棒中縱波的波動(dòng)方程和波速

代入方程(7.5.18)解得波速：這就將波速與介質(zhì)的常量Y、ρ聯(lián)系起來了，Y反映介質(zhì)的彈性，ρ反映介質(zhì)的慣性。由于所討論的是縱波，故在v旁加了腳標(biāo)“||”。式中正號(hào)對應(yīng)于右行波，負(fù)號(hào)對應(yīng)于左行波。7.5.4波動(dòng)方程和波的傳播速度2.橫波的傳播速度

當(dāng)介質(zhì)中有橫向攏動(dòng)傳播時(shí)，介質(zhì)發(fā)生切向形變，在與波傳播方向相垂直的橫截面上出現(xiàn)切應(yīng)力，因而橫波的傳播速度與介質(zhì)的切向彈性模量有關(guān)，類似于上面的推導(dǎo)，可以求得橫波的波速為：式中N稱為切變模量，它是切應(yīng)力T與橫向相對形變dy/dx之比，即：7.5.4波動(dòng)方程和波的傳播速度3.一般形式的波動(dòng)方程

將(7.5.20)式代入(7.5.18)，以v表示波的相速度，可得一般形式的波動(dòng)方程為：對于在三維空間中傳播的波，若以B(r,t)表示其振幅矢量，則波動(dòng)方程為：如果彈性介質(zhì)中的波速只與介質(zhì)的參量有關(guān)，而與所傳播的簡諧波的頻率無關(guān)。這樣的波為無色散波。7.5.4波動(dòng)方程和波的傳播速度

我們知道，空氣中的聲波為縱波，其傳播速度應(yīng)由(7.5.21)式求得，空氣的楊氏模量Y應(yīng)為空氣的壓強(qiáng)p，于是由(7.5.21)式可得聲波的速度：代入上式得，而實(shí)驗(yàn)測得的聲速約為v=289米/秒，相差竟達(dá)20%之多！這個(gè)矛盾一個(gè)世紀(jì)內(nèi)竟無法解釋。后來才有人指出，不應(yīng)該忽略了空氣在傳聲中，一伸一縮，其溫度，因而其彈性，都有變化的緣故，該問題才告解決。這個(gè)問題，我們留待熱學(xué)中再探討。對于15o，一個(gè)大氣壓的空氣7.5.5波的能量密度略7.6.1惠更斯原理7.6.2波的反射定律7.6.3波的折射定律7.6.4波的衍射§7.6波在空間中的傳播7.6.1惠更斯原理

波在行進(jìn)過程中遇到小孔、障礙物或兩種介質(zhì)的交界面時(shí)，會(huì)發(fā)生衍射、反射、折射等各中情況。在歷史上，曾提出過幾種理論解釋這些現(xiàn)象，其中比較成功的是惠更斯原理（Huygens,1629~1695,荷蘭物理學(xué)家、天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家）。

惠更斯提出：在波的傳播過程中，波前上的每一點(diǎn)均可看成一個(gè)子波源，在t時(shí)刻的波前上的這些子波源發(fā)出的子波，經(jīng)⊿t時(shí)間后形成半徑為v⊿t（v為波速）的球面，在波的前進(jìn)方向上，這些子波的包跡就成為時(shí)刻t+⊿t的新波前，如圖7.27所示。這種借助于子波概念解釋波前怎樣推進(jìn)的原理叫作惠更斯原理。7.6.1惠更斯原理

上述惠更斯原理，如果不加修飾，不僅給出朝前推進(jìn)的波前，而且給出倒退的波前。因此，子波必須修飾為前后不對稱的，在正前方最強(qiáng)，正后方為零，其它方位則強(qiáng)度在這兩極端之間。經(jīng)過修飾的惠更斯原理不僅能給出波前的推進(jìn)，而且可以用來計(jì)算波強(qiáng)的分布。而比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撌腔鶢柣舴蚬?。基爾霍夫公式已超出本書范圍，這將在后續(xù)課程中講述。7.6.2波的反射定律略7.6.3波的折射定律略7.6.4波的衍射略§7.7波的疊加

實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)空間同時(shí)存在兩列或兩列以上的波時(shí)，每列波在傳播中將不受其他波的干擾而保持其原有特性（頻率、波長、振幅、振動(dòng)方向和傳播方向）不變，而空間任一點(diǎn)的振動(dòng)位移則等于各列波單獨(dú)在該點(diǎn)引起的振動(dòng)位移的矢量和。這一表述稱為波的疊加原理或惠更斯—菲涅爾原理（Fresnel,AugustonJean,1788~1827，法國物理學(xué)家）。

就像振動(dòng)的疊加原理的基礎(chǔ)是振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為線性微分方程一樣，波的疊加原理的基礎(chǔ)是波動(dòng)方程(7.5-24)為線性微分方程。7.7.1波的干涉7.7.2駐波7.7.3非相干波的疊加、波的群速度§7.7波的疊加7.7.1波的干涉

介質(zhì)中同時(shí)傳播著的兩列波相遇時(shí)，在它們重疊區(qū)域的某些點(diǎn)振動(dòng)始終加強(qiáng)，某些點(diǎn)振動(dòng)始終減弱，形成穩(wěn)定的疊加圖樣，這種現(xiàn)象稱為波的干涉。能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的必要條件稱為波的相干條件。滿足波的相干條件而能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的兩列波稱為相干波。產(chǎn)生相干波的波源稱為相干波源。7.7.1波的干涉

如圖7.31所示，設(shè)兩波源S1和S2的振動(dòng)方程各為：

假定振動(dòng)的方向都垂直于紙面，由S1、S2發(fā)出的兩列波在空間P點(diǎn)引起的振動(dòng)各為：式中k為波數(shù)，r1、r2為P點(diǎn)到S1、S2的距離。根據(jù)波的疊加原理，P點(diǎn)的合振動(dòng)為：7.7.1波的干涉

這是兩個(gè)同方向、同頻率的振動(dòng)的合成。根據(jù)7.1.5節(jié)的討論，當(dāng)兩振動(dòng)的位相差時(shí)，P點(diǎn)振動(dòng)的振幅為A1+A2，振動(dòng)加強(qiáng)，這樣的點(diǎn)稱為干涉相長點(diǎn)。當(dāng)位相差時(shí)，P點(diǎn)振動(dòng)的振幅為|A1-A2|，振動(dòng)減弱，這樣的點(diǎn)稱為干涉相消點(diǎn)。

位相差等于其它值的點(diǎn)的振幅介于A1+A2與|A1-A2|之間。7.7.1波的干涉要在空間維持穩(wěn)定的干涉現(xiàn)象，各點(diǎn)的振幅應(yīng)保持恒定。由此知，波的相干條件為：

1.兩列波具有相同的頻率；2.兩列波的相位相同，或相位差恒定；3.兩列波的振動(dòng)方向相同。

維持兩個(gè)波源滿足相干條件，特別是相位差條件很不易，常用同一波源產(chǎn)生的波通過兩條狹縫后相干。

如果空間存在多個(gè)相干波源，也會(huì)產(chǎn)生干涉現(xiàn)象。光學(xué)中的多縫干涉就是一例。這里暫不作討論。7.7.2駐波

介質(zhì)中有反向行進(jìn)的兩個(gè)同頻率的波存在時(shí)，這兩個(gè)波疊加后也將產(chǎn)生干涉現(xiàn)象。為簡單起見，設(shè)彈性弦上傳播著具有相同的振幅、相反傳播方向的兩波，它們的運(yùn)動(dòng)方程為右行波左行波合成后，弦上的運(yùn)動(dòng)成為

在合成波的表式中，與和的關(guān)系分別出現(xiàn)在兩個(gè)因子之中，因此，合成波實(shí)際上是一種振動(dòng)，不再是振動(dòng)的傳播，故稱為駐波。位相逐點(diǎn)傳播的波，即通常意義下的波稱為行波。7.7.2駐波駐波中，振動(dòng)的振幅在空間有一定的分布規(guī)律：即：此時(shí)振幅最大，這種位置稱為波腹，這時(shí)質(zhì)點(diǎn)的振幅為分波振幅的兩倍。相鄰波腹的距離為λ/2。7.7.2駐波即：此時(shí)振幅為零，這種位置稱為波節(jié)。相鄰波節(jié)的距離也為λ/2。7.7.2駐波駐波可以用波形曲線具體地表示出來，如圖7.32所示。7.7.2駐波由以上分析可知，駐波有以下幾個(gè)特征：沒有位相的逐點(diǎn)不同和逐點(diǎn)的傳播，在相鄰兩波節(jié)之間，各點(diǎn)的振動(dòng)位相相同，在波節(jié)兩邊，振動(dòng)反位相。各點(diǎn)振幅不同，波腹處振幅最大，波節(jié)處振幅最小。相鄰波節(jié)間距、相鄰波腹間距都為λ/2。如正向傳播的波和反向傳播的波振幅不等，仍然合成駐波，但波節(jié)的振幅不為零而是振幅絕對值最小。7.7.2駐波由以上分析可知，駐波有以下幾個(gè)特征：4.關(guān)于端點(diǎn)的反射問題。設(shè)入射波設(shè)端點(diǎn)為x=l

(1)對自由端點(diǎn)，反射波：合成的駐波為：（端點(diǎn)為波腹）

(2)對固定端點(diǎn)，反射波應(yīng)為：合成的駐波為：（端點(diǎn)為波節(jié)）

我們稱波在端點(diǎn)具有半波損失。7.7.2駐波波的總能流為零，因?yàn)榉聪蛐羞M(jìn)的波的能流相反。但由于瞬時(shí)能流密度與時(shí)間有關(guān)，兩反向波的瞬時(shí)能流密度并不時(shí)時(shí)相抵，從而使在兩波節(jié)之間的區(qū)域中，仍有凈能量的傳播。當(dāng)波節(jié)兩邊各質(zhì)元的位移的數(shù)值最大時(shí)，能量全部為勢能，主要集中在波節(jié)附近；當(dāng)它們通過平衡位置時(shí)，能量全部為動(dòng)能，主要集中在波腹附近。但在波節(jié)（或波腹）兩邊，最終并無能量交換。因而，每一個(gè)相鄰的波節(jié)與波腹之間的區(qū)域，實(shí)際上構(gòu)成一個(gè)獨(dú)立的振動(dòng)系統(tǒng)，它與外界不交換能量。由以上分析可知，駐波有以下幾個(gè)特征：7.7.2駐波

和橫波一樣，縱波也可以形成駐波。在縱駐波中，波節(jié)兩邊的質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻涌向波節(jié)，使波節(jié)附近成為質(zhì)點(diǎn)密集區(qū)，半周期后，又向兩邊散開，使波節(jié)附近成為質(zhì)點(diǎn)稀疏區(qū)，相鄰節(jié)點(diǎn)附近質(zhì)點(diǎn)的密集和稀疏情況正好相反。7.7.3非相干波的疊加、波的群速度

設(shè)有兩列在空間行進(jìn)的波，它們均沿x方向傳播。為了討論方便，可設(shè)振幅相等，即這兩列波為：假設(shè)它們傳播的速度（相位傳播速度，即相速）相同，為v，一路上兩列波疊加為：將(7.7.12)與7.1.5節(jié)的(7.1.28)作一比較，相當(dāng)于將(7.1.28)式中的t換成了t–x/v。7.7.3非相干波的疊加、波的群速度

這說明，這樣兩列傳播方向相同、波速相同、頻率不同的波相加，波線上每一點(diǎn)的振動(dòng)情況都相同，即相同的拍頻振動(dòng)以速度v沿x方向傳播，或用無線電學(xué)中的術(shù)語，即得到以速度v沿x方向傳播的調(diào)制波。而且在空間移動(dòng)中，合成波與各分波以相同速率前進(jìn)，調(diào)制波也以此速率前進(jìn)。這個(gè)速率等于每一個(gè)波的相速，即7.7.3非相