2015-2016學年九年級（下）期末數(shù)學試卷

一、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分）

1.在數(shù)1,0,-1,-2中，最小的數(shù)是（）

A.1B.0C.-1D.-2

2.下列運算正確的是（）

A.a3?a2=a5B.a6-ra2=a3C.（a3）2=a5D.（3a）3=3a3

3.已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是（）

A.x<2B.x>2C.x<2D.x>2

5.如圖，圓錐的母線長為2,底面圓的周長為3,則該圓錐的側(cè)面積為（）

6.下列事件為必然事件的是（）

A.如果a,b是實數(shù)，那么a?b=b?a

B.拋擲一枚均勻的硬幣，落地后正面朝上

C.汽車行駛到交通崗遇到綠色的信號燈

D.口袋中裝有3個紅球，從中隨機摸出一球，這個球是白球

7.正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖所示，點G在線段DK上，正

方形BEFG的邊長為4,則^DEK的面積為（）

A.10B.12C.14D.16

8.如圖，點A、B為直線y=x上的兩點，過A、B兩點分別作y軸的平行線交雙曲線y=1（x

X

>0）于點C、D兩點.若BD=2AC,則40c2-0D2的值為（）

二、填空題（共10小題，每小題3分，滿分30分）

9.一』的相反數(shù)是

2----------------

10.分解因式：x2y-y=.

11.據(jù)報載，2014年我國發(fā)展固定寬帶接入新用戶25000000戶，其中25000000用科學記

數(shù)法表示為.

12.一組數(shù)據(jù)3,9,4,9,5的眾數(shù)是.

13.等腰三角形的兩邊長分別是3和7,則其周長為.

14.一個四邊形四條邊順次為a,b,c,d且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,則這個四邊形

是.

15.已知直線丫=2乂與雙曲線y=1交于點A（X],yi）,B（X2，y2）,則-x1y2+3x2yi=.

x

16.已知點P為（6,8）,A為（1,4）,B為（3,2）.若過點P的直線y=kx+b與線段AB

有公共點，則b的取值范圍是.

17.網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1,△ABC每個頂點都在網(wǎng)格的交點處，則

18.如圖，在正方形ABCD中，4AEF的頂點E,F分別在BC、CD邊上，高AG與正方

形的邊長相等，連BD分別交AE、AF于點M、N,若EG=4,GF=6,BM=%、巧，則MN

的長為.

三、解答題（共10小題，滿分96分）

19.(1)計算:-)1-V2sin45°+(近-2)0

32

(2)解方程:

x-i-x+r

20.先化簡，再求值：(言+-)?(x2-1),其中*=遮—1

x+13

21.某高校學生會發(fā)現(xiàn)同學們就餐時剩余飯菜較多，浪費嚴重，于是準備在校內(nèi)倡導“光盤

行動”，讓同學們珍惜糧食，為了讓同學們理解這次活動的重要性，校學生會在某天午餐后,

隨機調(diào)查了部分同學這餐飯菜的剩余情況，并將結(jié)果統(tǒng)計后繪制成了如圖所示的不完整的統(tǒng)

(2)把條形統(tǒng)計圖補充完整；

(3)校學生會通過數(shù)據(jù)分析，估計這次被調(diào)查的所有學生一餐浪費的食物可以供200人用

一餐.據(jù)此估算，該校18000名學生一餐浪費的食物可供多少人食用一餐？

22.商店只有雪碧、可樂、果汁、奶汁四種飲料，每種飲料數(shù)量充足，某同學去該店購買飲

料，每種飲料被選中的可能性相同.

(1)若他去買一瓶飲料，則他買到奶汁的概率是;

(2)若他兩次去買飲料，每次買一瓶，且兩次所買飲料品種不同，請用樹狀圖或列表法求

出他恰好買到雪碧和奶汁的概率.

23.如圖，在△ABC中，以AB為直徑的0O交AC于點D,過點D作DE_LBC于點E,

且NBDE=NA.

(1)判斷DE與。。的位置關(guān)系并說明理由；

(2)若AC=16,tanA=衛(wèi)，求。O的半徑.

4

C

24.如圖，一次函數(shù)丫=1?+1)的圖象與反比例函數(shù)yJ(x>0)的圖象交于點P(n,2),與

X

X軸交于點A(-4,0),與y軸交于點C,PB，x軸于點B,且AC=BC.

（1）求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式；

（2）反比例函數(shù)圖象上是否存在點D,使四邊形BCPD為菱形？如果存在，求出點D的坐

標；如果不存在，說明理由.

25.如圖所示，小明家小區(qū)空地上有兩棵筆直的樹CD、EF.一天，他在A處測得樹頂D

的仰角NDAC=30。，在B處測得樹頂F的仰角ZFBE=45。，線段BF恰好經(jīng)過樹頂D.已知

A、B兩處的距離為2米，兩棵樹之間的距離CE=3米，A、B、C、E四點在一條直線上，

求樹EF的高度.（、巧=1.7,料=1.4,結(jié)果保留一位小數(shù)）

26.小明開了一家網(wǎng)店，進行社會實踐，計劃經(jīng)銷甲、乙兩種商品.若甲商品每件利潤10

元，乙商品每件利潤20元，則每周能賣出甲商品40件，乙商品20件.經(jīng)調(diào)查，甲、乙兩

種商品零售單價分別每降價1元，這兩種商品每周可各多銷售10件.為了提高銷售量，小

明決定把甲、乙兩種商品的零售單價都降價x元.

（1）直接寫出甲、乙兩種商品每周的銷售量y（件）與降價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式：y

甲二，y乙=；

（2）求出小明每周銷售甲、乙兩種商品獲得的總利潤W（元）與降價x（元）之間的函數(shù)

關(guān)系式？如果每周甲商品的銷售量不低于乙商品的銷售量的,，那么當x定為多少元時，才

能使小明每周銷售甲、乙兩種商品獲得的總利潤最大？

27.問題背景

兩角和（差）的正切公式是數(shù)學公式中的重要公式：即：tan（a+p）=含翳誓了tan

（a-p）=：一@二「嘎面、p的取值應使公式有意義）

1+tanCttanp

（1）直接運用：tan75°=tan（30°+45°）=；tanl50=tan（45°-30°）=

（2）靈活運用:已知tana,tan。是方程2x?-己知=0的根,求tan（a+P）的值.

（3）拓展運用

①如圖1,三個相同的正方形相接，求證：a+B=45。.

②如圖2,兩座建筑物AB、CD的高度分別是9m和15m,從建筑物AB的頂部A看建筑

物CD的張角/CAD=45。，求建筑物AB和CD的底部之間的距離BD.

28.在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(-3,0),B(1,0),C(0,

3)三點.

(1)求拋物線的解析式.

(2)在拋物線上是否存在點P,使tanzPBA=1?若存在，求點P坐標及△PAB的面積.

(3)將^COB沿x軸負方向平移1.5個單位至4FGH處，求4FGH與^AOC的重疊面積.

(4)若點D、E分別是拋物線的對稱軸1上的兩動點，且縱坐標分別為n,n+6,求CE+DB

的最小值及此時D、E的坐標.

2015-2016學年九年級（下）期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分）

1.在數(shù)1,0,-1,-2中，最小的數(shù)是（）

A.1B.0C.-1D.-2

【考點】有理數(shù)大小比較.

【分析】根據(jù)正數(shù)大于0,0大于負數(shù)，可得答案.

【解答】解：-2<-

故選：D.

2.下列運算正確的是（）

A.a3?a2=a5B.a6-i-a2=a3C.（a3）2=a5D.（3a）3=3a3

【考點】同底數(shù)基的除法；同底數(shù)累的乘法；累的乘方與積的乘方.

【分析】分別根據(jù)同底數(shù)基的除法，熟知同底數(shù)基的除法及乘方法則、合并同類項的法則、

幕的乘方與積的乘方法則對各選項進行計算即可.

【解答】解：A、原式=a2+3=a5,故本選項正確；

B、原式=a6-2=a3故本選項錯誤；

C、原式=a6,故本選項錯誤；

D、原式=27a3,故本選項錯誤.

故選：A.

3.已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是（）

A.圓柱B.圓錐C.球D.棱柱

【考點】由三視圖判斷幾何體.

【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看所得到的圖形，從而得

出答案.

【解答】解：俯視圖為圓的幾何體為球，圓錐，圓柱，再根據(jù)其他視圖，可知此幾何體為圓

柱.

故選：A.

4.若式子JR在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

A.x<2B.x>2C.x<2D.x>2

【考點】二次根式有意義的條件.

【分析】根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，即可求解.

【解答】解：根據(jù)題意得：X-2>0,解得：X22.

故選：D.

5.如圖，圓錐的母線長為2,底面圓的周長為3,則該圓錐的側(cè)面積為（）

【考點】圓錐的計算.

【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半

徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式求解.

【解答】解：根據(jù)題意得該圓錐的側(cè)面積==x2x3=3.

故選：B.

6.下列事件為必然事件的是（）

A.如果a,b是實數(shù)，那么a?b=b?a

B.拋擲一枚均勻的硬幣，落地后正面朝上

C.汽車行駛到交通崗遇到綠色的信號燈

D.口袋中裝有3個紅球，從中隨機摸出一球，這個球是白球

【考點】隨機事件.

【分析】分別利用隨機事件和必然事件以及不可能事件的定義分析得出即可.

【解答】解：A、如果a,b是實數(shù)，那么a?b=b?a,是必然事件，符合題意；

B、拋擲一枚均勻的硬幣，落地后正面朝上，是隨機事件，不合題意；

C、汽車行駛到交通崗遇到綠色的信號燈，是隨機事件，不合題意；

D、口袋中裝有3個紅球，從中隨機摸出一球，這個球是白球，是不可能事件，不合題意.

故選：A.

7.正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖所示，點G在線段DK上，正

方形BEFG的邊長為4,則△DEK的面積為（）

A.10B.12C.14D.16

【考點】正方形的性質(zhì)；三角形的面積.

【分析】連DB,GE,FK,則DBIIGEIIFK,再根據(jù)正方形BEFG的邊長為4,可求出

SADGE=SAGEB'SAGKE=SAGFE，再由S叩影=S正方形GBEF即可求出答案.

【解答】解：如圖，連DB,GE,FK,則DBIIGEIIFK,

在梯形GDBE中，SADGE=SAGEB（同底等高的兩三角形面積相等），

同理SAGKE=SAGFE.

S陰影=SADGE+SAGKE，

=SAGEB+SAGEF?

=S正方形GBEF，

=4x4

=16

故選：D.

8.如圖，點A、B為直線y=x上的兩點，過A、B兩點分別作y軸的平行線交雙曲線行」（x

x

>0）于點C、D兩點.若BD=2AC,則40c2-0D2的值為（）

A.5B.6C.7D.8

【考點】反比例函數(shù)綜合題.

【分析】延長AC交x軸于E,延長BD交x軸于F.設(shè)A、B的橫坐標分別是a,b,點A、

B為直線y=x上的兩點，A的坐標是（a,a）,B的坐標是（b,b）.則AE=OE=a,BF=OF=b.根

據(jù)BD=2AC即可得到a,b的關(guān)系，然后利用勾股定理，即可用a,b表示出所求的式子從

而求解.

【解答】解：延長AC交x軸于E,延長BD交x軸于F.

設(shè)A、B的橫坐標分別是a,b,

,??點A、B為直線y=x上的兩點，

二A的坐標是（a,a）,B的坐標是（b,b）.則AE=OE=a,BF=OF=b.

；C、D兩點在交雙曲線(x>0)上，則CE=1，DF=1

xab

BD=BF-DF=b-AC=a-

ba

又??,BD=2AC

b——=2(a—

ba

兩邊平方得：b2+-^-2=4(a2+-^-2),KPb2+-^=4(a2+^)-6.

baba

在直角AOCE中，OC2=OE2+CE2=22+總，同理OD2=b2+得，

ab

4OC2-0D2=4(a2+^)-(b2+^)=6.

ab

二、填空題(共10小題，每小題3分，滿分30分)

9.的相反數(shù)是:

22~

【考點】相反數(shù).

【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，可得一個數(shù)的相反數(shù).

【解答】解：的相反數(shù)是

22

故答案為：悔.

10.分解因式：x2y-y=y(x+1)(x-1).

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.

【分析】觀察原式x2y-y,找到公因式y(tǒng)后，提出公因式后發(fā)現(xiàn)x2-1符合平方差公式，利

用平方差公式繼續(xù)分解可得.

【解答】解：x2y-y,

=y(x2-1),

=y(x+1)(x-1),

故答案為：y(x+1)(x-1).

11.據(jù)報載，2014年我國發(fā)展固定寬帶接入新用戶25000000戶，其中25000000用科學記

數(shù)法表示為2.5x107.

【考點】科學記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中is|a|V10,n為整數(shù).確定n的值時,

要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)

絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù).

【解答】解：將25000000用科學記數(shù)法表示為2.5x107.

故答案為:2.5x107.

12.一組數(shù)據(jù)3,9,4,9,5的眾數(shù)是9.

【考點】眾數(shù).

【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)即可得出答案.

【解答】解：這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)為：9.

故眾數(shù)為9.

故答案為：9.

13.等腰三角形的兩邊長分別是3和7,則其周長為17.

【考點】等腰三角形的性質(zhì).

【分析】因為邊為3和7,沒明確是底邊還是腰，所以有兩種情況，需要分類討論.

【解答】解：分兩種情況：

當3為底時，其它兩邊都為7,3、7、7可以構(gòu)成三角形，周長為17；

當3為腰時，其它兩邊為3和7,3+3=6<7,所以不能構(gòu)成三角形，故舍去，

所以等腰三角形的周長為17.

故答案為：17.

14.一個四邊形四條邊順次為a,b,c,d且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,則這個四邊形是平行

四邊形.

【考點】配方法的應用；平行四邊形的判定.

【分析】等號右邊有2ac和2bd,可移到等號的左邊，作為完全平方式的第二項，把等號左

邊整理為兩個完全平方式相加等于。的形式，讓底數(shù)為?？傻盟倪呅芜呴L的關(guān)系，進而可得

四邊形的形狀.

【解答】解：a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,

(a2-2ac+c2)+(b2-2bd+d2)=0,

(a-c)2+(b-d)2=0,

a-c=0,b-d=0,

a=c,b=d.

四邊形是平行四邊形，

故答案為平行四邊形.

15.已知直線y=ax與雙曲線y」交于點A(X],yp,B(X2>y2).M-XIV?+3X?VI--2.

x

【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

【分析】首先解兩個解析式組成的方程組求得xi、X2以及對應的yi和y2的值，然后代入求

解即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：ax=L

X

即ax2=l,貝Ux2=』，

a

則xi=(-，則yi=,\/a；

X2=-十，則y2=-

則-xiy2+3x2yi=--4=x(-4)+3x(--4=)4=1-3=-2.

VaVa

故答案為-2.

16.已知點P為(6,8),A為(1,4),B為(3,2).若過點P的直線y=kx+b與線段AB

有公共點，則b的取值范圍是-4443.2.

【考點】兩條直線相交或平行問題.

【分析】分別求出直線PA與PB的解析式，即可得到b的取值范圍.

【解答】解：設(shè)直線PA的解析式為y=kx+b,

6k+b=8

則,解得

k+b=4

所以直線PA的解析式為y=[x+3.2；

5

設(shè)直線PB的解析式為y=mx+n,

則[6*8,解得產(chǎn)2

13m+n=2(n=-4

所以直線PB的解析式為y=2x-4；

1??過點P的直線y=kx+b與線段AB有公共點,

b的取值范圍是-4vbv3.2.

故答案為-4443.2.

17.網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1,△ABC每個頂點都在網(wǎng)格的交點處，則sinA=_

3

5-,

【考點】銳角三角函數(shù)的定義；三角形的面積；勾股定理.

【分析】根據(jù)各邊長得知△ABC為等腰三角形，作出BC、AB邊的高AD及CE,根據(jù)面積

相等求出CE,根據(jù)正弦是角的對邊比斜邊，可得答案.

【解答】解：如圖，作AD_LBC于D,CEJ_AB于E,

由勾股定理得AB=AC=2代，BC=2&,AD=3^,

可以得知^ABC是等腰三角形，

由面積相等可得，-BC?AD=-AB?CE,

22

即

s"誓_3

AC領(lǐng)

18.如圖，在正方形ABCD中，AAEF的頂點E,F分別在BC、CD邊上，高AG與正方

形的邊長相等，連BD分別交AE、AF于點M、N,若EG=4,GF=6,BM=3^，則MN

的長為一只?_.

【考點】正方形的性質(zhì)；勾股定理.

【分析】連接GM,GN,由AG=AB=AD,利用"HL"證明△AGE空△ABE,△AGF空△ADF,

從而有BE=EG=4,DF=FG=6,設(shè)正方形的邊長為a,在RsCEF中，利用勾股定理求a的

值，再利用勾股定理求正方形對角線BD的長，再證明△ABM合△AGM,△ADNS△AGN,

得出MG=BM,NG=ND,ZMGN=ZMGA+ZNGA=ZMBA+ZNDA=90°,在RtAGMN中,

利用勾股定理求MN的值.

【解答】解：如圖，連接GM,GN,

AG=AB,AE=AE,AAGES△ABE,

同理可證4AGF2△ADF,

.IBE=EG=4,DF=FG=6,

設(shè)正方形的邊長為a,在R3CEF中，CE=a-4,CF=a-6,

由勾股定理,得CE2+CF2=EF2,即(a-4)2+(a-6)2=102,

解得a=12或-2(舍去負值)，

BD=12^,

易證△ABMS△AGM,AADN空△AGN,

MG=BM=30,NG=ND=12A/2-3M-MN=%/^-MN,

ZMGN=ZMGA+ZNGA=ZMBA+ZNDA=90。，

在RtAGMN中，由勾股定理，得MG2+NG2=MN2,

即(3揚2+(972-MN)2=MN2,

解得MN=5V2.

故答案為：5y.

三、解答題(共10小題，滿分96分)

19.（1）計算：?+（-,）-&sin45°+（加-2）°

3二2

(2)解方程:

x-i-x+r

【考點】實數(shù)的運算；零指數(shù)累；負整數(shù)指數(shù)基；解分式方程；特殊角的三角函數(shù)值.

【分析】(1)原式第一項利用算術(shù)平方根定義計算，第二項利用負整數(shù)指數(shù)基法則計算，第

三項利用特殊角的三角函數(shù)值計算，最后一項利用零指數(shù)幕法則計算即可得到結(jié)果；

(2)分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分

式方程的解.

【解答】解：⑴原式=3-2-揚率1=3-2-1+1=1；

(2)去分母得:3x+3=2x-2,

解得：x=-5,

經(jīng)檢驗x=-5是分式方程的解.

20.先化簡，再求值：+')?(x2-1),其中x=1二1

x-1x+13

【考點】分式的化簡求值.

【分析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把x的值代入進行計算即可.

【解答】解：原式=2+產(chǎn)：-?一.(x2-1)

(x+1)(X-1)

=2x+2+x-1

=3x+l,

當x=—_^時，原式二麻.

3

21.某高校學生會發(fā)現(xiàn)同學們就餐時剩余飯菜較多，浪費嚴重，于是準備在校內(nèi)倡導“光盤

行動"，讓同學們珍惜糧食，為了讓同學們理解這次活動的重要性，校學生會在某天午餐后，

隨機調(diào)查了部分同學這餐飯菜的剩余情況，并將結(jié)果統(tǒng)計后繪制成了如圖所示的不完整的統(tǒng)

計圖.

…個.

450-

400

350

300

250

200

150

100

50

0

(2)把條形統(tǒng)計圖補充完整;

（3）校學生會通過數(shù)據(jù)分析，估計這次被調(diào)查的所有學生一餐浪費的食物可以供200人用

一餐.據(jù)此估算，該校18000名學生一餐浪費的食物可供多少人食用一餐？

【考點】條形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖.

【分析】（1）用沒有剩的人數(shù)除以其所占的百分比即可；

（2）用抽查的總?cè)藬?shù)減去其他三類的人數(shù)，再畫出圖形即可；

（3）根據(jù)這次被調(diào)查的所有學生一餐浪費的食物可以供200人用一餐，再根據(jù)全校的總?cè)?/p>

數(shù)是18000人，列式計算即可.

【解答】解：（1）這次被調(diào)查的同學共有400+40%=1000（名）；

故答案為：1000;

（2）剩少量的人數(shù)是；1000-400-250-150=200,

補圖如下；

答：該校18000名學生一餐浪費的食物可供3600人食用一餐.

22.商店只有雪碧、可樂、果汁、奶汁四種飲料，每種飲料數(shù)量充足，某同學去該店購買飲

料，每種飲料被選中的可能性相同.

（1）若他去買一瓶飲料，則他買到奶汁的概率是4；

-4-

（2）若他兩次去買飲料?，每次買一瓶，且兩次所買飲料品種不同，請用樹狀圖或列表法求

出他恰好買到雪碧和奶汁的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【分析】（1）由商店只有雪碧、可樂、果汁、奶汁四種飲料，每種飲料數(shù)量充足，某同學去

該店購買飲料，每種飲料被選中的可能性相同，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與他恰好買到雪碧和

奶汁的情況，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：（1）.??商店只有雪碧、可樂、果汁、奶汁四種飲料，每種飲料數(shù)量充足，某同

學去該店購買飲料，每種飲料被選中的可能性相同，

二他去買一瓶飲料，則他買到奶汁的概率是：~

4

故答案為：士；

4

(2)畫樹狀圖得:

開始

奶汁

雪碧可樂果汁

ZN/T\/N

可果奶雪果奶雪可奶雪可果

樂汁汁碧汁汁碧樂汁碧樂汁

共有12種等可能的結(jié)果，他恰好買到雪碧和奶汁的有2種情況,

，他恰好買到雪碧和奶汁的概率為：W4-

126

23.如圖，在△ABC中，以AB為直徑的00交AC于點D,過點D作DELBC于點E,

且NBDE=ZA.

(1)判斷DE與的位置關(guān)系并說明理由；

(2)若AC=16,tanA=±求。。的半徑.

4

【考點】切線的判定.

【分析】(1)連接DO,BD,如圖，由于NBDE=NA,ZA=ZADO,則NADO=NEDB,

再根據(jù)圓周角定理得NADB=90。，所以NADO+NODB=90。，于是得到NODB+NEDB=90。,

然后根據(jù)切線的判定定理可判斷DE為。O的切線；

(2)利用等角的余角相等得NABDNEBD,加上BD_LAC,根據(jù)等腰三角形的判定方法

得△ABC為等腰三角形，所以AD=CD=±AC=8,然后在RtAABD中利用正切定義可計算

2

出BD=6,再根據(jù)勾股定理計算出AB,從而得到OO的半徑.

【解答】解：(1)DE與相切.理由如下：

連接DO,BD,如圖，

*.*ZBDE=ZA,ZA=ZADO,

ZADO=ZEDB,

?「AB為。O的直徑，

ZADB=90°,

ZADO+ZODB=90°,

???ZODB+ZEDB=90°,即NODE=90°,

OD±DE,

ADE為OO的切線；

(2)ZBDE=ZA,

ZABD=ZEBD,

而BD±AC,

AABC為等腰三角形,

AD=CD=1AC=8,

2

在RtAABD中，tanA=—

AC4

BD=±x8=6,

4

AB=V82+62=l0,

。。的半徑為5.

24.如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=W(x>0)的圖象交于點P(n,2),與

x

x軸交于點A(-4,0),與y軸交于點C,PBJ_x軸于點B,且AC=BC.

(1)求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式；

(2)反比例函數(shù)圖象上是否存在點D,使四邊形BCPD為菱形？如果存在，求出點D的坐

標；如果不存在，說明理由.

【考點】反比例函數(shù)綜合題.

【分析】(1)由AC=BC,且OC_LAB,利用三線合一得到O為AB中點，求出OB的長，

確定出B坐標，從而得到P點坐標，將P與A坐標代入一次函數(shù)解析式求出k與b的值，

確定出一次函數(shù)解析式，將P坐標代入反比例解析式求出m的值，即可確定出反比例解析

式；

(2)假設(shè)存在這樣的D點，使四邊形BCPD為菱形，根據(jù)菱形的特點得出D點的坐標.

【解答】解：(1)；AC=BC,CO±AB,A(-4,0),

??.0為AB的中點，即OA=OB=4,

P(4,2),B(4,0),

f-4k+b=0

將A(-4,0)與P(4,2)代入y=kx+b得：<,

4k+b=2

解得：k=—,b=l,

4

一次函數(shù)解析式為y=fx+l，

將P（4,2）代入反比例解析式得：m=8,即反比例解析式為y=4

X

（2）假設(shè)存在這樣的D點，使四邊形BCPD為菱形，如圖所示，連接DC與PB交于E,

四邊形BCPD為菱形，

CE=DE=4,

CD=8,

將x=8代入反比例函數(shù)y=2得y=i,

X

??.D點的坐標為（8,1）

二則反比例函數(shù)圖象上存在點D,使四邊形BCPD為菱形，此時D坐標為（8,1）.

25.如圖所示，小明家小區(qū)空地上有兩棵筆直的樹CD、EF.一天，他在A處測得樹頂D

的仰角NDAC=30。，在B處測得樹頂F的仰角NFBE=45。，線段BF恰好經(jīng)過樹頂D.已知

A、B兩處的距離為2米，兩棵樹之間的距離CE=3米，A、B、C、E四點在一條直線上，

,結(jié)果保留一位小數(shù)）

【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【分析】設(shè)CD=xm,先在R3BCD中，由于NDBC=45。，則根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得

BC=CD=x,再在RtADAC中，利用正切定義得至ijx+2=?x,解得*=市+1,即BC=CD=V3

+1，然后在RtAFBE中根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得FE=BE=BC+CE=5.7.

【解答】解：設(shè)CD=xm,

在RtABCD中，,；ZDBC=45。,

BC=CD=x,

在Rt△DAC中，???NDAC=30°,

CD

tanZDAC=——，

AC_

x+2=?x，解得x=T+l,

BC=CD=A/^+1,

在RtAFBE中，???ZDBC=45°,

FE=BE=BC+CE=75^1+3=5.7.

答：樹EF的高度約為5.7m.

26.小明開了一家網(wǎng)店，進行社會實踐，計劃經(jīng)銷甲、乙兩種商品.若甲商品每件利潤10

元，乙商品每件利潤20元，則每周能賣出甲商品40件，乙商品20件.經(jīng)調(diào)查，甲、乙兩

種商品零售單價分別每降價1元，這兩種商品每周可各多銷售10件.為了提高銷售量，小

明決定把甲、乙兩種商品的零售單價都降價x元.

（1）直接寫出甲、乙兩種商品每周的銷售量y（件）與降價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式：y

w=1Ox+40,yz=10x+20；

（2）求出小明每周銷售甲、乙兩種商品獲得的總利潤W（元）與降價x（元）之間的函數(shù)

關(guān)系式？如果每周甲商品的銷售量不低于乙商品的銷售量的,，那么當x定為多少元時，才

能使小明每周銷售甲、乙兩種商品獲得的總利潤最大？

【考點】二次函數(shù)的應用.

【分析】（1）根據(jù)題意可以列出甲、乙兩種商品每周的銷售量y（件）與降價x（元）之間

的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)每周甲商品的銷售量不低于乙商品的銷售量的微，列出不等式求出x的取值范圍,

根據(jù)題意列出二次函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出對稱軸方程，得到答案.

【解答】解：（1）由題意得，y甲=10x+40；

y^=10x4-20；

（2）由題意得，

W=（10-x）（lOx+40）+（20-x）（10x+20）

=-20X2+240X+800,

由題意得，10x+402衛(wèi)（Wx+20）

2

解得x<2,

W=-20X2+240X+800

=-20（x-6）2+1520,

a=-20<0,

.?.當xV6時，W隨x增大而增大，

.?.當x=2時，W的值最大.

答：當x定為2元時，才能使小明每周銷售甲、乙兩種商品獲得的總利潤最大.

27.問題背景

兩角和（差）的正切公式是數(shù)學公式中的重要公式：即：tan（a+p）=言翳誓^

tan

tanCt-tanb

(a-P)=■（a、B的取值應使公式有意義）

1+tandtanB

(1)直接運用：tan75°=tan(30°+45°)=2+遂；tanl50=tan(45°-30°)=2-\巧

(2)靈活運用：已知tana,tan。是方程2x2-3x+l=0的根，求tan(a+P)的值.

(3)拓展運用

①如圖1,三個相同的正方形相接，求證：a+0=45。.

②如圖2,兩座建筑物AB、CD的高度分別是9m和15m,從建筑物AB的頂部A看建筑

物CD的張角NCAD=45。，求建筑物AB和CD的底部之間的距離BD.

圖1

【考點】解直角三角形的應用.

【分析】⑴利用=言翳器/c、tana-tanB日n-r

tan(a-p)=------------計算即可;

1+tanCLtanp

(2)由根與系數(shù)的關(guān)系得出tana+tanp=-1,tana*tanP=-i,再代入tan(a+0)=］了;二，

計算即可求解;

(3)①利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，根據(jù)正切函數(shù)的定義得出tana=g,tanB=*,然后求出tan(a+P)

tana+tanB

=1,即可證明a+B=45。；

1-tanatanp

②過A作AE±CD于E,則ABDE是矩形，DE=AB=9,CE=6.設(shè)BD=AE=xm,ZCAE=a,

NDAE邛，根據(jù)正切函數(shù)的定義得出tana二士里;9tanP=——.由tan(a+P)=tan45°=l,

AExAEx

罕

得出方程=1,解方程即可.

1-1J

XX

丁+1次M++33

【解答】(1)解：tan75°=tan(30°+45°)=-----?=---=_rjF==2+^/5；

1一號XI3-遮

3

1o3-r-

tanl5°=tan(45°-30°)=------T==-----------

1+1X*3+我

J

故答案為2+^/3；2-

(2)解：0/tana,tanp是方程2x2-3x+I=0的根,

31

tana+tanp=~,tana*tanp=-,

3

..,.tand+tanB2二

?tan(a+P)=1_tanatanr_3：

1-2

(3)①證明：tana=￡,tanP=X

里王

tana+tanB

tan(a+p)23=6=1

1-tanCltanp

236

a+P=45"；

②解：如圖，過A作AEJLCD于E,則ABDE是矩形，DE=AB=9,CE=CD-DE=15-9=6.

設(shè)BD=AE=xm,ZCAE=a,ZDAE=B,a+B=ZCAD=45°.

6

-

a-C-E

在CAE中,X

AE

9

BDE一-

在RtADAE中,-

AEX

/tan(a+p)=tan450=l,

u

XX

整理得x2-15x-54=0,

解得xi=18,X2=-3(不合題意舍去)，

經(jīng)檢驗，x=18是原方程的根，也符合題意.

答:建筑物AB和CD的底部之間的距離BD為18m.

28.在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(-3,0),B(1,0),C(0,

3)三點.

(1)求拋物線的解析式.

(2)在拋物線上是否存在點P,使tan/PBA=t?若存在，求點P坐標及△PAB的面積.

(3)將4COB沿x軸負方向平移1.5個單位至^FGH處，求小FGH與小AOC的重疊面積.

(4)若點D、E分別是拋物線的對稱軸1上的兩動點，且縱坐標分別為n,n+6,求CE+DB

的最小值及此時D、E的坐標.

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【分析】(1)設(shè)交點式y(tǒng)=a(x+3)(x-1),然后把C點坐標代入求出a即可得到拋物線解

析式；

(2)作PHJ_x軸于H,如圖1,設(shè)P(t,-t2-2t+3),分類討論：利用tanNPBA=艮=」得

BH3

至U-」2一.2t+3=1,或二_(-《-Zt+S)烏然后分別解方程求出t得到P點坐標，

再利用三角形面積公式計算對應的△PAB的面積；

(3)FG、FH分別交AC于N、M,如圖2,利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=

-3X+3,再利用直線平移的規(guī)律得到直線FH的解析式為y=-3x-,，利用點平移的規(guī)律得

一”—組卜FM-冷然后根

22|尸x+388

據(jù)三角形面積公式，利用△FGH與^AOC的重疊面積=SAMAO-SAANG進行計算即可；

(4)把C點沿y軸向下平移6個單位得到G(0,-3),連結(jié)AG交拋物線的對稱軸(直

線x=-l)于D,連結(jié)DB,易得四邊形CEDG為平行四邊形，則DG=CE,由于

DB