含有絕對值的不等式2021/01/2111.絕對值的概念|a|=(a>0),(a=0),(a<0).｛a0-a2.|a|的幾何意義：數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離.基礎(chǔ)知識回顧

3.絕對值的基本運(yùn)算性質(zhì)|ab|＝|a|×|b|，|a/b|＝|a|/|b|2021/01/2124.含絕對值不等式的解法-aaoＸ＞ａ或ｘ＜－ａa-ao(1)若a＞0，則當(dāng)|x|＜a時(shí)，有﹣a＜x＜a(2)若a＞0，則當(dāng)|x|＞a時(shí)，有x＞a或x＜﹣a2021/01/213定理引入試考慮兩數(shù)和的絕對值與兩數(shù)絕對值的和與差的關(guān)系，請?zhí)畋碛^察．０１１２－１－２２－３－３１１３３５４１３３１２－１－１－１－１２ａ

ｂ｜ａ｜＋｜ｂ｜｜ａ＋ｂ｜｜ａ｜－｜ｂ｜｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜2021/01/214定理證明證法二先證:｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜﹙a＋b﹚2－﹙|a|＋|b|﹚2＝a2＋2ab＋b2－﹙a2＋2|ab|＋b2﹚＝a2＋2ab＋b2－a2－2|ab|－b2＝2ab－2|ab|(1)當(dāng)ab＞0時(shí)，|ab|＝ab即2ab－2|ab|＝2ab－2ab＝0(2)當(dāng)ab≤0時(shí),|ab|＝﹣ab即2ab－2|ab|＝2ab－(-2ab)＝4ab＜0綜上:﹙a＋b﹚2－﹙|a|＋|b|﹚2≤0即﹙a＋b﹚2≤﹙|a|＋|b|﹚2∴|a＋b|≤|a|＋|b|證明:2021/01/215下面證明:｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜當(dāng)|a|＜|b|時(shí),顯然成立。當(dāng)|a|＞|b|時(shí)，﹙|a|－|b|﹚2－﹙a＋b﹚2＝a2－2|ab|＋b2－a2－2ab－b2＝－﹙2|ab|＋2ab﹚(1)當(dāng)ab＞0時(shí)，－﹙2|ab|＋2ab﹚＝﹣4ab＜0(2)當(dāng)ab≤0時(shí)，－﹙2|ab|＋2ab﹚＝0綜上：﹙|a|－|b|﹚2－﹙a＋b﹚2＝－﹙2|ab|＋2ab﹚≤0即：﹙|a|－|b|﹚2≤﹙a＋b﹚2∴|a|－|b|≤|a＋b|綜上：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|故原不等式得證。2021/01/216

定理變式變形:把定理中的a換為b,b換為a,定理可變式為|b|－|a|≤|a+b|≤|a|+|b|變形:結(jié)合定理和變形又可變式為||a|－|b||≤|a+b|≤|a|+|b|｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜推論1：|a|1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3|推論1還可以推廣到n∈N,如

|a1＋a2＋a3＋…an|≤|a1|＋|a2|＋|a3|＋…|an|2021/01/217把定理中的b換為-b可變形為|a|-|-b|≤|a-b|≤|a|+|-b|（5）|a+b|-|a-b|2|a||a+b|+|a-b|≤≤|a+b|-|a-b|2|b||a+b|+|a-b|≤≤試一試推論2：|a－b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|2021/01/218A提示：|a|=|a-c+c|≤|a-c|+|c|<1+|c|想一想練一練1.若|a-c|<h,|b-c|<h,則下列不等式一定成立的是（）(A)|a-b|<2h(B)|a-b|>h(C)|a-b|<h(D)|a-b|>h2.已知|a-c|<1,求證|a|<|c|+12021/01/219定理應(yīng)用例1、已知|x|＜1/3,|y|＜1/6,|z|＜1/9,求證|x＋2y＋3z|＜1.2021/01/2110例2已知函數(shù)y=|x|-|x-3|,求函數(shù)的值域解法1:利用函數(shù)法-3330xy通過圖像觀察函數(shù)的值域?yàn)閇-3，3]y＝{﹣3,x＜02x－3,0≤x≤33,x＞32021/01/2111解法2利用不等式法由||x|-|x-3||≤|x-(x-3)|=3得：-3≤|x|-|x-3|≤3∴-3≤y≤3,即y∈[-3,3]2021/01/2112＜[-3，3][-1，1]反饋練習(xí)1、|A－a|＜1/2,|B－b|＜1/2試比較大小|﹙A－B﹚－﹙a－b﹚|＝12、函數(shù)y＝|x|－|x＋3|的值域是3、函數(shù)y＝|x－2|－|x－3|的值域