第34講平面向量的概念與線(xiàn)性運(yùn)算1、向量的有關(guān)概念(1)零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，其方向是不確定的．(2)平行(共線(xiàn))向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．我們規(guī)定零向量與任一向量平行．(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量．(4)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．(5)相反向量：與向量a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量．2、向量的線(xiàn)性運(yùn)算(1)向量加法滿(mǎn)足交換律a＋b＝b＋a，結(jié)合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．向量加法可以使用三角形法則，平行四邊形法則．(2)向量的數(shù)乘：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a方向相反；當(dāng)a＝0時(shí)，λa＝0；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0．(3)實(shí)數(shù)與向量的運(yùn)算律：設(shè)λ，μ∈R，a，b是向量，則有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb．3、向量共線(xiàn)定理：如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa(a≠0)，那么b與a是共線(xiàn)向量；反之，如果b與a(a≠0)是共線(xiàn)向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa．1、在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA．記CA=m，CD=A．3m?2n B．?2m2、在SKIPIF1<0中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<01、在下列命題中，真命題的是．（填序號(hào)）①長(zhǎng)度為0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③單位向量的長(zhǎng)度都相等；④單位向量都是同方向；⑤任意向量與零向量都共線(xiàn)．2、如圖，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝3eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，則eq\o(DE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(3,4)b－eq\f(1,3)aB.eq\f(5,12)a－eq\f(3,4)bC.eq\f(3,4)a－eq\f(1,3)bD.eq\f(5,12)b－eq\f(3,4)a3、已知eq\o(MP,\s\up6(→))＝4e1＋2e2，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2e1＋te2，若M、P、Q三點(diǎn)共線(xiàn)，則t＝()A.1B.2C.4D.－14、已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－3a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝4a－b，則()A.A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn) B.A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)C.B，C，D三點(diǎn)共線(xiàn) D.A，C，D三點(diǎn)共線(xiàn)考向一平面向量的有關(guān)概念例1、給出下列命題，正確的有()A．若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同B．若A，B，C，D是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD為平行四邊形C．a(chǎn)＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥bD．已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線(xiàn)變式1、給出下列命題：①若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；②若|a|＝|b|，則a＝b；③若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形；④在平行四邊形ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；⑤若m＝n，n＝p，則m＝p；⑥若a∥b，b∥c，則a∥c.其中錯(cuò)誤的命題是．（填序號(hào)）變式2、如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心．（1）與SKIPIF1<0相等的向量有；（2）與SKIPIF1<0相等的向量有；（3）與SKIPIF1<0共線(xiàn)的向量有．方法總結(jié)：向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長(zhǎng)度．(2)非零共線(xiàn)向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒(méi)有限制．(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長(zhǎng)度相等．(4)單位向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度．(5)零向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度是0，規(guī)定零向量與任意向量共線(xiàn)．考向二向量的線(xiàn)性運(yùn)算例2、如圖，在△ABC中，eq\f(CD,DA)＝eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,2)，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(CA,\s\up6(→))＋μeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ＋μ＝.變式1、（1）在△ABC中，AD為BC邊上的中線(xiàn)，E為AD的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up6(→))等于()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))（2）如圖，在等腰梯形ABCD中，DC＝eq\f(1,2)AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于點(diǎn)E，則eq\o(DE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))變式2、設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝．（用eq\o(OM,\s\up6(→))表示）方法總結(jié)：向量的線(xiàn)性運(yùn)算，即用幾個(gè)已知向量表示某個(gè)向量，基本技巧為：一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則．考向三共線(xiàn)定理的應(yīng)用例3、設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線(xiàn)．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb同向．變式1、如圖，在△ABC中，D是BC上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AC，AD的三等分點(diǎn)，且分別靠近A，D兩點(diǎn)，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.(1)試用a，b表示eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))；(2)證明：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)．變式2、如圖，在△ABO中，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，AD與BC相交于點(diǎn)M，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.試用a和b表示eq\o(OM,\s\up6(→)).方法總結(jié)：利用共線(xiàn)向量定理解題的方法(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線(xiàn)的主要依據(jù)．注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用．(2)證明三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，可用向量共線(xiàn)來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線(xiàn)與三點(diǎn)共線(xiàn)的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線(xiàn)且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線(xiàn)．即A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)?eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))共線(xiàn)．(3)若a與b不共線(xiàn)且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(4)eq\o(OA,\s\up7(→))＝λeq\o(OB,\s\up7(→))＋μeq\o(OC,\s\up7(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，則λ＋μ＝1.1、已知a，b是不共線(xiàn)的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋2b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，則λ的值為()A.－1B.－2C.－2或1D.－1或22、.在△ABC中，下列命題正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C.若(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，則△ABC為等腰三角形D.若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＞0，則△ABC為銳角三角形3、如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E為BC邊上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04、）如圖在梯形SKIPIF1<