工科數(shù)分下期末復(fù)習(xí)題

一。偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用

1.球面/+：/+z2=6在點(diǎn)（1,2,1）處的切平面方程是x+2y+z=6

2.證明曲面廠（QC—加，町一cz）=O上任一點(diǎn)處的切平面都平行于同一個(gè)向量，其中

a,b,c為非零常數(shù)。

證令G（x,y,z）=/（ox-bzMy-cz）,得G.、.=aF「Gy=a月,G[=耳-叫',從

而曲面尸（辦-歷,--。2）=0上任一點(diǎn)處的切平面的法向量為

n={aFi,aF2,-bFi-cF2},觀察發(fā)現(xiàn)

[b,c,a\-n=[b,c,a]-{aFx,aF2,-bF{-cF2]=baF[+caF2+a[-bFx—巧)三0,從而

曲面/or-歷,ay-cz）=O上任一點(diǎn)處的切平面的法向量與常向量｛仇c,a｝垂直，即

曲面/（or-歷,--cz）=0上任一點(diǎn)處的切平面都平行于同一個(gè)向量｛七G。｝。

x2+y2=1.

3.曲線r2、[在點(diǎn)（0,1」）處的切線方程是一

0+2/=0y=o

解=<從而

0+2zz'=0z'=0

在點(diǎn)（0,1,1）處的切線方程為小心=2匚=0=><

4.、證明曲面三）=0上任一點(diǎn)處的切平面都通過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，其中有

一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，a,仇c為常數(shù)。

x-ay-h

證設(shè)6（乂乂2）二尸,從而

z-c'z-c

即得(x,y,z)點(diǎn)

西^一亡產(chǎn)卜切平面為

xab

-r.y-(Z-z)=O,由于

(z-靖1(Z-Cp

幺二二月+"上月一11居(c—z)=O,從而點(diǎn)(a,"c)滿足任意

Z-Cz-c(z-c)

(x,y,z)點(diǎn)的切平面方程，即曲面尸(U，三)=0上任一點(diǎn)處的切平面都通過(guò)同一個(gè)

點(diǎn)。

5.曲面Y+2y2+3z2=21在點(diǎn)(1,一2,2)處的切平面方程是工―4y+6z—21=0

xy

6.求曲面族+羨=4在點(diǎn)(In2,ln2,l)處的切平面和法線方程

,、《工1i1yr5v

解令F(x,y,z)=ez+ez_4,則工=_ez,%=_ez,R=___ez___

從而切點(diǎn)的法向量為弁={以，4,6}I,,={2,2,-4In2}//{1,1,-2In2}

l(ln2,In2,1)

從而切平面為(x—ln2)+(y—ln2)—21n2(z—l)=0,x+y—2zln2=0

…小—cx-ln2y-ln2z—11-z

法線方程為-------二------,x-ln2=y-\n2=

11-2In221n2

x=acost

7.曲線「：<>=〃411/在點(diǎn)(。,0,0)的切線方程為2/=?=".

z=ct-----------------

8.在曲面2=°1O上求出切平面，使所得的切平面與平面4%-2y一22-1=0平行。

解：曲面的法向量為={4%/,—1}應(yīng)與平面平面4x—2丁一22-1=0的法向量平行，

4rV-11(1>

從而有七=上=」,二>>=—l,x=上，由于切點(diǎn)在曲面上z=2-%以=1

4-2-22⑴

因此切平面為4-2(y+l)-2(z-l)=0,2x-y-z-l=0

Y+3V+47

9.已知直線L:t上=2—=—和平面口:4x—2丁-22=3則(B)

-2-73

A、L在口內(nèi)B、L與□平行，但L不在口內(nèi)

c、L與n垂直D、L不與口垂直，L不與r［平行

x-\y-2z

10.曲面Z-/+2孫=3在點(diǎn)(1,2,0)處的法線方程是

2~0

11.已知直線I,[？*+)'—1=°和乙：上三=上土1==匚，證明：乙//乙，并求由。，心

[3x+z-2=0123

所確定的平面方程。

證明：直線右上任取兩點(diǎn)(0,1,2),(1,-1,一1),則，={1,23-}是右的方向向量;

4的一個(gè)方向向量為曷={T,2,3},因?yàn)?〃￡,所以LJ/4

設(shè)乙，4所確定的平面方程為Ax+By+Cz+D^0,它經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,一1J和點(diǎn)

(0,1,)2(,4,-1).,所以

A-B+2C+D^0A=—2。

<B+2C+D=Q=所求方程為-2x-y+l=0

A-B-C+D^OC=0

二.多元函數(shù)

IJi

1、函數(shù)z=-------------在X=%T,y=/%+—,A,/為整數(shù)處間斷.

sinxcosy2

2、函數(shù)z=arctan\]x2+y2在點(diǎn)(0,1)處的全微分dz=gdx_

3、函數(shù)〃=/sin(yz)在點(diǎn)(1,1,1)處沿方向，={2,1,-2}的方向?qū)?shù)等于空叱坐立6_

4.設(shè)z=(l+xy)',則竺=丁2(1+孫)'7—

5.函數(shù)z=lnjf+y2在點(diǎn)(I1)處的全微分成=化辿

6.函數(shù)〃=e"cos(?)在原點(diǎn)的梯度是{1,0,0}

2x=V2-Iu=w(x,y)求A”dv

1設(shè)方程組＜_確定了隱函數(shù)組＜

y=uvv-v(x,y)dx9dx

一入,,2dx=2vdv-2ududx=vdv—udu

解對(duì)每個(gè)方程兩邊取微分，得1,即《

dy=udv+vdudy=udv+vdu

vdx+udy

(l)xv+(2)xw得vdx+udy=^v2+w2)Jv,dv-

V2+w2

2

.x^dx+uvdyf-udx+uvdy.-udx+vdy

從而uau=vdv-ax-........z-------z---------ax----------z-------z-------,du=--------

v+Wv+uv+w

因此包，蟲(chóng)(換成的表達(dá)式更好。較麻煩，夠了)

dxv+udxv+u~

ao2

8.設(shè)z=/(x+y,x-y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求二

7a

解瓦"十外旃孩（"止/田+「乩=3/

9.求函數(shù)z=3研y-d一y3（〃>0）的極值

22

解令4=3ay-3x=0,zy=3ax-3y=0,

兩式相減得_y2)=0n(y_x)(Q+x+y)=0,由,_%=0,,=%得

3辦一3d=3x（〃一x）=0，從而可得兩個(gè)駐點(diǎn)M（°，0）,%（a,。）；

由〃+元+y=0,y=-〃-x得3a（—=0=>^2+ar+x2=（。+捺）=0

從而此時(shí)沒(méi)有實(shí)數(shù)解。故只有兩個(gè)駐點(diǎn)。

由于z?b=-6x,zn,=力3a,z=-6y。

從而在點(diǎn)例1(0,0)有A=0,8=3a,C=0,AC-B2=-9a2<0,可知例1(0,0)不是極值

點(diǎn)；

在點(diǎn)M(a,a)有A--6a,B-3a,C--6a,AC-B2-Tier>0,A<0,可知%(a,a)

是極大值點(diǎn)，函數(shù)有極大值z(mì)(a,a)=/。

io.設(shè)〃x,y)=(i+力g，則力(o,i)=—

解刀(0,)=(1//J=

11、函數(shù)z=arctan)在點(diǎn)(1,1)處的全微分dz=

1xdy-ydx

2

“ML(o,I),i

12」函數(shù)Z=f+J在點(diǎn)p(l,2)沿方向I=(1,V3)的方向?qū)?shù)是_

解由4=2尤Zy=2y,得g“fe={2x,2y},在P(l,2)點(diǎn)有g(shù)"fe|p={2,4},又

/I界)故叫卜gm@八{(lán)2,4”界卜+26

13.設(shè)方程組x2+y2-z2-4z=0確定了隱函數(shù)z=z(x,y),求|^|

解2x+0-2--犯=今.-從而

dxdxdxz+2

Szx

d2z==0(x]='(Z+2)T豕=1.(Z+2)T.^=(z+2/-尤2

dx2dx\z+2J(z+2)2(z+2)2(z+2y

(顯化為雙值函數(shù)也可得到，但答案±[(Y+y2+4『2一/卜2+y2+4『2顯得復(fù)雜)

ao2

14.設(shè)z=/(2x,孫),/(〃")具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求H，烷

3z

解-=fl-2+f2-y,從而

OX

募=飆.2+外力2力.0+2幾/+力+可以.0+…)

=2班+力+巧％

15.試用拉格朗日乘數(shù)法求二元函數(shù)z=cosxcosy在約束條件x+y=5（x>0,y>0）

下的極值

解L-cosxco_yl-A米-y-,令L、.=-sinxcosy+2=0,

njr

Ly=-sinycosx+A=0,x+y-y=0由題意解得*=^=7,從而得二元函數(shù)

冗

=cos&cos工■為極值。

z=cosx（：0］在約束條件1+〉=5（工>0,>>0）下z（

'max442

16.極限Iim(x2+y2)ef=。

y-^<?

17.函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微分是它在該點(diǎn)有方向?qū)?shù)的條件

"22

-f—,(x,y](0,0)

18.函數(shù)/(x,y)=Jr+/27\試研究在(0,0)點(diǎn)的可微性

0,(x,y)=(0,0)

解/-MMr/(0+^0)-/(0,0)0-0

解/,.(0,0=hm—----------------------=lim------=0,

v/20Ax—0Ar

(0,0)=lim+"―"°")=lim=0,函數(shù)在(0,0)點(diǎn)的全增量為

八/Ay-^0AyAy_0Ay、)

y=/(盤(pán),綠)-〃0,0)=1箸，

由于0KAx2Ay2<(Ax2+A/)\0<—Z個(gè)<^Ax2+Ay2,由夾逼準(zhǔn)則可得

(Ar2+A/)'"

V-[A(0,0)Ax+/v(0,0)Ay]8242

lim------~-——--------———-_1=hm---------------7=0,從而

fP。一。(“+△/『7T

曠=<(0,0)以+/；(0,0)4+0(〃)，由定義可知該函數(shù)在(0,0)點(diǎn)可微。

dz3z

19.設(shè)/(y+z,孫+yz)=0,其中尸具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求二，丁

dxdy

解方程兩邊取微分Fx\dy+dz)+F2^ydx+xdy-^-zdy+ydz)=0

整理得心湍心笠粽”

曰3z-yF2殺耳+XF2+ZF2

4ZE■-=-----------------，--=---------------

dxyF2dy耳+yF2

20.確定函數(shù)〃x,y)=d-+3f+3,2一外的極值點(diǎn)

2

fx-3x+6x-9=0

解解方程組

=-3/+6>=0

得駐點(diǎn)必(L0),%(1,2),M3(-3,0),M4(-3,2)

再有九=6x+6,4,=0,/vv=-6y+6。

在(1,0)點(diǎn)處，有A=12,8=0,C=6,AC—B2>0,A>0；

在%(1，2)點(diǎn)處，有A=12,5=0,C=—6,AC—夕<0；

在M(—3,0)點(diǎn)處，有4=-12,8=0,。=6,4。-82<0；

在“4(一3,2)點(diǎn)處，有4=一12,8=0,。=-6,4。-82>0,4<0。從而

得該函數(shù)的極大值點(diǎn)為〃4（—3,2）,極小值點(diǎn)為（1,0）。

21、證明函數(shù)z=與在橢圓f+2;/=/上任一點(diǎn)處沿橢圓法向的方向?qū)?shù)恒等于Oo

X

證設(shè)“（%,%）為橢圓上任一點(diǎn)，^F（x,y）=x2+2y2-c2,則在Y+2丁=/上任一

點(diǎn)（后,為）處的法向方向可為后={工，&|M={2/，4%}〃{玉＞，2%}，單位化可得

1

n°=.={x0,2^0},而Zx=^^,Zp=4，從而M點(diǎn)的梯度為

gmdz|“=|匚等,故函數(shù)z=M在橢圓/+2/=02上任一點(diǎn)處沿橢圓法向的方

IMx"X-

向?qū)?shù)為

g訊.*皆』.焉斯&,2%}=焉?等%+乎40

53EC3〃Ei

22.設(shè)〃=",則2x—+y—=0

dxdy

23.設(shè)Dz+"。+y2+z「=?,則必卜0］）=dx-\fldy

24.函數(shù)”=ln（x+J7壽）在點(diǎn)A（l，0,l）處沿A0,O，1）指向點(diǎn)8（3,—2,2）方向的方向

導(dǎo)數(shù)，

2

，(x，),)H(。，0)

25.證明函數(shù)/(尤,*=?—/j+,丁27'>'，在點(diǎn)(0,0)不連續(xù)，但存在有一階偏導(dǎo)數(shù)

0,(x,y)=(0,0)

Y2vAl*，k

解因?yàn)?J，與女有關(guān)，故二重極限不存

比r比Y+y…/+丑-公

在，因而由連續(xù)定義函數(shù)/(x,y)在點(diǎn)(0,0)不連續(xù)。

〃x,0)-〃0,0)=1"=。，

又力(0,0)=呵

x—01°X

或工(0,0)=(〃x，0))‘，=(0)；=0

A=0A=0

或/,(o,o)=(o)'，L=o

0,

于是函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)存在有一階偏導(dǎo)數(shù)。

,、兒元]z八4SzSzd2z

26.設(shè)-In—=0,求丁,丁，

zydxdydxdy

解令尸(尤,y,z)='一ln±,貝ijFx=-.F=-—?—1=—

zyzzyy

r/、x/\/八、(X+Z)--------Z0H--------

dz_S(dz\dfzz)_(x+z)Zy-z(O+xJ_7y(x+z)(y(x+z)J

dxdydy[a"dy\x+z)(x+z)?(x+z[

232

z(x+z)-zZ(XZ+Z--Z【xz

y(x+z)3y(x+z)3y(x+z)3

27.在曲面z=Jf+J上找一點(diǎn),使它到點(diǎn)(1,a,36)的距離最短，并求最短距離。

解設(shè)點(diǎn)為(x,y,z),則ZMJX2+y2,d=?3一中+(y_6)+(z-3\/^)

等價(jià)于求/(樂(lè)〉,2)=(尤一1)2+卜一加『+卜一3百)2在約束2一尸尸=0之下的最

小值。令L(x,y,z)=(x-1)2+(y-0)+(z—3G)+A^z-y/x2+y2j

且由4=2(x—l)T:=0,Lv=2()，一碼々J,=0,

小一+yyjx2+y-

L.=2(z-3^3)+4=0,%=z-yjx2+y2=0

解得駐點(diǎn)x=2,y=2JIz=26,最短距離為d="(2,2立2月)=娓

(令"》,乂2)=(》-1)2+卜一行『+卜—36)2+/1卜272—>2)計(jì)算起來(lái)更加方便，

舍去駐點(diǎn)x=-l,y=-0,z=6，d=^/(-1,-VI,V3)=V24)

sin⑻

lim——---=3.

28.Tx

3

29.z=xsin(x+y),dzn7T=dx.

x

30.設(shè)函數(shù)J有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求函數(shù)M=的二階混合偏導(dǎo)數(shù).

y

解條》X,"1?fX,"

712272rJ22

，dxdyy2yy

22

31.求二元函數(shù)z=x—xy+y在點(diǎn)(一1,1)處沿方向7=｛2,1｝的方向?qū)?/p>

數(shù)及梯度，并指出Z在該點(diǎn)沿哪個(gè)方向減少得最快？沿哪個(gè)方向z的值不變?

名刀dz\dzdz3

gradz(_1t)={-3,3}

a/l(-l,l)dxdyy[5

函數(shù)z在該點(diǎn)沿-g"/z，u)=｛3,-3｝方向減少最快，

沿與8也回㈠.])=｛-3,3｝方向垂直的方向｛1』｝或｛-1,-1｝,函數(shù)值不變.

32.求函數(shù)Z=%2+沖+y2+%_y+]的極值.

/&

-=2x+y+1=0

-&

令

<

&，得到駐點(diǎn)(-1,1),

￥

、

Z

2L2

a《dz

2r

dxdy

因?yàn)锳CE=3>0且A>0,

所以，函數(shù)z=f+―+>2+*—>+1

在點(diǎn)取得極小值0.

33,z=4x2+9y2點(diǎn)(2,1)的梯度ga/z={16,18).

34.f(x,y)=x4+——2孫_y2的極值點(diǎn)是

證明:y)=加在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)，

35'/(0,0)與九(0,0)存在，但在(0,0)處不可微.

%y

解:⑴因?yàn)?盤(pán)洞=0=/(。,0),所以/。，〉)=洞在點(diǎn)(0，。)處連續(xù)?

y->0

(2)力(0,0)=也?7?°)=0,同理力(0,0)=0,

所以J；(0,0)與4(0,0)存在

⑶因坐出器”

不存在,

所以/(x,y)在(0,0)處不可微.

36.

設(shè)函數(shù)“(1,y)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試用極坐標(biāo)與

直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式％=rcos。,y=rsind,

將％絲-y”變換為r,。下的表達(dá)式.

dydx

解：由x=rcos0,y=rsin。得至b=+y2,。=arctan）,

x

“dr.八sin。。。cos。

從血一=cosJ,—=sin仇——=-----,——=-----

dxdydxrdyr

十日?！╠udu

jTEX----y—=—.

dydxdO

力..3-j9+xy9-（9+xy）1

37.lim---------=lim——~、-=——

?xy；式肛（3+匹可）6

38.〃=7,匚-在點(diǎn)(0,1)處血=一--dx+—2:dy=dx

次+V仁+力、。仁+力，

A-0

)=1y=i

39.設(shè)Z=/(2X,E],其中函數(shù)/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求存。

(x)dxdy

22

40.求函數(shù)/(x,y)=f—V在圓域x+y<4的最大值和最小值。

解：方法一：當(dāng)/+,2<4時(shí)，找駐點(diǎn)

<=2x=0,/=-2)，=,得唯一駐點(diǎn)(0,0)

當(dāng)爐+丁=4時(shí)，是條件極值，考慮函數(shù)

F(x,y,A)=x2-y2+A(x2+y2-4),解方程組

￡=(2+24)x=0

/、[x=0[x=±2

4=(2"2)…可得『±2,k°

F式=x24-y2-4=0

所求最大值為4,最小值為-4。

方法二：設(shè)。=d,〃=J,則f^x,y^=a-b且〃+力<4,〃20,/?20,這變成一個(gè)

簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題。最大值為4,最小值為-4。

,?fx=2rcos^

方法三：圓域-0+y29<4可寫(xiě)成40<r<l,Q<O<271

y=2rsin。

/(%,y)=4r2cos20

最大值為4,最小值為-4。

"22

z=『+y/、/、

41.求由方程組，/,所確定的及z(x)的導(dǎo)數(shù)”dv及竺dz。

lx2+2/+3z2=20-V7V7dxdx

解:每個(gè)方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得到

dy_6xz+xdz_x

dx6yz+2y'dxl+3z

42.求二元函數(shù)z=%2一肛+y2在點(diǎn)(_1,1)處沿方向，={2,1}的方向?qū)?shù)及梯度，并指

出Z在該點(diǎn)沿哪個(gè)方向減少得最快？沿哪個(gè)方向值不變？

解瑁(叫=導(dǎo)。，。+*。，夕=-5，g*(TJ)={_3,3}

函數(shù)z在該點(diǎn)沿-gradz|(_Ij)={3,-3}方向減少最快，

沿與以“回(」)={-3,3}方向垂直的方向{1,1}或{-1,-1},函數(shù)值不變.

43、函數(shù)/(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微是它在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)溫與||連續(xù)的四^條件(填

必要、充分或充要)，又是它在該點(diǎn)有方向?qū)?shù)的充分條件(填必要、充分或充要)

44、設(shè)z=/(x,肛),/(〃#)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則應(yīng)="'+/')公+私例

45、給定曲面下(號(hào),三)=0,a,"c為常數(shù)，其中尸(〃小)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明曲面

的切平面通過(guò)一個(gè)定點(diǎn)

證：令G(無(wú),y,z)=F(U,T],則G,=-1-耳G、.=」一月'

1z-cz-cJz-cz-c

G

(z—c)

從而曲面在點(diǎn)(x,y,z)處的切平面為

a-x

王^耳+匕生+號(hào)(Z-z)=0,其中(x,y,z)為動(dòng)點(diǎn)。

z—cZ—CZ-C)2(z—c)

顯然(X,RZ)=(a,8,c)時(shí)成立，故切平面均過(guò)(a,b,c)。證畢

222r

46、設(shè)『是曲線+z"在點(diǎn)（i<2）.處的切向量，求函數(shù)

x+y+z&

/(x,y,z)=孫+yz+zx在該點(diǎn)沿T的方向?qū)?shù)

,—,x2+y2+22=6,f2x+2yy'+2zz'=0

解：方程組1，兩端對(duì)x求導(dǎo)，得，力，

x+y+z=0[1+y+z=0

l-2vf+zf=0fv'=0

把(1,-2,1)代入得<；,,解得,于是在點(diǎn)(1,一2,1)處的切向量為

1+y+z=0lz=—1

單位切向量為尸=±［爰,0,—專）

r=A(i,y,zz)=A(I,O,-I)

所求方向?qū)?shù)為

翳土住小煩心/㈤1廣土（%。W卜T2T）=。

47設(shè)/=型，求一；

dx

解：兩邊取微分，得e"dz=xydz+xzdy+yzdx

z,,,..xzdy+yzdxyzdx+xzdy

e~az-xydz=xzdy+yzdx.az=----------=----------

ez-xyxyz-xy

瓜而也_zd^_d(dz]_d(zL(“z-臉-z(z+嚕-1)

從而丁=-----，力=^~\=a------=--------17---7\2--------

oxxz-xoxoxyoxjox\xz-x)x(z-1)

2dzz_z2________j____/°、

d2z_z-z_X記__.x(z-l)_(z_z)(z_])_z_2z2-z3-2z

5?=x2(z-l)2=x2(z-l)2x2(z-l)3=x2(z-l)3

48、設(shè)/(蒼丁)=/一；/+3/+3/-9演》>0,則它有極小值/(i,o)=—5

49、設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)x、寬y、高z滿足，+,+4=1,求體積最小的長(zhǎng)方體。

xyz

(111

解：令L=+4—H1----1

(xyz

?-1八-1八一1

則L=yz+A—=0,L=xz+2—=0,L_=xy+Z—=0,從而x=y=z

xxyvz

再由4=0即約束條件，可得！='='=_[,從而x=y=z=3

xyz3

由問(wèn)題的實(shí)際意義可知，當(dāng)體積最小長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高均為3。

50.設(shè)z=/y3+2x,貝ijdz,2)=34dx+12辦

51.已知/(x,y)=<%2+y2，(x，y)*(°，°),則￡(0,y)=Q

0,(x,y)=(0,0)

52.函數(shù)z=/+y2在點(diǎn)由12)處沿從點(diǎn)發(fā)(1,2)到點(diǎn)4(2,2+方向的方向?qū)?shù)是

1+273

53.設(shè)z=/（尤其中/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，月、dzd2z

K—，------.

dxdxdy

2

M也4.11dz3f?1一1x

解一工」+力，,八八一入工+力一2'f\2----T^22

oxyoxdydyyy）yyy

（x2+y2）sin.,x2+y2*0

54.證明函數(shù)=J-V%2+y2在原點(diǎn)（0,0處可微，但

0,x2+y2=0

人（X9在點(diǎn)（0,0）處不連續(xù)

（x2+02）sin,-0

）6+02八

解：由定義￡'（0,0）=lim"x⑼一"°'°）=lim_—u

小'iox-0sox-0

同理《（0,0）=0

由于

p+y2jsin（x2+/）sin,

Tim——/打+?=0

l..im--------------+y-

21=

x->0/r1\,2淺在+/

、T0vx+y

從而函數(shù)/(x,y)在原點(diǎn)(0,0)處可微。

當(dāng)f+y2Ho

12*2

f；（x，y）=2xsin/22.+x+yy-lx

+y

X

f'Ax,>'）=2xsin/+--r——cos/

J*\J/I22I22/27

W-+yJ*+vW+y

1y1

由于f^（x,Q'）=2xsin—j=+--j=cos—j=,]imf^x,0'）不存在，因此<（x,y）在點(diǎn)

yx7xyx

（0,°處由于limf；（x,y）不存在而不連續(xù)。

x-?0

y->0

55.設(shè)Z=2（%,?。┦怯煞匠虩o(wú)2+）?-2="（%+丁+2）所確定的函數(shù)，其中夕（％）可導(dǎo),

求dz

解：對(duì)方程兩邊取微分得2Azz￥+2丁辦一右=夕'?（辦：+辦+龍）

f,ff

即（l+（p）dz=dz+（p'dz=2xdx-^2ydy—（p\dx+dy）=（2x—（p）dx-^（<2y—（p^dy

1+9’

56.求〃=x—2y+2z在約束條件x2+y2+z2=l下的最大值和最小值

解：令L=x-2y+2z+4（尤2+y~+z~-1）

x=一

LA.=l+22x=0

4=—2+24y=02

y=—or<

〃=2+24z=03

%+y+zz二—z=—z二一

（122、144r122^144a

<333；3331333）333

由于最值一定存在，所以最大值為3,最小值為-3

57.若z=/（x,y）在點(diǎn)（為，%）處可微，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（B）

A、/（X,y）在點(diǎn)小，%）處連續(xù)

B、力（x,y）/（x,y）在點(diǎn)小,天）處連續(xù)

C、人（x,y）/（x，y）在點(diǎn)（朝，％）處存在

D、曲面z=/（x,y）在點(diǎn)（不，為,/（%,%））處有切平面

58.二重極限limJ，值為（D)

2+y

A、0B、1C、D＞不存在

2

尤X

59.z=arctan—,貝ijdz=ydx——dy

22

yx+y廠+y

3/S

60.函數(shù)z=/一盯+y2在點(diǎn)（T,1）沿方向『={2,1}的方向?qū)?shù)為一半

2

61設(shè)函數(shù)f[x,y）

=0

證明：1）在點(diǎn)（O,0）處偏導(dǎo)數(shù)存在

2)“二?。┰邳c(diǎn)（0,0）處不可微

因?yàn)?（。，。卜扁/心⑼一

證明：1）

v'AioAxAx

幽包匕也2Llim"2=0

△y△y->0Ay

所以/（x,y）在點(diǎn)（0,0）處偏導(dǎo)數(shù)存在

2）因?yàn)?竺二里竺*=ArAy

lim91

J（Ar）2+&）2^(Ax)+(Ay)

當(dāng)取Ay=ZAx時(shí)

limy.Emj鼻

；，（Ax）~+（Ay）—-1+公1+k-

隨k之不同極限值也不同，即lim——八?①曲一力?。）—。o

所以此函數(shù)在（0,0）處不可微。

了具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求合，谷

62.設(shè)z=W"［孫，?

dydydx

解：=胡'+與1,訴

dy\）ex\x）

=2xf：+X2[M/21+比】“一"3力2"=2寸:+12MJ―冬力2”

oydxyx）xx

222

63.在第一卦限內(nèi)作橢球面餐+5+彳=1的切平面，使該切平面與三坐標(biāo)平面所圍成的

abc

四面體的體積最小，求切點(diǎn)的坐標(biāo)。

解：設(shè)（Xo,y0,Z。）為橢球面上在第一象限的一點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)的切平面方程為

化成截距式方程

222

xxz

---1,--y1-r.—z——_—o-十,—-十,—o—_—i1

ab2ca-b-c2

xz

oy0o

此切平面與坐標(biāo)面圍成四面體的體積為丫（下面我們?nèi)サ粝聵?biāo)0）

6XoNoZo

要求^=!幽1滿足條件=+二+:=1（x>0,y>0,z>0）的最小值，只需求

6xyzah~c

222

/(x,y,2)=型滿足條件「+2+彳=1(x>0,y>0,z>0)的最大值。

a"bc

由拉格朗日乘數(shù)法，只需求以下函數(shù)的駐點(diǎn)

22、

b(X+y

F(x,y,z,%)=xyz+2+4-i

c7

Lc2尤八

F=yz+A—=0(1)

xa

F=xz+4M=0

b⑵

(l)xx+(2)xy+(3)xz得3xyz+2X=0

「c2z八

F=xy+A—=0（3）

zc

222

二+二+二=1

a2b2c2⑷

2b2z2=U，所以x=在a,y=在b,z=3c

由此得一=—

333333

當(dāng)x，y=—b,2=立。時(shí)，有最小體積，最小體積為把a(bǔ)bc。

3-332

切點(diǎn)坐標(biāo)為

1TT

64.函數(shù)z=在x==為整數(shù)處間斷.

sinxcosy

65.函數(shù)z=arctanyjx2+y2在點(diǎn)（0,1）處的全微分dz=-dx_

66.函數(shù)"=,sir(在點(diǎn)(1,1,)1處沿方向1={2,1-2］的方向?qū)?shù)等于

2sinl-cosl

3

22

Iarctan----7,x+y0

67.討論函數(shù)/（x,y）=JJ/+y2r+y-在（o,o）處的連續(xù)

0,x2+/=0

性，可導(dǎo)性和可微性。

解（1）由于

而

0,lim0=0,從而由夾逼準(zhǔn)則可得1乎y)=0=/(0,0)，

A->O4

y->0y->0

進(jìn)而由連續(xù)定義可得函數(shù),f(x,y)在(0,0)處連續(xù);

/（^,0）-/（0,0）0-0

(2)由定義￡'(0,0)=￡%-11111—V?

Ax-Ax

〃（）,△），）-"0,0）0-0

=Hrn^—=0,因而/（x,y）在（0,0）處可導(dǎo);

△y

/（?，力）-”0,0）-￡（0,0）-一4（0,0）與

（3）由于lim

p->07（Ax）2+（Ay）2

AxAy1

lim）1arctan----=------z-,

i（Ax）+（Ay）（Ax）'+（Ay）-

WAA…+1.AxAy111c

當(dāng)Ax=Ay時(shí)有hm----------Tarctan----z------7=—arctan—wO,

晨3)+3)Q)+(Ay)22

/(Ax,Ay)-/(O,O)-/；(O,O)^-/；(O,O)Aj；

從而lim----------''工\'-----———--不可能為零，即

fJa)，(Ay)2

/(Ar,Ay)-/(0,0)-/；(0,0)Ar-/；(0,0)Ay^o(p)