§6高斯求積公式1第1頁

1.普通理論

求積公式含有個待定參數(shù)當為等距節(jié)點時得到插值求積公式其代數(shù)精度最少為次.2第2頁為含有普通性，研究帶權積分這里為權函數(shù)，求積公式為為不依賴于求積系數(shù).為求積節(jié)點，適當選取使其含有最高次代數(shù)精度3第3頁

定理n+1個節(jié)點插值型求積公式代數(shù)精度不超出2n+1.證：令g(x)=(x-x0)2…(x-xn)24第4頁

定義若n+1個互異節(jié)點插值型求積公式代數(shù)精度到達2n+1次，則稱此n+1個互異節(jié)點為高斯點，此求積公式為高斯型求積公式。5第5頁依據(jù)定義要使求積公式含有次代數(shù)精度，只要對當給定權函數(shù)，求出右端積分，則可解得令準確成立，6第6頁

例5

解令公式(5.3)對于準確成立，試結構以下積分高斯求積公式：得7第7頁

由此解出從而8第8頁這么，高斯公式是因為非線性方程組較復雜，通常就極難求解.故普通不經(jīng)過解方程求，而從分析高斯點特征來結構高斯求積公式.9第9頁

定理5是高斯點充分必要條件是以這些節(jié)點為零點多項式與任何次數(shù)不超出多項式帶權正交，

證實即插值型求積公式節(jié)點必要性.設則10第10頁是高斯點，所以，假如因即有故成立.準確成立，則求積公式對于充分性.用除，記商為余式為即,其中.對于

11第11頁因為求積公式是插值型，它對于是準確，即再注意到知從而有12第12頁可見求積公式對一切次數(shù)不超出多項式均精確成立.所以，為高斯點.定理表明在上帶權次正交多項式零點就是求積公式高斯點.有了求積節(jié)點，再利用對成立，解此方程則得線性方程.則得到一組關于求積系數(shù)13第13頁下面討論高斯求積公式余項.利用在節(jié)點埃爾米特插值于是也可直接由插值多項式求出求積系數(shù)即14第14頁兩端乘，并由到積分，則得其中右端第一項積分對次多項式準確成立，故因為由積分中值定理得為關于高斯求積公式穩(wěn)定性與收斂性，有15第15頁

定理6

證實它是次多項式，因而是次多項式，注意到高斯求積公式求積系數(shù)全是正.考查故高斯求積公式對于它能準確成立，即有上式右端實際上即等于從而有16第16頁由本定理及定理2，則得以下推論.

推論

定理7定理得證.高斯求積公式是穩(wěn)定.即設則高斯求積公式收斂，17第17頁

2高斯-勒讓德求積公式

在高斯求積公式中，因為勒讓德多項式是區(qū)間上正交多項式，所以，勒讓德多項式零點就是求積公式高斯點.這類高斯公式稱為高斯-勒讓德求積公式.區(qū)間為則得公式若取權函數(shù)18第18頁令它對準確成立，即可定出這么結構出一點高斯-勒讓德求積公式是中矩形公式.若取零點作為節(jié)點結構求積公式再取兩個零點結構求積公式19第19頁令它對都準確成立，有由此解出三點高斯-勒讓德公式形式是表4-7列出了高斯-勒讓德求積公式節(jié)點和系數(shù).從而得到兩點高斯-勒讓德求積公式20第20頁21第21頁這里是最高項系數(shù)為1勒讓德多項式.

余項22第22頁得當時，有它比區(qū)間上辛普森公式余項還小，且比辛普森公式少算一個函數(shù)值.當積分區(qū)間不是，而是普通區(qū)間時，只要做變換23第23頁可將化為,對等式右端積分即可使用高斯-勒讓德求積公式.這時24第24頁

例6用4點()高斯-勒讓德求積公式計算

解先將區(qū)間化為，依據(jù)表4-7中節(jié)點及系數(shù)值可求得有25第25頁

3高斯-切比雪夫求積公式若且取權函數(shù)則所建立高斯公式為稱為高斯-切比雪夫求積公式.26第26頁因為區(qū)間上關于權函數(shù)正交多項式是切比雪夫多式，所以求積公式高斯點是次切比雪夫多項式零點，即為系數(shù)使用時將個節(jié)點公式改為個節(jié)點，于是高斯-切比雪夫