2022.2023學(xué)年遼寧省五校高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.若2=a+七(aeR)是純虛數(shù)，則a=(

C.-1

A.a>b>cB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

3.已知向量五，石滿(mǎn)足|五|=1，商|=1，五與石的夾角為會(huì)則五一3在石上的投影向量為()

4.在△力BC中，ABAC=120°,AD平分ZB4C,AD=3,貝|2AC+AB的最小值為()

A.6+3。B.6-3<7C.9+6CD.9-

5.正四棱錐S-ABC。的底面邊長(zhǎng)為2,高為2,E是邊BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在表面上運(yùn)動(dòng)，并

且總保持PE_L4C,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為()

A.V-6+y/~2B.V-6—y/~2C.4D.V-5+1

6.已知底面半徑為3的圓錐S。,其軸截面為正三角形，若它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為1,

則此圓柱的側(cè)面積為()

A.3TTB.2>/~3nC.4>/""W兀D.Qy/~3n

7.已知函數(shù)/(x)=cos(3%+爭(zhēng)(3>0)在［一兀,與上單調(diào)，且y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一亨,°)

對(duì)稱(chēng),則()

A./(x)的周期為兀

B.若IfOi)一/(%2)|=2,則一《2lmin=27r

C.將f(x)的圖象向右平移方個(gè)單位長(zhǎng)度后對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)

D.函數(shù)y=/(%)+亨在［0,加上有2個(gè)零點(diǎn)

8.如圖所示，在直三棱柱48c-中.44］=1,AB=BC=C，cos乙4BC=P是

上的一動(dòng)點(diǎn)，則AP+PG的最小值為()

A

Ci

A.V-5B.<7C.1+<3D,3

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.己知復(fù)數(shù)2=含，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.|z|=13B.z的虛部為-2

C.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限D(zhuǎn).z的共扼復(fù)數(shù)為-3-2i

10.在A(yíng)/IBC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,下列命題是真命題的是（）

A.若acosB=bcosA,則△ABC為等腰三角形

B.若8=也c=，2，b=l，則△ABC只有一解

45

C.若bcos4+(a-2c)cosB=0,則B=g

D.若4ABC為銳角三角形,則(a?+b2—c2)sinA>(a2+b2—c2)cosB

11.如圖，四棱錐P-4BCD的底面為正方形，PO1底面4BCD,

PD=4。=1,點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)，過(guò)A,D,E三點(diǎn)的平面a與

平面PBC的交線(xiàn)為1,則（）

A.直線(xiàn)I與平面24。有一個(gè)交點(diǎn)

B.PC1DEA

C.直線(xiàn)P4與1所成角的余弦值為?

D.平面a截四棱錐P-ABCC所得的上下兩個(gè)幾何體的體積之比為|

12.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-4出傳1。1中，E,F分別為SB,BC的中點(diǎn)，貝立）

A.異面直線(xiàn)DDi與B/所成角的正切值為g

B.點(diǎn)P為正方形為B1GD1內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)DP〃平面BiEF時(shí)，DP的最小值為千

C.過(guò)點(diǎn)D[,E,F的平面截正方體48。。-481的。1所得的截面周長(zhǎng)為「^+苧

D.當(dāng)三棱錐Bi-BEF的所有頂點(diǎn)都在球。的表面上時(shí)，球。的表面積為3兀

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知|五|=2,|另|=1，|五+3|=「，則|五一旬=.

14.在a/lBC中，力=等，。為BC邊上一點(diǎn)，且2BD=DC,則喘的最小值為_(kāi)___.

DAD

15.在中，D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，力E交BD于點(diǎn)M.若AB=4,AC=6,^BAC=*

則就?~MD=

16.某園區(qū)有一塊三角形空地△ABC（如圖），其中4B=

10^m，BC=40m.Z.ABC=^,現(xiàn)計(jì)劃在該空地上劃分三個(gè)

區(qū)域種植不同的花卉，若要求41PB=與，貝UCP的最小值為

______m.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

在△48C中，角4,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且滿(mǎn)足cs譏C一as譏力=（b-a）sinB.

⑴求C：

（2）若b=4,△ABC的面積為615，求邊長(zhǎng)c的值.

18.（本小題12.0分）

直三棱柱4BC-&B1G中，AB1BC,。為CQ的中點(diǎn)，BB\=CBC.

（1）求證：平面ABiC1平面4BD；

（2）若48=B0=求三棱錐Bi-ABD的體積.

AiCi

A

B

19.(本小題12.0分)

在長(zhǎng)方體4BCD-48傳也中，AD=DDX=1,AB=yj~l，E、F、G分別為AB、BC、叫的

中點(diǎn).

(1)求三棱錐4-GEF的體積;

(2)點(diǎn)P在矩形4BCD內(nèi)，若直線(xiàn)。止〃平面EFG,求線(xiàn)段￡＞「長(zhǎng)度的最小值.

20.(本小題12.0分)

在△4BC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,2a-c=2bcosC.

⑴求&

(2)若點(diǎn)。為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別在邊4B,47上，^EDF=b=c=2.設(shè)NBDE=a,

將△DEF的面積S表示為a的函數(shù)，并求S的取值范圍.

21.(本小題12.0分)

如圖，在三棱錐P—48C中，△?!也是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，且P4=PB=PC=6,PD1

平面ZBC,垂足為。，DE1平面PAB,垂足為E,連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.

(1)求二面角P-AB-C的余弦值;

(2)在平面PAC內(nèi)找一點(diǎn)凡使得EF_L平面PAC,說(shuō)明作法及理由，并求四面體PDEF的體積.

22.(本小題12.0分)

已知點(diǎn)0是銳角△ABC的外心，a,b,c分別為角4,B,C的對(duì)邊，a2=62+c2-bc,

(I)求角4

(11)若。=4,求△ABC面積的最大值；

(皿)若警瓦？+*南=無(wú)而，求X的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閦=a+七l—l=a+3(i—1m)(1.十IJ=a-；L+JLi是純虛數(shù),

所以a—；=0,得a=

故選：B.

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,然后根據(jù)實(shí)部為0可得.

本題主要考查純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：a=1cos6°—^sin6°=sin(30°-6°)=sin24°>

sin26°、sin26°._.

b,=--2-ta-n5l-30o=t.an26=——?>—：—=sin2b°o,

l-tanz13cos261

???sin240<sin25°<sin26°,

■■a<c<b.

故選：C.

由輔助角公式知。=sin24。，由二倍角公式知6=tan26。>sin26。，c=sin25。，再由正弦函數(shù)的

單調(diào)性，得解.

本題考查三角恒等變換的綜合應(yīng)用，熟練掌握二倍角公式、輔助角公式，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性

是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：,.?同=向=1,<為花>=也

(a-6)-K=a-b—K2='L-^--］，

.??行一石在石上的投影向量為：堡薩?/=4產(chǎn)反

故選：D.

根據(jù)條件可求出0-b)-3的值，然后即可根據(jù)投影向量的計(jì)算公式求出投影向量.

本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，投影向量的計(jì)算公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：如圖,

在△4BC中，AD=3,^BAD=60°,AB=c,則BD2=?2+9—2x3cXg=c2+9—3c,

在A(yíng)4CD中，AD=3,乙CAD=60°,AC=b,則CO2=川+9-2x3bxg=b2+9—3b,

???40平分NB4C,

.BD_AB_￡

"'CD~AC~b'

22

.BD_c__C2+9-3C

?,CD2—廬-b2+9-3b

：.c2(b2+9—3b)=h2(c2+9—3c),

9c2-3&c2=9b2-362c,

???3c2-be2=3b2-b2c,

:.3(c2—h2)—(be2—b2c)=0,

???3(c+b)(c—b)—bc(c—b)=0,

/.(c-b)[3(c+Z?)-bc]=0,

???c=b或3(b+c)=be,

當(dāng)c=b時(shí)，△ABC為等腰三角形，

:.2AC+AB=2b+c=18；

當(dāng)3(b+c)=bc時(shí),b+c=gbc,即：+(=：，

2AC+AB=2b+c=3(26+c)(；+}=3G+^+3)>3(2J+3)=9+6。，

當(dāng)且僅當(dāng)他=?即。=門(mén)6時(shí)，等號(hào)成立，

cb

V9+6。<18.2AC+4B的最小值為9+6VL

故選：c.

記AB=c,AC=b,在△ABD中，BD2=c2+9-3c,在△ACD中，由力。平

分乙BAC,得到c=b或3(b+c)=be,當(dāng)c=b時(shí)，求得24C+4B=18；當(dāng)3(b+c)=bc時(shí)，得

：+￡=：,再由24C+AB=3(2b+c)&+>，結(jié)合基本不等式求得結(jié)果.

本題主要考查三角形中幾何計(jì)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

5.【答案】A

【解析】解：如圖，

設(shè)AC,BD交于0,連接SO,由正四棱錐的性質(zhì)可得，S01平面4BCD,

因?yàn)锳Cu平面力BCD,故S。1AC.

又BDJ.4C,SOCBD=0,SO,BDu平面SBD,

故4cL平面SB。.

由題意，PEJ.4C則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為過(guò)E且垂直4C的平面與正四棱錐S—4BCD的交線(xiàn)，即如圖EFG,

則AC_L平面EFG.

由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得平面5BD〃平面EFG,又由面面平行的性質(zhì)可得EG〃SB,GF//SD,EFBD,

又E是邊BC的中點(diǎn)，

故EG,GF,EF分另I」為ASBC,ASOC,△BCD的中位線(xiàn).

由題意BD=2C,SB=SD=V22+2=故EG+EF+GF=(C+A+2>f7)=

A/-6+A/-2-

即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為，石+<2.

故選：A.

由題意，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為過(guò)E且垂直4C的平面與正四棱錐S-4BCD的交線(xiàn)，再根據(jù)線(xiàn)面垂直的性

質(zhì)求解即可.

本題主要考查軌跡方程的求解，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

6.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)圓錐的軸截面為ASAB,其內(nèi)接圓柱為0。

設(shè)。1。=h,

圓錐軸截面為正三角形，貝妖8=2。4=6,則有S0=3C，

則有3^=?"，解可得九=2，3，

則圓柱的面積S=2兀x2<3=4cm

故選：C.

根據(jù)題意，作出圓錐的軸截面三角形，設(shè)其內(nèi)接圓柱為。］0,再設(shè)。1。=八，分析可得親=芋,

解可得無(wú)的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案.

本題考查圓柱與圓錐的切接問(wèn)題，涉及圓柱的表面積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：?."(X)在［一兀,且上單調(diào)，

1

77r/、3TT

即TN3”,得名23兀，得

y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一90)對(duì)稱(chēng)，

\3+與=kit+］，kEZi

即3=-3k4~—,kEZ,

v0<CD<I，

?,當(dāng)k=0時(shí)，3=2,

即/(%)=cos(1x+引,

F2TT彳

則函數(shù)的最小正周期T=-r=4乃，故A錯(cuò)誤,

若If(Xi)-f(X2)l=2,則=1，/(%2)=-1>或/(xj=-1,/(x2)=1，

則X=X>％=》2是對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)軸，貝1」氏一Xzlmin=g=2兀，故8正確，

將/(x)的圖像向右平移方個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到y(tǒng)=cos[|(x-2)4-y]=cos(1x+^)=-sinjx,對(duì)

應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，故c錯(cuò)誤，

由函數(shù)y=/(%)+?=0得，/(X)=

當(dāng)xe[O,捫時(shí)，扛+笆,曾,

則當(dāng)緊+莖=與時(shí)，/?(%)=—?,

當(dāng)W+等=勺，/(x)=_?中一￥，即函數(shù)y=F(x)+孕在。捫上有1個(gè)零點(diǎn)，故。錯(cuò)誤.

4J。ZZZ

故選:B.

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱(chēng)性求出函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判

斷是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：連接BQ,得^AiBCi，以所在直線(xiàn)為軸，將△4BQ所

在平面旋轉(zhuǎn)到平面ABB遇1,

設(shè)點(diǎn)Ci的新位置為C',連接4C',則AC'即為AP+PC]的最小值,

由題意可知44i=1,AB=BC=<3,cos/.ABC=1,得4避=BC'=

A.yC=2,

^AArB=NB&C'=60°,

所以在△A&C'中，AC=l+4-2xlx2x(-1)=「，

故選：B.

將立體圖展開(kāi)成平面圖，設(shè)點(diǎn)Ci的新位置為C',連接ZC',即可得到4C'即為ZP+PCi的最小值,

解三角形即可.

本題考查距離最小值問(wèn)題，考查學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀(guān)想象能力，屬于中檔題.

9.【答案】BC

_5+i_(5+i)(l-i)_

【解析】解:=T+i=(l+i)(l-t)=

對(duì)于4，|z|=J32+(—2)2=故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,z的虛部為-2,故8正確；

對(duì)于C,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(3,-2)在第四象限，故C正確;

對(duì)于D,z的共扼復(fù)數(shù)為3+2i,故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，對(duì)z化簡(jiǎn)，即可依次求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)4：由acosB=bcosZ,由正弦定理可得sinAcosB=sinBcosA,

則sin(4-B)=0,

因?yàn)?<4B<n,則一兀<4-8<〃，

可得A-B=0,即A=B,所以△ABC為等腰三角形，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：若8=*,c=-/-2,b=|,則csinB=1<￡<c=，2,

所以△ABC有兩解，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：若bcosZ+(a—2c)cosB=0,

由正弦定理可得sinBcosA+(sinA-2sinC')cosB=0,

則sin(8+4)=2sinCcosB,即sinC=2sinCcosB,

因?yàn)锽,CG(0,7T),則sinC>0,

可得cosB=；,所以B=:故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)。：若△ABC為銳角三角形，貝臉<4+8<兀，可得

且46(0,今，尹86(0,今，則)/=5譏%在(04)上單調(diào)遞增，

所以sim4>sing—B)=cosB,

又因?yàn)?6(0,5,則cosA=。2+廬一>0,可得a2+b2-c2>0,

乙2ab

所以(a?+爐—c2)sinA>(a2+爐—c2>)cosB,故D正確.

故選：ACD.

對(duì)于4、C：根據(jù)題意結(jié)合正弦定理運(yùn)算分析即可；對(duì)于B：根據(jù)三角形解得個(gè)數(shù)的結(jié)論分析判斷;

對(duì)于根據(jù)題意結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性分析判斷.

本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

11.【答案】BD

【解析】解：取棱PC的中點(diǎn)F,連接EF,DF,如圖所示:

P

對(duì)于A(yíng)：「E是棱PB的中點(diǎn)，貝i]AC〃EF,即A,D,E,F四點(diǎn)共面，貝嘰為直線(xiàn)EF,

又ADu平面PAD,EFC平面P/W,

???EF〃平面H4D,即，〃平面PAD,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8：：P。1底面48c0,4。u平面ABC。，

PDLAD,

又PD=AD,則APDC為等腰直角三角形，

斜邊PC的中點(diǎn)為F,則PC1DF,

??,底面4BC。是正方形，二4D1C0,

又PDCCD=D,且PD,CDu平面PDC,

AD，平面PDC,

又PCu平面PDC,AD1PC,

又4CnDF=D,S.AD,CFu平面力DFE,

PCJ_平面ADFE,

又DEu平面力DFE,貝IJPC1DE,故B正確；

對(duì)于C：-：AD//EF,則直線(xiàn)PA與，所成的角，即P2與4D所成的角，

■：PDLAD,則cos/PAD=爺=殍，

即P4與/D所成的角的余弦值為小故C錯(cuò)誤；

=X

對(duì)于D:Vp-ABCD=,SABCD=^X1X1=1,Vp.AEFD='^AEFD

-4~-2=一1,

2----8

A^ABCDFE=^P-ABCD-^P-AEFD=§一京=五，

...y3=白=4故。正確.

ABCDFE24

故選：BD.

根據(jù)題意取PC中點(diǎn)F,連接EF,則EF為交線(xiàn)2,根據(jù)線(xiàn)面平行的基本定理可判斷4結(jié)和線(xiàn)面垂直

的判定及性質(zhì)可判斷B；結(jié)合異面直線(xiàn)所成角的定義可判斷C；結(jié)和棱錐的體積公式可判斷D.

本題考查直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系和棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能

力，屬于中檔題.

12.【答案】BC

【解析】解：對(duì)于4選項(xiàng)，???DDJ/BBi，

.?.在Rt△BB/中即為異面直線(xiàn)DO】與當(dāng)尸所成的角,

???異面直線(xiàn)DDi與aF所成的角的正切值為去故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，取的中點(diǎn)M,56的中點(diǎn)N,取4C的中點(diǎn)S,

連接MN,DM,DN,&S,SF,

vSF//AB//AXBX,SF=AB=ArBr,

&B/S為平行四邊形，.?.SAJ/B/,???&S//DM,MD//B/,

同理可得DN〃B】E,

又???DMC面&EF,B/u面BiEF,DNC面&EF,u面&EF,

DM〃面BiEF,DN〃面B]EF,

又?；DMCDN=D,DM,DNu面DMN,

二面DMN〃面當(dāng)E凡

又???DP〃面&EF,PC面4道傳也，

?11P軌跡為線(xiàn)段MN,

.?.在△DMN中，過(guò)。作DPIMN,此時(shí)DP取得最小值，

在RtADDiM中，DrM=pJO=1,DM=小，

/2

在Rt△/)1)/中，DN=DD=1,DN=-1

r2X2

在RtAMDiN中，DN=DM=MN=―，

r2X22

.??如圖，在RMDPN中，DP=JDN2一登丫=牛故B項(xiàng)正確;

對(duì)于C選項(xiàng)，延長(zhǎng)EF交D4的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)“，

連接。1“交CCi于點(diǎn)N,連接交4公于點(diǎn)M,

再連接ME、NF,則過(guò)點(diǎn)5，E,F的平面截正方體4BCC所得的截面圖形為五邊形

DiMEFN,

???平面〃平面BBiGC,截面&MEFN與平面441/。和平面BBiGC分別交于DiM與FN,

DrM//NF,同理可得￡(iN〃ME,

如圖以。為原點(diǎn)，分別以西、DC,西方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

則N(0,l,n),E(L^1O),F(右11,0)，。式0,0,1)，

???ME—(0,^,—m),DrN=(0,1,n—1)>DrM=(l,0,m—1)>NF—(1,0,—n)>

?:D、M“NF,DrN//ME,///VFKD^V//ME,

-m=1(n-1)m=

:,解得l

-n=-(m-1)n=3

???AM=&CN=點(diǎn)

22

???C]N=-?

.??在RMD14M中，。出=1,ArM=l，DrM=-.同理：DrN=—，

333

在RMMAE中，AM=l，4E=；,；.ME=邙，同理：FN=邙

5L66

在RtAEBF中，BE=BF=g,EF=—.

22

DjM+DTN+ME+FN+EF=2x子+2X廠(chǎng)+?=+等，

即過(guò)點(diǎn)hE、尸的平面截正方體ABCD-4所得的截面周長(zhǎng)為中+號(hào).故C正確;

對(duì)于。選項(xiàng)，如圖所示，取EF的中點(diǎn)00則。止=OiF=0避，過(guò)01作。。1〃8%，

且使得。。1==p則。為三棱錐為一BEF的外接球的球心，

所以0E為外接球的半徑，

??,在RtAEB尸中，EF=守

...R2=0E2=001+既>=9+存）2=3

5球=4nR2=學(xué)故。項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

根據(jù)可得NBBiF即為異面直線(xiàn)與當(dāng)尸所成的角，即可判斷力，作出截面，找到P的軌

跡，即可求出DP的最小值，從而判斷B,作出截面，再利用空間向量確定點(diǎn)的位置，從而求出線(xiàn)

段的長(zhǎng)度，即可得到截面周長(zhǎng)，從而判斷C,確定球心及半徑，即可求出外接球的表面積，從而

判斷。.

本題考查異面直線(xiàn)所成角的求解，距離的求解，三棱錐的外接球問(wèn)題，屬中檔題.

13.【答案】，7

【解析】

【分析】

本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，熟練掌握向量的求模公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量的求模公式求解即可.

【解答】

解：:INI=2,\b\=l，\a+b\=<3,

.1.a2+b+2a-6=3,?'-4+l+2a-b=3>?-2a-b=-2>

AIa-b|=J\a\4-\b\—2a-b=V4+1+2=yTl-

故答案為

14.【答案】?

【解析】解：由2B0=DC,

得而=南+網(wǎng)=荏+:函-而）=|通+/,

則亦2=（|荏+萍）2=酒+押2+阿宿

所以心=#+制2_法

則第=$M+"4"冷山鴻，

當(dāng)2=1時(shí)，取等號(hào),

C

所以端的最小值為?.

故答案為：￡3.

2

將近用而，而表示，再平方可求得4/）2,再由馬結(jié)合二次函數(shù)得性質(zhì)即可得解.

AB2

本題主要考查三角形中的幾何計(jì)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

15.【答案】一卷

【解析】解：如下圖所示:

因?yàn)樵凇鰽BC中，D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，4E交BD于點(diǎn)M,

則M為AABC的重心，所以，碇=：荏="（正+而）="（荏+；前）

=^（AB+^AC-^AB）=l（AB+AC）,

MD=^（AD-AB'）=l（^AC-AB）=l（AC-2AB）,

OOJ4O

因?yàn)?8=4,AC=6,/.BAC=p

由平面向量數(shù)量積的定義可得荏-AC=\AB\-\AC|cos^=6x4x1=12,

所以，~ME-1^ID=^（AC+AB'）-（AC-2AB）=^（JC2-AB-AC-2亦）

=^（62-12-2X42）=-1.

故答案為:-

分析可知M為△ABC的重心，利用而、而表示向量而、MD，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可

求得而?雨的值.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

16.【答案】10<^1-10

【解析】解：如圖，因?yàn)橐?PB=等，所以P在如圖所示的圓0上，圓。的半徑為3X當(dāng)學(xué)=10,

由圓周角的性質(zhì)可得乙4DB=兀一名=乙40B=gx2=",N0BA=/.OAB=\

連接。C,可得。P+CPNOC,

所以當(dāng)P為0C與圓的交點(diǎn)時(shí)，CP取最小值，即CP=OC-OP,

又OB=0P=10,

在A(yíng)OBC中,OB=10,BC=40,Z.OBC=y,

根據(jù)余弦定理可知。C=JIO?+402_2x10x40x（-1）=IO/^I，

所以CP的最小值為（ioV~^T-io）ni.

故答案為：ioI^T-io.

根據(jù)44PB=:可知點(diǎn)P的軌跡，再利用正弦定理以及圓周角和圓心角之間的關(guān)系，易知當(dāng)P為。C

與圓的交點(diǎn)時(shí)，CP取最小值，再利用余弦定理即可求得結(jié)果.

本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

17.【答案】解:(1)因?yàn)閏sinC—as譏4=(Z?—Q)sinB,

2

由正弦定理得c?—a=(b-a)h,即=小+/_Q6,即小+/_=。力，

由余弦定理得COSC=—C?=a=工，

2ab2ab2

因?yàn)閏e(o,"),所以c=*

(2)由已知，△ABC的面積為6/耳，

所以SAABC=；absinC=xax4x/=6v3，可得a=6,

-1__

c2=a2+b2-2abcosC=36+16-2x6x4x-=28,：.c=2yf~7-

【解析】(1)根據(jù)題意，由正弦定理，余弦定理可得角C；

(2)由三角形面積，列出方程求得a=6,結(jié)合余弦定理，可求c.

本題考查正余弦定理，考查面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】證明：(1)???48(：-4/1口為直三棱柱，MBdi，

XvABIBC,BCng=B,AB1平面BB",

???BiCu平面BBiQC,BrC1AB(T),

設(shè)BC=t,貝"Bi=tan/BBiC=?，

CD孕,tan/CBD=￡=卒，；.乙BB】C=MBD,

LLDCL

???NBB1C+4B1CB=90。，.?.”80+480=90。，故/ClBO②，

由①②，4Bu平面ABD,4Du平面ABD,且ABPIBD=B,知_L平面ABD,

又B[Cu平面/BiC,

平面4BiC_L平面ABD；

解：(2)由SC?+Ci>2=B02,得產(chǎn)+'=3，

解得t=7-2，

???△8當(dāng)0的面積SABBI。=3BBi,BC=V-2,

由(1)知AB1平面BBiGC,

.??三棱錐4一8%。的體積以一BB/=?ABBQSB=浮，

???三棱錐當(dāng)一4BD的體積=VA_BBiD=??

【解析】(1)先證4B1平面B&CiC,得到B1CJ.4B①，再借助三角形相似證明&C1BD②，最

后證出平面力BiCJL平面4BD；

(2)等體積法求/_BBM即可.

本題主要考查了面面垂直的判定，考查了等體積法求三棱錐的體積公式，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)〃_GEF=yG-AEF=jX^bAEF'。01

--X1=――；

224

(2)如圖，連結(jié)D4,AC,DC

-.E,F,G分另lj為AB,BC,GA的中點(diǎn)，

AC//EF,EF仁平面ACu平面ACO。

EF〃平面

???EG/ZADr，EGC平面4CZ)i，他u平面4曲，

EG〃平面4皿，

vEFdEG=E,二平面EFG〃平面4c0「

v21P〃平面EFG,

.?,點(diǎn)P在直線(xiàn)AC上，在A(yíng)ACDi中，AD1=V_2,AC=2,CDr=2,

SA血c=|x—xJ22一(?)2=

.?.當(dāng)DiPlAC時(shí)，線(xiàn)段QP的長(zhǎng)度最小，最小值為工=，.

|x22

【解析】(1)利用%_GEF=Vc-AEF'可求三棱錐A-GEF的體積：

(2)連結(jié)AC,DC推導(dǎo)出EF〃平面AC/,EG〃平面4C0「從而平面EFG〃平面4推

導(dǎo)出點(diǎn)P在直線(xiàn)4c上，在△4C0］中，AD、=C，AC=2,CDr=2,由此能求出當(dāng)I\P14C時(shí)，

線(xiàn)段DiP的長(zhǎng)度最小，并能求出最小值.

本題考查線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值的求法，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

20.【答案】解：（1）因?yàn)?a—c=2bcosC,所以2a—c=26一十二

2ab一。

22

即a?+c-b=ac,所以cosB=吆tQ=1,

2ac2

因?yàn)锽e（0,7T）,所以B=*

(2)由B=*及b=c=2,可知△4BC為等邊三角形,

又因?yàn)?EDF=$ABDE=a,所以

3oZ

在△血中，N8ED=9a,由正弦定理。、=嬴舐

在4CDF中3=a,由正弦定理DF=慕,所以$V><Xsin?=16sm（*：）sina

7r,/冗

小分

1

2

因?yàn)閟in號(hào)—2-sina）sina=sinacosa+|sina=—si712a—"cos2a+

1

4

=1sin(2a-J)+ie[i|],所以sw[?,看],所以s的取值范圍為4,胃].

【解析】(1)由余弦定理可得a?+c2-b2=ac,進(jìn)而可得以B=半

(2)在A(yíng)BDE中，由正弦定理=,、,在A(yíng)CDF中，由正弦定理。尸=/,可得S=

2stn(-y-a)2sina

，進(jìn)而可求s的取值范圍.

…16sin(占q--a)、si.na

本題考查正余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的面積，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題.

21.【答案】解：(1)?；PA=PB=PC,并且△ABC是等邊三角形，

三棱錐P-ABC是正三棱錐，D是AABC的中心，點(diǎn)G是4B邊的

中點(diǎn)；

由PD_L平面4BC,DE平面PAB,ABu平面P4B,可知MB1PD,

AB1DE,PDdDE=D,PDu平面PDG,DEu平面PDG,

所以4B_L平面POG,進(jìn)而得48_LPG,AB1DG,

所以NPGO就是二面角P-AB-C的平面角，

又△ABC是邊長(zhǎng)為6「的等邊三角形，且P4=PB=PC=6,PA2+PB2=AB2,

.?.△P4B是等腰直角三角形，同理△PAC,APBC都是等腰直角三角形;

???PG=^AB=