【創(chuàng)新設(shè)計】-學年高中數(shù)學2.1.1橢圓的定義與標準方程(二)活頁訓練湘教版選修1-1eq\a\vs4\al\co1(基礎(chǔ)達標（限時20分鐘）)1．已知定點F1、F2，且|F1F2|＝8，動點P滿足|PF1|＋|PF2|＝8，則動點P的軌跡是 A．橢圓 B．圓C．直線 D．線段答案D2．如果方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a＋6)＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a的取值范圍是 ()．A．a(chǎn)>3 B．a(chǎn)<－2C．a(chǎn)>3或a<－2 D．a(chǎn)>3或－6<a<－2解析由題意知a2>a＋6解得a>3或a<－2，且x2，y2項的分母應(yīng)分別大于0，綜上a>3或－6<a<－2.答案D3．已知△ABC的頂點是B、C在橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊BC上，則△ABC的周長是 ()．A．2eq\r(3) B．6C．4eq\r(3) D．12解析設(shè)橢圓的另一焦點為F，則△ABC的周長為(|AB|＋|BF|)＋(|CA|＋|CF|)＝2a＋2a＝4a，而a2＝3，a＝eq\r(3)，∴4a＝4eq\r(3)，即△ABC的周長為4eq\r(3).答案C4．過(－3，2)點且與eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦點的橢圓方程為________．解析與eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦點的橢圓可設(shè)為eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,4－k)＝1且k＜4，將(－3，2)代入得：k＝－6.答案eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝15．已知橢圓的兩個焦點是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的一個動點，如果延長F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么動點Q的軌跡是__________．解析如圖所示，因為P是橢圓上的一個動點，所以由橢圓的定義可知：|PF1|＋|PF2|＝2a又因為|PQ|＝|PF2|，所以|PF1|＋|PQ|＝2a，即|QF1|＝2a為常數(shù)．即動點Q到定點F1的距離為定值，所以動點Q的軌跡是以F1為圓心，以2a答案圓6．已知點A(0，eq\r(3))和圓O1：x2＋(y＋eq\r(3))2＝16，點M在圓O1上運動，點P在半徑O1M上，且|PM|＝|PA|，求動點P的軌跡方程．解∵|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO1|＝4，∴|PO1|＋|PA|＝4，又∵|O1A|＝2eq\r(3)＜4，∴點P的軌跡是以A、O1為焦點的橢圓，∴c＝eq\r(3)，a＝2，b＝1，∴動點P的軌跡方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1.eq\a\vs4\al\co1(綜合提高（限時25分鐘）)7．橢圓eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1上一點P與橢圓的兩個焦點F1、F2的連線互相垂直，則△PF1F2的面積為 ()．A．20 B．22C．28 D．24解析由|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，得2|PF1|·|PF2|＝142又因PF1⊥PF2，所以S＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝24.答案D8．曲線eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1與eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(0＜k＜9)的關(guān)系是 ()．A．有相等的焦距，相同的焦點B．有相等的焦距，不同的焦點C．有不等的焦距，不同的焦點D．以上都不對解析曲線eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的焦點在x軸，且c2＝16，而eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1中顯然25－k＞9－k，即焦點在y軸，且c2＝16.答案B9．橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上．若|PF1|＝4，則|PF2|＝________，∠F1PF2的大小為________．解析如圖，∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝6－|PF1在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(16＋4－28,2×4×2)＝－eq\f(1,2)，∴∠F1PF2＝120°.答案2120°10．橢圓eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1的焦距是________，焦點坐標是______；若AB為過橢圓的一個焦點F1的一條弦，F(xiàn)2為另一個焦點，則△ABF2的周長是________．解析由橢圓方程eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1，可知a2＝100，b2＝36，c2＝a2－b2＝64，∴c＝8，焦距2c＝16.兩焦點為F1(－8，0)，F(xiàn)2(8，0)．由橢圓的定義可知，△ABF2的周長為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝答案16(－8，0)，(8，0)4011．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點P(3，4)，若PF1⊥PF2，求橢圓的方程．解橢圓經(jīng)過點P(3，4)，則eq\f(9,a2)＋eq\f(16,b2)＝1(a>b>0)．①又a2＝b2＋c2.②設(shè)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，則eq\o(PF,\s\up6(→))1＝(－c－3，－4)，eq\o(PF,\s\up6(→))2＝(c－3，－4)．由eq\o(PF,\s\up6(→))1⊥eq\o(PF,\s\up6(→))2，則eq\o(PF,\s\up6(→))1·eq\o(PF,\s\up6(→))2＝0，可得c2＝25③由①②③可得a2＝45，b2＝20，故所求橢圓方程為eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,20)＝1.12．(創(chuàng)新拓展)已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1的兩個焦點，P是橢圓上任意一點．(1)若∠F1PF2＝eq\f(π,3)，求△PF1F2的面積；(2)求|PF1|·|PF2|的最大值．解(1)由橢圓的定義可知，|PF1|＋|PF2|＝20，①在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2，即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2①2－②，并整理，得|PF1||PF2|＝eq\f(256,3).∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sineq\f(π,3)＝eq\f(64,3)eq\r(3).(2)由eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1