第74講排列與組合知識梳理1.分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法，…，在第n類方式中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝__m1＋m2＋…＋mn__種不同的方法．2.分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝__m1×m2×…×mn__種不同的方法．3.排列與排列數(shù)(1)排列：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的__一個排列__．(2)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的__排列數(shù)__，用符號__Aeq\o\al(m,n)__表示．(3)排列數(shù)公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝__eq\f(n！,（n－m）！)__(n，m∈N*，并且m≤n)Aeq\o\al(n,n)＝__n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1__＝n！，規(guī)定0?。絖_1__．4.組合與組合數(shù)(1)組合：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的__一個組合__．(2)組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的__組合數(shù)__，用符號__Ceq\o\al(m,n)__表示．(3)組合數(shù)公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝__eq\f(n！,m?。╪－m）！)__(n，m∈N*，并且m≤n)．(4)組合數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝__Ceq\o\al(n－m,n)__．性質(zhì)2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝__Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n)__．性質(zhì)3：mCeq\o\al(m,n)＝__n·Ceq\o\al(m－1,n－1)__．1、甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．12種 B．24種 C．36種 D．48種2、將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項(xiàng)目，每個項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．60種 B．120種 C．240種 D．480種3、某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．4、）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．30種 B．60種 C．120種 D．240種5、有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則兩天中恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．120 B．60 C．40 D．306、某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0種 B．SKIPIF1<0種 C．SKIPIF1<0種 D．SKIPIF1<0種1、已知n，m為正整數(shù)，且n≥m，則在下列各式中：①Aeq\o\al(3,6)＝120；②Aeq\o\al(7,12)＝Ceq\o\al(7,12)·Aeq\o\al(7,7)；③Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m+1,n＋1)；④Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，其中正確的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.42、某地元旦匯演有2男3女共5名主持人站成一排，則舞臺站位時(shí)男女間隔的不同排法共有()A.12種B.24種C.72種D.120種3、不等式Aeq\o\al(x,8)<6×Aeq\o\al(x－2,8)的解集為()A.{2，8} B.{2，6} C.{7，12} D.{8}4、（多選題）將編號為1,2,3,4,5,6的六個小球放入編號為1,2,3,4,5,6的六個盒子中，每個盒子放一個小球.則下列說法正確的有（）A.編號為1號的小球放入編號為偶數(shù)的盒子的放法數(shù)是360B.編號為奇數(shù)的小球均放入編號為偶數(shù)的盒子的放法數(shù)是36C.恰有三個盒子的編號與放入的小球編號相同的放法數(shù)是40D.恰有三個小球的編號比放入的盒子的編號大1的放法數(shù)是30考向一排列問題例1、有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).(1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排成一排，女生必須站在一起；(4)全體排成一排，男生互不相鄰；(5)全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊；(6)全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊；(7)甲、乙、丙三人從左到右順序一定.變式1、用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的：(1)五位數(shù)？(2)五位奇數(shù)？(3)五位偶數(shù)？變式2、（1）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有________個．變式3、7位同學(xué)站成一排照相．(1)甲不排頭、乙不排尾的排法共有多少種？(2)甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？(3)甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？(4)甲必須站在乙的左邊的不同排法共有多少種？方法總結(jié)：(1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時(shí)有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法．對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法．考向二組合問題例2、一個口袋內(nèi)有4個不同的紅球，6個不同的白球．(1)現(xiàn)要從中選出2個球，有多少種不同的選法？(2)現(xiàn)要從中選出紅球、白球各2個，有多少種不同的選法？變式1、一個口袋內(nèi)有4個不同的紅球，6個不同的白球．，從中任取4個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？變式2、在2021中俄高加索聯(lián)合軍演的某一項(xiàng)演練中，中方參加演習(xí)的有4艘軍艦，5架飛機(jī)；俄方有3艘軍艦，6架飛機(jī).若從中、俄兩方中各選出2個單位（1架飛機(jī)或一艘軍艦都作為一個單位，所有的軍艦兩兩不同，所有的飛機(jī)兩兩不同），且選出的四個單位中恰有一架飛機(jī)的不同選法共有（）A．51種 B．168種 C．224種 D．336種方法總結(jié)：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取．(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理．考向三排列與組合綜合性問題例3、有6本不同的書．(1)分成三份：①每份2本，有多少種不同的分法？②1份4本，另2份各1本，有多少種不同的分法？③1份1本，1份2本，1份3本，有多少種不同的分法？(2)分給甲、乙、丙3人：①甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少種不同的分法？②1人1本，1人2本，1人3本，有多少種不同的分法？③每人2本，有多少種不同的分法？④1人4本，另2人各1本，有多少種不同的分法？變式1、（1）將2名教師，4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實(shí)踐活動，每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有()A.12種B.10種C.9種D.8種（2）假期里，有4名同學(xué)去社區(qū)做文明實(shí)踐活動，根據(jù)需要，要安排這4名同學(xué)去甲、乙兩個文明實(shí)踐站，每個實(shí)踐站至少去1名同學(xué)，則不同的安排方法共有（）A．20種 B．14種 C．12種 D．10種變式2、國慶長假過后學(xué)生返校，某學(xué)校為了做好防疫工作組織了6個志愿服務(wù)小組，分配到4個大門進(jìn)行行李搬運(yùn)志愿服務(wù)，若每個大門至少分配1個志愿服務(wù)小組，每個志愿服務(wù)小組只能在1個大門進(jìn)行服務(wù)，則不同的分配方法種數(shù)為（）A．65 B．125 C．780 D．1560變式3、當(dāng)前，新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化防控新階段，防止疫情輸入的任務(wù)依然繁重，疫情防控工作形勢依然嚴(yán)峻、復(fù)雜．某地區(qū)安排A，B，C，D，E五名同志到三個地區(qū)開展防疫宣傳活動，每個地區(qū)至少安排一人，且A，B兩人安排在同一個地區(qū)，C，D兩人不安排在同一個地區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（）A．30種 B．36種 C．42種 D．64種變式4、（多選題）如圖，用4種不同的顏色，對四邊形中的四個區(qū)域進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法數(shù)為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0方法總結(jié)：(1)解排列與組合綜合題一般是先選后排，或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步，再利用兩個原理做最后處理．(2)解受條件限制的組合題，通常用直接法(合理分類)或間接法(排除法)來解決，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏．1、某市從6名優(yōu)秀教師中選派3名同時(shí)去3個災(zāi)區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，則不同的選派方案的種數(shù)為（）A．48 B．60 C．96 D．1682、為了支援山區(qū)教育，現(xiàn)在安排SKIPIF1<0名大學(xué)生到SKIPIF1<0個學(xué)校進(jìn)行支教活動，每個學(xué)校至少安排SKIPIF1<0人，其中甲校至少要安排SKIPIF1<0名大學(xué)生，則不同的安排方法共有（）種A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03、六名志愿者到北京、延慶、張家口三個賽區(qū)參加活動，若每個賽區(qū)兩名志愿者，則安排方式共有（）A．15種 B．90種 C．540種 D．720種4、某研究機(jī)構(gòu)采訪了“一帶一路”沿線20國的青年，讓他們用一個關(guān)鍵詞表達(dá)對中國的印象，使用頻率前12的關(guān)鍵詞為：高鐵?移動支付?網(wǎng)購?共享單車?一帶一路?無人機(jī)?大熊貓?廣場舞?中華美食?長城?京劇?美麗鄉(xiāng)村.其中使用頻率排前四的關(guān)鍵詞“高鐵?移動支付?網(wǎng)購?共享單車”也成為了他們眼中的“新四大發(fā)明”.從這12個關(guān)鍵詞中選擇3個不同的關(guān)鍵詞，且至少包含一個“新四大發(fā)明”關(guān)鍵詞的選法種數(shù)為___________（用數(shù)字作答）.5、為了做好新冠肺炎疫情常態(tài)化防控工作，推進(jìn)疫苗接種進(jìn)度，降低新冠肺炎感染風(fēng)險(xiǎn)，某醫(yī)院準(zhǔn)備將3名醫(yī)生和6名護(hù)士分配到3所學(xué)校，設(shè)立疫苗接種點(diǎn)，免費(fèi)給學(xué)校老師和學(xué)生接種新冠疫苗，若每所學(xué)校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)土，則不同的分配方法共有_______種．6、過氧化氫（SKIPIF1<0）是一種重要的化學(xué)品，工業(yè)用途廣泛，通過催化SKIPIF1<0和SKIPIF1<0直接合成SKIPIF1<0目前被認(rèn)為是一種最有潛力替代現(xiàn)有生產(chǎn)方法的綠色環(huán)保生產(chǎn)途徑.在自然界中，已知氧的同位素有17種，氫的同位素有3種，現(xiàn)有由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，SKIPIF1<0