信號與系統(tǒng)概論學(xué)習(xí)要點：信號與系統(tǒng)課程的重要性；信號的概念、分類與運算；系統(tǒng)的概念、分類與聯(lián)接形式；系統(tǒng)的線性性、時不變性、因果性和穩(wěn)定性的定義與判斷?！?引言信號與系統(tǒng)是在電工原理的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，并隨著電子工程、通信工程、計算機(jī)和信息技術(shù)的飛速發(fā)展而不斷地發(fā)展與完善。在信號與系統(tǒng)學(xué)科的發(fā)展中，微分方程、差分方程理論，傅里葉（Fourier）變換、拉普拉斯（Laplace）變換、離散傅里葉變換和Z變換等正交變換理論起著十分重要的作用。二十世紀(jì)四十年代創(chuàng)立的系統(tǒng)論、信息論與控制論極大地推動了信號與系統(tǒng)學(xué)科的發(fā)展。§2信號基本概念信號物質(zhì)的一切運動或狀態(tài)變化都是一種信號（signal），即信號是物質(zhì)運動的表現(xiàn)形式。例如：機(jī)械振動產(chǎn)生力信號、位移信號和噪聲信號；雷電過程產(chǎn)生聲、光信號；大腦、心臟分別產(chǎn)生腦電和心電信號；通信發(fā)射機(jī)產(chǎn)生電磁波信號等;圖像信號;人口數(shù)；銀行存款；氣溫等.§2信號基本概念消息在通信系統(tǒng)中，信號是傳送消息（message）的工具。所謂消息，就是用某種方式傳遞的聲音、文字、圖像、符號等。例如，電話中傳送的話音，電報中傳送的報文，傳真系統(tǒng)傳送的圖文，廣播電臺傳送的新聞、音樂，電視系統(tǒng)傳送的圖像序列，示波器測量的電壓波形信號，頻譜分析儀顯示的頻譜特性等?！?信號基本概念信息從所傳遞的消息，受信者提取各種有用信息（information）。這就是說，信息內(nèi)含于信號，信號是信息的載體。人們真正感興趣的是內(nèi)含于信號中的信息。信號分析的目的就是要從信號中提取信息，即從所獲得的消息，通過不確定性的減少過程，獲取新內(nèi)容或新知識?！?信號基本概念函數(shù)抽象地講，在數(shù)學(xué)上，信號用函數(shù)表示。因此，我們可把信號與函數(shù)等同起來看待。最常見的信號是隨時間變化的信號，例如電、光、聲、力、溫度等各種信號；另一種常見的信號隨空間位置變化，如圖像信號、熱場、運動場等?！?信號基本概念本書對信號的規(guī)定由于電信號易于處理和分析，工程上通常把非電信號轉(zhuǎn)化為電信號，這稱之為非電量的電信號模擬。由于電信號的重要性，本書僅研究電信號，并把它簡稱為信號?！?信號基本概念信號分類有多種方法，大致有如下分類：分類標(biāo)準(zhǔn)確定否周期否連續(xù)否量化否因果否能量有限否功率有限否肯定確定性周期連續(xù)量化因果能量有限功率有限否定隨機(jī)性非周期離散非量化非因果能量無限功率無限一、確定信號與隨機(jī)信號

如果信號的變化規(guī)律是確定的，能用確定的數(shù)學(xué)函數(shù)表示，即對任一確定的時間（或空間），信號有確定的函數(shù)值，則稱其為確定性信號。如常用的多項式函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等。相反，如果信號的變化規(guī)律是隨機(jī)的，不能用確定的數(shù)學(xué)函數(shù)表示，只能用統(tǒng)計規(guī)律來描述其隨機(jī)特性，即對任一確定的時間（或空間），信號沒有確定函數(shù)值，只能用均值、方差等統(tǒng)計量來描述，則稱其為隨機(jī)信號。如各種噪聲。圖1

各類信號：

二、周期信號與非周期信號如圖1-1(c)所示，周期信號是按某一固定周期重復(fù)出現(xiàn)的信號，它可表示為

其中，T為周期，任何周期信號都可表示為僅在基本周期內(nèi)取非零值的有限長信號的周期延拓，即

二、周期信號與非周期信號非周期信號可以認(rèn)為是周期為無窮大的周期信號；常見的非周期信號是有限持續(xù)時間（finiteduration）信號，即僅在一有限時間區(qū)間內(nèi)存在的信號，如圖1-1(a)所示。圖1-1(b)是無限持續(xù)時間的非周期信號。判斷周期信號的方法連續(xù)時間信號的周期性判斷

1.若信號為若干個正弦信號的線性組合，則該信號的周期必為各分量信號周期的整數(shù)倍；eg：

2.若信號由方波等標(biāo)準(zhǔn)信號周期延拓構(gòu)成，則從波形判斷較為簡便。判斷周期信號的方法離散時間信號的周期性判斷三、連續(xù)時間信號與離散時間信號如果除若干不連續(xù)點外，信號在一時間區(qū)間內(nèi)的每一時刻都能取值，即時間t取實數(shù)值，則稱為連續(xù)時間信號。如圖1-1（a）信號。反之，如果信號僅能在一時間區(qū)間內(nèi)的某些時刻上取值，即時間，其中n屬于整數(shù)，則稱為離散時間信號。如圖1-1（d）信號。提示：模擬信號與連續(xù)時間信號的區(qū)別連續(xù)時間信號的幅值可以是連續(xù)的，也可是離散的，即僅取幾個規(guī)定數(shù)值。幅值和時間都為連續(xù)的信號稱為模擬信號。三、連續(xù)時間信號與離散時間信號僅在采樣時刻取信號樣本值而在其它時刻取零值的連續(xù)時間信號，即離散信號是由采樣時刻的樣本值組成的序列。

注意：離散時間信號與數(shù)字信號的差別與聯(lián)系數(shù)字信號是時間與幅度取值都離散的信號。離散時間信號的表示方式四、因果信號與非因果信號若信號在小于零時刻都取零值則稱為因果信號，反之，稱為非因果信號。因果信號一定是非周期信號。因果周期信號：從接入時刻起，信號呈周期變化當(dāng)然，從整體而言，它仍是非周期信號。

五、有界信號與無界信號如果信號在所有時刻的取值都有界，即則稱為有界信號。反之，稱為無界信號。信號能量的定義連續(xù)信號能量離散信號能量信號的平均功率（從電路角度）瞬時功率時段總能量平均功率六、七能量有限信號和功率有限信號若信號有有限能量，則稱為能量有限信號。有限持續(xù)時間信號一定是能量有限信號；反之，則未必。例如：高斯信號是無限持續(xù)時間信號，卻是能量有限信號。若信號有有限功率，則稱為功率有限信號。能量有限信號一定是功率有限信號；反之，則未必。例如：正弦信號是功率有限信號，卻是能量無限信號。能量信號和功率信號的判斷方法判斷能量信號和功率信號的方法：先計算信號能量，若為有限值則為能量信號，同時也必是功率信號；否則，計算信號功率，若為有限值則為功率信號；若上述兩者均不符合，則信號既不是能量信號，也不是功率信號。能量信號與功率信號判別例題§

3

信號的運算對時間變量的運算：即線性坐標(biāo)變換，包括

平移、翻轉(zhuǎn)和尺度變換。是信號的平移，其中右移時為延遲；左移時為超前。是信號的翻轉(zhuǎn)，它把信號的波形繞縱軸旋轉(zhuǎn)180度。是信號的尺度變換，其中，當(dāng)時為波形的收縮；當(dāng)時為波形的擴(kuò)展。信號時間變量運算的物理意義信號的折疊變換，就是將“未來”與“過去”互換，這顯然是不能用硬件實現(xiàn)的，所以并無實際意義，但它具有理論意義。信號的時移變換用時移器(也稱延時器)實現(xiàn)，當(dāng)t0＞0時，延時器為因果系統(tǒng)，是可以用硬件實現(xiàn)的；當(dāng)t0＜0時，延時器是非因果系統(tǒng)，此時的延時器變成為預(yù)測器。信號移位實際應(yīng)用：雷達(dá)、聲納以及地震信號檢測；通信系統(tǒng)中接收信號與原信號的延遲時間。

§

3

信號的運算更一般的坐標(biāo)變換是它是信號向右平移b，再擴(kuò)展倍，如果，還需翻轉(zhuǎn)。也可通過把信號首先尺度倍，然后向右平移來得到。注意所有的變換是針對時間變量t的。做尺度變換時注意含有特殊信號的情況，例如單位沖激信號?；诔叨茸儞Q和移位的小波信號分析。圖2§

3

信號的運算例1-1

如圖1-3(a)所示，試畫出解:首先，如圖1-3(b)所示把波形右移2；然后，如圖1-3(c)所示把信號時域壓縮到1/3；最后，如圖1-3(d)所示把波形翻轉(zhuǎn)得所需波形。

§

3

信號的運算對信號值的運算對函數(shù)值的運算可分類為一元運算和多元運算，即時運算（又稱為映射）和非即時運算，線性運算和非線性運算。一元運算是對單輸入信號的運算，如微分和積分，信號與常數(shù)的乘或加運算等；多元運算是對多個輸入信號的運算，如兩個信號加權(quán)。§

3

信號的運算對信號值的運算信號映射使運算結(jié)果僅取決于即時的信號值，通?？捎幂斎?輸出信號轉(zhuǎn)移特性表示。信號的非即時運算使運算結(jié)果取決于一段時間區(qū)間的信號值，一般它要由進(jìn)行此運算的系統(tǒng)特性，如微分方程，來描述。多個信號的非即時運算要有進(jìn)行該運算的多變量系統(tǒng)特性，如微分方程組描述。§

3

信號的運算信號微分信號積分信號的非線性映射§

3

信號的運算二維信號（圖像）的微分運算（邊緣提?。﹥尚盘柕南嗉优c相乘兩信號相加：兩信號相乘：§

4

典型信號指數(shù)信號正弦信號復(fù)指數(shù)信號抽樣信號沖激信號階躍信號斜坡信號符號函數(shù)1.指數(shù)信號指數(shù)信號的表示式為：其中是實數(shù)。若，信號為指數(shù)增長函數(shù)；若，信號是直流信號，其值恒等于常量；若，信號為指數(shù)衰減函數(shù)。指數(shù)信號的一個重要特點是它對時間的微分或積分仍然是指數(shù)信號。1.指數(shù)信號實際上，經(jīng)常遇到的是因果指數(shù)衰減信號2.正弦信號正弦信號和余弦信號統(tǒng)稱為正弦信號，一般可表示為：其中為振幅，是角頻率，稱為初相位。正弦信號的周期，其中是頻率。與指數(shù)信號相似，正弦信號對時間的微分或積分仍是正弦信號2.正弦信號在信號與系統(tǒng)分析中，常用到指數(shù)衰減的正弦信號，其正弦振蕩的幅度即包絡(luò)按指數(shù)規(guī)律衰減，其表示式為

3.復(fù)指數(shù)信號復(fù)指數(shù)信號是指數(shù)因子為復(fù)數(shù)的指數(shù)信號，其表示式為是復(fù)頻率的實部，是其虛部。上式用歐拉公式展開后，有指數(shù)因子的實部表征了正弦振蕩幅度的指數(shù)變化情況，時指數(shù)增長，時指數(shù)衰減。指數(shù)因子的虛部表征了正弦振蕩的角頻率。復(fù)指數(shù)信號和正弦信號關(guān)系圖4.抽樣信號抽樣信號，t＝0時，值為1。特點：1.是偶函數(shù)；2.過零點：3.4.5.單位階躍信號1t0t01單位階躍信號的物理背景

0時刻對某電路接入單位電源，并無限持續(xù)下去

延遲一定時間后接入單位電源，并無限持續(xù)下去5.單位階躍信號6.符號函數(shù)

定義

sgn(t)

10可用階躍信號表示

-1

信號的因果和反因果分解任意信號有因果反因果分解階躍信號的應(yīng)用階躍信號可用作示性函數(shù)或二值化函數(shù)對信號進(jìn)行階躍變換可用來檢測該信號的符號，也可用作表示信號具有某種特性的示性函數(shù)，即可借用階躍變換定義示性函數(shù)7.斜坡信號階躍信號的積分是斜坡信號

01t

0t0

t0+1tr(t)r(t-t0)t>=0r(t)=tt<0r(t)=0t<t0r(t-t0)=0t>=t0r(t-t0)=t-t011例2

寫出圖1-16(a)示出的信號的表達(dá)式。8.單位沖激信號單位沖激信號的各種定義連續(xù)時間單位沖激信號

——持續(xù)時間無窮小，瞬間幅度無窮大，涵蓋面積恒為1的一種理想信號。狄拉克定義

0t沖激函數(shù)的性質(zhì)t0t0單位沖激平移沖激函數(shù)的性質(zhì)偶函數(shù)積分篩選

相乘

沖激函數(shù)的尺度性質(zhì)沖激函數(shù)的尺度性質(zhì)證明：利用沖激函數(shù)的偶性、階躍函數(shù)的尺度性和沖激函數(shù)是階躍函數(shù)的微分，有沖激函數(shù)的檢零性質(zhì)當(dāng)沖激函數(shù)應(yīng)用于非線性函數(shù)時，具有檢測其零點，并反映其導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)。由于函數(shù)在其零點，i=1,2,…,n有，使得在其零點領(lǐng)域，有根據(jù)尺度性質(zhì)，有沖激偶信號——

取極限取極限求導(dǎo)沖激偶的性質(zhì)面積“篩選”例3

計算§5

信號的分解直交流分解奇偶分解正交分解1.直流分量和交流分量

直流分量交流分量

即信號平均值信號的平均功率等于直流功率和交流功率之和2.偶分量與奇分量

任何信號都可以分解

為偶分量和奇分量之和

偶分量（偶信號）

奇分量（奇信號）

直流分量一定屬于偶分量信號的奇偶分解在分析和理解信號的傅里葉變換或傅里葉級數(shù)時很有幫助

3.正交分解信號正交分解的核心是把信號分解為完備、正交、能量歸一的基信號集合中的各個基信號的加權(quán)和，它非常有益于信號分析和理解。原則上有無窮多個這樣的正交分解。最常用的是傅里葉級數(shù)分解、傅里葉變換和拉普拉斯變換。傅里葉級數(shù)是把周期信號分解成無窮多個諧波正弦信號的加權(quán)和；傅里葉變換就是把非周期信號分解成無窮多個頻率間隔無窮小的復(fù)正弦信號的加權(quán)和；而拉普拉斯變換就是把信號分解成無窮多個復(fù)指數(shù)信號的加權(quán)和。其它的典型例有小波分解，主分量分析等?！?/p>

6

系統(tǒng)的基本概念系統(tǒng)定義：信號運算，包括信號的變換、處理、分析和理解等，都在系統(tǒng)中進(jìn)行。稱系統(tǒng)的輸入信號為激勵（Excitation），稱系統(tǒng)的輸出信號為響應(yīng)（Response）。系統(tǒng)分類：按輸入輸出特性分連續(xù)/離散/數(shù)字/混合系統(tǒng)。按系統(tǒng)特性分，有線性或非線性系統(tǒng)、時不變或時變系統(tǒng)、因果或非因果系統(tǒng)、穩(wěn)定或不穩(wěn)定系統(tǒng)，可逆系統(tǒng)和不可逆系統(tǒng)。

計算機(jī)控制系統(tǒng)

（包括連續(xù)，混合，數(shù)字，混合和連續(xù)系統(tǒng)）1.線性系統(tǒng)（LinearSystem）

一個同時滿足可加性(additivity)和齊次性(homogeneityorscaling)的系統(tǒng)被定義為線性系統(tǒng)，否則稱為非線性系統(tǒng)?？杉有裕簝奢斎胄盘栔偷南到y(tǒng)響應(yīng)等于兩輸入信號分別引起的系統(tǒng)響應(yīng)之和。這表示系統(tǒng)處理與加法的次序可交換，即無論是先加后處理，還是先處理后加，都得相同的結(jié)果，如后一頁圖(a)所示。齊次性：輸入信號乘以常數(shù)后引起的系統(tǒng)響應(yīng)等于輸入信號引起的系統(tǒng)響應(yīng)再乘以該常數(shù)。這表示系統(tǒng)處理與常量乘的次序可交換，即無論是先放大后處理，還是先處理后放大，都得相同的結(jié)果，如后一頁圖(b)所示。線性系統(tǒng)疊加性（a）和齊次性（b）線性系統(tǒng)的判斷系統(tǒng)線性的判斷可以使用可加性判斷接著齊次性判斷的兩步法，也可以使用線性性判斷的一步法。注意，只要違反了可加性或齊次性，就是非線性的。使用上述判斷準(zhǔn)則，容易得出如下結(jié)論：平移、翻轉(zhuǎn)和尺度運算都是線性的；乘常數(shù)或與輸入無關(guān)的變量，即恒增益或變增益放大，是線性的；加常數(shù)或與輸入無關(guān)的變量，即固定電平或可變電平偏置，是非線性的；線性系統(tǒng)的判斷微分和積分運算是線性的；非正比例的即時映射都是非線性的；有零初始狀態(tài)的線性電路或線性微分方程都是線性的；任何含非線性運算的系統(tǒng)，如非線性的微分方程或電路，都是非線性的。注意，線性性的要求是很嚴(yán)格的，甚至有非零初始狀態(tài)的線性電路，或者有非零初始狀態(tài)的線性常微分方程都不是上述意義下的線性系統(tǒng)。2.時不變系統(tǒng)(TimeInvariantSystem)

時不變性：如果輸入f(t)引起的系統(tǒng)響應(yīng)為y(t)，則輸入f(t-t0)引起的系統(tǒng)響應(yīng)為y(t-t0)，其中，t0為延遲時間。這表示系統(tǒng)處理與延遲運算的次序可交換，即無論是先延遲后處理，還是先處理后延遲，都得到相同的結(jié)果，也就是輸入延遲多少時間，輸出也延遲多少時間，如下圖所示。時不變系統(tǒng)的判斷平移是時不變的、但翻轉(zhuǎn)和尺度運算都是時變的，因為對于翻轉(zhuǎn)而言，輸入延遲時，輸出延遲，對于尺度而言，輸入延遲時，輸出延遲；乘或加常數(shù)，即直流偏置或固定增益放大，是時不變的，而乘或加與輸入無關(guān)的變量，即交流偏置或時變增益放大，是時變的，因為對后者而言，所乘或加的與輸入無關(guān)的變量并不隨輸入的延遲而延遲；微分和下限為的積分運算是時不變的，但如例1-5f所證，下限為零的積分卻是時變的；所有即時映射都是時不變的；有零初始狀態(tài)的常參數(shù)電路或常系數(shù)微分方程才是時不變的，而具有非零初始狀態(tài)的電路或微分方程是時變的，因為初始狀態(tài)定義于零時刻，它不會隨著輸入的延遲而延遲到另一時刻；同樣地，變系數(shù)微分方程中的變系數(shù)的時間變量并沒有因輸入的延遲而延遲。3.因果系統(tǒng)(CausalSystem)

因果系統(tǒng)：如果t<t0時輸入f(t)＝0，則一定有t<t0時系統(tǒng)響應(yīng)y(t)＝0。這表示無輸入之前系統(tǒng)不會有響應(yīng)；同樣地輸出一定要在輸入變化之后發(fā)生變化；一個因果系統(tǒng)一定是物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，反之亦然；因果信號指t=0時接入系統(tǒng)的信號（t<0時信號為零），也稱有始信號；即時系統(tǒng)一定是因果系統(tǒng)；根據(jù)此定義，可知一個因果系統(tǒng)對因果激勵信號的響應(yīng)一定是因果的。

因果系統(tǒng)的判斷向右平移（即延遲）是因果的，而向左平移（即超前）、翻轉(zhuǎn)（即時間倒轉(zhuǎn)）和尺度運算都是非因果的，因為超前和時間倒轉(zhuǎn)都會使將來發(fā)生的事情先于現(xiàn)在出現(xiàn)；乘法和加法運算是因果的；微分是非因果的，因為它與將來時刻的信號值有關(guān)；下限為的積分運算是因果的，因為它與將來時刻的信號值無關(guān)；但正如例1-5f所證，下限為零的積分卻是非因果的；所有即時映射都是因果的；電路和描述實際物理系統(tǒng)的微分方程都是因果的，因為它們都是物理可實現(xiàn)的。4.穩(wěn)定系統(tǒng)(StableSystem)一個能實際應(yīng)用的系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的，因此穩(wěn)定性的討論具有特別重要的地位。一般系統(tǒng)的穩(wěn)定性討論需建立在有界輸入-有界輸出（BIBO）意義上，即：如果系統(tǒng)能對任何有界輸入信號產(chǎn)生有界的輸出響應(yīng)信號，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。平移、翻轉(zhuǎn)和尺度運算都是穩(wěn)定的；乘/加取值有限的常量或變量的運算是穩(wěn)定的；微分運算是穩(wěn)定的，而積分運算卻是不穩(wěn)定的，因為有界函數(shù)的積分可能無界；即時映射在映射函數(shù)有界時才是穩(wěn)定的；系統(tǒng)穩(wěn)定性一般的穩(wěn)定性判斷相當(dāng)復(fù)雜，它與所討論問題有關(guān)，往往需使用特定領(lǐng)域中的特定判斷方法。本書僅限于討論其中最簡單系統(tǒng)的，尤其是LTIV系統(tǒng)的穩(wěn)定性。我們將在第二章和第四章分別證明，LTIV系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)沖激響應(yīng)絕對可積，或等價地，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點都在左半S平面。例5：判斷下述系統(tǒng)是不是線性、時不變、因果、穩(wěn)定的

系統(tǒng)該系統(tǒng)是非線性、時不變、因果、穩(wěn)定的。原因：取絕對值是非線性運算使系統(tǒng)是非線性的；它與運算時刻無關(guān)使系統(tǒng)是時不變的；它是即時運算（輸出僅取決于當(dāng)前時刻的輸入值）使系統(tǒng)是因果的；它不改變信號最大模值使系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)該系統(tǒng)是線性、時變、因果、穩(wěn)定的。原因：系統(tǒng)輸出僅取決于當(dāng)前時刻的輸入值使系統(tǒng)是因果的；由于乘的是一個幅值不大于1的量，使系統(tǒng)是穩(wěn)定的；并且

系統(tǒng)該系統(tǒng)是線性、時變、非因果、穩(wěn)定的。原因：在t>0時，當(dāng)前時刻t的系統(tǒng)輸出值取決于將來時刻2t的輸入值；函數(shù)值域沒有變化，即是穩(wěn)定的。系統(tǒng)

該系統(tǒng)是非線性、時不變、非因果、穩(wěn)定的。原因：當(dāng)前時刻t的系統(tǒng)輸出值取決于將來時刻t+2的輸入值，故是非因果的。同時可判斷是時不變的。

請證明該系統(tǒng)是線性、時不變、因果、穩(wěn)定的。該系統(tǒng)是線性、時變、非因果、不穩(wěn)定的。原因是：在t<0時，t時刻的輸出值取決于它