第n講向量的數(shù)量積

知識梳理

1、向量的夾角：已知兩個非零向量Z出，如果以。為起點作函=￡,麗=很，那么射線

。4,的夾角。叫做向量Z與B的夾角.。的取值范圍是

(1)當(dāng)6=0時，表示向量Q與B方向相同；

(2)當(dāng)e=?時，表示向量〃與B方向相反；

(3)當(dāng)。=一時，表示向量。與B相互垂直.

2

2、向量的數(shù)量積

已知兩個非零向量Z與B的夾角為e(o<0<7T\貝匹巴同Wcosd叫做￡與坂的數(shù)量積,

記作.即半?盾=|a||B|cos。.

(1)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)；

(2)a-a=a>0f當(dāng)且僅當(dāng)〃?。=0時，a-6；

(3)已知兩個非零向量￡與辦的夾角為。，則^cosd叫做向量B在￡方向上的投影.

顯然B在Z方向上的投影等于

\a\

(4)7坂的幾何意義：等于其中一個向量Z的模問與另一個向量另在向量Z的方向

上的投影忖cos8的乘積.

3、向量數(shù)量積的運算律

①交換律成立：=②對實數(shù)的結(jié)合律成立：仿)與=41%)=)體卜￡尺)；

③分配律成立：(a+b^-c=a-c+b-c=c-(a+b^.

特別注意：

(1)結(jié)合律不成立：(2)消去律不成立=不能得到Z=

(3)a-b-0不能得到〃=?；?=0.

/—*—\(-—>\—2—?2-2I—*|2/—*—?\2—?2—f-2

④但是乘法公式成立：\a+by\a-bj-a-b=a-/?；\a±bj=a±2a-b+b

1一|2f2

=a+2a-b+b；等等.

⑤兩個向量垂直的充要條件是：a-b=O.

例題解析

思考1類比實數(shù)的運算律，向量的數(shù)量積是否具有類似的特征？先寫出類比后的結(jié)論，再

判斷正誤（完成下表）：

運算律實數(shù)乘法向量數(shù)量積判斷正誤

交換律baa,b—b?a

結(jié)合律(a人)c=a(6c)(a,H)c=a(b,c)

分配律(a+A)c=ac+be(a+6)?c—a?c+b?c

a-b=b?c(b#0)=>a

消去律a6=A(Z?W0)0a=c

—c

思考2在上述類比得到的結(jié)論中，對向量數(shù)量積不再成立的有哪些？試各舉一反例說明.

例1.（2020?天津市軍糧城中學(xué)高一月考）設(shè)向量［，晟是兩個互相垂直的單位向量,

且。=24一02，5=02貝!1|萬+26|=()

A.272B.75C.2D.4

例2.（2021?天津市第八中學(xué)高一月考）若同=4,問=6,而與］的夾角。為45。，則

m-n等于（）

A.12B.12&C,-12A/2D.-12

例工（2021?江蘇南通市?啟東中學(xué)高一月考）在邊長為3的等邊三角形ABC中,

BM=^MC,則通.麗7=(

)

33

A.B.C.D.

2222

例4.（2021?江蘇淮安市?高一月考）已知口=21卜0,且關(guān)于x的方程

itrr

/+,工+。必=0有等根，則向量z與B的夾角是（）

A.三B.衛(wèi)CD.里

6336

例5.（2021?江蘇蘇州市?星海實驗中學(xué)高一月考）己知向量5滿足

131=1,^=（—2,1）,且|河―51=2,則"Z.

例6.（2019?全國福州三中高一期末）已知向量;=（2,3）,3=（4,-3）,則向量"在B

方向上的投影為.

例7.（2017?瓦房店市高級中學(xué)（文））與向量萬=（3,4）垂直的單位向量為

例8.在△,盔密中，三邊長分別為AB=7,BC=5,AC=6,MABBC=.

例9.（2021?蘇州市第三中學(xué)校高一月考）已知向量|萬|=1,出|=2

（1）若向量萬萬的夾角為120。，求萬石的值；

（2）若|萬+5|=逐，求|2萬-3萬|的值;

（3）若萬?（萬—5）=o,求萬,5的夾角.

例10.(2021?天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高一月考)已知向量萬與5的夾角為

。=彳，且"=3,忖=20.

(1)若左Z+2B與3Z+4B共線，求左

⑵求萬名，歸+小

(3)求萬與Z+B的夾角的余弦值

例11.已知口=后涸=3,)與3夾角為45°,

(1)求(2口-44；

(2)(a+kb)±[ka+b^,求左；

(3)(a+kb)ll[ka+可,求左；

(4)&+應(yīng)與他+勾夾角為銳角，求左的取值范圍.

例12.已知正三角形A4A3,點4、4、4分別是所在棱的中點，則當(dāng)1W/W6,i<j<6,

且，時，數(shù)量積A耳?呵的不同數(shù)值的個數(shù)為.

JI、

例13.已知3,b,c為單位向量，且滿足3a+46+7c=0,H與6的夾角為丁，則實數(shù)幾=

例14.設(shè)。為兩個非零向量a,6的夾角，已知對任意實數(shù)力，%+同的最小值為1.()

A.若占確定，貝1a|唯一確定B.若。確定，則|引唯一確定

C.若㈤確定，則個唯一確定D.若㈤確定，則J唯一確定

例15.設(shè)a,6為非零向量，|6|=2|a|,兩組向量無，Xi,x-i,心和力，/，%,%均由2個

a和2個6排列而成.若Xi-yi+xi?yh+xs?yi+xt?%所有可能取值中的最小值為41a12,

則a與6的夾角為()

2兀jiji

A.-I-B.-C.-D.0

336

【鞏固訓(xùn)練】

1.給出下列結(jié)論：①若aWO,a?b=3則6=0；②若a?b=b?c,則a=c；③(a?H)c=

a(b?。@a?[b(a?c)~c(a?Z?)]=0,其中正確結(jié)論的序號是.

2.設(shè)加力是兩個單位向量夾角為60°,若Q=2加+〃,辦=—3根+2孔,

(1)求aZ；(2)求W；(3)求a與3夾角；(4)求B在。的投影.

3.設(shè)a,b,c是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列結(jié)論：

①a?c~b?c=(a-b)?c；②(6?c)?a—(c?a)?6不與c垂直;

③|a|—|引—b\；④(3a+2b),(3a—2b)—91a|2—41Z?|2.

其中正確的序號是.

4.知向量a與力的夾角為120°,且|a|=4,|引=2,求：

(1)(2a—A)?(a+36)；(2)13a—4bl.

5.己知a與會是兩個互相垂直的單位向量，"為何值時，向量與"&+a的夾角為

銳角？

6.已知非零向量a,b,且a+36與7a—56垂直，a—46與7a—26垂直，求a與6的夾角.

7.如圖，正六邊形/況叱的邊長為1,貝U否?應(yīng)