專題39空間幾何體的表面積和體積

考情解讀，

1.了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式.

'重點知識梳理，

1.柱、錐、臺和球的表面積和體積

稱

表面積體積

幾何體

柱體（棱柱和圓柱）S表面積=S側(cè)+2s底V=Sh

1

錐體（棱錐和圓錐）S表面積=S側(cè)+S底K=-SZ?

，=!（S上+5下+小瓦）右

臺體（棱臺和圓臺）S表面積=5側(cè)+S上+S下

J

4弋

球5=4幾口

卜高頻考點突破

高頻考點一求空間幾何體的表面積

例1、（1）一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（）

A.1+^3

C.2+4D.2y[2

（2）圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正

視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20口，則r等于（）

--2r—

Ox

<J\

正視圖1

I

T—T

_L2Lr

俯視圖

A.1B.2

C.4D.8

⑶一個六棱錐的體積為2/，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的

側(cè)面積為.

【答案】（DC（2）B⑶12

【解析】（1）由幾何體的三視圖可知空間幾何體的直觀圖如圖所示.

B

.?.其表面積工=2，物'1+2'*<（卷2=2+而，故選C.

（2）由正視圖與俯視圖想象出其直觀圖，然后進(jìn)行運算求解.如圖，該幾何體是一個半球與一個半圓柱的組

合體，球的半徑為〃圓柱的底面半徑為〃高為2r,則表面積S=*4端+加+4/+m2/=（5兀+4）戶.又5

=16+2g

「.（5兀+4）K=16+2SE,「M=4,『2,故選B

（3）設(shè)正六棱錐的高為人側(cè)面的斜高為分.

由題意，得§義6義5*2*/義力=2#,

：.h=1,

?,?斜高分+小2=2,

1

二?S側(cè)=6><]><2><2=12.

【感悟提升】空間幾何體表面積的求法

(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位

置關(guān)系及數(shù)量.

(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.

(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.

【變式探究】(?全國III卷)如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面

體的三視圖，則該多面體的表面積為()

B.54+18m

C.90D.81

【答案】B

【解析】由幾何體的三視圖可知，該幾何體是底面為正方形的斜平行六面體.

由題意可知該幾何體底面邊長為3,高為6,

所以側(cè)棱長為"3a+&=3近

故該幾何體的表面積5=32X2+(3X6)X2+(3X3^5)X2=54+18^5.

高頻考點二求空間幾何體的體積

例2、(1)(?山東卷)一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.則該幾何體的體

積為()

俯視圖

11

-B-+n

Ac.33

1

-1+

3D.31

（2）正三棱柱/8C—4笈G的底面邊長為2,側(cè)棱長為噂，D為BC中點,則三棱錐4—6防。的體

積為（）

3A/3

A.3B.-C.1D.g-

【答案】（DC（2）C

【解析】（D由三視圖知該四棱錐是底面邊長為1,高為1的正四棱錐，結(jié)合三視圖可得半球半徑為李,

從而該幾何體的體積為/xVx1+*如x（坐）二上+坐兀

（2）由題意可知，31平面SLDCI,即加為三棱錐

/-Bg的高,且㈤=乎X2=S,

易求得5A5LDCI=*2XS=S,

所以四一BiDCi=/xSx仍=1.

【變式探究】（?課標(biāo)全國II）一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右

圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）

1

8-

Ac.1

6-

D

如

圖

由題意知，該幾何體是正方體285-4臺04被過三點2、Bi、〃的平面所截剩余部分，截去的

部分為三棱錐/T心〃，設(shè)正方體的棱長為1,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為

V

v匕—4孫

A-\B{DX

V

y〃用GABCD用。

BXCXDX-ABCDA——%-41

-1x-1xi2xi

o乙

~~i~i2―=?選D-

13--X-X12X1

OLt

高頻考點三求簡單幾何體的體積

JI

例3、在梯形46（力中，ZABC=~,AD//BC,6。=2/小2/6=2.將梯形46切繞所在的直線

旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）

2兀4兀

A.B.

5兀

C.-T-D.2兀

O

【答案】c

【解析】過點c作CE垂直血所在直線于點E,梯形"CD繞加所在直線施轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是

由以線段AB的長為底面圓半徑，線段EC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，也為高的圓錐,

如圖所示,

該幾何體的體積為勺，圓柱一，瞰=口?AS?BC~^?Ji??DE^JiX12X2-|JIX12X1=

5JI

故選c.

【變式探究】（1）一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨，加工成球,

則能得到的最大球的體積等于（）

E

T

8

I

-

俯視圖

（2）如圖，在多面體力閱班F中，已知力及力是邊長為1的正方形，且應(yīng)，均為正三角

形，EF//AB,EF=2,則該多面體的體積為（）

【答案】（DB（2）A

【解析】（1）由三視圖可知該幾何體是一個直三棱柱，底面為直角三角形，高為12,如圖所

其中/C=6,BC=8,ZACB=9Q°,則48=10.

由題意知，當(dāng)打磨成的球的大圓恰好與三棱柱底面直角三角形的內(nèi)切圓相同時，該球的半徑

最大.

即r=6+「°=2,故能得到的最大球的體積為故選B.

(2)如圖，分別過點幺，B作即1的垂線，垂足分別為G,H,連接DG,CH,

容易求得EG=M=*AG=GD=BH=HC=^,

1也

-XX

22

業(yè)

11也

-1選A

-X_X+XL-

342X24

【感悟提升】空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略

(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進(jìn)行求解.

(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法

進(jìn)行求解.

(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求

解.

高頻考點四與球有關(guān)的切、接問題

例4、已知直三棱柱46C—46C的6個頂點都在球。的球面上，若26=3,AC=4,ABLAC,

44=12,則球。的半徑為()

N.B.2710

C.yD.3710

【答案】C

【解析】如圖所示，由球心作平面/回的垂線，

則垂足為a1的中點〃

r15

又AM=~BC=~,

1

OM=~AA\=&,

所以球。的半徑7?=。｝=、/12+62=Y.

【感悟提升】空間幾何體與球接、切問題的求解方法

(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為

平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解.

(2)若球面上四點RA,B,C構(gòu)成的三條線段以，PB,尸C兩兩互相垂直，且用=a,PB=b,

PC=c,■般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為■個球內(nèi)接長方體，利用求解.

【變式探究】如圖，直三棱柱/8C—4笈G的六個頂點都在半徑為1的半球面上，AB=AC,側(cè)

面比1G61是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面/陽4的面積為()

A.看B.1

C.y[2D.小

【答案】C

【解析】由題意知，球心在側(cè)面BCC1B1的中心。上述C為AtBC所在圓面的直徑,m

的外接圓圓心N是BC的中點，同理—151。的外心科是&G的中點.設(shè)正方形BCWSi的邊長為x,

yY

R1A0A?中，QW二本鼠C1昔,0clm=1(五為球的半徑),

/+(/1,即了=4，貝lJ/6=/C=l,

S矩形4初4=/義1=$.

真題感悟

1.【高考新課標(biāo)1卷】如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂

直的半徑.若該幾何體的體積是——，則它的表面積是（）

3

(A)17兀(B)181(C)20萬(D)28萬

【答案】A

【解析】該幾何體直觀圖如圖所示:

是一個球被切掉左上角的設(shè)球的半徑為R貝JV=：X：殂3=攣，解得R=2,所以它的表面積是Z的

Bo338

球面面積和三個扇形面積之和

71

S=—x4^乂2"+3乂彳雙乂2”=17再故選A.

2.【高考新課標(biāo)2理數(shù)】下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表

面積為（）

(C)28〃(D)327r

【答案】C

【解析】由題意可知，圓柱的側(cè)面積為Si=2*2.4=l&t,圓錐的側(cè)面積為$2=-2-4=版，圓柱的底

2

面面積為S-3=K2=4K,故該幾何體的表面積為S=S1+S1+S3=^Kf故選C.

3.【高考北京理數(shù)】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為()

【答案】A

【解析】分析三視圖可知，該幾何體為一三棱錐尸-ABC,其體積V=1?工?1?1?1=工，故

326

選A.

4.【高考新課標(biāo)3理數(shù)】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實現(xiàn)畫出的是某多面體

的三視圖，則該多面體的表面積為(

(A)18+36百(B)54+18^5(C)90(D)81

【答案】B

【解析】由三視圖該幾何體是以側(cè)視圖為底面的斜四棱柱，所以該幾何體的表面積

S=2x3x6+2x3x3+2x3x3岔=54+186,故選B.

5.【高考山東理數(shù)】一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.則該幾何體的體

積為()

側(cè)（左）視圖

J,2

coL當(dāng)(D)1+^TT

3333366

【答案】C

【解析】由三視圖可知，上面是半徑為《的半球，體積為匕=[x?兀x（￡尸=，兀,下面是底面積為1,

22326

高為1的四棱錐，體積匕=lx1x1=!,故選c.

33

6.【高考四川理數(shù)】已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如

圖所示，則該三棱錐的體積是

正視圖

【答案】—

3

【解析】由三棱錐的正視圖知，三棱錐的高為，底面邊長為2J5,2,2,所以，該三棱錐的體

積為丫=工義」_義2義2義正義1=且.

3223

7.【高考浙江理數(shù)】某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm),則該幾何體的表面積是cm2,

體積是cm3.

【答案】7232

【解析】幾何體為兩個相同長方體組合，長方體的長寬高分別為422,所以體積為2x(2x2x4)=32,由

于兩個長方體重彘部分為一個邊長為2的正方形,所以表面積為2(2x2x2+2x4x4)-2(2x2)=72

1.【高考陜西，理5】一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()

A.3萬B.47rC.2?+4D.3?+4

主提田左視圖

【答案】D

【解析】由三視圖知：該幾何體是半個圓柱，其中底面圓的半徑為，母線長為2,所以該幾何

體的表面積是5x2"xlx(l+2)+2x2=37r+4,故選D.

2.【高考新課標(biāo)1,理11】圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為力組成一個幾何體，

該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20萬，則廣()

(A)1(B)2(C)4(D)8

【答案】B

【解析】由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個圓柱的組合體,圓柱的半徑與球的半徑都為「，圓柱

........._1.□--一.

的圖力其表回積為-x4"+;zrx2r+W+2rx2r=5析,+41=16+20",解得片2,故選B.

2

3.【高考重慶，理5】某幾何體的三視圖如圖所示則該幾何體的體積為

ZOI幽CJ

p-l2-*

正視圖左視圖的視圖

題(5)圖

12

A、—F71B、—I-71

33

1c2。

C、—F2%D、—F27r

33

【答案】A

【解析】這是一個三棱錐與半個圓柱的組合體，v=—^xl2x2+—x(—xxlx2)xl=^-+—,

2323

選A.

4.【高考北京，理5】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是(

A.2+逐B(yǎng).4+gC.2+2百D.5

【答案】C

【解析】根據(jù)三視圖恢復(fù)成三棱錐「一皿5其中產(chǎn)C_L平面ABC,取AB棱的中點D,連接CD、PD,有

工恥@±底面為等腰三角形底邊上的高為

PDAB)ABCABCD2,AD=BD=1,PO1,

pnRw=-x2x2=2S=Lx2x或=卡:

PD=gS皿2,*2v,AC=BC=忐，

S爾=}x店xl=j_S表=2點+2_

'2,二棱鍵表面積表，故選C

P

5.【高考安徽，理7】一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是()

(A)1+6(B)2+73

(C)1+20(D)20

側(cè)（左）視圖

（7）題圖

【答案】B

【解析】由題意，該四面體的直觀圖如下，是等股直角三角形，ASCAXCD是等邊三角

形,則S.D=,5^0=—Xy/2xj2=1,S=.5^°=彳x&x&sin6(F=￡

AJBC,所以四面體的表面積

S=Sr+S^gD+Sc+SUCD=2x1+2x=2+出，故選B.

AzfTlC:rDji、"z.A.<4.tj_、r

6.【高考新課標(biāo)2,理9］已知A,B是球。的球面上兩點，/A0B=90,C為該球面上的動點，

若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球。的表面積為（）

A.36nB.64nC.144nD.256n

【答案】C

【解析】如圖所示，當(dāng)點C位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐ABC的體積最大,

111,

273

VoABC=VCAOB=-x-7?x7?=-7?=36

設(shè)球。的半徑為R,此時326，故氏=6,則球。的

表面積為S=4萬火2=144萬，故選c.

c

jr

7.【高考山東，理7】在梯形ABC。中，ZABC=-,AD//BC,BC=2AD=2AB=2.

2

將梯形ABC。繞A。所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()

，、27，、4萬，、57

(A)—(B)——(C)—z(D)In

333

【答案】C

【解析】直角梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個底面半徑為1,

母線長為2的圓柱挖去一個底面半徑同樣是1、高為1的圓錐后得到的組合體，所以該組合體的體積為：

V=。住一%埼=^xl2x2--x^xl2xl=1^,故選C.

8.【高考浙江，理2】某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm),則該幾何體的體積是()

3240

A.8cm3B.12cm3C.一cm3D.——cm3

俯視圖

【答案】C.

【解析】由題意得，該幾何體為一立方體與四棱錐的組合，如下圖所示，???體積

V=23+“F號

故選c.

L（?湖南卷）一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖1-2所示，將該石材切削、打磨，加工

成球，則能得到的最大球的半徑等于（）

正視圖側(cè)視圖

7

12

2L

俯視圖

圖1-2

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

E解析】由三視圖可知，石材為一個三棱柱。目對應(yīng)的長方體的一半），故可知能得到的最大球為三棱柱的內(nèi)

切球.由題意可知正視圖三角形的內(nèi)切圓的半徑即為球的半徑，可得.

2.（?全國卷）正四棱錐的頂點都在同一球面上.若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該

球的表面積為（）

81兀27兀

L——B.16JiC.9兀D.——

44

【答案】A

【解析】如圖所示，因為正四棱錐的底面邊長為2,所以設(shè)球心為。，球的半

徑為此則施'=4—尼OA=R,又知為直角三角形，根據(jù)勾股定理可得，〃2=*+/慶

9，9、28］兀

即用=（4一而?+2,解得A=?所以球的表面積S=4兀4=4兀x|jJ=丁.

3.（?陜西卷）已知底面邊長為1,側(cè)棱長為隹的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則

該球的體積為（）

【答案】D【解析】設(shè)該球的半徑為此根據(jù)正四棱柱的外接球的直徑長為正四棱柱的體對

角線長，可得（2面2=（明”+儼+匕解得斤=1,所以該球的體積為勺

4.（高考重慶卷）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

2

俯視圖

560580

A.B.C.200D.240

【答案】：c

【解析】：由三視圖可得該幾何體是上、下底面均為矩形，左、右側(cè)面均為等腰梯形的多面體，如圖所示,

5.（高考廣東卷）某四棱臺的三視圖如圖所示，則該四棱臺的體積是（）

14

A.4B.—

O

16

C.-D.6

0

【答案】：B

【解析】：由四棱臺的三視圖可知，臺體上底面積S=1X1=1,下底面積S=2X2=4,高力

=2,代入臺體的體積公式K=-（SI+^/STS+^）/?=-X（l+*\/lX4+4）X2=—

?J0J

6.（高考全國新課標(biāo)卷I）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

A.16+8兀

B.8+8兀

C.16+16H

D.8+16兀

【答案】：A

【解析】：根.據(jù)三視圖可以判斷該幾何體由上、下兩部分組成,其中上面部分為長方體，下面部分為半個圓

柱，所以組合體的體積為2x2x4+爐22兀x4=16+8兀，選擇A.

7.（高考陜西卷）某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為

俯視圖

【答案】：3n

【解析】：由三視圖可知，該幾何體為半徑r=l的半球體，表面積為底面圓面積加上半球面

的面積，所以S=Ji合+2n/=3m.

押題專練

1.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3,則主視圖中的x的值是（）

211

主視圖左視圖

俯視圖

93

A.2B."C.~D.3

【答案】D

【解析】由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，且S底=；（1+2）X2=3.，

=gx?3=3,解得x=3.

2.一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（）

A.1+73B.2+^3C.1+272D.2^2

【答案】B

【解析】四面體的直觀圖如圖所示.

惻面酎C1底面>15C,且AMC與均為腰長是S的等腰直角三角形，SA=BC=AB=BC=&AC=

2.

設(shè)/C的中點為0,連接5。，B0,貝IJ50L1C,又50u平面MC,平面以6平面

.?.501平面4BC,又BOu平面4BC,：.S01B0.

又05=05=1,：.SB=&

故△夕國與均是邊長為噌的正三角形，故該四面體的表面積為2xgx/></+2xW

X（隹）2=2+小

3.如圖，四棱錐夕一46切的底面26切為平行四邊形，NB=2PN,則三棱錐h序，與三棱錐，

一陽。的體積比為（

P

C.1：6D.1：3

【答案】D

【解析】設(shè)點P,N在平面ABCD內(nèi)的投影分別為點P\M,則PP1平面ABCD,1平面ABCD?

所以

則在ABPP中，由皮U2/W得加1二彳

V=^?N-PAC=VV=^?N-ABC

—?PPf一寺SjflC'iWy

二聶皿.（PPr-MV尸骨《BC?gpP，

=§5AJBC,PP',V=??ij-a?c—r=?（（p-^co—?PP',

又：四邊形HBCD是平行四邊形，.?.S）BC=SICD,

二六回4故選D.

心榭叩-JMCJ

4.若某一幾何體的主視圖與左視圖均為邊長是1的正方形，且其體積為g,則該幾何體的俯

視圖可以是（）

ABCD

【答案】C

【解析】若俯視圖為A,則該幾何體為正方體，其體積為1,不滿足條件.若俯視圖為B,則

該幾何體為圓柱，其體積為“（22乂1=亍，不滿足條件.若俯視圖為C,則該幾何體為三棱柱,

1111JI

其體積為］X1X1X1=",滿足條件.若俯視圖為D,則該幾何體為圓柱的山體積為*nXl=w，

不滿足條件.

5.