2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)課標要求精細考點素養(yǎng)達成1.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義,了解實數(shù)指數(shù)冪的意義,掌握冪的運算2.了解指數(shù)函數(shù)的實際意義,理解指數(shù)函數(shù)的概念.能用描點法或借助計算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,探索并了解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點指數(shù)冪的運算通過指數(shù)冪的運算,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)通過掌握指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用通過對指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用,提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)1.(概念辨析)下列結(jié)論正確的有().①nan=(na)n=a(n∈N*);②分數(shù)指數(shù)冪amn可以理解為mn個a相乘;③2a·2b=2ab;④設(shè)a>0,a2a·3a2=a76;⑤當(dāng)A.0個 B.1個 C.2個 D.4個2.(對接教材)設(shè)a>0,且a≠1,如果函數(shù)f(x)=ax滿足f(2)>f(3),那么a的取值范圍是().A.0<a<1 B.1<a<2C.2<a≤3 D.a>33.(對接教材)計算:3(1+2)3+4.(易錯自糾)下列各式正確的是().A.nan=a B.(a22a3)0=1C.3-3=6(-3)2 5.(真題演練)(2023·全國甲卷文)已知函數(shù)f(x)=e-(x-1)2.記a=f22,b=f32,c=fA.b>c>a B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b指數(shù)冪的運算典例1(1)計算:-278-23+0.002-1210(52(2)14-12·(4ab-1)3(0.1(3)若x12+x-12=3,(4)(2023·福建三模)英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家牛頓曾提出物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型.如果物體的初始溫度是θ1,環(huán)境溫度是θ0,則經(jīng)過tmin物體的溫度θ將滿足θ=θ0+(θ1θ0)ekt,其中k是一個隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù).現(xiàn)有90℃的物體,若放在10℃的空氣中冷卻,經(jīng)過10min物體的溫度為50℃,則若使物體的溫度為20℃,需要冷卻().A.17.5min B.25.5minC.30min D.32.5min1.進行指數(shù)冪的運算時,首先將根式、分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪,以便利用指數(shù)運算法則計算,但應(yīng)注意:(1)必須同底數(shù)冪相乘,指數(shù)才能相加;(2)運算的先后順序.2.當(dāng)?shù)讛?shù)是負數(shù)時,先確定符號,再把底數(shù)化為正數(shù).3.運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)冪,也不能既有分母又含有負指數(shù).訓(xùn)練1(1)化簡:a43-8a13b4b23(2)已知f(x)=2x+2x,若f(a)=3,則f(2a)=.

指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)典例2(1)函數(shù)f(x)=3|x|+1的大致圖象是().A B C D(2)若曲線|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點,則實數(shù)b的取值范圍是.

(3)若函數(shù)y=axm+n3(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(3,2),則m+n=.

1.畫指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的圖象,應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點:(1,a),(0,1),-1,12.已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點,判斷所給的圖象是否過這些點,若不滿足,則排除.3.對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題,一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手,通過平移、伸縮、對稱變換得到.特別地,當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時,應(yīng)注意分類討論.4.有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)的圖象,數(shù)形結(jié)合求解.訓(xùn)練2(1)函數(shù)y=ax1a(a>0且a≠1)的圖象可能是()A BC D(2)若函數(shù)y=|3x1|在(∞,k]上單調(diào)遞減,則實數(shù)k的取值范圍是.

指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用典例3(1)設(shè)a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,則a,b,c的大小關(guān)系為().A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<c D.b<c<a(2)已知函數(shù)f(x)=2a·4x2x1,若關(guān)于x的方程f(x)=0有解,則實數(shù)a的取值范圍為.

指數(shù)式的估值和大小比較(1)若底數(shù)相同,則可由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接判斷;(2)若底數(shù)不同,指數(shù)相同,則可利用圖象或作商法比較;(3)若底數(shù)和指數(shù)都不同,則常借助中間值(如1,0,1)來比較.訓(xùn)練3(1)設(shè)a=3525,b=2535,c=2525,則aA.a>c>b B.a>b>cC.c>a>b D.b>c>a(2)若函數(shù)f(x)=ax+b(a>0且a≠1)的定義域和值域都是[1,0],則a+b=.

典例4(1)若函數(shù)f(x)=x2-ax+a,x<0,(4-2a)x,x≥0A.[0,2) B.32,2 C.[1,2] D.[0,(2)若不等式(m2m)2x12x<1對一切x∈(∞,1]恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是

1.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減”,特別要注意單調(diào)區(qū)間包含于定義域.分段函數(shù)的單調(diào)性首先滿足各段單調(diào),然后考慮分界點處函數(shù)值的關(guān)系.2.根據(jù)題意,利用奇偶性、單調(diào)性依次分析選項是否正確,即可得到答案.訓(xùn)練4(1)已知函數(shù)f(x)=e|xa|(a為常數(shù)),若f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),則a的取值范圍是().A.(∞,1) B.(∞,1]C.(1,+∞) D.[1,+∞)(2)若關(guān)于x的不等式4ax1<3x4(a>0且a≠1)對于任意的x>2恒成立,則a的取值范圍為.

構(gòu)造函數(shù)比較大小典例若2a+log2a=4b+2log4b,則().a>2b B.a<2bC.a>b2 D.a<b21.若給出的式子結(jié)構(gòu)特征相同,則先構(gòu)造函數(shù),再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.2.比較大小是高考考查的一個熱點,這類試題大部分難度一般,但也有難度較大的.試題涉及構(gòu)造函數(shù),可通過作差,用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.本題通過構(gòu)造函數(shù)的方式,利用函數(shù)的單調(diào)性得到兩個式子間的大小關(guān)系,考查了數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).訓(xùn)練若2x2y<3x3y,則().A.ln(yx+1)>0 B.ln(yx+1)<0C.ln|xy|>0 D.ln|xy|<0一、單選題1.已知a>0,則a2a·3aA.a65 B.a56 C.2.若函數(shù)y=(a2)2ax是指數(shù)函數(shù),則().A.a=1或a=3 B.a=1 C.a=3 D.a>0且a≠13.已知函數(shù)f(x)=12x,則不等式f(a24)>f(3a)的解集為(A.(4,1) B.(1,4) C.(1,4) D.(0,4)4.國家速滑館又稱“冰絲帶”,擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計,但整個系統(tǒng)的碳排放接近于零,是真正的智慧場館、綠色場館.并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念,場館還配備了先進的污水、雨水過濾系統(tǒng).已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量N(mg/L)與時間t(小時)的關(guān)系為N=N0ekt(N0為最初污染物數(shù)量).如果前4小時消除了20%的污染物,那么污染物消除至最初的64%還需要的時間為().A.3.6小時 B.3.8小時C.4小時 D.4.2小時二、多選題5.在同一平面直角坐標系中,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)和一次函數(shù)y=a(x+1)的圖象關(guān)系可能是().A BC D6.已知函數(shù)f(x)=1?2x1+2x,A.f(x)為奇函數(shù) B.f(x)為偶函數(shù)C.f(x)在R上是增函數(shù) D.f(x)在R上是減函數(shù)三、填空題7.若函數(shù)f(x)=ax11(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過定點P,則點P的坐標是.

8.若指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[1,1]上的最大值為2,則a=.

四、解答題9.已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2x12|x|,若f(x)=3210.已知函數(shù)f(x)=b·ax(其中a,b為常數(shù),a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過點A(1,6),B(3,24).(1)求f(x)的表達式;(2)若不等式1ax+1bxm≥0在x∈(∞,1]上恒成立,11.(多選)法國著名昆蟲學(xué)家、文學(xué)家法布爾,在《昆蟲記》里有這樣的記載:“每當(dāng)?shù)匦囊蛿_性同時發(fā)生作用時,懸鏈線就在現(xiàn)實中出現(xiàn)了.當(dāng)一條懸鏈彎曲成兩點不在同一垂直線(垂直于地面的直線)上的曲線時,人們便把這條曲線稱為懸鏈線.這就是一條軟繩子兩端抓住而垂下來的形狀,這就是一張被風(fēng)鼓起來的船帆外形的那條線條.”建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?可以寫出懸鏈線的函數(shù)解析式:f(x)=eax+e-ax2a,其中a為懸鏈線系數(shù).當(dāng)a=1時,f(x)=ex+e-x2稱為雙曲余弦函數(shù),記為chx=ex+e-x2.類似的有雙曲