試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題09相似三角形的五種基本模型類型一、A字型（雙A字型）例1．如圖，已知D是BC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)．求的值．例2.（培優(yōu)）如圖，中，點(diǎn)D在邊上，且．（1）求證：；（2）點(diǎn)E在邊上，連接交于點(diǎn)F，且，，求的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，若，的周長等于30，求的長．【變式訓(xùn)練1】一塊直角三角形木板的面積為，一條直角邊為，怎樣才能把它加工成一個面積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請你用學(xué)過的知識說明哪位木匠的方法符合要求（加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留）．【變式訓(xùn)練2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)是軸正半軸上一動點(diǎn)，以為直角邊構(gòu)造直角，另一直角邊交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則的最小值為．類型二、X字型X字型（平行）反X字型（不平行）例1．如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，CF交BE于點(diǎn)G，若，則．例2.（培優(yōu)）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．將矩形折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為DE．（1）如圖①，若點(diǎn)P恰好在邊BC上，連接AP，求的值；（2）如圖②，若E是AB的中點(diǎn)，EP的延長線交BC于點(diǎn)F，求BF的長．【變式訓(xùn)練1】如圖，在中，點(diǎn)D在BC上，，連接AD，，則線段AD的長為．

【變式訓(xùn)練3】（1）某學(xué)?！皩W(xué)習(xí)落實(shí)”數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個題目如圖，在△ABC中，點(diǎn)O在線段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝2：1，求AB的長經(jīng)過數(shù)學(xué)小組成員討論發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)B作BD∥AC，交AO的延長線于點(diǎn)D，通過構(gòu)造△ABD就可以解決問題（如圖2）請回答：∠ADB＝

°，AB＝

（2）請參考以上解決思路，解決問題：如圖3在四邊形ABCD中對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的長類型三、母子型例1．如圖，中，點(diǎn)在上，，若，，則線段的長為．例2．（培優(yōu)）已知：如圖，中，平分，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，求證：．【變式訓(xùn)練1】如圖，在中，，D是上一點(diǎn)，點(diǎn)E在上，連接交于點(diǎn)F，若，則＝．【變式訓(xùn)練2】如圖，在中，，，，，，則CD的長為．類型四、旋轉(zhuǎn)相似模型例．在中，，，點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段，連接，，.(1)觀察猜想如圖①，當(dāng)時，的值是_______，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是________．(2)類比探究如圖②，當(dāng)時，請寫出的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖②的情形說明理由．【變式訓(xùn)練1】某校數(shù)學(xué)活動小組探究了如下數(shù)學(xué)問題：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，中，，．點(diǎn)P是底邊BC上一點(diǎn)，連接AP，以AP為腰作等腰，且，連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關(guān)系是______；(2)變式探究：如圖2，中，，．點(diǎn)P是腰AB上一點(diǎn)，連接CP，以CP為底邊作等腰，連接AQ，判斷BP和AQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題解決：如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，以DP為邊作正方形DPEF，點(diǎn)Q是正方形DPEF兩條對角線的交點(diǎn)，連接CQ．若正方形DPEF的邊長為，，求正方形ABCD的邊長．【變式訓(xùn)練2】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P為線段CA延長線上一動點(diǎn)，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時，求證：PA＝DC；（2）如圖2，當(dāng)α＝120°時，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（3）當(dāng)α＝120°時，若AB＝6，BP＝，請直接寫出點(diǎn)D到CP的距離．【變式訓(xùn)練3】如圖1，在中，，在斜邊上取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E．現(xiàn)將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度到如圖2所示的位置（點(diǎn)D在的內(nèi)部），使得．（1）①求證：；②若，求的長；（2）如圖3，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，設(shè)，若，，求k的值；（3）如圖4，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，若，設(shè)，，試探究三者之間滿足的等量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）類型五、K字模型例1．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，，將邊繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，在射線上取點(diǎn)D，使得．請求出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）類比探究：如圖2，若，作，且，其他條件不變，則線段與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?如果變化，請寫出變化后的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（3）拓展延伸：如圖3，正方形的邊長為6，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且，把線段逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，直接寫出線段的長．

例2．（培優(yōu)）如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的頂點(diǎn)E在邊CD或延長線上運(yùn)動，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，則BE＝．【變式訓(xùn)練1】【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點(diǎn)E，當(dāng)是等腰三角形時，直接寫出AP的長．【變式訓(xùn)練2】如圖，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，點(diǎn)E是邊BC上一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），AE的垂線AF交CD的延長線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在線段EF上，滿足FG∶GE＝1∶2，設(shè)BE＝x．（1）求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)G在△ADF的內(nèi)部時，用x的代數(shù)式表示∠ADG的余切；（3）當(dāng)∠FGD＝∠AFE時，求線段BE的長．【變式訓(xùn)練3】如圖1和圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），A是x軸上的一個動點(diǎn)，M是線段AC的中點(diǎn)．把線段AM以A為旋轉(zhuǎn)中心、按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到AB．過B作x軸的垂線、過點(diǎn)C作y軸的垂線，兩直線交于點(diǎn)D，直線DB交x軸于點(diǎn)E．設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m．（1）求證：△AOC∽△BEA；（2）若m=3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；若m=﹣3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（3）若m＞0，△BCD的面積為S，則m為何值時，S=6？（4）是否存在m，使得以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求此時m的值；若不存在，請說明理由．課后作業(yè)1．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，連接AC，BE交于點(diǎn)F．若△AEF的面積為2，則△ABC的面積為()A．8 B．10 C．12 D．142．如圖，P為的邊上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，，，的面積分別為S，S1，S2．若，則的值是（）

A．24 B．12 C．6 D．103．如圖1，ΔABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BA的延長線上，點(diǎn)E在BC上，DE=DC，點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)．（1）求證：∠BDE=∠ACD；（2）若DE=2DF，過點(diǎn)E作EG//AC交AB于點(diǎn)G，求證：AB=2AG；（3）將“點(diǎn)D在BA的延長線上，點(diǎn)E在BC上”改為“點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在CB的延長線上”，“點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)”改為“點(diǎn)F是ED的延長線與AC的交點(diǎn)”，其它條件不變，如圖2．①求證：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，請直接寫出SΔABC:SΔDEC的值．4.【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在中，，D為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合）將線段繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；【探究證明】（2）如圖2，在和中，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一直線時，與具有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由；【拓展延伸】（3）如圖3，在中，，將繞順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)E，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（），當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一直線時，畫出圖形，并求出線段的長度．5．如圖，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．(1)如圖1，若∠BAC＝90°，當(dāng)C、D、E共線時，AD的延長線AF⊥BC交BC于點(diǎn)F，則∠ACE＝______；(2)如圖2，連接CD、BE，延長ED交BC于點(diǎn)F，若點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∠BAC＝∠DAE，證明：AD⊥CD；(3)如圖3，延長DC到點(diǎn)M，連接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延長ED、BM交于點(diǎn)N，連接AN，若∠BAC＝2∠NAD，請寫出∠ADM、∠DAE它們之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．6．如圖，和是有公共頂點(diǎn)直角三角形，，點(diǎn)P為射線，的交點(diǎn)