熱點(diǎn)2-1函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對(duì)稱性函數(shù)的性質(zhì)是函數(shù)學(xué)習(xí)中非常重要的內(nèi)容，對(duì)于選擇題和填空題部分，重點(diǎn)考查基本初等函數(shù)的單調(diào)性，利用性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性及求最值、解不等式、求參數(shù)范圍等，難度較小，屬于基礎(chǔ)題；對(duì)于解答題部分，一般與導(dǎo)數(shù)結(jié)合，考查難度較大?！绢}型1判斷函數(shù)的單調(diào)性】滿分技巧判斷函數(shù)的單調(diào)性的四種方法1、定義法：按照取值、取值變形、定號(hào)、下結(jié)論的步驟判斷或證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；2、圖象法：對(duì)于熟悉的基本初等函數(shù)（或由基本初等函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)），可以通過利用圖象來判斷單調(diào)性；3、導(dǎo)數(shù)法：利用求導(dǎo)的方法（如有ex，lnx的超越函數(shù)）判斷函數(shù)的單調(diào)性；4、復(fù)合法：針對(duì)一些簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)，可以利用符合函數(shù)的單調(diào)性法則（同增異減）來確定單調(diào)性。【例1】（2023·新疆烏魯木齊·高三兵團(tuán)二中?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)中是偶函數(shù)且在區(qū)間SKIPIF1<0上是增函數(shù)的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】對(duì)于A，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不是偶函數(shù)，不符題意；對(duì)于B，因?yàn)閮绾瘮?shù)滿足SKIPIF1<0，且其定義域?yàn)镾KIPIF1<0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以SKIPIF1<0是偶函數(shù)，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上是增函數(shù)，符合題意；對(duì)于C，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不是偶函數(shù)，不符題意；對(duì)于D，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上不是增函數(shù)，不符題意.故選：B.【變式1-1】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的偶函數(shù)，函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，則（）A．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減【答案】C【解析】由題意知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0為奇函數(shù)，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，故C正確；取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0不單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選:C.【變式1-2】（2023·海南?？凇とA僑中學(xué)?？级＃┮阎己瘮?shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，則函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)增區(qū)間是．【答案】SKIPIF1<0【解析】因?yàn)榕己瘮?shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，又因?yàn)镾KIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的圖象是由函數(shù)SKIPIF1<0的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到，所以函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)增區(qū)間是SKIPIF1<0．【變式1-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镽，對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（）A．SKIPIF1<0是增函數(shù)B．SKIPIF1<0是減函數(shù)C．SKIPIF1<0是增函數(shù)D．SKIPIF1<0是減函數(shù)【答案】A【解析】不妨令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是增函數(shù)．故選:A.【變式1-4】（2023·江蘇揚(yáng)州·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0在定義域中滿足SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，則SKIPIF1<0可能是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】對(duì)于A，函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A不是；對(duì)于B，函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是R，而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，B不是；對(duì)于C，函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是R，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，C正確；對(duì)于D，函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D不是.故選：C【題型2利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】滿分技巧利用單調(diào)性求參數(shù)的三種情況：1、直接利用題意條件和單調(diào)性代入求參；2、分段函數(shù)求參，每段單調(diào)性都符合題意，相鄰兩段自變量臨界點(diǎn)的函數(shù)值取到等號(hào)；3、復(fù)合函數(shù)求參，注意要滿足定義域要求，通過分離常數(shù)法或構(gòu)造函數(shù)法轉(zhuǎn)化成恒成立或有解問題?！纠?】（2023·四川南充·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數(shù)的一個(gè)充分不必要條件是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數(shù)，只需要SKIPIF1<0即可，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，成立；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0恒成立.若SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故不成立.所以，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要條件.故選：A.【變式2-1】（2023·江蘇淮安·高三?？茧A段練習(xí)）使得“函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減”成立的一個(gè)充分不必要條件可以是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<01C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<00【答案】D【解析】由于函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減的充要條件為SKIPIF1<0，那么其成立的一個(gè)充分不必要條件可以是SKIPIF1<0.故選：D.【變式2-2】（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0圖像的對(duì)稱軸為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的增區(qū)間為SKIPIF1<0，而函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0，即實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0，故選：B【變式2-3】（2023·貴州黔東南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，則SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因?yàn)閷?duì)于SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，所以函數(shù)SKIPIF1<0是增函數(shù)，則函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均為增函數(shù)，且有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：C.【變式2-4】（2023·甘肅白銀·高三?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】SKIPIF1<0【解析】由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.【題型3函數(shù)的奇偶性及應(yīng)用】滿分技巧1、常見的奇函數(shù)與偶函數(shù)（1）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）為偶函數(shù)；（2）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）為奇函數(shù)；（3）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）為奇函數(shù)；（4）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）為奇函數(shù)；（5）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）為奇函數(shù)；（6）SKIPIF1<0為偶函數(shù)；（7）SKIPIF1<0為奇函數(shù)；2、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用（1）求函數(shù)值：將待求值利用就行轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解；（2）求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的區(qū)間上，再利用奇偶性的定義求出；（3）求參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)SKIPIF1<0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值或方程（組），進(jìn)而求出參數(shù)的值?！纠?】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由于SKIPIF1<0，定義域?yàn)镾KIPIF1<0故SKIPIF1<0，定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0不是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；SKIPIF1<0，定義域?yàn)镾KIPIF1<0，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即SKIPIF1<0不是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；SKIPIF1<0，定義域?yàn)镾KIPIF1<0，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即SKIPIF1<0不是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；SKIPIF1<0，定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為奇函數(shù)，D正確，故選：D【變式3-1】（2023·貴州·高三凱里一中校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0B．0C．1D．2【答案】B【解析】函數(shù)SKIPIF1<0有意義，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，又SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則SKIPIF1<0為偶函數(shù)，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：B.【變式3-2】（2023·福建泉州·高三培元中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為奇函數(shù)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題意可得當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（舍去），或SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A.【變式3-3】（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考期末）已知SKIPIF1<0為奇函數(shù)，SKIPIF1<0為偶函數(shù)，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由題意知，SKIPIF1<0為奇函數(shù)，SKIPIF1<0為偶函數(shù)，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：B【變式3-4】（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若奇函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0為奇函數(shù)，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A【題型4奇函數(shù)+常數(shù)求值】滿分技巧已知SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為常數(shù)），則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【例4】（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）函數(shù)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為.【答案】0【解析】令SKIPIF1<0，定義域?yàn)镾KIPIF1<0或SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為奇函數(shù)，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.【變式4-1】（2023·重慶九龍坡·高三四川外國(guó)語大學(xué)附屬外國(guó)語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），故SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【變式4-2】（2023·福建莆田·高三莆田第十中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，最大值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.【變式4-3】（2023·江蘇蘇州·高三常熟中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值和最小值分別為M，N，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．0C．2D．4【答案】D【解析】令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0最大值和最小值分別為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為奇函數(shù)，故SKIPIF1<0的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故SKIPIF1<0,故選：D【變式4-4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的函數(shù)SKIPIF1<0的最大值和最小值之和為4，則SKIPIF1<0．【答案】2【解析】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0.又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴g(x)為奇函數(shù)；設(shè)g(x)的最大數(shù)值為M，最小值為N，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大數(shù)值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最大值與最小值之和為SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．【題型5函數(shù)的周期性及應(yīng)用】滿分技巧（是不為0的常數(shù)）（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則；（5）若，則；（6）若，則（）；【例5】（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0是定義域?yàn)镾KIPIF1<0上的奇函數(shù)，滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0是定義域?yàn)镾KIPIF1<0上的奇函數(shù)，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是函數(shù)SKIPIF1<0是以4為周期的周期函數(shù)，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A【變式5-1】（2023·山東菏澤·高三?？茧A段練習(xí)）已知定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．3【答案】A【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的周期為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A【變式5-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0為奇函數(shù)，SKIPIF1<0為偶函數(shù)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】5【解析】由SKIPIF1<0為奇函數(shù)，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的圖象關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱，又SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，則有SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0為偶函數(shù)得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的圖象關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，則SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是周期為4的偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0．而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.【變式5-3】（2023·河南南陽·高三統(tǒng)考期中）奇函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】奇函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，函數(shù)周期為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【變式5-4】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知定義域?yàn)镾KIPIF1<0的奇函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是周期為SKIPIF1<0的周期函數(shù).因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.【題型6函數(shù)的對(duì)稱性及應(yīng)用】滿分技巧1、關(guān)于線對(duì)稱：若函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，特別地，當(dāng)a＝b＝0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0關(guān)于y軸對(duì)稱，此時(shí)函數(shù)SKIPIF1<0是偶函數(shù)．2、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：若函數(shù)SKIPIF1<0滿足，則函數(shù)SKIPIF1<0關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱，特別地，當(dāng)a＝0，b＝0時(shí)，SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此時(shí)函數(shù)SKIPIF1<0是奇函數(shù)．【例6】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的圖象的對(duì)稱軸是（）A．SKIPIF1<0軸B．SKIPIF1<0軸C．直線SKIPIF1<0D．不能確定【答案】B【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0的圖象的對(duì)稱軸為SKIPIF1<0軸．故選：B【變式6-1】（2023·四川眉山·高三仁壽一中?？茧A段練習(xí)）定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上所有零點(diǎn)之和為（）A．16B．32C．36D．48【答案】B【解析】依題意函數(shù)SKIPIF1<0為定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對(duì)稱，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0是周期為4的周期函數(shù)，且函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關(guān)于SKIPIF1<0中心對(duì)稱；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由反比例函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關(guān)于SKIPIF1<0中心對(duì)稱，又當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，結(jié)合對(duì)稱性和周期性作出函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的圖象，如圖所示，由圖可知，函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的圖象有8個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)關(guān)于SKIPIF1<0中心對(duì)稱，所以函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上所有零點(diǎn)之和為SKIPIF1<0.故選：B【變式6-2】（2023·陜西銅川·高三?？计谀┮阎瘮?shù)SKIPIF1<0，則方程SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的所有實(shí)根之和為（）A．0B．3C．6D．12【答案】C【解析】由題意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的圖象關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，在同一直角坐標(biāo)系中畫出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，所以所有的實(shí)根之和為SKIPIF1<0，故選：C.【變式6-3】（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都關(guān)于SKIPIF1<0中心對(duì)稱且為SKIPIF1<0上的增函數(shù),所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0中心對(duì)稱且為SKIPIF1<0上增函數(shù)，則由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0取等號(hào)，故SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：C．【變式6-4】（2023·上?！じ呷h行中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象交于點(diǎn)M、N、P，此三點(diǎn)中最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)間距離為SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】不妨記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0是奇函數(shù)且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，所以SKIPIF1<0兩個(gè)函數(shù)均是以點(diǎn)SKIPIF1<0為對(duì)稱中心的函數(shù)，所以三個(gè)交點(diǎn)其中一個(gè)必是點(diǎn)SKIPIF1<0，另外兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱，不妨記SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【題型7利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小】【例7】（2023·江西上饒·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0是定義域?yàn)镾KIPIF1<0的偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，設(shè)SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于函數(shù)SKIPIF1<0是偶函數(shù)，在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0，故選：B【變式7-1】（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0則函數(shù)SKIPIF1<0定義域?yàn)镾KIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，又由函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是SKIPIF1<0上單調(diào)遞增函數(shù)，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0．故選：A．【變式7-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0為偶函數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0為偶函數(shù)，則SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0的對(duì)稱軸為SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0均只有一條對(duì)稱軸SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0只有一條對(duì)稱軸SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：A．【變式7-3】（2023·山東菏澤·高三?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小關(guān)系為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞減，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；綜上所述：SKIPIF1<0.又因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0.故選：A.【變式7-4】（2023·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0是定義域?yàn)镾KIPIF1<0的單調(diào)函數(shù)，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由已知SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0是定義域?yàn)镾KIPIF1<0的單調(diào)函數(shù)．所以存在唯一SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.如圖所示作出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象，因?yàn)樗鼈兓榉春瘮?shù)，則圖象關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，由SKIPIF1<0，在圖中作直線SKIPIF1<0，則與SKIPIF1<0的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0是單調(diào)遞增的，所以SKIPIF1<0，故選：C.【題型8利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式】滿分技巧解決此類問題時(shí)一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉(zhuǎn)化成SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的形式，再根據(jù)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反，列出不等式（組），同時(shí)不能漏掉函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響?！纠?】（2023·海南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0是偶函數(shù)，SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，則不等式SKIPIF1<0的解集為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題意可知，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.綜上，可得不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0.故選：A【變式8-1】（2023·全國(guó)·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0的解集為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為偶函數(shù)，又當(dāng)SKIPIF1<0，由于函數(shù)SKIPIF1<0均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故選：A．【變式8-2】（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，對(duì)任意正數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0的解集為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，不妨取任意正數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，又SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，故SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可以得到SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故選：B.【變式8-3】（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若對(duì)任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，則a的取值范圍為.【答案】SKIPIF1<0【解析】由題易知，SKIPIF1<0的定義域?yàn)镽，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為奇函數(shù).又SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減.若對(duì)任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為奇函數(shù)，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0對(duì)任意的SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0對(duì)任意的SKIPIF1<0恒成立.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0不恒成立，不符合題意；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.綜上，a的取值范圍為SKIPIF1<0.【變式8-4】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0的解集為．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】由題可得，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0恒成立，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，由SKIPIF1<0為偶函數(shù)可得，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減．又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得S