課時提升練(二十九)等比數(shù)列及其前n項和一、選擇題1．(2014·重慶高考)對任意等比數(shù)列{an}，下列說法一定正確的是()A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因為eq\f(a6,a3)＝eq\f(a9,a6)＝q3，即aeq\o\al(2,6)＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比數(shù)列．故選D.【答案】D2．(2013·江西高考)等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項等于()A．－24B．0C．12D．24【解析】由題意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比數(shù)列的前3項是－3，－6，－12，則第四項為－24.【答案】A3．已知數(shù)列{an}，則“an，an＋1，an＋2(n∈N*)成等比數(shù)列”是“aeq\o\al(2,n＋1)＝anan＋2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】n∈N*時，an，an＋1，an＋2成等比數(shù)列，則aeq\o\al(2,n＋1)＝anan＋2，反之，則不一定成立，舉反例．如數(shù)列為1,0,0,0，…，應(yīng)選A.【答案】A4．在等比數(shù)列中，已知a1aeq\o\al(3,8)a15＝243，則eq\f(a\o\al(3,9),a11)的值為()A．3B．9C．27D．81【解析】設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，∵a1·a15＝aeq\o\al(2,8)，∴a1aeq\o\al(3,8)a15＝aeq\o\al(5,8)＝243，∴a8＝3.∴eq\f(a\o\al(3,9),a11)＝eq\f(a\o\al(3,8)q3,a8q3)＝aeq\o\al(2,8)＝9.【答案】B5．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，則公比q＝()A．3B．4C．5D．6【解析】∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3S3＝a4－2，,3S2＝a3－2，))得3a3＝a4－a3，即4a3＝a4，∴q＝eq\f(a4,a3)＝4.【答案】B6．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，則項數(shù)n為()A．12B．14C．15D．16【解析】∵a5＋a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3＋a4)q4.∴q4＝2，又∵S4＝eq\f(a11－q4,1－q)＝1，∴a1＝q－1，又∵Sn＝15，即eq\f(a11－qn,1－q)＝15，∴qn＝16，而q4＝2，∴n＝16.【答案】D二、填空題7．(2014·江蘇高考)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，則a6【解析】因為a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到關(guān)于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×2【答案】48．在△ABC中，sinA，sinB，sinC依次成等比數(shù)列，則B的取值范圍是________．【解析】因為sinA，sinB，sinC依次成等比數(shù)數(shù)列，所以sinAsinC＝sin2B，即ac＝b2，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－ac,2ac)＝eq\f(a2＋c2,2ac)－eq\f(1,2)，所以cosB＝eq\f(a2＋c2,2ac)－eq\f(1,2)≥eq\f(2ac,2ac)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，所以0＜B≤eq\f(π,3)，即B的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))9．已知數(shù)列{xn}滿足lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N*)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝1，則lg(x101＋x102＋…＋x200)＝________.【解析】由lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N*)，得lgxn＋1－lgxn＝1，∴eq\f(xn＋1,xn)＝10，∴數(shù)列{xn}是公比為10的等比數(shù)列，∴xn＋100＝xn·10100，∴x101＋x102＋…＋x200＝10100(x1＋x2＋x3＋…＋x100)＝10100，∴l(xiāng)g(x101＋x102＋…＋x200)＝lg10100＝100.【答案】100三、解答題10．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，且數(shù)列{Sn}是以2為公比的等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.【解】(1)∵S1＝a1＝1，且數(shù)列{sn}是以2為公比的等比數(shù)列．∴Sn＝2n－1當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n－2，n≥2.))(2)由(1)知，a3，a5，…，a2n＋1是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列．∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝eq\f(21－4n,1－4)＝eq\f(24n－1,3)∴a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1＝1＋eq\f(24n－1,3)＝eq\f(22n＋1＋1,3).11．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝a(a＞0)，數(shù)列{bn}滿足bn＝anan＋1(n∈N*)．(1)若{an}是等比數(shù)列，求{bn}的前n項和；(2)當(dāng){bn}是公比為a－1的等比數(shù)列時，{an}能否為等比數(shù)列？若能，求出a的值；若不能，請說明理由．【解】(1)∵{an}是等比數(shù)列，a1＝1，a2＝a(a＞0)，∴q＝a，從而an＝an－1，所以bn＝an·an＋1＝a2n－1，∴{bn}是首項為a，公比為a2的等比數(shù)列，當(dāng)a＝1時，Sn＝n，當(dāng)a≠1時，Sn＝eq\f(a1－a2n,1－a2)＝eq\f(a2n＋1－a,a2－1).(2)數(shù)列{an}不能是等比數(shù)列．∵bn＝anan＋1，∴eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋2,an)，依題設(shè)eq\f(an＋2,an)＝a－1，則a3＝a1(a－1)＝a－1.假設(shè){an}是等比數(shù)列，則aeq\o\al(2,2)＝a1a3，∴a2＝1×(a－1)，但方程無實根．從而數(shù)列{an}不能為等比數(shù)列．12．(2014·南京模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0)．(1)設(shè)bn＝an＋1－an(n∈N*)，證明：{bn}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式；(3)若a3是a6與a9的等差中項，求q的值，并證明：對任意的n∈N*，an是an＋3與an＋6的等差中項．【解】(1)證明：由題設(shè)an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，得an＋1－an＝q(an－an－1)，即bn＝qbn－1，n≥2.由b1＝a2－a1＝1，q≠0，所以{bn}是首項為1，公比為q的等比數(shù)列．(2)由(1)得，a2－a1＝1，a3－a2＝q，…，an－an－1＝qn－2(n≥2)，將以上各式相加，得an－a1＝1＋q＋…＋qn－2(n≥2)，即an＝a1＋1＋q＋…＋qn－2(n≥2)．所以當(dāng)n≥2時，an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1－qn－1,1－q)，q≠1，,n，q＝1.))上式對n＝1顯然成立．(3)由(2)得，當(dāng)q＝1時，顯然a3不是a6與a9的等差中項，故q≠1.由a3－a6＝a9－a3可得q5－q2＝q2－q8，由q≠0得q3－1＝1－q6，①整理得(q3)2＋q3－2＝0，解得q3＝－2.于是q＝－eq\r(3,2).另一方面，an－an＋3＝eq\f(qn＋2－qn－1,1－q)＝eq\f(qn－1,1－q)(q3－1)，an＋6－an＝eq\f(qn－1－qn＋5,1－q)＝eq\f(qn－1,1－q)(1－q6)．由①可得an－an＋3＝a