§1.2常用邏輯用語(yǔ)考試要求1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質(zhì)定理與必要條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.2.理解全稱(chēng)量詞和存在量詞的意義，能正確對(duì)兩種命題進(jìn)行否定．知識(shí)梳理1．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p2．全稱(chēng)量詞與存在量詞(1)全稱(chēng)量詞：短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱(chēng)量詞，并用符號(hào)“?”表示．(2)存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“?”表示．3．全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題名稱(chēng)全稱(chēng)量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對(duì)M中任意一個(gè)x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立簡(jiǎn)記?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)否定?x∈M，綈p(x)?x∈M，綈p(x)常用結(jié)論1．充分、必要條件與對(duì)應(yīng)集合之間的關(guān)系設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若p是q的充分條件，則A?B；(2)若p是q的充分不必要條件，則AB；(3)若p是q的必要不充分條件，則BA；(4)若p是q的充要條件，則A＝B.2．含有一個(gè)量詞命題的否定規(guī)律是“改變量詞，否定結(jié)論”．3．命題p與p的否定的真假性相反．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)p是q的充分不必要條件等價(jià)于q是p的必要不充分條件．(√)(2)“三角形的內(nèi)角和為180°”是全稱(chēng)量詞命題．(√)(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要條件是A＝B.(√)(4)命題“?x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)”是真命題．(×)教材改編題1．命題“?x∈R，ex－1≥x”的否定是()A．?x∈R，ex－1≥x B．?x∈R，ex－1≤xC．?x∈R，ex－1<x D．?x∈R，ex－1<x答案C解析由題意得命題“?x∈R，ex－1≥x”的否定是“?x∈R，ex－1<x”．2．(多選)下列命題中為真命題的是()A．?x∈R，x2>0 B．?x∈R，－1≤sinx≤1C．?x∈R，2x<0 D．?x∈R，tanx＝2答案BD解析當(dāng)x＝0時(shí)，x2＝0，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)x∈R時(shí)，－1≤sinx≤1，所以B選項(xiàng)正確；因?yàn)?x>0，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)y＝tanx∈R，所以D選項(xiàng)正確．3．若“x>3”是“x>m”的必要不充分條件，則m的取值范圍是________．答案(3，＋∞)解析因?yàn)椤皒>3”是“x>m”的必要不充分條件，所以(m，＋∞)是(3，＋∞)的真子集，由圖可知m>3.題型一充分、必要條件的判定例1(1)“a>b>0”是“eq\f(a,b)>1”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件答案B解析由a>b>0，得eq\f(a,b)>1，反之不成立，如a＝－2，b＝－1，滿(mǎn)足eq\f(a,b)>1，但是不滿(mǎn)足a>b>0，故“a>b>0”是“eq\f(a,b)>1”的充分不必要條件．(2)(2021·全國(guó)甲卷)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn.設(shè)甲：q>0，乙：{Sn}是遞增數(shù)列，則()A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件答案B解析當(dāng)a1<0，q>1時(shí)，an＝a1qn－1<0，此時(shí)數(shù)列{Sn}單調(diào)遞減，所以甲不是乙的充分條件．當(dāng)數(shù)列{Sn}單調(diào)遞增時(shí)，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，則qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，則qn<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要條件．思維升華充分條件、必要條件的兩種判定方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問(wèn)題．(2)集合法：根據(jù)p，q對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022·長(zhǎng)春模擬)“a·b＝|a||b|”是“a與b共線”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析因?yàn)閍·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|，所以cos〈a，b〉＝1，因?yàn)椤碼，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝0，所以a與b共線，當(dāng)a與b共線時(shí)，〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|或a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－|a||b|，所以“a·b＝|a||b|”是“a與b共線”的充分不必要條件．(2)(多選)已知冪函數(shù)f(x)＝(4m－1)xm，則下列選項(xiàng)中，能使得f(a)>f(b)成立的一個(gè)充分不必要條件是()A．0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．a(chǎn)2>b2C．lna>lnb D．2a>2b答案AC解析由題設(shè)知4m－1＝1，可得m＝eq\f(1,2)，故f(x)＝eq\r(x)，所以，要使f(a)>f(b)，則eq\r(a)>eq\r(b)，即a>b≥0.0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)?a>b>0，A符合題意；lna>lnb?a>b>0，C符合題意；B，D選項(xiàng)中a，b均有可能為負(fù)數(shù)，B，D不符合題意．題型二充分、必要條件的應(yīng)用例2在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分條件；③“x∈?RA”是“x∈?RB”的必要條件這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第(2)問(wèn)的橫線處，求解下列問(wèn)題．問(wèn)題：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求A∩B；(2)若________，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解(1)由(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，所以B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}＝{x|－1<x<3}，當(dāng)a＝2時(shí)，A＝{x|2≤x≤4}，所以A∩B＝{x|2≤x<3}．(2)若選①A∪B＝B，則A?B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1<a<1，即a∈(－1,1)；若選②“x∈A”是“x∈B”的充分條件，則A?B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1<a<1，即a∈(－1,1)；若選③“x∈?RA”是“x∈?RB”的必要條件，則A?B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1<a<1，即a∈(－1,1)．思維升華求參數(shù)問(wèn)題的解題策略(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)．跟蹤訓(xùn)練2(2023·宜昌模擬)已知集合A＝{x|－2<x≤3}，B＝{x|x2－2mx＋m2－1<0}．(1)若m＝2，求集合A∩B；(2)已知p：x∈A，q：x∈B，是否存在實(shí)數(shù)m，使p是q的必要不充分條件，若存在實(shí)數(shù)m，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解(1)由m＝2及x2－2mx＋m2－1<0，得x2－4x＋3<0，解得1<x<3，所以B＝{x|1<x<3}，又A＝{x|－2<x≤3}，所以A∩B＝{x|1<x<3}．(2)由x2－2mx＋m2－1<0，得[x－(m－1)][x－(m＋1)]<0，所以m－1<x<m＋1，所以B＝{x|m－1<x<m＋1}．由p是q的必要不充分條件，得集合B是集合A的真子集，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≥－2，,m＋1≤3))?－1≤m≤2(兩端等號(hào)不會(huì)同時(shí)取得)，所以m的取值范圍為[－1,2]．題型三全稱(chēng)量詞與存在量詞命題點(diǎn)1含量詞命題的否定例3(2022·漳州模擬)命題“?a∈R，x2－ax＋1＝0有實(shí)數(shù)解”的否定是()A．?a∈R，x2－ax＋1＝0無(wú)實(shí)數(shù)解B．?a∈R，x2－ax＋1＝0無(wú)實(shí)數(shù)解C．?a∈R，x2－ax＋1≠0有實(shí)數(shù)解D．?a∈R，x2－ax＋1≠0有實(shí)數(shù)解答案B解析因?yàn)槿Q(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題，所以“?a∈R，x2－ax＋1＝0有實(shí)數(shù)解”的否定是“?a∈R，x2－ax＋1＝0無(wú)實(shí)數(shù)解”．命題點(diǎn)2含量詞命題真假的判斷例4(多選)(2023·沈陽(yáng)模擬)下列命題中為真命題的是()A．?x∈R，eq\f(1,2x)≤1B．對(duì)于?x∈R，n∈N*且n>1，都有eq\r(n,xn)＝xC．?x∈R，ln(x－1)2≥0D．?x∈R，lnx≥x－1答案AD解析當(dāng)x≥0時(shí)，0<eq\f(1,2x)≤1，故A項(xiàng)是真命題；當(dāng)n為偶數(shù)，且x<0時(shí)，eq\r(n,xn)＝－x，故B項(xiàng)是假命題；當(dāng)x＝1時(shí)，ln(x－1)2無(wú)意義，故C項(xiàng)是假命題；當(dāng)x＝1時(shí)，lnx≥x－1，故D項(xiàng)是真命題．命題點(diǎn)3含量詞命題的應(yīng)用例5若“?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，sinx<m”是假命題，則實(shí)數(shù)m的最大值為()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)答案D解析因?yàn)椤?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，sinx<m”是假命題，所以“?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，m≤sinx”是真命題，即m≤sinx對(duì)于?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))恒成立，所以m≤(sinx)min，因?yàn)閥＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))上單調(diào)遞增，所以x＝－eq\f(π,3)時(shí)，y＝sinx最小，其最小值為y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－sin

eq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2)，所以m≤－eq\f(\r(3),2)，所以實(shí)數(shù)m的最大值為－eq\f(\r(3),2).思維升華含量詞命題的解題策略(1)判定全稱(chēng)量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個(gè)成立即可．當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判定時(shí)，可以先判斷其否定的真假．(2)由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是可利用等價(jià)命題求參數(shù)的范圍．跟蹤訓(xùn)練3(1)已知命題p：?n∈N，n2≥2n＋5，則綈p為()A．?n∈N，n2≥2n＋5B．?n∈N，n2≤2n＋5C．?n∈N，n2<2n＋5D．?n∈N，n2＝2n＋5答案C解析由存在量詞命題的否定可知，綈p為?n∈N，n2<2n＋5.所以C正確，A，B，D錯(cuò)誤．(2)(多選)下列命題是真命題的是()A．?x∈R，－x2－1<0B．?n∈Z，?m∈Z，nm＝mC．所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑D．存在實(shí)數(shù)x，使得eq\f(1,x2－2x＋3)＝eq\f(3,4)答案ABC解析?x∈R，－x2≤0，所以－x2－1<0，故A項(xiàng)是真命題；當(dāng)m＝0時(shí)，nm＝m恒成立，故B項(xiàng)是真命題；任何一個(gè)圓的圓心到切線的距離都等于半徑，故C項(xiàng)是真命題；因?yàn)閤2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，所以eq\f(1,x2－2x＋3)≤eq\f(1,2)<eq\f(3,4)，故D項(xiàng)是假命題．(3)若命題“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析命題“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命題，則命題“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命題，即Δ＝(a－1)2－4>0，解得a>3或a<－1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．課時(shí)精練1．(2023·上饒模擬)“x2>2021”是“x2>2022”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析若x2>2022，因?yàn)?022>2021，故x2>2021，故“x2>2022”可以推出“x2>2021”，取x2＝2021.5，則滿(mǎn)足x2>2021，但x2>2022不成立，所以“x2>2021”不能推出“x2>2022”，所以“x2>2021”是“x2>2022”的必要不充分條件．2．已知命題p：?x∈Q，使得x?N，則綈p為()A．?x?Q，都有x?N B．?x?Q，使得x∈NC．?x∈Q，都有x∈N D．?x∈Q，使得x∈N答案C解析因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定是全稱(chēng)量詞命題，所以由p：?x∈Q，使得x?N，得綈p：?x∈Q，都有x∈N.3．已知命題：“?x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)<4 B．a(chǎn)≤4C．a(chǎn)>4 D．a(chǎn)≥4答案B解析“?x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命題，故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.4．(2023·武漢模擬)已知a，b是兩條不重合的直線，α為一個(gè)平面，且a⊥α，則“b⊥α”是“a∥b”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案C解析當(dāng)b⊥α?xí)r，結(jié)合a⊥α，可得a∥b，充分性滿(mǎn)足；當(dāng)a∥b時(shí)，結(jié)合a⊥α，可得b⊥α，必要性滿(mǎn)足．故“b⊥α”是“a∥b”的充要條件．5．命題“?1≤x≤2，x2－a≤0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是()A．a(chǎn)≥4 B．a(chǎn)≥5C．a(chǎn)≤4 D．a(chǎn)≤5答案B解析因?yàn)槊}“?1≤x≤2，x2－a≤0”是真命題，所以?1≤x≤2，a≥x2恒成立，所以a≥4，結(jié)合選項(xiàng)，命題是真命題的一個(gè)充分不必要條件是a≥5.6．(多選)下列命題是真命題的是()A．所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)B．有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2＋2x＋3＝0C．“α＝β”是“sinα＝sinβ”成立的充分不必要條件D．命題“?x∈R，x＋2≤0”的否定是“?x∈R，x＋2>0”答案CD解析2是一個(gè)素?cái)?shù)，但2是偶數(shù)，所以A是假命題；對(duì)于方程x2＋2x＋3＝0，其中Δ＝22－4×3＝－8<0，所以不存在實(shí)數(shù)，使得x2＋2x＋3＝0成立，所以B是假命題；由α＝β?sinα＝sinβ，但由sinα＝sinβ不能得到α＝β，故“α＝β”是“sinα＝sinβ”成立的充分不必要條件，所以C是真命題；根據(jù)全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的關(guān)系，可得命題“?x∈R，x＋2≤0”的否定是“?x∈R，x＋2>0”，所以D是真命題．7．(多選)若“?x∈(0,2)，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命題，則實(shí)數(shù)λ可能的值是()A．1B．2eq\r(2)C．3D．3eq\r(2)答案AB解析由題意可知，命題“?x∈(0,2)，2x2－λx＋1≥0成立”是真命題，所以λx≤2x2＋1，可得λ≤2x＋eq\f(1,x)，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，由基本不等式可得2x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(2x·\f(1,x))＝2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(\r(2),2)時(shí)，等號(hào)成立，所以λ≤2eq\r(2).8.南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家祖暅在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．其含義是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平行平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．如圖，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體的體積分別為V1，V2，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面截得的兩個(gè)截面面積分別為S1，S2，則“S1，S2不總相等”是“V1，V2不相等”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析命題：如果“S1，S2不總相等”，那么“V1，V2不相等”的等價(jià)命題是：如果“V1，V2相等”，那么“S1，S2總相等”．根據(jù)祖暅原理，當(dāng)兩個(gè)截面的面積S1，S2總相等時(shí)，這兩個(gè)幾何體的體積V1，V2相等，所以逆命題為真，故是必要條件；當(dāng)兩個(gè)三棱臺(tái)，一正一反的放在兩個(gè)平面之間時(shí)，此時(shí)體積相等，但截得截面面積未必相等，故是不充分條件，所以“S1，S2不總相等”是“V1，V2不相等”的必要不充分條件．9．命題“?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，sinx<cosx”的否定是________．答案?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，sinx≥cosx解析因?yàn)椤皊inx<cosx”的否定是“sinx≥cosx”，所以“?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，sinx<cosx”的否定是“?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，sinx≥cosx”，10．使得“2x>4x”成立的一個(gè)充分條件是________．答案x<－1(答案不唯一)解析由于4x＝22x，故2x>22x等價(jià)于x>2x，解得x<0，使得“2x>4x”成立的一個(gè)充分條件只需為集合{x|x<0}的子集即可．11．已知命題“?x∈{x|－2<x<3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案(－∞，－4]∪[6，＋∞)解析若原命題為真命題，則?x∈{x|－2<x<3}，使得m＝2x成立，則－4<m<6；故若原命題為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，－4]∪[6，＋∞)．12．已知α：x<2m－1或x>－m，β：x<2或x≥4，若α是β的必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))解析設(shè)A＝{x|x<2m－1或x>－m}，B＝{x|x<2或x≥4}，若α是β的必要條件，則B?A，當(dāng)2m－1>－m，即m>eq\f(1,3)時(shí)，此時(shí)A＝R，B?A成立；當(dāng)2m－1≤－m，即m≤eq\f(1,3)時(shí)，若B?A，此時(shí)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥2，,－m<4，))無(wú)解．綜上，m>eq\f(1,3).13．(多選)若“?x∈M，|x|>x”為真命題，“?x∈M，x>3”為假命題，則集合M可以是()A．(－∞，－5) B．(－3，－1]C．(3，＋∞) D．[0,3]答案AB解析∵?x∈M，x>3為假命題，∴?x∈M，x≤3