20版數(shù)學《高中全程復(fù)習方略》（提升版）人教A版階段滾動檢測（五）階段滾動檢測(五)120分鐘150分一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2024·武漢模擬)過點(1,0)且與直線x+2y-2=0垂直的直線方程為()A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x-y-2=0 D.2x+y-1=0【解析】選C.由直線x+2y-2=0可得其斜率為-12故過點(1,0)且與直線x+2y-2=0垂直的直線方程為y=2(x-1),即:2x-y-2=0.2.(2024·湛江模擬)漢代初年成書的《淮南萬畢術(shù)》記載:“取大鏡高懸,置水盆于下,則見四鄰矣.”這是中國古代人民利用平面鏡反射原理的首個實例,體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學智慧.在平面直角坐標系xOy中,一條光線從點(-2,0)射出,經(jīng)y軸反射后的光線所在的直線與圓x2+y2-2x-2y=0相切,則反射光線所在直線的斜率為()A.-1 B.-1或1C.1 D.2【解析】選C.易知(-2,0)關(guān)于y軸的對稱點為(2,0),由平面鏡反射原理,反射光線所在的直線過(2,0)且與該圓相切,將圓x2+y2-2x-2y=0化簡后可得(x-1)2+(y-1)2=2,所以圓心為(1,1),易知(2,0)在該圓上,所以(2,0)即為切點,因此圓心與切點連線與反射光線垂直,設(shè)反射光線所在直線的斜率為k,即0-12-1×3.(2024·鹽城模擬)已知圓O1:x2+y2-2x-3=0和圓O2:x2+y2-2y-1=0相交于A,B兩點,則弦AB的長為()A.22 B.25 C.4 D.2【解析】選A.由題意知圓O1:x2+y2-2x-3=0,即圓O1:(x-1)2+y2=4,圓心為O1(1,0),半徑r1=2,圓O2:x2+y2-2y-1=0,即圓O2:x2+(y-1)2=2,圓心為O2(0,1),半徑r2=2,則r1-r2<|O1O2|=12+12=2<r1將圓O1:x2+y2-2x-3=0和圓O2:x2+y2-2y-1=0的方程相減,可得直線AB的方程為x-y+1=0,則O1(1,0)到直線x-y+1=0的距離為|2|2故弦AB的長為2r12-(4.過雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點A作一條漸近線的平行線,交另一條漸近線于點P,△OAP的面積為為()A.32 B.3 C.12 D【解析】選A.雙曲線的右頂點為A(a,0),雙曲線的漸近線方程為y=±bax,由對稱性,不妨令過A的直線與y=bax平行,則該直線方程為y=ba(x由y=解得x=即P(a2,-b2則S△OAP=12|OA|·|yP|=14ab=又e=ca=2,a2+b2=c2,解得a=1,b=3所以點A(1,0)到漸近線y=±3x的距離為d=312+5.(2023·全國甲卷)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5,其中一條漸近線與圓(x-2)2+(y-3)2=1交于A,A.15 B.55 C.255 【解析】選D.由e=5,得c2a2=a2+所以雙曲線的一條漸近線不妨取y=2x,則圓心(2,3)到漸近線的距離d=|2×2-3|22+1=56.已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-2,拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和l2距離之和的最小值是()A.355+1 B.2 C.165 【解析】選D.由題可知x=-1是拋物線y2=4x的準線,設(shè)拋物線的焦點為F,則F(1,0),所以動點P到l2的距離等于P到x=-1的距離加1,即動點P到l2的距離等于|PF|+1.所以動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為焦點F到直線l1:4x-3y+6=0的距離加1,即其最小值是|4-7.(2024·重慶模擬)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點為F1,F2,點P為橢圓上不在坐標軸上的一點,點M,N滿足=,2=+,若四邊形MONP的周長等于4b,則橢圓C的離心率e=(A.12 B.22 C.32 【解析】選C.因為=,所以點M為線段PF1的中點,因為2=+,所以-=-,即=,所以點N為線段PF2的中點,又因為點O為線段F1F2的中點,所以O(shè)M∥PF2且|OM|=12|PF2|,ON∥PF1且|ON|=12|PF所以四邊形MONP的周長為|PF1|+|PF2|,又因為點P為橢圓上不在坐標軸上的一點,所以|PF1|+|PF2|=2a,所以2a=4b,即ba=1故橢圓C的離心率e=ca=1-b8.(2024·貴陽模擬)我們通常稱離心率為5-12的橢圓為“黃金橢圓”,稱離心率為5A.正△ABC中,D,E分別是AB,AC的中點,則以B,C為焦點,且過D,E的橢圓是“黃金橢圓”B.已知ABCDEF為正六邊形,則以A,D為焦點,且過B,C,E,F的雙曲線是“黃金雙曲線”C.“黃金橢圓”上存在一點,該點與兩焦點的連線互相垂直D.“黃金雙曲線”的實半軸長,一個焦點到一條漸近線的距離,半焦距能構(gòu)成等比數(shù)列【解析】選D.對于A,以BC的中點為原點,建立直角坐標系如圖所示,設(shè)△ABC的邊長為2,以B,C為焦點,且過D,E的橢圓方程設(shè)為x2a2+y2b2=1(a>b>0),所以|CD|=3,橢圓的離心率為2c對于B,以AD的中點為原點,建立直角坐標系如圖所示,設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長為2,|AD|=4,|FD|=23,以A,D為焦點,且過B,C,E,F的雙曲線方程設(shè)為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),離心率為2c對于C,設(shè)“黃金橢圓”的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),橢圓上的點P(x0,y0F2(c,0),由x02a2+y02b2=1,可得y02=b2(1-x02a2),=(-c-x0,-又因為“黃金橢圓”的離心率ca=5所以(ca)2=(5-12)2=3-52,c2=3-52a2,·=(-c-x0)(c-x0)+y02=x02+y02-c2=b2(1-x02a2)+x0所以“黃金橢圓”上不存在一點,與兩焦點的連線互相垂直.故C錯誤.對于D,設(shè)“黃金雙曲線”的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),實半軸長為a,一個焦點到一條漸近線的距離為b,半焦距為c,因為離心率ca=5+12,b2-ac=c2-a2-ac=(5+12)所以b2=ac,a,b,c成等比數(shù)列.故D正確.【加練備選】(2024·武漢模擬)已知a,b∈R,ab<0,函數(shù)f(x)=ax2+b(x∈R).若f(s-t),f(s),f(s+t)依次成等比數(shù)列,則平面Oxy上的點(s,t)的軌跡是()A.直線和焦點在x軸的橢圓B.直線和焦點在y軸的橢圓C.直線和焦點在x軸的雙曲線D.直線和焦點在y軸的雙曲線【解析】選D.由題意可知,f(s-t)f(s+t)=[f(s)]2,即[a(s-t)2+b][a(s+t)2+b]=(as2+b)2,對其整理變形:(as2+at2+b-2ast)(as2+at2+b+2ast)=(as2+b)2,(as2+at2+b)2-(2ast)2-(as2+b)2=0,(2as2+at2+2b)at2-4a2s2t2=0,at2(-2as2+at2+2b)=0,因為ab<0,所以t=0或-2as2+at2+2b=0,即t=0或t2-2b所以點(s,t)的軌跡為直線和焦點在y軸的雙曲線.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.已知直線l1:4x+3y-2=0,l2:(m+2)x+(m-1)y-5m-1=0(m∈R),則()A.直線l2過定點(2,3)B.當m=10時,l1∥l2C.當m=-1時,l1⊥l2D.當l1∥l2時,兩直線l1,l2之間的距離為3【解析】選ABD.l2:(m+2)x+(m-1)y-5m-1=0(m∈R)變形為m(x+y-5)+2x-y-1=0,由x+y-5=0,2當m=10時,l1:4x+3y-2=0,l2:12x+9y-51=0,所以412=39≠當m=-1時,l1:4x+3y-2=0,l2:x-2y+4=0,因為4×1+3×(-2)≠0,故兩直線不垂直,故C錯誤;當l1∥l2時,則滿足m+24=m-13≠-5m-1-2,解得m=10,此時l1:4x+3y-2=0,l2:1210.(2024·西安模擬)已知圓O:x2+y2=4,直線l:mx+ny+3=0,則下列說法正確的是()A.當n=3m≠0時,直線l的傾斜角為5πB.當m=n=1時,直線l與圓O相交C.圓O與圓E:(x-2)2+(y-3)2=1相離D.當m=0,n=-1時,過直線l上任意一點P作圓O的切線,則切線長的最小值為3【解析】選AC.對于A:當n=3m≠0時,直線l為mx+3my+3=0,所以直線的斜率為-m3m=-設(shè)傾斜角為α,則tanα=-33因為α∈(0,π],所以α=5π6對于B:當m=n=1時,直線l為x+y+3=0,由x2+y2=4,可得:圓心O(0,0),半徑r=2,所以圓心到直線l的距離d=|3|12+所以圓與直線相離,故B錯誤;對于C:因為圓E:(x-2)2+(y-3)2=1,所以圓心E(2,3),半徑R=1,因為|OE|=22+32=13>所以兩圓相離,故C正確;對于D:當m=0,n=-1時,直線l為y=3,過直線l上任意一點P作圓O的切線,設(shè)切點為Q,則切線長|PQ|=|PO|2所以當|PO|取得最小值時,|PQ|最小,因為點P在直線l:y=3上,所以當OP⊥l時,|OP|最小,此時|OP|min=3,所以|PQ|min=32-4=11.(2024·海南模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,上頂點為B(0,2),離心率為22,M則()A.C的方程為x24+B.1|MF1C.△MNF2的面積隨周長變大而變大D.直線BM和BN的斜率乘積為定值-1【解析】選AD.由題易知b=2,ca=22,2+c2=a2,解得c=2,a=2,故橢圓方程為x2連接MF1,MF2,NF1,NF2,由橢圓對稱性知MF1NF2為平行四邊形,|MF1|+|NF1|=|MF1|+|MF2|=2a=4,1|MF1|+4|NF1|=1|MF1|+4|MF2|≥54+14×2|M當且僅當|MF1|=43,|MF2|=8對選項C:由選項B可知:|MF2|+|NF2|=|MF1|+|NF1|=4,設(shè)M(x1,y1),則|OM|=x12+y12=4(1-y122)+y12=4-y12由對稱性,不妨設(shè)M在第一象限,故|OM|隨y1的增大而減小,△MNF2的面積隨y1的增大而增大,即△MNF2的面積隨周長變大而變小,C錯誤;對選項D:設(shè)M(x1,y1),則N(-x1,-y1),又B(0,2),所以kBM·kBN=y1-2x1因為點M(x1,y1)在橢圓上,結(jié)合選項C,x12=4-2y12,所以kBM·kBN=y三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.(2024·長沙模擬)已知圓A:x2+(y-3)2=1,過動點P作圓A的切線PB(B為切點),使得|PB|=3,則動點P的軌跡方程為______________.

答案:x2+(y-3)2=4【解析】設(shè)P(x,y),由|PB|=3得|PB|2=3,則x2+(y-3)2-1=3,即x2+(y-3)2=4.13.(2024·茂名模擬)已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,直線l1,l2均過點F分別交拋物線C于A,B,D,E四點,若直線l1,l2斜率乘積的絕對值為8,則當直線l2的斜率為________時,|AB|+|DE|的值最小,最小值為________.

答案:±2218【解析】由題意,拋物線C:y2=8x的焦點坐標為F(2,0),設(shè)直線l1的方程為y=k1(x-2),聯(lián)立方程y整理得k12x2-(4k12+8)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),所以|AB|=x1+x2+p=4k12設(shè)直線l2的斜率為k2,同理可得|DE|=x3+x4+p=4k22可得|AB|+|DE|=8k12+8+8k2又由|k1·k2|=8,得|AB|+|DE|=16+8k12+8k2當且僅當|k1|=|k2|=22時,等號成立,所以|AB|+|DE|的最小值為18,此時|k2|=22,k2=±22.14.(2024·福州模擬)光線從橢圓的一個焦點發(fā)出,被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個焦點;光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出,被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出,如圖1,一個光學裝置由有公共焦點F1、F2的橢圓Γ與雙曲線Ω構(gòu)成,Γ與Ω的離心率之比為3∶4,現(xiàn)一光線從左焦點F1發(fā)出,依次經(jīng)Ω與Γ反射,又回到了點F1,歷時t1秒;若將裝置中的Ω去掉,如圖2,此光線從點F1發(fā)出,經(jīng)Γ兩次反射后又回到了點F1,歷時t2秒,則t2t1答案:8【解析】由橢圓定義得|BF1|+|BF2|=2a1①,|AF2|-|AF1|=2a2②,①-②得,|BF1|+|AF1|+|BF2|-|AF2|=|BF1|+|AF1|+|BA|=2a1-2a2,即△ABF1的周長為2a1-2a2,由橢圓定義知△CDF1的周長為4a1,因為光線的速度相同,且雙曲線與橢圓共焦點,所以t2t1=4a12a1【方法規(guī)律】本題解答的關(guān)鍵是注意到光線的速度相同,且雙曲線與橢圓共焦點,利用橢圓和雙曲線的定義求解兩個三角形的周長由此即可順利得解.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)(2024·資陽模擬)已知☉O的圓心為坐標原點,☉O上的點到直線l:x+y-22=0的距離的最小值為1.(1)求☉O的方程;【解析】(1)由題意,☉O的圓心O(0,0)到直線l:x+y-22=0的距離d=|2設(shè)☉O的半徑為r,則☉O上的點到直線l距離的最小值為d-r=2-r,由2-r=1,解得r=1,所以☉O的方程為x2+y2=1.(2)過點P(4,2)作☉O的兩條切線,切點分別為A,B.求四邊形OAPB的面積.【解析】(2)由題可知,PA⊥OA,PB⊥OB,連接OP,則四邊形OAPB的面積S=2S△POA=2×12×1×|PA|=|PA又|OP|2=42+22=20,則|PA|=|OP|2-|所以四邊形OAPB的面積S=19.16.(15分)(2024·武漢模擬)已知點M(-2,2)在拋物線C:y2=2px(p>0)的準線上,過點M作直線l與拋物線C交于A,B兩點,斜率為2的直線與拋物線交于A,D兩點.(1)求拋物線C的標準方程;【解析】(1)拋物線C:y2=2px(p>0)的準線方程為x=-p2依題意,-p2=-2,解得p所以拋物線C的標準方程為y2=8x.(2)①求證:直線BD過定點N;②若△ABN的面積為S,且滿足S≤205,求直線l斜率的取值范圍.【解析】(2)①設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),顯然AB不垂直于y軸,設(shè)直線AB方程為x+2=m(y-2),由x消去x得:y2-8my+16(m+1)=0,由Δ=64m2-64(m+1)>0,得m<1-52或m>1+52,y1+y2=8m,y1即y1+y2=12y1y2-8,直線AD的斜率kAD=y3-y1x3-x1=同理直線BD的斜率kBD=8y2+y3,直線BD的方程為y-y2=8y整理得(y2+y3)y=8(x-x2)+y2(y2+y3),即(y2+y3)y=8x-8x2+y22+y2y又y22=8x2,于是(y2+y3)y=8x+y2y由y1+y3=4及2y1+2y2=y1y2-16,得y2y3=2(y2+y3)-24,則(y2+y3)y=8x+2(y2+y3)-24,因此直線BD:(y2+y3)(y-2)=8(x-3)過定點N(3,2),所以直線BD過定點N(3,2).②顯然MN∥x軸,S△ABN=S△BNM-S△ANM=12|MN||y1-y2|=52|y1-y2=20m2-m-1≤205,則0<解得-2≤m<1-52或1+52<m≤3,而直線l則-5+12<k≤-12或13≤所以直線l斜率的取值范圍是(-5+12,-12]∪[1317.(15分)(2024·新余模擬)如圖,橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圓O:x2+y2=b2,已知橢圓C的離心率為223,直線2x(1)求橢圓C的標準方程;【解析】(1)直線2x-2y-6=0與圓O相切,則b=|2由橢圓的離心率e=ca=1-b解得a2=9,橢圓的標準方程為x29+y(2)橢圓C的上頂點為B,EF是圓O的一條直徑,EF不與坐標軸重合,直線BE、BF與橢圓C的另一個交點分別為P,Q,求△BPQ的面積的最大值.【解析】(2)由題意知直線BP,BQ的斜率存在且不為0,BP⊥BQ,不妨設(shè)直線BP的斜率為k(k>0),則直線BP的方程為y=kx+1.由y=kx+1x2所以P(-18k9k用-1k代替k,得Q(18kk則|PB|=(0+18k9k2|BQ|=(0-18kk2+9)

2+(1+9-k2k2+9)

2=189+k2·1+k2,S設(shè)k+1k=μ則S△BPQ=162μ82+9(μ2-2當且僅當9μ=64μ,即k+1k=μ=83,即k所以(S△BPQ)max=278【加練備選】(2024·合肥模擬)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),離心率為3(1)求E的方程;【解析】(1)由題意ca=32,3a2+14則E的方程為x24+y2(2)過K(-1,0)作互相垂直的兩條直線l1與l2,設(shè)l1交E于A,B兩點,l2交E于C,D兩點,AB,CD的中點分別為M,N.探究:△OMN與△KMN的面積之比是否為定值?若是,請求出定值;若不是,請說明理由.【解析】(2)△OMN與△KMN的面積之比為定值,定值為4,理由如下:設(shè)直線AB的方程:x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2),討論:①當m≠0,且m≠±1時,聯(lián)立x=可得(m2+4)y2-2my-3=0,Δ=16m2+48>0,則y1+y2=2m所以yM=y1+y22=mm2+4,xM=myM-1=m·mm設(shè)直線CD的方程:x=-1m同理可得N(-4m24所以kMN=-m4m2+1-mm2所以直線MN:y-mm2+4=54×mm2-1(x+4所以直線MN恒過定點T(-45②當m=±1時,不妨設(shè)直線l1:y=x+1;l2:y=-x-1,可發(fā)現(xiàn)MN⊥x軸,且MN過T(-45③當m=0時,直線MN依然過T(-45,0),但無法形成三角形綜上,直線MN恒過點T(-45設(shè)點O,K到直線MN的距離分別是d1,d2,S△OMNS△KMN=12|MN|×18.(17分)(2023·新高考Ⅱ卷)在雙曲線C中,O為坐標原點,左焦點為(-25,0),離心率為5.(1)求C的方程;【解析】(1)由題意c=25,e=5=ca,則a=2,b2=16,雙曲線C的方程為x24-(2)記C的左、右頂點分別為A1,A2,過點B(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點,M在第二象限,直線MA1與NA2交于P,證明:P在定直線上.【解析】(2)方法一:設(shè)過點B的直線為x=ty-4,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立雙曲線得(4t2-1)y2-32ty+48=0,則y1+y2=32t4t2-1,y設(shè)直線MA1:y-y1y1=x-x1x1+2,設(shè)直線NA2:y-y2y2=x-x2x方法二:①當l⊥y軸時,不符合題意.②設(shè)直線l:x=ty-4,M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0),聯(lián)立方程組x=ty-4,x24-因為直線與雙曲線的左支有兩個交點,即4則y1+y2=32t4t2-1,y又因為MA1與NA2相交于點P,則y0x0+2=y1x1+2,y0x0-所以點P在定直線x=-1上.方法三:設(shè)過點B的直線為y=k(x+4),M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立雙曲線得(4-k2)x2-8k2x-16-16k2=0,則x1+x2=8k24-k2,x1·x2=-16(1+k2)4-k即(x1+52)(x2+52)=94設(shè)直線MA1:yy1=x+2x1+2,設(shè)直線NA2:yy2=x-2x2-即x+2x-代入(*)式,化簡得x+2x=(=(-2x2解x+2x-2=-13,得x=-1,即19.(17分)(2024·吉安模擬)已知點A(4,7),集合S={(x,y)|x216+y212≤1},點P∈S,且對于S中任何異于P的點Q,都有·(1)試判斷點P關(guān)于橢圓x216+【解析】(1)P在橢圓x216+記C:x216+y212=1,若P不在C因為4216+7212>1,所以設(shè)線段PA與C有一交點Q1,此時和共線反向,·<0,不合題意,因此P在C上.(2)求P的坐標;【解析】(2)·>0等價于·>·=.記在上的投影向量為,則條件等價于||||>,即||>||,這表明P是C上與A距離最小的點.設(shè)P(x0,y0),則3x02+4y02=48,=(4-x0)2+(7-y0因為(ad-bc)2+(ac+bd)2=(a2+b2)(c2+d2),故(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),當且僅當ad=bc時取等號.所以(4-x0)2+(7-y0)2=15[(4-x0)2+14(14-2y0)2](1+4)≥15(18-x0-2y0又(x0+2y0)2≤(3x02+4y02)(13+1)=64,故-8≤x故≥15×(18-8)2=20,當且僅當x0+2y0=8且2(4-x0)=1×(7-y0)且3x0=2y0時取等號,解得x0=2,y0=3,故此時P(2,3).(3)設(shè)橢圓x216+y212=1的焦點為F1,F2,證明:∠APF1=[參考公式:(ad-bc)2+(ac+bd)2=(a2+b2)(c2+d2)]【解析】(3)因為A(4,7),P(2,3),設(shè)直線AP與x軸交于B(b,0),則7-34-2=3故B(12,0),則要證∠APF1=∠APF即證∠BPF1=∠BPF2.又F1(-2,0),F2(2,0),故PF2⊥x軸,故|PF1||在△PF1B和△PF2B中,由正弦定理,sin∠PBF1又∠PBF1和∠PBF2互補,所以sin∠BPF1=sin∠BPF2,從而有∠BPF1=∠BPF2.所以∠APF1=∠APF2.階段滾動檢測(六)120分鐘150分一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(ξ<3)=0.6,則P(1<ξ<2)=()A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1【解析】選D.由題知,曲線關(guān)于直線x=2對稱,又P(ξ<3)=0.6,所以P(2<ξ<3)=0.6-0.5=0.1,由曲線的對稱性可知,P(1<ξ<2)=P(2<ξ<3)=0.1.【加練備選】已知隨機變量X~N(10,σ2),且P(X<11)=0.7,則P(10≤X<11)=()A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【解析】選B.根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性,可得P(10≤X<11)=P(X<11)-P(X<10)=0.7-0.5=0.2.2.五一小長假期間,旅游公司決定從6輛旅游大巴A,B,C,D,E,F中選出4輛分別開往紫蒙湖、美林谷、黃崗梁、烏蘭布統(tǒng)四個景區(qū)承擔載客任務(wù),要求每個景區(qū)都要有一輛旅游大巴前往,每輛旅游大巴只開往一個景區(qū),且這6輛旅游大巴中A,B不去烏蘭布統(tǒng),則不同的選擇方案共有()A.360 B.240 C.216 D.168【解析】選B.這6輛旅游大巴,A,B不去烏蘭布統(tǒng),則不同的選擇方案共有C413.為做好“甲型流感”傳染防控工作,某校堅持每日測溫報告,以下是高三一班、二班各10名同學的體溫記錄(從低到高):高三一班:36.1,36.2,m,36.4,36.5,36.7,36.7,36.8,36.8,37.0(單位:℃),高三二班:36.1,36.1,36.3,36.3,36.4,36.4,36.5,36.7,n,37.1(單位:℃).若這兩組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)、第90百分位數(shù)都分別對應(yīng)相等,則n-m=()A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3【解析】選C.由10×0.25=2.5,可得第25百分位數(shù)分別為m和36.3,則m=36.3;由10×0.9=9,可得第90百分位數(shù)分別為36.8+37.02=36.9和n+37.12故n-m=36.7-36.3=0.4.4.(2024·廣州模擬)在(x+1)(x-1)5展開式中x3的系數(shù)為()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】選B.顯然(x+1)(x-1)5=x(x-1)5+(x-1)5,則(x-1)5展開式第k+1項Tk+1=C5kx5-k(-1)k=C5k(-1)kx5-k,k當k=3時,x·C53(-1)3x2=-10x3,當k=2時,C52(-1)2x3所以展開式中含x3的項為-10x3+10x3=0,即展開式中x3的系數(shù)為0.5.已知王大爺養(yǎng)了5只雞和3只兔子,晚上關(guān)在同一間房子里,清晨打開房門,這些雞和兔子隨機逐一向外走,則恰有2只兔子相鄰走出房子的概率為()A.528 B.514 C.1556 【解析】選D.5只雞,3只兔子走出房門,共有A88種不同的方案,其中恰有2只兔子相鄰走出房子的方案為:先排5只雞,會產(chǎn)生6個空隙,再從3只兔子中選2只捆綁排列,最后與剩下的兔子排列到6個空隙中,共有A55A326.(2024·漳州模擬)甲、乙兩名大學生利用假期時間參加社會實踐活動,可以從A,B,C,D四個社區(qū)中隨機選擇一個社區(qū),設(shè)事件M為“甲和乙至少一人選擇了A社區(qū)”,事件N為“甲和乙選擇的社區(qū)不相同”,則P(N|M)=()A.56 B.67 C.78 【解析】選B.甲、乙兩名大學生從四個社區(qū)中隨機選擇一個社區(qū)的情況共有42=16(種),事件M發(fā)生的情況共有16-32=7(種),事件M和事件N同時發(fā)生的情況共有6種,所以P(N|M)=P(MN)P(7.某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷,得到如表數(shù)據(jù):單價x(元)456789銷量y(件)908483807568由表中數(shù)據(jù),求得經(jīng)驗回歸方程為=x+106.若在這些樣本點中任取一點,則它在回歸直線右上方的概率為()A.16 B.13 C.12 【解析】選C.由表中數(shù)據(jù)知,x=16×(4+5+6+7+8+9)=6.y=16因為經(jīng)驗回歸方程=x+106恒過樣本中心點(x,y),所以80=×6.5+106,解得=-4,所以=-4x+106,由此得到表格:單價x(元)456789銷量y(件)908483807568估計值(件)908682787470所以6個點中,在回歸直線右上方的點有(6,83),(7,80),(8,75),共3個,所以所求概率為36=18.暗箱中有編號為1,2的2個球,現(xiàn)從中隨機摸1個球,若摸到2號球,則得2分,并停止摸球;若摸到1號球,則得1分,并將此球放回,重新摸球.記摸球停止時總得分為X,則E(X)=()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】選A.由題意可得X的可能取值為2,3,4,5,…,n,P(X=2)=12,P(X=3)=12×12P(X=4)=18,…,P(X=n)=1所以E(X)=2×12+3×122+4×123+…+(n-1)×12則12E(X)=2×122+3×123+4×124+…+(n-1)×①-②得12E(X)=1+122+123+124即得E(X)=3-2+n2n-1,當n→+∞時,二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.(2023·南京模擬)某校1000名學生在高三一模測試中數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).分數(shù)不低于X即為優(yōu)秀,已知優(yōu)秀學生有80人,則()A.a=0.008B.X=120C.70分以下的人數(shù)約為6人D.本次考試的平均分約為93.6分【解析】選AD.對于A,(0.002×2+0.004+a+0.014+0.02)×20=1?a=0.008,正確;對于B,因為第六組有40人,第五組有160人,所以130-X130-110對于C,70分以下的人數(shù)為(0.002+0.004)×20×1000=120(人),錯誤;對于D,平均成績X=40×0.04+60×0.08+80×0.28+100×0.4+120×0.16+140×0.04=93.6(分),正確.10.(2024·北京模擬)已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)分別為8,9,11,10,12,和a,8,9,10,15,若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同,則()A.甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為10B.乙組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為9.5C.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的極差相同D.甲組數(shù)據(jù)的方差小于乙組數(shù)據(jù)的方差【解析】選AD.甲組共有5個數(shù)據(jù),從小到大排列后,10為中間數(shù)字,所以甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為10,A選項正確;由題意得甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同,且易知甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10,故乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)也為10,故得8+9+10+15+a5=10,所以又5×0.75=3.75,乙組數(shù)據(jù)從小到大排列為8,8,9,10,15,所以乙組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為10,B選項錯誤;易知甲組數(shù)據(jù)極差為4,乙組數(shù)據(jù)極差為7,C選項錯誤;兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)相同,乙組數(shù)據(jù)離散程度更大,方差更大,D選項正確.11.(2024·青島模擬)一個密閉的容器中裝有2個紅球和4個白球,所有小球除顏色外均相同.現(xiàn)從容器中不放回地抽取兩個小球.記事件A:“至少有1個紅球”,事件B:“至少有1個白球”,事件C=A∩B,則()A.事件A,B不互斥B.事件A,B相互獨立C.P(A|B)=P(B|A)D.P(C|A)+P(C|B)>2P(C)【解析】選AD.對于A,由于至少有一個紅球和至少有一個白球,可以同時發(fā)生,故事件A與事件B不互斥,A正確;對于B,C,P(AB)=C21C41C62=815,P(A)=C22所以P(AB)≠P(A)P(B),故B錯誤;故P(A|B)=P(AB)P(B)=8151415=47,P對于D,P(C)=P(AB)=C21C41C62=815,故P(C|A)+P(C|=53P(C)+1514P(C)>2P(C三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.在某次比賽中運動員五輪的成績互不相等,記為xi(i=1,2,3,4,5),平均數(shù)為x,若隨機刪去其中一輪的成績,得到一組新數(shù)據(jù),記為yi(i=1,2,3,4),平均數(shù)為y,下面說法正確的是________.(寫出所有正確序號)

①新數(shù)據(jù)的極差可能等于原數(shù)據(jù)的極差.②新數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù).③若x=y,則新數(shù)據(jù)的方差一定大于原數(shù)據(jù)方差.④若x=y,則新數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)一定大于原數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù).答案:①②③【解析】根據(jù)題意,依次分析4個結(jié)論:對于①,若刪除的數(shù)據(jù)既不是最大值,也不是最小值,則新數(shù)據(jù)的極差等于原數(shù)據(jù)的極差,①正確;對于②,若刪除的數(shù)據(jù)是原來數(shù)據(jù)的中位數(shù),則新數(shù)據(jù)的中位數(shù)等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù),②正確;對于③,若x=y,則刪除的數(shù)據(jù)恰好為原來數(shù)據(jù)的平均數(shù),由方差的計算公式,新數(shù)據(jù)的方差一定大于原數(shù)據(jù)方差,③正確;對于④,假設(shè)原來數(shù)據(jù)為1,2,3,4,5,若x=y,則刪除的數(shù)據(jù)恰好為原來數(shù)據(jù)的平均數(shù),即刪除的數(shù)據(jù)為3,新數(shù)據(jù)為1,2,4,5,原來數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)2.5,新數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為2,④錯誤.13.寫出一個正整數(shù)n>1,使得(3x+2x)n的展開式中存在常數(shù)項:答案:5(答案不唯一)【解析】由題知(3x+2x)n的通項為Tk+1=Cnk(3x)n-k(2x)要使展開式中存在常數(shù)項,只需2n又正整數(shù)n>1,0≤k≤n,則2n=5k,所以不妨令n=5,則k=2.14.(2024·天津模擬)甲、乙兩人射擊,甲射擊兩次,乙射擊一次.甲每次射擊命中的概率是12,乙命中的概率是23,兩人每次射擊是否命中都互不影響,則甲、乙二人全部命中的概率為________;在兩人至少命中兩次的條件下,甲恰好命中兩次的概率為【解題指南】利用互斥事件的概率加法公式、相互獨立事件的概率乘法公式,分別計算對應(yīng)概率,即可選出答案.再根據(jù)條件概率的計算公式即可求解.答案:16【解析】甲射擊恰好命中兩次的概率為12×12=14,則甲、乙二人全部命中的概率為14×23=16.設(shè)“兩人至少命中兩次”為事件A,“甲恰好命中兩次”為事件B,P(A)=1-P(A)=1-12×12×13-2×12×12×13-12×12×23=712,P(所以P(B|A)=P(AB)P(四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)(2023·滄州模擬)“綠水青山就是金山銀山”的口號已經(jīng)深入民心,人們對環(huán)境的保護意識日益增強,質(zhì)檢部門也會不時地對一些企業(yè)的生產(chǎn)污染情況進行排查,并作出相應(yīng)的處理,本次排查了30個企業(yè),共查出510個污染點,其中造成污染點前10名的企業(yè)分別造成的污染點數(shù)為58,36,36,35,33,32,28,26,24,22.(1)求這30個企業(yè)造成污染點的第80百分位數(shù);【解析】(1)根據(jù)定義可得,此30個數(shù)據(jù)從小到大排列,30×80%=24,所以這30個企業(yè)造成污染的第80百分位數(shù)是第24個數(shù)據(jù)與第25個數(shù)據(jù)的平均數(shù),即28+322=30(2)已知造成污染點前10名的企業(yè)的方差為92.4,其他20個企業(yè)造成污染點的方差為44.7,求這30個企業(yè)造成污染點的總體方差.【解析】(2)按照企業(yè)造成的污染點數(shù)從小到大排列,記為x1,x2,…,x20,其平均數(shù)記為x,方差記為sx把剩下10個數(shù)據(jù)記為y1,y2,…,y10,其平均數(shù)記為y,方差記為sy2;把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為z,方差記為s2.由題意可知,z=y=110×(58+36+36+35+33+32+28+26+24+22)=1則x=120×510由題知sx2=44.7,sy2=92.4,s2=130{20[sx2+(代入數(shù)據(jù)可得s2=130{20×[44.7+(9-17)2]+10×[92.4+(33-17)2]}=188.所以這30個企業(yè)造成污染點的總體方差為188.6.16.(15分)(2024·婁底模擬)某無人飛機研發(fā)中心最近研發(fā)了一款新能源無人飛機,在投放市場前對100架新能源無人飛機進行了單次最大續(xù)航里程的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行分析,得到如圖所示的頻率分布直方圖:(1)估計這100架新能源無人飛機的單次最大續(xù)航里程的平均值x(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表);【解析】(1)估計這100架新能源無人飛機的單次最大續(xù)航里程的平均值為:x=205×0.1+255×0.2+305×0.45+355×0.2+405×0.05=300.(2)經(jīng)計算第(1)問中樣本標準差s的近似值為50,根據(jù)大量的測試數(shù)據(jù),可以認為這款新能源無人飛機的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布N(μ,σ2)(用樣本平均數(shù)x和標準差s分別作為μ和σ的近似值),現(xiàn)任取一架新能源無人飛機,求它的單次最大續(xù)航里程X∈[250,400]的概率;(參考數(shù)據(jù):若隨機變量X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)【解析】(2)因為X~N(300,502),所以P(250≤X≤400)=P(μ-σ≤X≤μ+2σ)≈0.68272+(3)該無人飛機研發(fā)中心依據(jù)新能源無人飛機的載重量和續(xù)航能力分為卓越A型、卓越B型和卓越C型,統(tǒng)計分析可知卓越A型、卓越B型和卓越C型的分布比例為3∶2∶1,研發(fā)中心在投放市場前決定分別按卓越A型、卓越B型和卓越C型的分布比例分層隨機共抽取6架,然后再從這6架中隨機抽取3架進行綜合性能測試,記隨機變量Y是綜合性能測試的3架中卓越A型的架數(shù),求隨機變量Y的分布列和數(shù)學期望.【解析】(3)由題設(shè)可知抽取的6架新能源無人飛機中,卓越A型、卓越B型和卓越C型的架數(shù)分別為3架、2架和1架,隨機變量Y的可能取值為0,1,2,3.P(Y=0)=C30CP(Y=1)=C31CP(Y=2)=C32CP(Y=3)=C33C隨機變量Y的分布列如表:Y0123P1991E(Y)=0×120+1×920+2×920+3×117.(15分)(2023·聊城模擬)已知甲箱、乙箱均有6件產(chǎn)品,其中甲箱中有4件正品,2件次品;乙箱中有3件正品,3件次品.(1)現(xiàn)從甲箱中隨機抽取兩件產(chǎn)品放入乙箱,再從乙箱中隨機抽取一件產(chǎn)品,求從乙箱中抽取的這件產(chǎn)品恰好是次品的概率;【解析】(1)設(shè)A=“從甲箱中抽取的兩件產(chǎn)品均為正品”,B=“從甲箱中抽取的兩件產(chǎn)品一件為正品,一件為次品”,C=“從甲箱中抽取的兩件產(chǎn)品均為次品”,D=“從乙箱中抽取的一件產(chǎn)品為次品”,由全概率公式,得P(D)=P(A)×P(D|A)+P(B)×P(D|B)+P(C)×P(D|C)=C42C62×38+C41C(2)現(xiàn)需要通過檢測將甲箱中的次品找出來,每次隨機檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到能將次品全部找出時檢測結(jié)束,已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用15元,設(shè)X表示能找出甲箱中的所有次品時所需要的檢測費用(單位:元),求X的分布列與數(shù)學期望.【解析】(2)X的所有可能取值為30,45,60,75.則PX=30=A22A62=115;PX=60=A44A6PX=75=C21所以X的分布列為X30456075P1248E(X)=30×115+45×215+60×415+75×18.(17分)(2024·焦作模擬)為了驗證某種新能源汽車電池的安全性,小王在實驗室中進行了n(n≥2)次試驗,假設(shè)小王每次試驗成功的概率為p(0<p<1),且每次試驗相互獨立.(1)若小王某天進行了4次試驗,且p=13,求小王這一天試驗成功次數(shù)X【解析】(1)依題意,X~B(4,13則P(X=0)=(23)4=16P(X=1)=C41(23)3(1P(X=2)=C42(23)2(13)P(X=3)=C43(23)(13)P(X=4)=(13)4=1故X的分布列為:X01234P1632881故E(X)=4×13=4(2)若恰好成功2次后停止試驗,p=12,以Y表示停止試驗時試驗的總次數(shù),求∑i=2nP(Y=i)【解析】(2)方法一:設(shè)A=“停止試驗時試驗總次數(shù)不大于n”,則∑i=2nP(Y=i)=P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)+…+P(Y=n)=PA=“n次試驗中,成功了0次或1次”,“n次試驗中,成功了0次”的概率P1=(1-12)n=1“n次試驗中,成功了1次”的概率P2=Cn1·(1-12)n-1·1所以∑i=2nP(Y=i)=1-P1-P2方法二:事件“Y=n”表示前n-1次試驗只成功了1次,且第n次試驗成功,故P(Y=n)=Cn-11·所以∑i=2nP(Y=i)=122+2令Sn=122+223+則12Sn=123+224+3兩式相減得:12Sn=122+123+124=14(1-12n-則Sn=2n-n-12n.即∑i=2nP(Y=i)=【加練備選】在某次猜燈謎活動中,共有20道燈謎,每道燈謎由甲、乙兩名同學輪流一人一次獨立競猜,甲同學猜對概率為0.6,乙同學猜對概率為0.4,假設(shè)猜對每道燈謎都是等可能的,試求:(1)任選一道燈謎,甲、乙都沒有猜對的概率;【解析】(1)設(shè)事件A表示“甲猜對”,事件B表示“乙猜對”,則P(A)=35,P(B)=2任選一道燈謎,甲、乙都沒有猜對的概率為:P(AB)=P(A)P(B)=(1-35)×(1-25)=(2)任選2道燈謎,恰好甲猜對了2次乙猜對1次的概率;【解析】(2)任選2道燈謎,恰好甲猜對了2次,乙猜對1次的概率為:P=C220.62×C210.4×0.(3)記20道猜燈謎活動中,甲猜對的次數(shù)為X,求X的期望.【解析】(3)甲猜對的次數(shù)為X~B(20,35),期望為E(X)=20×3519.(17分)(2024·邯鄲模擬)某企業(yè)為在推進中國式現(xiàn)代化新征程中展現(xiàn)更大作為,在提升員工敬業(yè)精神和員工管理水平上實施新舉措制定新方案.現(xiàn)對員工敬業(yè)精神和員工管理水平進行評價,從企業(yè)中選出200人進行統(tǒng)計,其中對員工敬業(yè)精神和員工管理水平都滿意的有50人,對員工敬業(yè)精神滿意的人數(shù)是總?cè)藬?shù)的40%,對員工管理水平滿意的人數(shù)是總?cè)藬?shù)的45%.(1)完成對員工敬業(yè)精神和員工管理水平評價的2×2列聯(lián)表,依據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,能否認為對員工敬業(yè)精神滿意與對員工管理水平滿意有關(guān)?項目對員工管理水平滿意對員工管理水平不滿意合計對員工敬業(yè)精神滿意對員工敬業(yè)精神不滿意合計【解析】(1)由題意可得關(guān)于對員工敬業(yè)精神和員工管理水平評價的2×2列聯(lián)表:項目對員工管理水平滿意對員工管理水平不滿意合計對員工敬業(yè)精神滿意503080對員工敬業(yè)精神不滿意4080120合計90110200零假設(shè)為H0:對員工敬業(yè)精神滿意與對員工管理水平滿意無關(guān).據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得:χ2=200×50×80-30×40280×120×90×110≈16.498>6.635=x0.01,根據(jù)小概率值α=0.(2)若將頻率視為概率,隨機從企業(yè)員工中抽取3人參與此次評價,設(shè)對員工敬業(yè)精神和對員工管理水平都滿意的人數(shù)為隨機變量X,求X的分布列和數(shù)學期望.【解析】(2)對員工敬業(yè)精神和對員工管理水平都滿意的概率為14,隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,其中PX=0=(34)3P(X=1)=C31·14·3PX=2=C32142·34=964;P所以隨機變量X的分布列為X0123P272791則EX=0×2764+1×2764+2×964+3×1(3)在統(tǒng)計學中常用TBA=PBAPBA表示在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的優(yōu)勢,現(xiàn)從該企業(yè)員工中任選一人,A表示“對員工管理水平不滿意”、附:χ2=nad-bc2a+bc+dα0.050.010.001xα3.8416.63510.828【解析】(3)TBA=PBAPBA=PABPA所以估計TBA的值為8【加練備選】(2024·南昌模擬)面試是求職者進入職場的一個重要關(guān)口,也是機構(gòu)招聘員工的重要環(huán)節(jié).某科技企業(yè)招聘員工,首先要進行筆試,筆試達標者進入面試,面試環(huán)節(jié)要求應(yīng)聘者回答3個問題,第一題考查對公司的了解,答對得2分,答錯不得分,第二題和第三題均考查專業(yè)知識,每道題答對得4分,答錯不得分.(1)若一共有100人應(yīng)聘,他們的筆試得分X服從正態(tài)分布N(60,144),規(guī)定X≥72為達標,求進入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)大約為多少(結(jié)果四舍五入保留整數(shù));【解析】(1)因為X服從正態(tài)分布N(60,144),所以μ=60,σ=12,72=μ+σ,所以P(X≥72)≈1-0.683進入面試的人數(shù)Z~B(100,0.1585),E(Z)=100×0.1585≈16.因此,進入面試的人數(shù)大約為16.(2)某進入面試的應(yīng)聘者第一題答對的概率為23,后兩題答對的概率均為45,每道題是否答對互不影響,求該應(yīng)聘者的面試成績Y附:若X~N(μ,σ2)(σ>0),則P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.955,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.997.【解析】(2)由題意可知,Y的可能取值為0,2,4,6,8,10,則P(Y=0)=(1-23)×(1-45)2=P(Y=2)=23×(1-45)2=P(Y=4)=(1-23)·C21·45×(1-P(Y=6)=23·C21·45×(1-P(Y=8)=(1-23)×(45)2=P(Y=10)=23×(45)2=所以E(Y)=0×175+2×275+4×875+6×1675+8×1675+10×32階段滾動檢測(六)120分鐘150分一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(ξ<3)=0.6,則P(1<ξ<2)=()A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1【解析】選D.由題知,曲線關(guān)于直線x=2對稱,又P(ξ<3)=0.6,所以P(2<ξ<3)=0.6-0.5=0.1,由曲線的對稱性可知,P(1<ξ<2)=P(2<ξ<3)=0.1.【加練備選】已知隨機變量X~N(10,σ2),且P(X<11)=0.7,則P(10≤X<11)=()A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【解析】選B.根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性,可得P(10≤X<11)=P(X<11)-P(X<10)=0.7-0.5=0.2.2.五一小長假期間,旅游公司決定從6輛旅游大巴A,B,C,D,E,F中選出4輛分別開往紫蒙湖、美林谷、黃崗梁、烏蘭布統(tǒng)四個景區(qū)承擔載客任務(wù),要求每個景區(qū)都要有一輛旅游大巴前往,每輛旅游大巴只開往一個景區(qū),且這6輛旅游大巴中A,B不去烏蘭布統(tǒng),則不同的選擇方案共有()A.360 B.240 C.216 D.168【解析】選B.這6輛旅游大巴,A,B不去烏蘭布統(tǒng),則不同的選擇方案共有C413.為做好“甲型流感”傳染防控工作,某校堅持每日測溫報告,以下是高三一班、二班各10名同學的體溫記錄(從低到高):高三一班:36.1,36.2,m,36.4,36.5,36.7,36.7,36.8,36.8,37.0(單位:℃),高三二班:36.1,36.1,36.3,36.3,36.4,36.4,36.5,36.7,n,37.1(單位:℃).若這兩組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)、第90百分位數(shù)都分別對應(yīng)相等,則n-m=()A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3【解析】選C.由10×0.25=2.5,可得第25百分位數(shù)分別為m和36.3,則m=36.3;由10×0.9=9,可得第90百分位數(shù)分別為36.8+37.02=36.9和n+37.12故n-m=36.7-36.3=0.4.4.(2024·廣州模擬)在(x+1)(x-1)5展開式中x3的系數(shù)為()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】選B.顯然(x+1)(x-1)5=x(x-1)5+(x-1)5,則(x-1)5展開式第k+1項Tk+1=C5kx5-k(-1)k=C5k(-1)kx5-k,k當k=3時,x·C53(-1)3x2=-10x3,當k=2時,C52(-1)2x3所以展開式中含x3的項為-10x3+10x3=0,即展開式中x3的系數(shù)為0.5.已知王大爺養(yǎng)了5只雞和3只兔子,晚上關(guān)在同一間房子里,清晨打開房門,這些雞和兔子隨機逐一向外走,則恰有2只兔子相鄰走出房子的概率為()A.528 B.514 C.1556 【解析】選D.5只雞,3只兔子走出房門,共有A88種不同的方案,其中恰有2只兔子相鄰走出房子的方案為:先排5只雞,會產(chǎn)生6個空隙,再從3只兔子中選2只捆綁排列,最后與剩下的兔子排列到6個空隙中,共有A55A326.(2024·漳州模擬)甲、乙兩名大學生利用假期時間參加社會實踐活動,可以從A,B,C,D四個社區(qū)中隨機選擇一個社區(qū),設(shè)事件M為“甲和乙至少一人選擇了A社區(qū)”,事件N為“甲和乙選擇的社區(qū)不相同”,則P(N|M)=()A.56 B.67 C.78 【解析】選B.甲、乙兩名大學生從四個社區(qū)中隨機選擇一個社區(qū)的情況共有42=16(種),事件M發(fā)生的情況共有16-32=7(種),事件M和事件N同時發(fā)生的情況共有6種,所以P(N|M)=P(MN)P(7.某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷,得到如表數(shù)據(jù):單價x(元)456789銷量y(件)908483807568由表中數(shù)據(jù),求得經(jīng)驗回歸方程為=x+106.若在這些樣本點中任取一點,則它在回歸直線右上方的概率為()A.16 B.13 C.12 【解析】選C.由表中數(shù)據(jù)知,x=16×(4+5+6+7+8+9)=6.y=16因為經(jīng)驗回歸方程=x+106恒過樣本中心點(x,y),所以80=×6.5+106,解得=-4,所以=-4x+106,由此得到表格:單價x(元)456789銷量y(件)908483807568估計值(件)908682787470所以6個點中,在回歸直線右上方的點有(6,83),(7,80),(8,75),共3個,所以所求概率為36=18.暗箱中有編號為1,2的2個球,現(xiàn)從中隨機摸1個球,若摸到2號球,則得2分,并停止摸球;若摸到1號球,則得1分,并將此球放回,重新摸球.記摸球停止時總得分為X,則E(X)=()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】選A.由題意可得X的可能取值為2,3,4,5,…,n,P(X=2)=12,P(X=3)=12×12P(X=4)=18,…,P(X=n)=1所以E(X)=2×12+3×122+4×123+…+(n-1)×12則12E(X)=2×122+3×123+4×124+…+(n-1)×①-②得12E(X)=1+122+123+124即得E(X)=3-2+n2n-1,當n→+∞時,二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.(2023·南京模擬)某校1000名學生在高三一模測試中數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).分數(shù)不低于X即為優(yōu)秀,已知優(yōu)秀學生有80人,則()A.a=0.008B.X=120C.70分以下的人數(shù)約為6人D.本次考試的平均分約為93.6分【解析】選AD.對于A,(0.002×2+0.004+a+0.014+0.02)×20=1?a=0.008,正確;對于B,因為第六組有40人,第五組有160人,所以130-X130-110對于C,70分以下的人數(shù)為(0.002+0.004)×20×1000=120(人),錯誤;對于D,平均成績X=40×0.04+60×0.08+80×0.28+100×0.4+120×0.16+140×0.04=93.6(分),正確.10.(2024·北京模擬)已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)分別為8,9,11,10,12,和a,8,9,10,15,若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同,則()A.甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為10B.乙組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為9.5C.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的極差相同D.甲組數(shù)據(jù)的方差小于乙組數(shù)據(jù)的方差【解析】選AD.甲組共有5個數(shù)據(jù),從小到大排列后,10為中間數(shù)字,所以甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為10,A選項正確;由題意得甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同,且易知甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10,故乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)也為10,故得8+9+10+15+a5=10,所以又5×0.75=3.75,乙組數(shù)據(jù)從小到大排列為8,8,9,10,15,所以乙組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為10,B選項錯誤;易知甲組數(shù)據(jù)極差為4,乙組數(shù)據(jù)極差為7,C選項錯誤;兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)相同,乙組數(shù)據(jù)離散程度更大,方差更大,D選項正確.11.(2024·青島模擬)一個密閉的容器中裝有2個紅球和4個白球,所有小球除顏色外均相同.現(xiàn)從容器中不放回地抽取兩個小球.記事件A:“至少有1個紅球”,事件B:“至少有1個白球”,事件C=A∩B,則()A.事件A,B不互斥B.事件A,B相互獨立C.P(A|B)=P(B|A)D.P(C|A)+P(C|B)>2P(C)【解析】選AD.對于A,由于至少有一個紅球和至少有一個白球,可以同時發(fā)生,故事件A與事件B不互斥,A正確;對于B,C,P(AB)=C21C41C62=815,P(A)=C22所以P(AB)≠P(A)P(B),故B錯誤;故P(A|B)=P(AB)P(B)=8151415=47,P對于D,P(C)=P(AB)=C21C41C62=815,故P(C|A)+P(C|=53P(C)+1514P(C)>2P(C三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.在某次比賽中運動員五輪的成績互不相等,記為xi(i=1,2,3,4,5),平均數(shù)為x,若隨機刪去其中一輪的成績,得到一組新數(shù)據(jù),記為yi(i=1,2,3,4),平均數(shù)為y,下面說法正確的是________.(寫出所有正確序號)

①新數(shù)據(jù)的極差可能等于原數(shù)據(jù)的極差.②新數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù).③若x=y,則新數(shù)據(jù)的方差一定大于原數(shù)據(jù)方差.④若x=y,則新數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)一定大于原數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù).答案:①②③【解析】根據(jù)題意,依次分析4個結(jié)論:對于①,若刪除的數(shù)據(jù)既不是最大值,也不是最小值,則新數(shù)據(jù)的極差等于原數(shù)據(jù)的極差,①正確;對于②,若刪除的數(shù)據(jù)是原來數(shù)據(jù)的中位數(shù),則新數(shù)據(jù)的中位數(shù)等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù),②正確;對于③,若x=y,則刪除的數(shù)據(jù)恰好為原來數(shù)據(jù)的平均數(shù),由方差的計算公式,新數(shù)據(jù)的方差一定大于原數(shù)據(jù)方差,③正確;對于④,假設(shè)原來數(shù)據(jù)為1,2,3,4,5,若x=y,則刪除的數(shù)據(jù)恰好為原來數(shù)據(jù)的平均數(shù),即刪除的數(shù)據(jù)為3,新數(shù)據(jù)為1,2,4,5,原來數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)2.5,新數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為2,④錯誤.13.寫出一個正整數(shù)n>1,使得(3x+2x)n的展開式中存在常數(shù)項:答案:5(答案不唯一)【解析】由題知(3x+2x)n的通項為Tk+1=Cnk(3x)n-k(2x)要使展開式中存在常數(shù)項,只需2n又正整數(shù)n>1,0≤k≤n,則2n=5k,所以不妨令n=5,則k=2.14.(2024·天津模擬)甲、乙兩人射擊,甲射擊兩次,乙射擊一次.甲每次射擊命中的概率是12,乙命中的概率是23,兩人每次射擊是否命中都互不影響,則甲、乙二人全部命中的概率為________;在兩人至少命中兩次的條件下,甲恰好命中兩次的概率為【解題指南】利用互斥事件的概率加法公式、相互獨立事件的概率乘法公式,分別計算對應(yīng)概率,即可選出答案.再根據(jù)條件概率的計算公式即可求解.答案:16【解析】甲射擊恰好命中兩次的概率為12×12=14,則甲、乙二人全部命中的概率為14×23=16.設(shè)“兩人至少命中兩次”為事件A,“甲恰好命中兩次”為事件B,P(A)=1-P(A)=1-12×12×13-2×12×12×13-12×12×23=712,P(所以P(B|A)=P(AB)P(四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)(2023·滄州模擬)“綠水青山就是金山銀山”的口號已經(jīng)深入民心,人們對環(huán)境的保護意識日益增強,質(zhì)檢部門也會不時地對一些企業(yè)的生產(chǎn)污染情況進行排查,并作出相應(yīng)的處理,本次排查了30個企業(yè),共查出510個污染點,其中造成污染點前10名的企業(yè)分別造成的污染點數(shù)為58,36,36,35,33,32,28,26,24,22.(1)求這30個企業(yè)造成污染點的第80百分位數(shù);【解析】(1)根據(jù)定義可得,此30個數(shù)據(jù)從小到大排列,30×80%=24,所以這30個企業(yè)造成污染的第80百分位數(shù)是第24個數(shù)據(jù)與第25個數(shù)據(jù)的平均數(shù),即28+322=30(2)已知造成污染點前10名的企業(yè)的方差為92.4,其他20個企業(yè)造成污染點的方差為44.7,求這30個企業(yè)造成污染點的總體方差.【解析】(2)按照企業(yè)造成的污染點數(shù)從小到大排列,記為x1,x2,…,x20,其平均數(shù)記為x,方差記為sx把剩下10個數(shù)據(jù)記為y1,y2,…,y10,其平均數(shù)記為y,方差記為sy2;把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為z,方差記為s2.由題意可知,z=y=110×(58+36+36+35+33+32+28+26+24+22)=1則x=120×510由題知sx2=44.7,sy2=92.4,s2=130{20[sx2+(代入數(shù)據(jù)可得s2=130{20×[44.7+(9-17)2]+10×[92.4+(33-17)2]}=188.所以這30個企業(yè)造成污染點的總體方差為188.6.16.(15分)(2024·婁底模擬)某無人飛機研發(fā)中心最近研發(fā)了一款新能源無人飛機,在投放市場前對100架新能源無人飛機進行了單次最大續(xù)航里程的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行分析,得到如圖所示的頻率分布直方圖:(1)估計這100架新能源無人飛機的單次最大續(xù)航里程的平均值x(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表);【解析】(1)估計這100架新能源無人飛機的單次最大續(xù)航里程的平均值為:x=205×0.1+255×0.2+305×0.45+355×0.2+405×0.05=300.(2)經(jīng)計算第(1)問中樣本標準差s的近似值為50,根據(jù)大量的測試數(shù)據(jù),可以認為這款新能源無人飛機的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布N(μ,σ2)(用樣本平均數(shù)x和標準差s分別作為μ和σ的近似值),現(xiàn)任取一架新能源無人飛機,求它的單次最大續(xù)航里程X∈[250,400]的概率;(參考數(shù)據(jù):若隨機變量X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)【解析】(2)因為X~N(300,502),所以P(250≤X≤400)=P(μ-σ≤X≤μ+2σ)≈0.68272+(3)該無人飛機研發(fā)中心依據(jù)新能源無人飛機的載重量和續(xù)航能力分為卓越A型、卓越B型和卓越C型,統(tǒng)計分析可知卓越A型、卓越B型和卓越C型的分布比例為3∶2∶1,研發(fā)中心在投放市場前決定分別按卓越A型、卓越B型和卓越C型的分布比例分層隨機共抽取6架,然后再從這6架中隨機抽取3架進行綜合性能測試,記隨機變量Y是綜合性能測試的3架中卓越A型的架數(shù),求隨機變量Y的分布列和數(shù)學期望.【解析】(3)由題設(shè)可知抽取的6架新能源無人飛機中,卓越A型、卓越B型和卓越C型的架數(shù)分別為3架、2架和1架,隨機變量Y的可能取值為0,1,2,3.P(Y=0)=C30CP(Y=1)=C31CP(Y=2)=C32CP(Y=3)=C33C隨機變量Y的分布列如表:Y0123P1991E(Y)=0×120+1×920+2×920+3×117.(15分)(2023·聊城模擬)已知甲箱、乙箱均有6件產(chǎn)品,其中甲箱中有4件正品,2件次品;乙箱中有3件正品,3件次品.(1)現(xiàn)從甲箱中隨機抽取兩件產(chǎn)品放入乙箱,再從乙箱中隨機抽取一件產(chǎn)品,求從乙箱中抽取的這件產(chǎn)品恰好是次品的概率;【解析】(1)設(shè)A=“從甲箱中抽取的兩件產(chǎn)品均為正品”,B=“從甲箱中抽取的兩件產(chǎn)品一件為正品,一件為次品”,C=“從甲箱中抽取的兩件產(chǎn)品均為次品”,D=“從乙箱中抽取的一件產(chǎn)品為次品”,由全概率公式,得P(D)=P(A)×P(D|A)+P(B)×P(D|B)+P(C)×P(D|C)=C42C62×38+C41C(2)現(xiàn)需要通過檢測將甲箱中的次品找出來,每次隨機檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到能將次品全部找出時檢測結(jié)束,已知每檢測一件產(chǎn)品需