汕頭市2022?2023學(xué)年度普通高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試

題

數(shù)學(xué)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個

選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合II兀集合11則以下命題為真命題的是（）

A.BxeA,xeBB.B,xiA

C.VXGA,X^BD.VxeB,x^A

2已知復(fù)數(shù)z滿足（l+2i）z=2+i,則|z|=（）

A.—B.1C.J5D.5

5

3.已知甲、乙兩名同學(xué)在高三的6次數(shù)學(xué)測試的成績統(tǒng)計如圖（圖標(biāo)中心點所對縱坐標(biāo)代

表該次數(shù)學(xué)測試成績），則下列說法不正確的是（）

J/分■甲▲乙

120-----------------------------------

O123456x/次

A.甲成績的極差小于乙成績的極差

B.甲成績第25百分位數(shù)大于乙成績的第75百分位數(shù)

C.甲成績的平均數(shù)大于乙成績的平均數(shù)

D.甲成績的方差小于乙成績的方差

4.已知等差數(shù)列｛4｝且3（%+%）+2（%+40+陽）=48,則數(shù)列｛為｝的前13項之和

為（）

A.24B.39C.104D.52

5.已知某運(yùn)動員每次射擊擊中目標(biāo)的概率是P,假設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)與否互不影響，設(shè)

J為該運(yùn)動員幾次射擊練習(xí)中擊中目標(biāo)的次數(shù)，且E?）=8,。?）=1.6,則，值為

()

A.0.6B.0.8

C.0.9D.0.92

6.如圖1,水平放置的直三棱柱容器A5C-AgG中，AC±AB,AB=AC=2,現(xiàn)

往內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為2.將容器底面的一邊A8固定于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜

則容器的高力為（）

A.3B.4C.472D.6

7.（x+3y）（x—2y）6的展開式中丁丁的系數(shù)為（)

A.60B.24C.-12D.-48

71

8.如圖為函數(shù)/(x)=2sin(s+o)69>0,0<(P<—的部分圖象，則（）

2

2兀

B.對任意的xeR,都有

C.函數(shù)/（X）在區(qū)間［o,5兀］上恰好有三個零點

71

D.函數(shù)/X--是偶函數(shù)

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項

中，有多項符合題目要求.全都選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的

得。分.

9.已知同一平面內(nèi)的兩個向量2=（3,—1）,5=（1,一2）,則（）

fV5_雪

A.與B同向的單位向量是B.4力不能作為該平面的基底

c.1和B的夾角是囚D.1在石上的投影向量等于5

4

10.為了提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素與學(xué)生對體育鍛煉的喜好

是否有影響，為此對學(xué)生是否喜歡體育鍛煉的情況進(jìn)行普查，得到下表：

性別

體育合計

男性女性

喜歡280P280+p

不喜歡q120120+q

合計280+q120+p400+p+q

附：上國段Me'

a0.050.0250.0100.001

Xa3.8415.0246.63510.828

7

已知男生喜歡體育鍛煉的人數(shù)占男生人數(shù)的正，女生喜歡體育鍛煉的人數(shù)占女生人數(shù)的

3

―,則下列說法正確的是()

5

A.列聯(lián)表中q的值為120,p的值為180

B.隨機(jī)對一名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，此學(xué)生有90%的可能性喜歡體育鍛煉

C.根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，男女生對體育鍛煉的喜好有差異

D.根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，男女生對體育鍛煉的喜好沒有差異

11.直四棱柱ABCO-AgCQ中，AB//CD,ABYAD,

AB=2AZ)=2OC=2。，=4.()

A.在棱4B上存在點P,使得。P//平面ABG

B.在棱BC上存在點P,使得AP//平面A3。

C.若尸在棱AB上移動，則AOLRP

D.在棱上存在點P,使得。p_L平面480

12.已知函數(shù)/(x)=Y—2d—4x—7,其導(dǎo)函數(shù)為y=/'(x),下列說法正確的是()

A.函數(shù)y=/(x)的單調(diào)減區(qū)間為(一|,2)

B.函數(shù)y=/(x)的極小值是一15

C.當(dāng)a＞2時，對于任意的X＞。，都有＜/(a)+/"(a)(x-a)

D.函數(shù)y=/(x)的圖像有條切線方程為y=3x—1

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且S；=7,56=63,貝1"9=.

14.已知長方形ABCZ)中，A8=4,BC=3,則以A、B為焦點，且過C、。的橢圓的離心

率為.

15.寫出符合如下兩個條件的一個函數(shù)/(x)=.①/(一x)—/(x+2)=0,②

/(%)在(一8,0)內(nèi)單調(diào)遞增.

16.剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術(shù)，是中華漢族最古老的民間藝術(shù)之一.如圖，一圓

形紙片直徑AB=20cm,需要剪去四邊形CEC|O,可以經(jīng)過對折，沿。C,EC裁剪，展

開就可以得到.

已知點C在圓上且AC=10cm,NECD=30°.則鏤空四邊形的面積的最小值

為cm2.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.已知數(shù)列｛q｝的前〃項積為北，且a“+27；=l,HGN*.

(1)求證：數(shù)列，是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛Ina,,｝的前〃項和S,.

18.設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角4、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知

a=hcosA-acosB.

(1)求證：B=2A；

hA-c

(2)求——取值范圍.

a

19.如圖，在三棱柱ABC-A4c中，平面平面A4乃乃，且NA4,旦=6()。,

AB=2，AC=AA,=AC1=4.

(1)求平面AgC1與平面ABga夾角的余弦值；

(2)求三棱柱ABC-44G的高兒

20.某足球隊為評估球員的場上作用，對球員進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.球員甲在場上出任邊鋒、前

衛(wèi)、中場三個位置，根據(jù)過往多場比賽，其出場率與出場時球隊的勝率如下表所示.

場上位置邊鋒前衛(wèi)中場

出場率0.50.30.2

球隊勝率0.60.80.7

(1)當(dāng)甲出場比賽時，求球隊輸球的概率;

(2)當(dāng)甲出場比賽時，在球隊獲勝的條件下，求球員甲擔(dān)當(dāng)前衛(wèi)的概率;

(3)如果你是教練員，將如何安排球員甲在場上的位置？請說明安排理由.

21.已知函數(shù)/(x)=lnx-/CM；2+(a-l)x,tzeR.

(1)討論/(x)的單調(diào)性;

(2)曲線y=/(x)上是否存在不同兩點A(%，x)、8(%,%)，使得直線4B與曲線

了=/(%)在點(笠殳,/(然金)處的切線平行？若存在，求出A、B坐標(biāo)，若不存

在，請說明理由.

22.已知橢圓6：9+丁=1的左、右頂點分別為A、A”上、下頂點分別為用、B2,

記四邊形的內(nèi)切圓為。2,過橢圓G上一點T引圓G的兩條切線(切線斜率存在

且不為0),分別交橢圓G于點P、Q.

(1)試探究直線TP與7。斜率之積是否為定值，并說明理由；

(2)記點O坐標(biāo)原點，求證：P、。、。三點共線.

汕頭市2022?2023學(xué)年度普通高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試

題

數(shù)學(xué)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個

選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合II兀集合11則以下命題為真命題的是（）

A.BxeA,xeBB.B,xiA

C.VXGA,X^BD.VxeB,x^A

【答案】A

【分析】利用集合的關(guān)系分析即可.

【詳解】由題知，集合A={x|xN0},集合8={x|x>l},

所以8是A真子集，

所以玉GA,xeB或玉GA,或VxeB,xeA,

只有A選項符合要求，

故選：A.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（l+2i）z=2+i,則|z|=（）

A.￡B.1C.V5D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法及模長公式運(yùn)算求解.

2+i(2+i)(l-2i)4-3i.,_V25_,

【詳解】由題意z=l+2i=(l+2i)(l-2廣5'所則=4-3i

55

故選：B.

3.已知甲、乙兩名同學(xué)在高三的6次數(shù)學(xué)測試的成績統(tǒng)計如圖（圖標(biāo)中心點所對縱坐標(biāo)代

表該次數(shù)學(xué)測試成績），則下列說法不正確的是（）

分.甲▲乙

120---------------------------

90

■▲

60.----------------------

▲▲▲

30---------------------------

O123456x/次

A.甲成績的極差小于乙成績的極差

B.甲成績的第25百分位數(shù)大于乙成績的第75百分位數(shù)

C.甲成績的平均數(shù)大于乙成績的平均數(shù)

D.甲成績的方差小于乙成績的方差

【答案】B

【分析】分析圖中數(shù)據(jù)，結(jié)合方差，極差的求法和意義，結(jié)合百分位數(shù)的求解，得到答案.

【詳解】從圖表可以看出甲成績的波動情況小于乙成績的波動情況，則甲成績的方差小于

乙成績的方差，且甲成績的極差小于乙成績的極差，AD正確；

將甲成績進(jìn)行排序，又6x25%=1.5,故從小到大，選擇第二個成績作為甲成績的第25

百分位數(shù)，估計值為90分，

將乙成績進(jìn)行排序，又6X75%=4.5,故從小到大，選擇第5個成績成績作為乙成績的第

75百分位數(shù)，估計值大于90分，

從而甲成績的第25百分位數(shù)小于乙成績的第75百分位數(shù)，B錯誤；

甲成績均集中在90分左右，而乙成績大多數(shù)集中在60分左右，故C正確.

故選：B

4.已知等差數(shù)列｛a,｝且3（4+%）+2（/+4O+43）=48,則數(shù)列｛&｝的前13項之和

為（）

A.24B.39C.104D.52

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)化簡已知條件可得知+6。的值，再由等差數(shù)列前〃項和等差

數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：/+%=2。4，%+qo+%3=3%0，

所以由3（4+。5）+2（q+am+陽）=48可得：3x24+2x3qo=48,

解得：a4+al0=8,

所以數(shù)列｛4｝的前13項之和為

c_13（q+《3）_13（/+%o）_13Q_S

13222

故選：D.

5.已知某運(yùn)動員每次射擊擊中目標(biāo)的概率是P,假設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)與否互不影響，設(shè)

J為該運(yùn)動員"次射擊練習(xí)中擊中目標(biāo)的次數(shù)，且Ee）=8,力?=1.6,則P值為

()

A.0.6B.0.8

C.0.9D.0.92

【答案】B

【分析】由自服從根據(jù)二項分布的均值和方差公式列式求解.

E記)==8p-0.8

【詳解】由題意所以《，解得《

=np(l-p)=1.6n=10

故選：B.

6.如圖1,水平放置的直三棱柱容器ABC-A4G中，AC±AB,AB=AC=2,現(xiàn)

往內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為2.將容器底面的一邊AB固定于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜

到某一位置時，水面形狀恰好為三角形ABC，如圖2,則容器的高"為（)

C.4亞D.6

【答案】A

【分析】利用兩個圖形裝水的體積相等即可求解.

【詳解】在圖1中匕衣=gx2x2x2=4,

1114

在圖2中，K小k=匕Aoc-4”一匕c_/,1i|R￡>|ct|~_2x2x2x/z—3x_2x2x2x/z=_3h,

4

_h=4,/z=3.

3

故選：A.

7.Cx+3y）（x—2yN的展開式中"y的系數(shù)為（）

A.60B.24C.-12D.-48

【答案】B

【分析】首先寫出(x-2y)6展開式通項，再考慮通項與x+3y相乘得到含爐產(chǎn)的項，即

可得系數(shù).

【詳解】由(x—2y)6的展開式通項為卻=2產(chǎn)，(_2))「=(—2)'C06-y,

所以(x+3y)(x-2y)6的展開式V＞2項為［g：-6C：］?%5y2,

故系數(shù)為4C；-6C：=24.

故選：B

8.如圖為函數(shù)/(x)=2sin(s+。)(刃＞O,O＜0＜］］的部分圖象，則()

3兀

O\

-1

A.函數(shù)/(x)的周期為4兀

B.對任意的xeR,都有

C.函數(shù)“X)在區(qū)間［0,5可上恰好有三個零點

D.函數(shù)/｛x—f］是偶函數(shù)

I4J

【答案】C

【分析】A選項，利用函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式，利用正弦函數(shù)的周期性得到A錯誤;

B選項,=2sin—^2,B錯誤;

57111兀17兀

C選項,整體法得到+F=｛兀,2兀,3無｝,計算出x，C正確;

36彳，丁，丁

=2singx為奇函數(shù)，D錯誤.

D選項，計算出了

3冗

【詳解】從圖象可看出“X)的最小正周期為丁=1^2=3兀，

2兀2

因為勿＞0,所以——=3無，解得：?=-,

故A錯誤;

/(x)=2sin(gx+/),代入(0,1),

2sin0=l,

因為0<*苦，所以0=看

(2兀

故/(無)=2sin

(—3x+—6

2兀2

=2sin|-X—2n+-71|=2sin—^2,

33618

2兀

故不滿足對任意的xeR,都有，B錯誤;

,2兀兀7兀

xe[O,57i]’則5九+7*6'T

36

27T5兀11兀17兀

由/(X)=?？傻茫?X+—={^,271,371},可得：X=

了,丁，丁

故函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,5句上恰好有三個零點，C正確;

71712

=2sin-X——+—2sin§x,為奇函數(shù)，D錯誤.

346

故選：C

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項

中，有多項符合題目要求.全都選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的

得0分.

9.已知同一平面內(nèi)的兩個向量益=(3,—1),^=(1,-2),則()

也,時不能作為該平面的基底

A.與5同向的單位向量是B.

C.々和B的夾角是:D.M在5上的投影向量等于5

【答案】ACD

b

【分析】A選項，利用M進(jìn)行求解;

B選項，求出M=(3,—1)與5=(1,—2)不平行，從而B錯誤;

C選項，利用向量余弦夾角公式進(jìn)行求解;

a-hh

D選項，利用-廠后求解.

\b\\b\

【詳解】^=(1,-2),|^|=>^+4=V5,

則與5同向的單位向量是1=°攜=（骼，—乎，A正確;

3x（-2）-lx（-l）^0,故之=（3,—1）與萬=（1,一2）不平行，且為非零向量,

故佚時可以作出該平面的基底，B錯誤；

(3I)Q-2)5_V2

J9+1xJ1+4

因為,所以,?=：,

故1和5的夾角是:，c正確;

a-hb5h-

日在日上的投影向量等于下］",同=忑,十=人，D正確.

故選：ACD

10.為了提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素與學(xué)生對體育鍛煉的喜好

是否有影響，為此對學(xué)生是否喜歡體育鍛煉的情況進(jìn)行普查，得到下表：

性別

體育合計

男性女心匕

喜歡280P280+p

不喜歡q120120+q

合計280+q120+p400+p+g

n^ad—bcy

附:2n-a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(〃+d)

a0050.0250.0100.001

Xa3.8415.0246.63510.828

7

已知男生喜歡體育鍛煉的人數(shù)占男生人數(shù)的歷，女生喜歡體育鍛煉的人數(shù)占女生人數(shù)的

3

《，則下列說法正確的是()

A.列聯(lián)表中g(shù)的值為120,p的值為180

B.隨機(jī)對一名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，此學(xué)生有90%的可能性喜歡體育鍛煉

C.根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，男女生對體育鍛煉的喜好有差異

D.根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，男女生對體育鍛煉的喜好沒有差異

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意求出<7、P，補(bǔ)全2x2列聯(lián)表，分析數(shù)據(jù)，利用卡方計算公式求出長2,結(jié)

合獨立性檢驗的思想依次判斷選項即可.

7

【詳解】A：由題意知，男生喜歡該項運(yùn)動的人數(shù)占男生人數(shù)的丁，

3

女生喜歡該項運(yùn)動的人數(shù)占女生人數(shù)的g,

73

則280=而(280+幻,p=_(120+p),解得q=120,〃=180,故A正確;

B：補(bǔ)全2x2列聯(lián)表如下：

男性女性合計

喜歡280180460

不喜歡120120240

合計400300700

所以隨機(jī)抽一名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，喜歡該項運(yùn)動的概率約為尸=—a65.7%,故B錯誤:

“2n(ad-hc)2700(280x120-180xl20)2”

C：K=-----------------------=------------------------a7.609,

(a+b)(c+d\a+c)(b+d)460x240x400x300

而6.635<7.609<10.828,

所以根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，男女生對體育鍛煉的喜好有差異

D：由選項C知，根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，男女生對體育鍛煉的喜好沒有

差異.

故選：ACD

11.在直四棱柱—中，AB//CD,AB±AD,

AB=2AD=2DC=2DDX=4.()

A.在棱AB上存在點P,使得AP//平面ABQ

B.在棱BC上存在點P,使得RP〃平面48a

C.若尸在棱AB上移動，則AO_L〃P

D.在棱44上存在點P,使得。尸_L平面45G

【答案】ABC

【分析】通過線面平行的判定定理來判斷AB選項的正確性，根據(jù)線線垂直、線面垂直的

知識來判斷C選項的正確性，利用向量法判斷D選項的正確性.

【詳解】A選項，當(dāng)尸是AB的中點時，依題意可知GA〃OC〃PB，G。=OC=P8,

所以四邊形。是平行四邊形，所以"P〃C/,由于。PZ平面ABC-Cfu平面

\BC,，所以2尸〃平面,A選項正確.

B選項，設(shè)E是AB的中點，P是6C的中點，由上述分析可知"E〃平面48G.由于

PE//AC//A.C,,~￡?平面48。1,4Gu平面ABG，所以PE〃平面為8￡.由于

REcPE=E,所以平面。/￡〃平面43￡,所以。P〃平面.B選項正確.

C選項，根據(jù)已知條件可知四邊形AOA4是正方形，所以由于AB_L4Z

AB±AAt,ADoAA,=A,所以AB工平面4。。小，所以ABJ.4。.由于

D}A^AB=A,所以4O_L平面ADf,所以A。，RP.C選項正確.

D選項，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，A(2,0,2),8(2,4,0)，G(0,2,2),

---z、------,、n/cc、「cf力戶?AB=4f-4=0

AB=（0,4,-2），ACl=（-2,2,0）,^P（2,r,2）,re[0,4].|_?_L,=_4+^=o此方

程組無解，所以在棱A冏上不存在點P,使得。p,平面A/G.D錯誤.

故選：ABC

12.已知函數(shù)/(x)=d-2f—4%—7,其導(dǎo)函數(shù)為y=/'(X),下列說法正確的是(

A.函數(shù)〉=/(%)的單調(diào)減區(qū)間為

B.函數(shù))=/(x)的極小值是一15

C.當(dāng)a>2時，對于任意的x>。，都有/(x)</(a)+/'(a)(x-a)

D.函數(shù)y=/(x)的圖像有條切線方程為y=3x-l

【答案】AB

【分析】對函數(shù)/(x)=V—2x2-4x—7進(jìn)行求導(dǎo)，對A令/'(x)<0即可解決問題；

B選項把增減區(qū)間求出來后即可得極值；C選項做差法證明即可；D由切線斜率為3出發(fā)

反向分析即可得答案.

【詳解】因為/(x)=N--4x-7

2

所以f'(x)=3x2—4x—4<0,——<x<2,

所以/(X)的單調(diào)減區(qū)間為1-g，2),

故A正確.

令/'(X)=3尤2—4x—4>0,

則尤<一2或x>2

3

所以/（X）在（2,”）單調(diào)遞增

在（-單調(diào)遞減

I3J

所以函數(shù)的極小值為/（2）=-15,

故選項B正確；

由/'（。）=3片一4。一4,

若〃%）<〃a）+r（a）（x-a）

即x3_4-2（x2<（3a2-4a-4j（x-<2）

x:+H+QX—2（x+a）—4<3u~~4tz—4

o（x-a）［x+2（a-l）］<0

ox+2（a—1）<0矛盾，

故選項C錯誤.

=3f-4x-4=3,

7

解的戶一1或一，

3

當(dāng)戶一1時切點（一1,一6）不在y=3x—1上

7（7392、

當(dāng)時切點一~三J不在y=3x-l上，

故選項D錯誤，

故選:AB.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,,且$3=7,$6=63,則Sg=.

【答案】511

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得S3，S6-S3，S9-S6成等比數(shù)列，代入數(shù)據(jù)即可求解.

【詳解】因為等比數(shù)列中s“,s2?-s?,sin-s?”…成等比數(shù)列，

所以S3，S6-S3，S9-S6成等比數(shù)列,

所以出6-S3）2=S3（S「S6），

2

BP（63-7）=7X（S9-63）,解得:59=511.

故答案為：511

【點睛】本題考查等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握各個性質(zhì)，可大大簡化計算步驟，節(jié)約

時間，提高正確率.考查計算化筒的能力，屬基礎(chǔ)題.

14.已知長方形48co中，AB=4,BC=3,則以A、B為焦點，且過C、。的橢圓的離心

率為.

【答案】g##0.5

【分析】利用橢圓定義及簡單幾何性質(zhì)，明確a與c,即可得到橢圓的離心率.

【詳解】由題知，2c=A6=4,解得c=2,

AC^ylAB2+BC2=V42+32=5'

由橢圓的定義知：2a=AC+BC=5+3=8,解得a=4,

c2I

所以橢圓的周心率e=———.

a42

故答案為：.

15.寫出符合如下兩個條件的一個函數(shù)/(%)=.①/(一力一〃x+2)=0,②

“X)在(—8,0)內(nèi)單調(diào)遞增.

【答案】-f+2x—1(答案不唯一)

【分析】先求出對稱軸，再結(jié)合單調(diào)性即可.

【詳解】???/(-x)-/(x+2)=0

???/(2-x閆(x)

...函數(shù)的圖象關(guān)于x=l對稱，

又??,函數(shù)(—8,0)內(nèi)單調(diào)遞增，

.?.符合條件的一個函數(shù)解析式可以是：f(x)=-x2+2x-l(答案不唯一).

故答案為：一/+2%—1(答案不唯一).

16.剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術(shù)，是中華漢族最古老的民間藝術(shù)之一.如圖，一圓

形紙片直徑A3=20cm,需要剪去四邊形CEG。，可以經(jīng)過對折，沿。C,EC裁剪，展

開就可以得到.

已知點C在圓上且AC=10cm,ZECD=30°.則鏤空四邊形的面積的最小值

為cm2?

【答案】150(2-73)

【分析】由對稱性可得SCECQ=2SE),所以求△CEO面積的最小值即可，設(shè)

CE=a,CD=b,ED=c,根據(jù)A6=20,AC=10,NECD=30°可得NC4E=60°,根據(jù)

△CED的面積公式可得a,b,c的關(guān)系，再根據(jù)基本不等式即可求△CEO面積的最小值.

【詳解】由對稱性可得SCEC、D=2SCED，所以求MED面積的最小值即可，

如圖所示，設(shè)。為圓心，連接AC,作CGLAB于G,

由題意AC=AO=OC=10,所以NOAC=60°,所以，

設(shè)CE=a,CD=b,ED=c,由面積公式S=,。匕5皿30°=！。?。6得

ab=106c，

22

由余弦定理B="2+、-2可得拒帥=a+b--，

22ab300

又根據(jù)基本不等式可得6ab=a2+b2-->lab--，即"N300(2—百)，

300300

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=)300(2-百)時取等號，

所以S.CED75(2一百)，

所以四邊形CEG。的面積的最小值為150(2—Ji)cm2,

故答案為：150(2-73)

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.已知數(shù)列｛為｝的前〃項積為北，且％+27；=1,〃N*.

(1)求證：數(shù)列，是等差數(shù)列;

kJ

(2)求數(shù)列｛In4｝的前"項和S..

【答案】(1)答案見解析

【分析】(1)利用等差數(shù)列的定義即可求解;

(2)利用裂項相消法即可求解.

【小問1詳解】

.?數(shù)列｛凡｝的前〃項積為刀，

4=4,*=%出…%'&i=4a2???〃〃+】

?a=^-

??Un+\_y,

?"+24=1，

，〃=1時，q+27]=1,即4+2%=1,解得工=q

3

***an+\+2&i=1

冬+2(+1=1,即zr-一~=2.

'〃+1

11Ic

故數(shù)列《TTb是以了=3為首項，以2為公差的等差數(shù)歹|J.

【小問2詳解】

由(1)知"=3+(〃_l)x2=2〃+l,

1n

所以＜=)不，所以q=7=2牛"=|='

2幾+1Tn_x12九+1

2〃-1

?n-1

因此，Inq=In—~-=ln(2/2-l)-ln(2n+l),

所以S〃=Ina}+In%+Ina3+???+Inan,

即Sn=lnl-ln3+ln3-ln5+ln5-ln7+**?+ln(27?-l)-ln(2n4-l)

化簡得：S?=ln--.

2〃+1

18.設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知

a-bcosA-acosB.

(1)求證：B=2A；

(2)求—hA-c■的取值范圍.

a

【答案】(I)證明過程見解析.

(2)(72+1,73+2)

【分析】(1)利用正弦定理及積化和差得到sinA=sin(3—A),結(jié)合角的范圍，得到3=2A；

(2)利用正弦定理得至ij"=4(cosA+,、

-，根據(jù)三角形為銳角三角形，得到

a\4；4

cosAe＞從而求出取值范圍.

【64)I22J

【小問1詳解】

a=bcosA-acosB,

由正弦定理得：sinA=sinBcosA-sinAcosB,

由積化和差公式可得:

sinA=-sin（B+A）+—sin（5-24）--sin（/4+B）--sin（A-5）=-sin（Bsin（A-B）

2222

因為5sin（A_6）=——sin—A）,

所以sinA=sin(3—A),

因為三角形ABC為銳角三角形，故

所以8—Ae

故A=8—A，即3=2A；

【小問2詳解】

由Q)知：B=2A，

由正弦定理得：

/?+c_sin3+sinC_sin2A+sin(8+A)_sin2A4-sin3A

———,

asinAsinAsinA

其中sin3A=sin(2A+A)=sin2AcosA+cos2AsinA=2sinAcos2A+cos2AsinA,

因為sinAwO,

所以"￡=2si"8s4+2sinAcos"+cos2AsinA=2cosA+2cos?A+cos2A

asinA

(1Y5

=2cosA+2cos92A+2cos2A-l=4cos2A+2cosA-l=4cosA+-，

I4j4

由3=得：

由C=TC-A—8=兀-3AW(0,5),解得4d蓊)，

00s

結(jié)合可得：46后,()，Ae住用,

“[￥，等)上單調(diào)遞增，

故c=4cosA+——*在cos/

a(^)4

所以+'=4COS2A+2COSA-lG\4xl+V2-l,4x-+^-l|,

aI24)

即的上e(夜+1,百+2).

19.如圖，在三棱柱ABC-中,平面平面A41B乃，且444月=60。,

AB=2>AC=AA[=ACt~4.

小

明…衿G

//、X

//、、

//、、

//、、

r

(i)求平面AAG與平面ABAA夾角的余弦值;

（2）求三棱柱ABC-A4G的高兒

【答案】（1）好

5

⑵嶇

5

【分析】（1）作出輔助線，由面面垂直得到線面垂直，從而證明出。E,A4,，a。兩兩垂

直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，求出夾角的余弦值；

（2）在第一間的基礎(chǔ)上，利用點到平面的向量求距離公式進(jìn)行求解.

【小問1詳解】

取A4的中點。，連接。G，￡>4,在上取點E,使得4E=1,連接?！?

因為AC=A&=AG=4,所以AA4G為等邊三角形，

故G。1AA1,

因為平面A4CC，平面AA用8，交線為AA|,CQu平面A4G。，

故C|O_L平面AAA8,

因為NAA|g=60°,Afi=2，AA|=4,

所以44=4。=2,

則VDA,B,為等邊三角形，NADBt=60°,

因為"1//8耳，所以/5月。=/4。8]=60。，

在ABQE中，由余弦定理得：

222

DE=B1￡+BlD-2B,EB1Dcos60°=l+4-2xlx2x^=3,

故DE=6

則。爐+月后2=用。2,

故DE_LB|E,則DE±A4,,

因為平面A4CC，平面交線為AA，QEu平面A44B,

所以。EJ_平面A4CC，故OE,A4,，C。兩兩垂直，

以短為坐標(biāo)原點，。瓦。。|,。4所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，

則A,(0,0,2),B,(x/3,0,l),C,(0,2>/3,0),

設(shè)平面AB。1的法向量為m=(x,y,z),

玩T4=(x,y,z)?(百,0,—1)=也x-z=0

、?i-^q=(x,y,z)-(0,2V3,-2)=2^-2z=0，

令x=1,則z=6,y=1,

故而=(1,1,6),

平面的法向量為3=(0,1,0),

設(shè)平面46cl與平面ABB.A,夾角為0,

則平面44G與平面ABB}\夾角的余弦值

|m-n||(1,1,^)-(0,1,0)|亞

cos6=cos(m,n

/n|-|n|Jl+1+35

【小問2詳解】

A點到平面4B1G的距離即為三棱柱ABC-44a的高h(yuǎn),

由(1)知：平面AgG的法向量為而A(0,0,-2),

|福T|(0,0,4).(1,1,V3)|

473_4715

故〃=■*―口一-=

-

\tn\Jl+1+3T/T5

20.某足球隊為評估球員的場上作用，對球員進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.球員甲在場上出任邊鋒、前

衛(wèi)、中場三個位置，根據(jù)過往多場比賽，其出場率與出場時球隊的勝率如下表所示.

場上位置邊鋒前…中場

出場率0.50.30.2

球隊勝率0.60.80.7

（1）當(dāng)甲出場比賽時，求球隊輸球的概率；

（2）當(dāng)甲出場比賽時，在球隊獲勝的條件下，求球員甲擔(dān)當(dāng)前衛(wèi)的概率；

（3）如果你是教練員，將如何安排球員甲在場上的位置？請說明安排理由.

【答案】（1）0.32

⑵—

17

（3）邊鋒，理由見解析.

【分析】（1）根據(jù)條件概率公式分別計算出甲球員在擔(dān)任邊鋒、前衛(wèi)、中場時贏球的概率,

最后相加得到甲球員參加比賽時，球隊高球的概率，再用1去減即可.

（2）根據(jù)條件概率的計算公式即可求解，

（3）由三個位置上的贏球幾率，即可做出判斷.

【小問1詳解】

設(shè)A1表示“甲球員擔(dān)當(dāng)邊鋒”；4表示“甲球員擔(dān)當(dāng)前衛(wèi)”；A?表示“甲球員擔(dān)當(dāng)中場“；B

表示“球隊贏了某場比賽”，

則p（B）=p（A）尸（BIA）+P（4）P網(wǎng)4）+P（4）尸⑹4）

=0.5X0.6+03x0.8+0.2X0.7=0.30+0.24+0.14=0.68,

該球隊某場比賽輸球的概率為1-P（B）=1-0.68=0.32,

【小問2詳解】

由⑴知:尸（8）=0.68

P(4嘰03x0.86

所以P（4⑻

P(B)-0.6817

所以球員甲擔(dān)當(dāng)前衛(wèi)的概率為9

【小問3詳解】

0,5xQ.6_15

同⑵P（A|8）=

P(B)-0.68—三

由于尸（4I8）＞P（4I8）＞P（4I8）,所以應(yīng)多安排甲球員擔(dān)任邊鋒，來增大贏球的幾率.

21.已知函數(shù)了（力=此］一3^?+（Q-1）X,aeR.

（1）討論/（X）的單調(diào)性；

（2）曲線y=/（x）上是否存在不同兩點A（%，x）、8（%,%），使得直線4B與曲線

y=/（x）在點（國強(qiáng)殳））處的切線平行？若存在，求出A、B坐標(biāo)，若不存

在，請說明理由.

【答案】（1）答案見解析；

（2）不存在，理由見解析.

【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，分情況分類討論，得到/（X）的單調(diào)性；

（2）利用直線A8的斜率與曲線y=/（x）在點竺”,/（土產(chǎn)7處的切線斜率相

I，\））

x,-x.M+X.

等,列出方程,化簡整理得：肝氤==,再證明出

X,-xX,/、

IJ?玉工工2,恒成立，從而說明不存在這樣的不同兩點A（X],yJ、

inXj—in%22

3(孫力)?

【小問1詳解】

/(x)=\nx-^a)r+(a-l)x定義域為(0,+8),

n../\1/\—6LV2+(。—1)X+1(—X+1)(CIX+1)

則/?)=——or+(Q_l)=-------——1——------八----二

XXX

當(dāng)一：=i,即。=一1時，r（x）=（三小）-2

此時“X）在（0,+8）上單調(diào)遞增,

當(dāng)a<—1時，此時—：e(0,l),令/?x)>0得：xe[o