第二章一元二次方程2.6應(yīng)用一元二次方程第1課時應(yīng)用一元二次方程(一)

利用一元二次方程解決幾何圖形問題1.如圖，在長為32米，寬為20米的矩形地面上修筑同樣寬的小路(圖中

陰影部分)，余下部分種植草坪，要使小路的面積為100平方米.設(shè)小路的

寬為

x

米，則下面所列方程正確的是(

B

)A.32×20－32

x

－20

x

＝100B.32

x

＋20

x

－

x2＝100B.(32－

x

)(20－

x

)＋

x2＝100C.(32－

x

)(20－

x

)＝100B123456789102.一個直角三角形的兩條直角邊相差3cm，面積是9cm2，則較長的直

角邊的長為(

D

)A.

cmB.2

cmC.3cmD.6cm

解得

x1＝6，

x2＝－3(不符合題意，舍去).∴

x

＝6，即較長的直角邊的長為6cm.D123456789103.(2023·秦皇島盧龍縣期中)某工作隊(duì)，決定在該村山腳下，圍一塊面積

為600m2的矩形試驗(yàn)茶園，便于成功后大面積推廣.如圖所示，茶園一

面靠墻，墻長35m，另外三面用69m長的籬笆圍成，其中一邊開有一

扇1m寬的門(不包括籬笆).求這個茶園的長和寬.12345678910解：設(shè)這個茶園的寬

AB

為

xm，則長

BC

為(69＋1－2

x

)m.根據(jù)題意，得

x

(69＋1－2

x

)＝600.整理，得

x2－35

x

＋300＝0.解得

x1＝15，

x2＝20，當(dāng)

x

＝15時，69＋1－2

x

＝40＞35，不符合題意，舍去；當(dāng)

x

＝20時，69＋1－2

x

＝30＜35，符合題意.∴

x

＝20.∴69＋1－2

x

＝70－2×20＝30.答：這個茶園的長為30m，寬為20m.12345678910

利用一元二次方程解決古代數(shù)學(xué)問題4.《九章算術(shù)》勾股章有一問題，其意思是：現(xiàn)有一豎立著的木柱，在

木柱上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚

有3尺，牽著繩索退行，在離木柱根部8尺處時繩索用盡，請問繩索有多

長？若設(shè)繩索長度為

x

尺，根據(jù)題意，可列方程為(

C

)A.82＋

x2＝(

x

－3)2B.82＋(

x

＋3)2＝

x2C.82＋(

x

－3)2＝

x2D.

x2＋(

x

－3)2＝82C123456789105.

楊輝是世界上第一個排出豐富的縱橫圖和討論其構(gòu)成規(guī)律

的數(shù)學(xué)家.他與秦九韶、李冶、朱世杰并稱“宋元數(shù)學(xué)四大家”.他所著

的《田畝比類乘除捷法》(1275年)提出了這樣一個問題：“直田積(矩形

面積)八百六十四步(平方步)，只云闊(寬)不及長一十二步(寬比長少一十

二步).問闊及長各幾步.”若設(shè)闊為

x

步，則可列方程為(

A

)A.

x

(

x

＋12)＝864B.

x

(

x

－12)＝864C.

x

(

x

＋6)＝864D.

x

(

x

－6)＝864A12345678910

利用一元二次方程解決動態(tài)幾何圖形問題6.【教材第52頁例1改編】如圖，某海軍基地位于

A

處，其正南方向100海里處有一重要目標(biāo)

B

，在

B

正東方向200海里處有一重要目標(biāo)

C

，小島

D

位于

A

正東方向200海里處.一艘軍艦從

A

出發(fā)經(jīng)

B

到

C

勻速巡航，一艘補(bǔ)給船同時從

D

沿南偏西方向勻速航行，欲將一批物品送達(dá)軍艦.軍艦的速度是補(bǔ)給船的2倍，軍艦在由

B

到

C

的途中與補(bǔ)給船相遇于

E

處，那么相遇時補(bǔ)給船航行了多少海里？(精確到1海里)12345678910解：由題意，得四邊形

ABCD

是矩形，

BC

＝

AD

＝200海里.∴∠

C

＝90°，

AB

＝

CD

＝100海里，設(shè)相遇時補(bǔ)給船航行了

x

海里，則軍艦航行了2

x

海里，∴

DE

＝

x

海里，

AB

＋

BE

＝2

x

海里.∵

AB

＝100海里，

BC

＝200海里，∴

CE

＝

AB

＋

BC

－(

AB

＋

BE

)＝(300－2

x

)海里，

在Rt△

CDE

中，

CD2＋

CE2＝

DE2，∴1002＋(300－2

x

)2＝

x2，

123456789107.(2023·廊坊第四中學(xué)期中)如圖，在△

ABC

中，∠

B

＝90°，

AB

＝12cm，

BC

＝24cm，動點(diǎn)

P

從點(diǎn)

A

開始沿邊

AB

向點(diǎn)

B

以2cm/s的速度移動，動點(diǎn)

Q

從點(diǎn)

B

開始沿邊

BC

向點(diǎn)

C

以4cm/s的速度移動，如果

P

，

Q

兩點(diǎn)分別從

A

，

B

兩點(diǎn)同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為

t

s

.(1)用含

t

的式子表示：

AP

＝

cm，

BP

＝

cm，

BQ

＝

cm；2

t

(12－2

t

)

4

t

12345678910(2)當(dāng)△

PBQ

的面積為32cm2時，求運(yùn)動時間.

解得

t1＝2，

t2＝4.答：當(dāng)運(yùn)動時間是2s或4s時，△

PBQ

的面積為32cm2.12345678910

8.如圖，露在水面上的魚線

BC

長為3m.釣魚者想看看魚鉤上的情況

把魚竿

AC

提起到AC'的位置，此時露在水面上的魚線B'C'長為4m，

若BB'的長為1m，試問魚竿

AC

有多長？設(shè)AB'的長為

xm，則以下

所列方程正確的是(

A

)AA.

x2＋42＝(

x

＋1)2＋32B.

x2＋42＝(

x

＋1)2－32C.(

x

－1)2＋42＝

x2＋32D.(

x

－1)2＋32＝

x2＋42【解析】∵AB'＝

xm，AC'＝

AC

，∴AB'2＋B'C'2＝

AB2＋

BC2，即

x2＋42＝(

x

＋1)2＋32.123456789109.(2023·邯鄲館陶縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)如圖是一張長12cm，寬10cm的矩形

鐵皮，將其剪去兩個全等的正方形和兩個全等的矩形，剩余部分(陰影

部分)可制成底面積是24cm2的有蓋的長方體鐵盒，則剪去的正方形的

邊長為

cm，該鐵盒的體積是

cm3.2

48

12345678910

解得

x1＝2，

x2＝9(不合題意，舍去).∴該鐵盒的體積為24×2＝48(cm3).12345678910

10.

(2023.唐山豐潤區(qū)期中)如圖，有長為34米的籬笆，一面利

用墻(墻的最大可用長度為22米)圍成中間隔有一道籬笆的矩形花圃，園

主在花圃的前端各設(shè)計(jì)了兩個寬1米的小門，設(shè)花圃的寬

AB

為

x

米.12345678910(1)若圍成的花圃面積為96平方米，求此時的寬

AB

；(1)解：∵花圃的寬

AB

為

x

米，∴花圃的長

AD

為(34＋2－3

x

)米.依題意得

x

(34＋2－3

x

)＝96，解得

x1＝4，

x2＝8.當(dāng)

x

＝4時，34＋2－3

x

＝24＞22，不符合題意，舍去；當(dāng)

x

＝8時，34＋2－3

x

＝12＜22，符合題意.答：此時寬

AB

為8米.12345678910(2)①能圍成面積為120平方米的花圃嗎？若能，請求出

x

的值；若不

能，請說明理由；(2)①解：不能圍成面積為120平方米的花圃.依題意，得

x

(34＋2－3

x

)＝120，整理，得

x2－12

x

＋40＝0，∴Δ＝(－12)2－4×1×40＝－16＜0.∴該方程無實(shí)數(shù)根，即不能