第7講函數(shù)圖象A級基礎(chǔ)演練(時間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．函數(shù)y＝esinx(－π≤x≤π)的大致圖象為 ()．解析因－π≤x≤π，由y′＝esinxcosx>0，得－eq\f(π,2)<x<eq\f(π,2).則函數(shù)y＝esinx在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上為增函數(shù)，排除A、B、C，故選D.答案D2．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(4,|x|＋2)－1的定義域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0,1]，則滿足條件的整數(shù)對(a，b)共有 ()．A．2對 B．5對 C．6對 D．無數(shù)對解析顯然f(x)＝eq\f(4,|x|＋2)－1為偶函數(shù)．其圖象如圖所示．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,x＋2)－1，x≥0，,\f(－4,x－2)－1，x<0，))要使值域y∈[0,1]，且a，b∈Z，則a＝－2，b＝0,1,2；a＝－1，b＝2；a＝0，b＝2，∴共有5對．答案B3．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))x－tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<x<\f(π,2)))，若實(shí)數(shù)x0是函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)，且0<t<x0，則f(t)的值 ()．A．大于1 B．大于0 C．小于0 D．不大于0解析分別作出函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))x與y＝tanx在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的圖象，得到0<x0<eq\f(π,2)，且在區(qū)間(0，x0)內(nèi)，函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))x的圖象位于函數(shù)y＝tanx的圖象上方，即0<x<x0時，f(x)>0，則f(t)>0，故選B.答案B4．如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0))，頂點(diǎn)C、D位于第一象限，直線l：x＝t(0≤t≤eq\r(2))將正方形ABCD分成兩部分，記位于直線l左側(cè)陰影部分的面積為f(t)，則函數(shù)S＝f(t)的圖象大致是 ()．解析當(dāng)直線l從原點(diǎn)平移到點(diǎn)B時，面積增加得越來越快；當(dāng)直線l從點(diǎn)B平移到點(diǎn)C時，面積增加得越來越慢．故選C.答案C二、填空題(每小題5分，共10分)5．設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋2|＋|x－a|的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，則a的值為________．解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，則有f(2＋x)＝f(2－x)對于任意實(shí)數(shù)x恒成立，即|x＋4|＋|x＋2－a|＝|x－4|＋|x－2＋a|對于任意實(shí)數(shù)x恒成立，從而有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a＝－4，,a－2＝4，))解得a＝6.答案66．(·新課標(biāo)全國)函數(shù)y＝eq\f(1,1－x)的圖象與函數(shù)y＝2sinπx(－2≤x≤4)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于________．解析函數(shù)y＝eq\f(1,1－x)＝eq\f(－1,x－1)和y＝2sinπx的圖象有公共的對稱中心(1,0)，畫出二者圖象如圖所示，易知y＝eq\f(1,1－x)與y＝2sinπx(－2≤x≤4)的圖象共有8個交點(diǎn)，不妨設(shè)其橫坐標(biāo)為x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，且x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7<x8，由對稱性得x1＋x8＝x2＋x7＝x3＋x6＝x4＋x5＝2，∴x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＝8.答案8三、解答題(共25分)7．(12分)討論方程|1－x|＝kx的實(shí)數(shù)根的個數(shù)．解設(shè)y＝|1－x|，y＝kx，則方程的實(shí)根的個數(shù)就是函數(shù)y＝|1－x|的圖象與y＝kx的圖象交點(diǎn)的個數(shù)．由右邊圖象可知：當(dāng)－1≤k<0時，方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)k＝0或k<－1或k≥1時，方程只有一個實(shí)數(shù)根；當(dāng)0<k<1時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．8．(13分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x,1＋x).(1)畫出f(x)的草圖；(2)指出f(x)的單調(diào)區(qū)間．解(1)f(x)＝eq\f(x,1＋x)＝1－eq\f(1,x＋1)，函數(shù)f(x)的圖象是由反比例函數(shù)y＝－eq\f(1,x)的圖象向左平移1個單位后，再向上平移1個單位得到，圖象如圖所示．(2)由圖象可以看出，函數(shù)f(x)有兩個單調(diào)遞增區(qū)間：(－∞，－1)，(－1，＋∞)．B級能力突破(時間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1．函數(shù)＝lneq\f(1,|2x－3|)的大致圖象為(如圖所示) ()．解析y＝－ln|2x－3|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－ln2x－3，x>\f(3,2)，,－ln3－2x，x<\f(3,2)，))故當(dāng)x>eq\f(3,2)時，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)x<eq\f(3,2)時，函數(shù)為增函數(shù)．答案A2．(·江西)如右圖，已知正四棱錐S－ABCD所有棱長都為1，點(diǎn)E是側(cè)棱SC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分．記SE＝x(0<x<1)，截面下面部分的體積為V(x)，則函數(shù)y＝V(x)的圖象大致為 ()．解析(1)當(dāng)0<x<eq\f(1,2)時，過E點(diǎn)的截面為五邊形EFGHI(如圖1所示)，連接FI，由SC與該截面垂直知，SC⊥EF，SC⊥EI，∴EF＝EI＝SEtan60°＝eq\r(3)x，SI＝2SE＝2x，IH＝FG＝BI＝1－2x，F(xiàn)I＝GH＝eq\r(2)AH＝2eq\r(2)x，∴五邊形EFGHI的面積S＝FG×GH＋eq\f(1,2)FI×eq\r(EF2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)FI))2)＝2eq\r(2)x－3eq\r(2)x2，∴V(x)＝VC－EFGHI＋2VI－BHC＝eq\f(1,3)(2eq\r(2)x－3eq\r(2)x2)×CE＋2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×(1－2x)×eq\f(\r(2),2)(1－2x)＝eq\r(2)x3－eq\r(2)x2＋eq\f(\r(2),6)，其圖象不可能是一條線段，故排除C，D.(2)當(dāng)eq\f(1,2)≤x<1時，過E點(diǎn)的截面為三角形，如圖2，設(shè)此三角形為△EFG，則EG＝EF＝ECtan60°＝eq\r(3)(1－x)，CG＝CF＝2CE＝2(1－x)，三棱錐E－FGC底面FGC上的高h(yuǎn)＝ECsin45°＝eq\f(\r(2),2)(1－x)，∴V(x)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)CG·CF·h＝eq\f(\r(2),3)(1－x)3，∴V′(x)＝－eq\r(2)(1－x)2，又顯然V′(x)＝－eq\r(2)(1－x)2在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上單調(diào)遞增，V′(x)<0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))))，∴函數(shù)V(x)＝eq\f(\r(2),3)(1－x)3在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上單調(diào)遞減，且遞減的速率越來越慢，故排除B，應(yīng)選A.答案A二、填空題(每小題5分，共10分)3．使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范圍是________．解析作出函數(shù)y＝log2(－x)及y＝x＋1的圖象．其中y＝log2(－x)與y＝log2x的圖象關(guān)于y軸對稱，觀察圖象(如圖所示)知－1<x<0，即x∈(－1,0)．也可把原不等式化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x>0，,－x<2x＋1))后作圖．答案(－1,0)4．(·北京)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)，x≥2，,x－13，x<2.))若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．解析作出函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)，x≥2，,x－13，x<2))的簡圖，方程f(x)＝k有兩個不同的實(shí)根，也就是函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝k有兩個不同的交點(diǎn)，所以0<k<1.答案(0,1)三、解答題(共25分)5．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)作出函數(shù)f(x)的圖象并判斷其零點(diǎn)個數(shù)；(3)根據(jù)圖象指出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(4)根據(jù)圖象寫出不等式f(x)>0的解集；(5)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有三個不相等的實(shí)根}．解(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.(2)∵f(x)＝x|m－x|＝x|4－x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx－4，x≥4，,－xx－4，x<4.))∴函數(shù)f(x)的圖象如圖：由圖象知f(x)有兩個零點(diǎn)．(3)從圖象上觀察可知：f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2,4]．(4)從圖象上觀察可知：不等式f(x)>0的解集為：{x|0<x<4或x>4}．(5)由圖象可知若y＝f(x)與y＝m的圖象有三個不同的交點(diǎn)，則0<m<4，∴集合M＝{m|0<m<4}．6．(13分)設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)(x∈(－∞，0)∪(0，＋∞))的圖象為C1，C1關(guān)于點(diǎn)A(2,1)的對稱的圖象為C2，C2對應(yīng)的函數(shù)為g(x)．(1)求函數(shù)y＝g(x)的解析式，并確定其定義域；(2)若直線y＝b與C2只有一個交點(diǎn)，求b的值，并求出交點(diǎn)的坐標(biāo)．解(1)設(shè)P(u，v)是y＝x＋eq\f(1,x)上任意一點(diǎn)，∴v＝u＋eq\f(1,u)①.設(shè)P關(guān)于A(2,1)對稱的點(diǎn)為Q(x，y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(u＋x＝4，,v＋y＝2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(u＝