第二章2.1第2課時(shí)一、選擇題1．(2013～2014學(xué)年度河南新野高二階段測(cè)試)下面幾種推理過程是演繹推理的是()A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，因此若∠A，∠B是兩條平行直線被第三條直線所截得的同旁內(nèi)角，則∠A＋∠B＝180°B．由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體的性質(zhì)C．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)(an－1＋eq\f(1,an－1))(n≥2)，由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式D．三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得凸n邊形內(nèi)角和是(n－2)·180°[答案]A[解析]選項(xiàng)B是類比推理，選項(xiàng)C、D是歸納推理，只有選項(xiàng)A是演繹推理．2．下列說法中正確的是()A．演繹推理和合情推理都可以用于證明B．合情推理不能用于證明C．演繹推理不能用于證明D．以上都不對(duì)[答案]B[解析]合情推理不能用于證明．3．命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯(cuò)誤的原因是()A．使用了歸納推理B．使用了類比推理C．使用了“三段論”，但大前提使用錯(cuò)誤D．使用了“三段論”，但小前提使用錯(cuò)誤[答案]D[解析]應(yīng)用了“三段論”推理，小前提與大前提不對(duì)應(yīng)，小前提使用錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤．4．“因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y＝logax是增函數(shù)(大前提)，y＝logeq\f(1,3)x是對(duì)數(shù)函數(shù)(小前提)，所以y＝logeq\f(1,3)x是增函數(shù)(結(jié)論)．”上面推理的錯(cuò)誤是()A．大前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)B．小前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)C．推理形式錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)D．大前提和小前提都錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)[答案]A[解析]大前提y＝logax是增函數(shù)不一定正確．因?yàn)閍>1還是0<a<1不能確定，所以選A.5．完全歸納推理是()的推理()A．一般到個(gè)別 B．個(gè)別到一般C．一般到一般 D．個(gè)別到個(gè)別[答案]B[解析]完全歸納推理是個(gè)別到一般的推理．6．△ABC中，已知cosAcosB>sinAsinB，則△ABC一定是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定[答案]C[解析]∵cosAcosB>sinAsinB，∴cos(A＋B)>0，∴A＋B為銳角，即∠C為鈍角．二、填空題7．以下推理過程省略的大前提為：____________.因?yàn)閍2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.[答案]若a≥b，則a＋c≥b＋c[解析]由小前提和結(jié)論可知，是在小前提的兩邊同時(shí)加上了a2＋b2，故大前提為：若a≥b，則a＋c≥b＋c.8．對(duì)于函數(shù)f(x)＝eq\f(2x,x2＋ax＋a)，其中a為實(shí)數(shù)，若f(x)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)，則a的取值范圍是________．[答案]0<a<4[解析]要使f(x)定義域?yàn)镽，則x2＋ax＋a≠0，即Δ＝a2－4a<0，解得0<a三、解答題9．求證：對(duì)任意不相等正實(shí)數(shù)a、b，有(eq\f(a,b))a－b>1.[證明]當(dāng)a>b>0時(shí)，有eq\f(a,b)>1，a－b>0，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知(eq\f(a,b))a－b>(eq\f(a,b))0＝1，當(dāng)b>a>0時(shí)，有0<eq\f(a,b)<1，a－b<0，則(eq\f(a,b))a－b>(eq\f(a,b))0＝1.綜上：(eq\f(a,b))a－b>1.一、選擇題1．三段論：“①雅安人一定堅(jiān)強(qiáng)不屈；②雅安人是中國人；③所有的中國人都堅(jiān)強(qiáng)不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分別是()A．③② B．③①C．①② D．②③[答案]A[解析]由三段論推理的定義可知大前提為③，小前提為②.2．“∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD的對(duì)角線相等．”補(bǔ)充以上推理的大前提()A．正方形都是對(duì)角線相等的四邊形B．矩形都是對(duì)角線相等的四邊形C．等腰梯形都是對(duì)角線相等的四邊形D．矩形都是對(duì)邊平行且相等的四邊形[答案]B[解析]大前提是矩形都是對(duì)角線相等的四邊形．3．(2013～2014學(xué)年度靈寶高二檢測(cè))在證明f(x)＝2x＋1為增函數(shù)的過程中，有下列四個(gè)命題：①增函數(shù)的定義是大前提；②增函數(shù)的定義是小前提；③函數(shù)f(x)＝2x＋1滿足增函數(shù)的定義是大前提；④函數(shù)f(x)＝2x＋1滿足增函數(shù)的定義是小前提．其中正確的命題是()A．①④ B．②④C．①③ D．②③[答案]A[解析]根據(jù)三段論特點(diǎn)，過程應(yīng)為：大前提是增函數(shù)的定義；小前提是f(x)＝2x＋1滿足增函數(shù)的定義；結(jié)論是f(x)＝2x＋1為增函數(shù)，故①④正確．二、填空題4．(2014·全國新課標(biāo)Ⅰ)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A、B、C三個(gè)城市時(shí)，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市；由此可判斷乙去過的城市為________．[答案]A[解析]由題意可推斷：甲沒去過B城市，但比乙去的城市多，而丙說“三人去過同一城市”，說明甲去過A、C城市，而乙“沒去過C城市”，說明乙去過城市A，由此可知，乙去過的城市為A.5．△ABC中，若eq\f(a2,b2)＝eq\f(tanA,tanB)，則△ABC的形狀是________．[答案]直角三角形或等腰三角形[解析]由正弦定理得，eq\f(a2,b2)＝eq\f(sin2A,sin2B)＝eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(\f(sinA,cosA),\f(sinB,cosB))＝eq\f(sinA·cosB,cosA·sinA)，于是有eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(cosB,cosA)即sinA·cosA－sinB·cosB＝0，eq\f(1,2)(sin2A－sin2B)＝0，cos(A＋B)·sin(A－B)＝0，所以有A＋B＝eq\f(π,2)或A－B＝0.6．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N＋(m，n∈N＋)，且對(duì)任意m，n∈N＋都有：①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；②f(m＋1,1)＝2f(m,1給出以下三個(gè)結(jié)論：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26.其中正確結(jié)論為________．[答案](1)(2)(3)[解析]由條件可知，因?yàn)閒(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，且f(1,1)＝1，所以f(1,5)＝f(1,4)＋2＝f(1,3)＋4＝f(1,2)＋6＝f(1,1)＋8＝9.又因?yàn)閒(m＋1,1)＝2f(m,1)所以f(5,1)＝2f(4,1)＝22f(3＝23f(2,1)＝24f(1所以f(5,6)＝f(5,1)＋10＝24f(1,1故(1)(2)(3)均正確．三、解答題7．如圖，△ABC中，D、E、F分別是BC、CA、AB上的點(diǎn)，∠BFD＝∠A，DE∥BA.求證ED＝AF，寫出“三段論”形式的演繹推理．[解析]大前提：同角相等，兩直線平行∴前提：∠BFD＝∠A結(jié)論：DF∥EA.大前提：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，小前提：DE∥BA且DF∥EA，結(jié)論：四邊形AFDE是平行四邊形．大前提：平行四邊形的對(duì)邊相等，小前提：ED和AF為平行四邊形的對(duì)邊，結(jié)論：ED＝AF.8．已知函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a>1)，求證：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．[分析]本題主要考查用“三段論”證明函數(shù)的單調(diào)性的方法，解決此類問題應(yīng)先找出證明的大前提，然后在大前提下證明小前提滿足大前提，從而得出結(jié)論．[證明]對(duì)?x1、x2∈I，且x1<x2，若f(x1)<f(x2)，則y＝f(x)在I上是增函數(shù)．大前提設(shè)x1、x2是(－1，＋∞)上的任意兩數(shù)，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝ax1＋eq\f(x1－2,x1＋1)－ax2－eq\f(x2－2,x2＋1)＝ax1－ax2＋eq\f(x1－2,x1＋1)－eq\f(x2－2,x2＋1)＝ax1－ax2＋eq\f(3x1－x2,x1＋1x2＋1)，∵a>1，且x1<x2，∴ax1<ax2，x1－x2<0.又∵x1>－1，x2>－1，∴(x1＋1)(x2＋1)>0.∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)．小前提∴函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．結(jié)論9．已知a、b、c是全不為1的正數(shù)，x、y、z為正實(shí)數(shù)，且有ax＝by＝cz和eq\f(1,x)＋eq\f(1,z)＝eq\f(2,y)，求證a，b，c成等比數(shù)列．[證明]令ax＝by＝cz＝k，則x＝logak，y＝logbk，z＝logck.∵eq\f(1,x)＋eq\f(1,z)＝eq\f(2,y)，a、b、c是全不為1的正數(shù)，∴eq\f(1,logak)＋eq\f(1,logck)＝eq\f(2,logbk)，∴eq\f(lga,lgk)＋eq\f(lgc,lgk)＝eq\f(2lgb,lgk)，∴l(xiāng)ga＋lgc＝lgb2，∴b2＝ac.∴a，b，c成等比數(shù)列．沁園春·雪<毛澤東>北國風(fēng)光，千里冰封，萬