PAGE30-山東省濰坊高密市2025屆高三數(shù)學(xué)模擬試題一一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)滿意,則的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.3.已知兩個(gè)力,作用于平面內(nèi)某靜止物體同一點(diǎn)上,為使該物體仍保持靜止,還需給該物體同一點(diǎn)上再加上一個(gè)力,（）A. B. C. D.4.若，則()A. B. C. D.5.函數(shù)大致圖象是（）A. B.C. D.6.已知,,且,則的最小值為（）A.100 B.81 C.36 D.97.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則=A. B.C. D.8.已知，，，記為，，中不同數(shù)字的個(gè)數(shù)，如：，，，則全部的的排列所得的的平均值為（）A. B.3 C. D.4二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡(jiǎn)稱，旨在主動(dòng)發(fā)展我國(guó)與沿線國(guó)家經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系，共同打造政治互信、經(jīng)濟(jì)融合、文化包涵的命運(yùn)共同體.自2013年以來(lái)，“一帶一路”建設(shè)成果顯著下圖是2013-2025年，我國(guó)對(duì)“一帶一路”沿線國(guó)家進(jìn)出口狀況統(tǒng)計(jì)圖，下列描述正確的是（）.A.這五年，2013年出口額最少B.這五年，出口總額比進(jìn)口總額多C.這五年，出口增速前四年逐年下降D.這五年，2024年進(jìn)口增速最快10.關(guān)于函數(shù)下列結(jié)論正確的是（）A.圖像關(guān)于軸對(duì)稱 B.圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.在上單調(diào)遞增 D.恒大于011.設(shè)函數(shù)（），已知在有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.在上存在，，滿意B.在有且僅有1個(gè)最小值點(diǎn)C.在單調(diào)遞增D.的取值范圍是12.已知正方體,過(guò)對(duì)角線作平面交棱于點(diǎn),交棱于點(diǎn),下列正確的是（）A.平面分正方體所得兩部分的體積相等；B.四邊形肯定平行四邊形；C.平面與平面不行能垂直；D.四邊形的面積有最大值.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知雙曲線過(guò)點(diǎn)且漸近線為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________.14.若綻開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和是,則__________;綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)的值是__________.15.已知是定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，若在內(nèi)關(guān)于的方程（且）有且只有個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.16.在△ABC中，設(shè)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為，記△ABC的面積為S，且，則的最大值為_(kāi)_________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在①，，成等差數(shù)列.②，，成等差數(shù)列中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列的問(wèn)題中，并解答.在公比為2的等比數(shù)列中，______（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18.平面四邊形中，已知，，，.（1）求；（2）求周長(zhǎng)的最大值.19.如圖①：在平行四邊形中,,,將沿對(duì)角線折起,使,連結(jié),得到如圖②所示三棱錐.（1）證明：平面；（2）若,二面角的平面角的正切值為,求直線與平面所成角的正弦值.20.在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或者對(duì)機(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或起先呈現(xiàn)該疾病對(duì)應(yīng)的相關(guān)癥狀時(shí)止的這一階段稱為潛藏期.一探討團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息，得到如下表格：潛藏期（單位:天）人數(shù)（1）求這1000名患者的潛藏期的樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）該傳染病的潛藏期受諸多因素的影響，為探討潛藏期與患者年齡的關(guān)系，以潛藏期是否超過(guò)6天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表.請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并依據(jù)列聯(lián)表推斷是否有的把握認(rèn)為潛藏期與患者年齡有關(guān)；潛藏期天潛藏期天總計(jì)50歲以上（含50歲）50歲以下55總計(jì)200（3）以這1000名患者潛藏期超過(guò)6天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛藏期超過(guò)6天發(fā)生的概率，每名患者的潛藏期是否超過(guò)6天相互獨(dú)立.為了深化探討，該探討團(tuán)隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了名患者，其中潛藏期超過(guò)6天的人數(shù)最有可能（即概率最大）是多少？附：，其中.21.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過(guò)作直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）問(wèn)：的內(nèi)切圓面積是否有最大值？若有，試求出最大值；若沒(méi)有，說(shuō)明理由．22.已知函數(shù)．（1）若，曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的值；（2）若，且函數(shù)的值域?yàn)?，求的最小值．模擬試題一解析一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出與中不等式的解集，確定出與，求出與的并集．【詳解】解：集合，1，2，，，所以，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了并集及其運(yùn)算，嫻熟駕馭并集的定義是解本題的關(guān)鍵．2.已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)滿意,則的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將【詳解】解:因?yàn)?所以,所以其共軛復(fù)數(shù)為故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,共軛復(fù)數(shù)的概念,是基礎(chǔ)題.3.已知兩個(gè)力,作用于平面內(nèi)某靜止物體的同一點(diǎn)上,為使該物體仍保持靜止,還需給該物體同一點(diǎn)上再加上一個(gè)力,（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)力的平衡條件下,合力為,即可依據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得【詳解】解:依據(jù)力的合成可知,因?yàn)槲矬w保持靜止即合力為,則,即故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了向量的運(yùn)算在物理中的簡(jiǎn)潔應(yīng)用,靜止?fàn)顟B(tài)的條件應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4.若，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式，求得，再利用倍角公式求得的值．【詳解】，，得，.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式，倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由于，，且，故此函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，解除；又當(dāng)時(shí)，滿意，即的圖象與直線的交點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，解除，故選B．【方法點(diǎn)晴】本題通過(guò)對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見(jiàn)的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查學(xué)問(wèn)點(diǎn)較多，但是并不是無(wú)路可循.解答這類題型可以從多方面入手，依據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以剛好函數(shù)圖象的改變趨勢(shì)，利用解除法，將不合題意的選項(xiàng)一一解除6.已知,,且,則的最小值為（）A.100 B.81 C.36 D.9【答案】C【解析】【分析】依據(jù),,且,利用基本不等式有,整理可得,驗(yàn)證取等的狀況即可.【詳解】解:已知,,且,所以,即,故.當(dāng)且僅當(dāng)是,即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用均值不等式求乘積的最小值,是基礎(chǔ)題.要留意“肯定、二正、三相等”.7.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則=A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先依據(jù)題意寫出直線的方程，再將直線的方程與拋物線y2＝2x的方程組成方程組，消去y得到關(guān)于x的二次方程，最終利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合拋物線的定義即可求線段AB的長(zhǎng)．【詳解】解：拋物線C：y2＝2x的焦點(diǎn)為F（，0），準(zhǔn)線為l：x＝﹣，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），M，N到準(zhǔn)線的距離分別為dM，dN，由拋物線的定義可知|MF|＝dM＝x1+，|NF|＝dN＝x2+，于是|MN|＝|MF|+|NF|＝x1+x2+1．∵，則，易知：直線MN的斜率為±，∵F（，0），∴直線PF的方程為y＝±（x﹣），將y＝±（x﹣），代入方程y2＝2x，得3（x﹣）2＝2x，化簡(jiǎn)得12x2﹣20x+3＝0，∴x1+x2，于是|MN|＝x1+x2+11故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義和性質(zhì)，考查向量學(xué)問(wèn)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．8.已知，，，記為，，中不同數(shù)字的個(gè)數(shù)，如：，，，則全部的的排列所得的的平均值為（）A. B.3 C. D.4【答案】A【解析】【分析】由題意得全部的的排列數(shù)為，再分別探討時(shí)的可能狀況則均值可求【詳解】由題意可知，全部的的排列數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有3種情形，即，，；當(dāng)時(shí)，有種；當(dāng)時(shí)，有種，那么全部27個(gè)的排列所得的的平均值為.故選A【點(diǎn)睛】本題考查排列組合學(xué)問(wèn)的應(yīng)用，考查分類探討思想，考查推理論證實(shí)力和應(yīng)用意識(shí)，是中檔題二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡(jiǎn)稱，旨在主動(dòng)發(fā)展我國(guó)與沿線國(guó)家經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系，共同打造政治互信、經(jīng)濟(jì)融合、文化包涵的命運(yùn)共同體.自2013年以來(lái)，“一帶一路”建設(shè)成果顯著下圖是2013-2025年，我國(guó)對(duì)“一帶一路”沿線國(guó)家進(jìn)出口狀況統(tǒng)計(jì)圖，下列描述正確的是（）.A.這五年，2013年出口額最少B.這五年，出口總額比進(jìn)口總額多C.這五年，出口增速前四年逐年下降D.這五年，2024年進(jìn)口增速最快【答案】ABD【解析】【分析】選項(xiàng)A:視察五個(gè)灰色的條形圖的凹凸即可推斷;選項(xiàng)B:視察五組條形圖,對(duì)比每組灰色條形圖與黑色條形圖的凹凸及凹凸懸殊程度即可推斷;選項(xiàng)C:從圖中知,紅色的折線圖是先上升后下降即可推斷;選項(xiàng)D:視察這五年所對(duì)的藍(lán)色折線圖的凹凸即可推斷.【詳解】解:選項(xiàng)A:視察五個(gè)灰色的條形圖,可得2013年所對(duì)的灰色條形圖高度最低,所以這五年,2013年出口額最少.故A正確;選項(xiàng)B:視察五組條形圖可得2013年出口額比進(jìn)口額稍低但2024年-2025年都是出口額高于進(jìn)口額并且2024年和2024年都是出口額明顯高于進(jìn)口額,故這五年,出口總額比進(jìn)口總額多.故B正確:選項(xiàng)C:從圖中可知,紅色的折線圖是先上升后下降即2013年到2024年出口增速是上升的.故C錯(cuò)誤;選項(xiàng)D:從圖中可知,藍(lán)色的折線圖2024年是最高的,即2024年進(jìn)口增速最快,故D正確.故選:ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)條形圖和折線圖的應(yīng)用:解題的關(guān)鍵是從條形圖看出口金額和進(jìn)口金額從折線圖看出口增速和進(jìn)口增速;屬于基礎(chǔ)題.10.關(guān)于函數(shù)下列結(jié)論正確的是（）A.圖像關(guān)于軸對(duì)稱 B.圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.在上單調(diào)遞增 D.恒大于0【答案】ACD【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性干脆求解.【詳解】解:函數(shù)定義域?yàn)?①因?yàn)?故函數(shù)為偶函數(shù),所以A正確;②由①知,函數(shù)為偶函數(shù),所以B不正確;③當(dāng)時(shí),,且在單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,且在單調(diào)遞減,而,故在單調(diào)遞調(diào)減,又由為偶函數(shù),故在上單調(diào)遞增,所以C正確;④由①知,,當(dāng),,,,故此時(shí).故D正確.故選:ACD【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和恒大于0,屬于函數(shù)基本性質(zhì)的綜合題,是中檔題。11.設(shè)函數(shù)（），已知在有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.在上存在，，滿意B.在有且僅有1個(gè)最小值點(diǎn)C.在單調(diào)遞增D.的取值范圍是【答案】AB【解析】【分析】由題意依據(jù)在區(qū)間有3個(gè)零點(diǎn)畫出大致圖象，可得區(qū)間長(zhǎng)度介于周期，，再用表示周期，得的范圍．【詳解】解：畫出函數(shù)大致圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)；又，所以時(shí)在軸右側(cè)第一個(gè)最大值區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)在，僅有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則的位置在之間（包括，不包括，令，則得，，軸右側(cè)第一個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，周期，所以，即，解得，所以錯(cuò)誤；在區(qū)間，上，函數(shù)達(dá)到最大值和最小值，所以存在，，滿意，所以正確；由大致圖象得，在內(nèi)有且只有1個(gè)最小值，正確；因?yàn)樽钚≈禐?，所以時(shí)，，，所以時(shí)，函數(shù)不單調(diào)遞增，所以錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖象及周期的計(jì)算問(wèn)題，由題意求出的范圍，再推斷命題的真假性，是解題的關(guān)鍵．12.已知正方體,過(guò)對(duì)角線作平面交棱于點(diǎn),交棱于點(diǎn),下列正確的是（）A.平面分正方體所得兩部分的體積相等；B.四邊形肯定是平行四邊形；C.平面與平面不行能垂直；D.四邊形的面積有最大值.【答案】ABD【解析】【分析】由正方體的對(duì)稱性可知,平面分正方體所得兩部分的體積相等;依題意可證,,故四邊形肯定是平行四邊形;當(dāng)為棱中點(diǎn)時(shí),平面,平面平面;當(dāng)與重合,當(dāng)與重合時(shí)的面積有最大值.【詳解】解:對(duì)于A：由正方體的對(duì)稱性可知,平面分正方體所得兩部分的體積相等,故A正確;對(duì)于B：因?yàn)槠矫?平面平面,平面平面,.同理可證：,故四邊形肯定是平行四邊形,故B正確;對(duì)于C：當(dāng)為棱中點(diǎn)時(shí),平面,又因?yàn)槠矫?所以平面平面,故C不正確;對(duì)于D：當(dāng)與重合,當(dāng)與重合時(shí)的面積有最大值,故D正確.故選:ABD【點(diǎn)睛】本題考查正方體的截面的性質(zhì),解題關(guān)鍵是由截面表示出相應(yīng)的量與相應(yīng)的關(guān)系,考查空間想象力.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知雙曲線過(guò)點(diǎn)且漸近線為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的漸近線方程可設(shè)雙曲線方程為,將點(diǎn)代入方程求出,即可得出雙曲線方程為.【詳解】解:依據(jù)題意,雙曲線的漸近線方程為,可化為:,則可設(shè)雙曲線方程為,將點(diǎn)代入,得,即,故雙曲線方程為:.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)考查運(yùn)算求解實(shí)力,考查數(shù)形結(jié)合思想屬于基礎(chǔ)題特殊要駕馭已知漸近線方程時(shí),如何設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.14.若綻開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和是,則__________;綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)的值是__________.【答案】(1).(2).135【解析】【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)和求出指數(shù),仔寫出綻開(kāi)式通項(xiàng)后可得常數(shù)項(xiàng).【詳解】解:因?yàn)榫`開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和是,則,解得,所以綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的值是.故答案為:(1).(2).135【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理,在綻開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)為,全部項(xiàng)的系數(shù)和為.其中二項(xiàng)式系數(shù)是固定的,只與指數(shù)有關(guān),而全部相系數(shù)還與二項(xiàng)式中的系數(shù)有關(guān).15.已知是定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，若在內(nèi)關(guān)于的方程（且）有且只有個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】推導(dǎo)出函數(shù)的周期和對(duì)稱軸，由題意可知函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)所滿意的不等式組，進(jìn)而可解出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由，得，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.又是定義在上的偶函數(shù)，所以，即，則是以4為周期的周期函數(shù).畫出函數(shù)與函數(shù)在上的圖象如圖所示.要使函數(shù)與的圖象有個(gè)不同的交點(diǎn)，則有，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，一般轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.16.在△ABC中，設(shè)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為，記△ABC的面積為S，且，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題中條件利用余弦定理進(jìn)行簡(jiǎn)化，然后化簡(jiǎn)為二次函數(shù)，求出二次函數(shù)的最值即可.【詳解】由題知，整理得，因?yàn)?，代入整理得，令，有，所以，所以的最大值?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用余弦定理解三角形，結(jié)合考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在①，，成等差數(shù)列.②，，成等差數(shù)列中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列的問(wèn)題中，并解答.在公比為2等比數(shù)列中，______（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若選①，依據(jù)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，建立等量關(guān)系，求得，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；若選②，依據(jù)，，成等差數(shù)列，建立等量關(guān)系，求得，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；（2）將代入，求得，，裂項(xiàng)之后求和得結(jié)果.【詳解】（1）選①：因，，成等差數(shù)列，所以，所以，解得，所以.選②：因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即，所以，解得，所以.（2）因?yàn)?，所以，所以，所?【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題，涉及到的學(xué)問(wèn)點(diǎn)有三數(shù)成等差數(shù)列的條件，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和，屬于中檔題目.18.在平面四邊形中，已知，，，.（1）求；（2）求周長(zhǎng)的最大值.【答案】（1）（2）15【解析】【分析】（1）設(shè),,則,利用正弦定理求出,在利用余弦定理,或,最終檢驗(yàn)即可得出結(jié)果.（2）設(shè),利用正弦定理有,從而得出和的表示方法,然后,即可得出周長(zhǎng)最大值.【詳解】解:（1）由條件即求的長(zhǎng),在中,設(shè),,則,∵,∴,∴整理得,解得或.當(dāng)時(shí)可得,與沖突,故舍去∴（2）在中,設(shè),則∴,∴∴周長(zhǎng)最大值為15.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理解三角形,考查三角形周長(zhǎng)的最大值,是中檔題.19.如圖①：在平行四邊形中,,,將沿對(duì)角線折起,使,連結(jié),得到如圖②所示三棱錐.（1）證明：平面；（2）若,二面角的平面角的正切值為,求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）證明,從而證明平面,進(jìn)而得出,即可證平面.最終證得平面.（2）若,二面角的平面角的正切值為,由（1）知平面,因?yàn)槠矫?所以,又,所以即為二面角平面角,得,從而求出,,建立空間直角坐標(biāo)系,求平面的法向量為,最終依據(jù)公式,即得直線與平面所成角大小.【詳解】（1）證明：在平行四邊形中,,則.在三棱錐中,因?yàn)?.所以平面,所以.又,所以平面.又平面,所以.因?yàn)?,所以平面.（2）解：由（1）知平面,因?yàn)槠矫?所以,又,所以即為二面角的平面角,即.因平面,平面.所以,故,又.所以.在平行四邊形,,,所以與為相像三角形,則,故（）,解得,故,解得,所以,.過(guò)點(diǎn)作,以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.則,,,.所以,,.設(shè)平面的法向量為,則令,得.設(shè)直線與平面所成角為,即直線與平面所成角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線面垂直判定性質(zhì)及二面角的解法,屬于中檔題.20.在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或者對(duì)機(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或起先呈現(xiàn)該疾病對(duì)應(yīng)的相關(guān)癥狀時(shí)止的這一階段稱為潛藏期.一探討團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息，得到如下表格：潛藏期（單位:天）人數(shù)（1）求這1000名患者的潛藏期的樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）該傳染病的潛藏期受諸多因素的影響，為探討潛藏期與患者年齡的關(guān)系，以潛藏期是否超過(guò)6天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表.請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并依據(jù)列聯(lián)表推斷是否有的把握認(rèn)為潛藏期與患者年齡有關(guān)；潛藏期天潛藏期天總計(jì)50歲以上（含50歲）50歲以下55總計(jì)200（3）以這1000名患者的潛藏期超過(guò)6天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛藏期超過(guò)6天發(fā)生的概率，每名患者的潛藏期是否超過(guò)6天相互獨(dú)立.為了深化探討，該探討團(tuán)隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了名患者，其中潛藏期超過(guò)6天的人數(shù)最有可能（即概率最大）是多少？附：，其中.【答案】（1）5.4天；（2）列聯(lián)表見(jiàn)解析，沒(méi)有的把握認(rèn)為潛藏期與年齡有關(guān)；（3）最有可能是8人.【解析】【分析】（1）依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算平均數(shù)即可；（2）依據(jù)題意補(bǔ)充完整列聯(lián)表，計(jì)算，比照臨界值得出結(jié)論；（3）依據(jù)題意知隨機(jī)變量，計(jì)算概率，列不等式組并結(jié)合題意求出的值．【詳解】解：（1）依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，計(jì)算平均數(shù)為：天.（2）依據(jù)題意，補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下：潛藏期天潛藏期天總計(jì)50歲以上（含50歲）653510050歲以下5545100總計(jì)12080200則，經(jīng)查表，得，所以沒(méi)有的把握認(rèn)為潛藏期與年齡有關(guān).（3）由題可知，該地區(qū)每1名患者潛藏期超過(guò)6天發(fā)生的概率為，設(shè)調(diào)查的20名患者中潛藏期超過(guò)6天的人數(shù)為，則，，，，，…，，由得，化簡(jiǎn)得，解得,又,所以,即