2013中考數(shù)學壓軸題及答案40例

1.如圖：拋物線經(jīng)過A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三點

(1)求拋物線的解析式.

(2)已知AD=AB(D在線段AC上)，有一動點P從點A沿線段AC以每秒1

個單位長度的速度移動；同時另一個動點Q以某一速度從點B沿線段BC移動，

經(jīng)過t秒的移動，線段PQ被BD垂直平分，求t的值；

(3)在(2)的情況下，拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使MQ+MC的值最

??？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由。

(注：拋物線y=?%2+區(qū)+。的對稱軸為x=-@-)

解：設拋物線的解析式為y=or?+bx+c(。片0),

1

a=——

59。一3b+4=0解得3

依題意得:c=4且＜

16。+46+4=0

所以所求的拋物線的解析式為

(2)連接DQ,在RtZiAOB中，AB=^AO2+BO2=A/32+42=5

所以AD=AB=5,AC=AD+CD=3+4=7,CD=AC-AD=7-5=2

因為BD垂直平分PQ,所以PD=QD,PQXBD,所以NPDB=/QDB

因為AD=AB,所以NABD=NADB,ZABD=ZQDB,所以DQ〃AB

所以/CQD=NCBA。ZCDQ=ZCAB,所以aCDCisACAB

箸罟即味”。吟

所以AP=AD-DP=AD-DQ=5——=——，t=——-?1=——

7777

所以t的值是2上5

(3)答對稱軸上存在一點M,使MQ+MC的值最小

理由：因為拋物線的對稱軸為》=---=—所以A(-3,0),C(4,0)兩點關于

2a2

直線x=工對稱連接AQ交直線x=工于點M,則MQ+MC的值最小過點Q作QE±x

22

軸，于E,所以NQED=NBOA=90DQ〃AB,ZBAO=ZQDE,△DQEs'

10

DQDE即磔=N=DEQ

ABO2￡==?所以QE二一，DE=-,所以0E=

BOABAO4一5一77

620…208、

OD+DE=2+-=——,所以Q(z——,-)

7777

20,8

41

設直線AQ的解析式為y=Ax+加(左。0)貝i"77由此得

24

-3k+"2=0m=——

41

1

824

所以直線AQ的解析式為k亦+五

11OR1

由此得"5所以M(J二)則：在對稱軸上存在點M(二二)，使MQ+MC

824241241

V=——x-\-----

L4141

的值最小。

2.如圖9,在平面直角坐標系中，二次函數(shù)^="2+區(qū)+C(?！?)的圖象的頂點為口點,

與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為(3,0),

OB=OC,tanZAC0=—.

3

(1)求這個二次函數(shù)的表達式.

(2)經(jīng)過C、D兩點的直線，與x軸交于點E,在該拋物線上是否存在這樣的點F,

使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若

不存在，請說明理由.

(3)如圖10,若點G(2,y)是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上

一動點，當點P運動到什么位置時，4APG的面積最大？求出此時P點的坐標和△

APG的最大面積.

(1)由已知得：C(0,-3),A(-1,0)…1分

a-b+c=0

將A、B、C三點的坐標代入得］9a+3b+c=0...............2分

c=-3

a=1

解得：＜b=-2...............3

c=-3

分

所以這個二次函數(shù)的表達式為：J=X2-2X-3...............3分

(2)存在，F(xiàn)點的坐標為(2,-3)...............4分

理由：易得D(1,-4),所以直線CD的解析式為：y=-X-3

；.E點的坐標為(-3,0)...............4

由A、C、E、F四點的坐標得：AE=CF=2,AE〃CF

...以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形

存在點F,坐標為(2,-3)...............5

(3)過點P作y軸的平行線與AG交于點Q,

易得G(2,-3),直線AG為y=—x—1..........8分

設P(x,x2-2x-3),貝ijQ(x,—^―1),PQ=-x2+x+2.

12

=+^\GPQ=^~X+工+2)*3...............9

分

當》=!時，ZkAPG的面積最大

2

此時P點的坐標為［g,-S^PG的最大值為g.................10

分

3.如圖，已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點，與y軸交于點C(0,

3)0

⑴求拋物線的解析式；

⑵設拋物線的頂點為D,在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P,使得APDC是等

腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標;若不存在，請說明理由；

⑶若點M是拋物線上一點，以B、C、D、M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M

的坐標。

⑴?.?拋物線與y軸交于點C(0,3),

設拋物線解析式為y=ax2+bx+3(aw0)...1分

-6+3=0,a=-1,

根據(jù)題意,得《,解得

9a+3b+3=0,b=2.

二拋物線的解析式為y=——+2x+3.............................2分

⑵存在。.......................................................3分

由y=——+2%+3得，D點坐標為(1,4),對稱軸為x=l。......4分

①若以CD為底邊，貝IJPD=PC,設P點坐標為(x,y),根據(jù)勾股定理,

得/+(3-y)2=(x-1)2+(4-y)2,即y=4—x。5分

又P點(x,y)在拋物線上，/.4-x=-x2+2x+3,即-一3%+1=0...................6分

々“目3i,\1~53—V5.3+Vs-

解得％=------，----------<1,應舍去。..x=---------o7分

222

.?.y=4—》=三立，即點P坐標為［如自,匕...............8分

2122J

②若以CD為一腰，因為點P在對稱軸右側的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P與點

C關于直線x=l對稱，此時點P坐標為（2,3）o

???符合條件的點P坐標為匕51或（2,3）o......................................9分

⑶由B(3,0),C(0,3),D(1,4)，根據(jù)勾股定理,

得CB=3V2,CD=V2,BD=26.......................................................................................10分

CB2+CD2=BD2=20,

...NBCD=90°,...................................................................................................................................11分

設對稱軸交x軸于點E,過C作CMLDE,交拋物線于點M,垂足為F,在RtZ\DCF中,

VCF=DF=1,

.\ZCDF=45°,

由拋物線對稱性可知，ZCDM=2X45°=90°,點坐標M為（2,3）,

/.DM/7BC,

四邊形BCDM為直角梯形，.........12分

由NBCD=90°及題意可知，

以BC為一底時，頂點M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況；

以CD為一底或以BD為一底，且頂點M在拋物線上的直角梯形均不存在。

綜上所述，符合條件的點M的坐標為（2,3）o.......................13分

4.已知：拋物線y=G；2+bx+c與x軸交于2、8兩點，與y軸交于點C,其中點

8在x軸的正半輸上，點C在v軸的正半軸上，線段08、0c的長（08<0C）

是方程f—10x+16=0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x=—2.

(1)求/、B、C三點的坐標;

(2)求此拋物線的表達式;

(3)求4ABC的面積;

C4）若點E是線段48上的一個動點（與點Z、點8不重合），過點E作

EF〃AC交BC于點、F,連接CE,設/￡的長為如的面積為S,求S與

機之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量機的取值范圍；

（5）在（4）的基礎上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大

值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△8CE的形狀；若不存在，請說明理由.

解：（1）解方程x2—10x+16=0得xi=2,xz=8

?.?點5在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且05V0C

.?.點8的坐標為（2,0），點C的坐標為（0,8）

又.拋物線y=G；2+bx+c的對稱軸是直線x=-2

，由拋物線的對稱性可得點Z的坐標為(一6,0)

:.A、B、C三點的坐標分別是A(-6,0)、B(2,0)、C(0,8)

(2)?.?點C(0,8)在拋物線y=o?+bx+c的圖象上

...c=8,將/(-6,0)、B(2,0)代入表達式了="2+區(qū)+8,得

2

‘0=36。―66+8,a=~3

解得＜

[0=4a+2b+8

b=-3

OQ

.?.所求拋物線的表達式為y=-$+8

(3)?.ZB=8,0c=8

"''SAABC=$8X8=32

(4)依題意，AE=m,則8￡=8—優(yōu)，

,：OA^6,OC=8,：.AC^10

,CEF//AC；.LBEFsABAC

EFBE?EF8—m40—5m

-AC-AB即a正=k

4

過點尸作尸G,ZB,垂足為G,貝ljsin/尸￡G=sinNC4B=5

.FG4.440—5切

'FG=T—4-=8—m

'?S-S^BCE-S&BFE=1(8—m)x8—](8-m)(8-m)

111

=/(8—m)(8—8+m)=/(8一優(yōu))2+4m

自變量機的取值范圍是0<%<8

(5)存在.理由：

S————(m—4)2+8且—5V°，

當他=4時，S有最大值，S最大值=8

?.?優(yōu)=4,.?.點￡的坐標為(一2,0)

.?.△BCE為等腰三角形.

5.已知拋物線y=-ax2+2方+6與x軸的一個交點為A(-l,0),與y軸的正半軸交于點C.

⑴直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；

⑵當點C在以AB為直徑的。P上時，求拋物線的解析式；

⑶坐標平面內是否存在點使得以點M和⑵中拋物線上的三點A、B、C為頂點

的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點”的坐標；若不存在，請說明理由.

解：⑴對稱軸是直線：x=l,點B的坐標是(3,0).....2分

說明：每寫對1個給1分，“直線”兩字沒寫不扣分.

⑵如圖，連接PC,丁點A、B的坐標分別是A(-LO)、B(3,0),

AB=4.PC=-AB=-x4=2.

22

在RtZkPOC中，\?OP=PA—OA=2—1=1,

/.oc=JPC2-PO2=722-l2=V3.

:?b=叵...........................................3分

當x=y=0時，—a—2Q+V3—0,

?_百2,2百6八

??y-...........xH--------x+73..............57J

"33

⑶存在..................6分

理由：如圖，連接AC、BC.設點M的坐標為M(xj).

①當以AC或BC為對角線時，點M在x軸上方，止匕時CM〃AB,且CM=AB.

由⑵知，AB=4,|x|=4,y=OC=V3.

，x=±4..?.點M的坐標為M(4,g)或(—4,g)....9分

說明：少求一個點的坐標扣1分.

②當以AB為對角線時，點M在x軸下方.

過M作MN_LAB于N,則NMNB=NAOC=90。.

:四邊形AMBC是平行四邊形，AAC=MB,且AC〃MB.

.?.NCA0=NMBN.AAAOC^ABNM.，BN=AO=1,MN=CO=6

VOB=3,/.0N=3-l=2.

二點M的坐標為M(2,-V3)........................................12分

說明：求點M的坐標時，用解直角三角形的方法或用先求直線解析式,

然后求交點M的坐標的方法均可，請參照給分.

綜上所述，坐標平面內存在點使得以點A、B、C、M為頂點的四邊形是平

行四邊形.其坐標為弘(4,百),%(-4,0),必(2,-g).

2013年中考數(shù)學沖刺一壓軸題答案

1.化筒(5-Q)J--------------------------------1

V5—a

解：7a-5.

2,相交兩圓的公共弦長為16cm,若兩圓的半徑長分別為10cm和17cm,則這兩圓的

圓心距為

解：21或9cm2.

BC

(第3題圖)

3.如圖3,在△/BC中，點。、E分別在邊AB、4C上，DE//BC,AD：BD=1:2,

那么SADBE:SACBE等于

解：1：3.

4.如圖4,兩正方形彼此相鄰且內接于半圓，若小正方形的面積為16cm2,則

該半圓的半徑為L

解：大正方形邊長為X,則半徑為15%,所以，(且x)2=(4+±)2+42,解得46cm.

222

5.如右圖5,在Rt^ABC中，OA=2,AB=1,把Rtz^ABO繞著原點逆時針

旋轉90°,得AA'B'0,那么點A'的坐標為。

解:(-1,V3)

6.如圖6,在A45C中，NZCB=90°,ZC=4,BC=3,將AZBC繞點C順時針旋轉B

至A48。的位置，其中4Bi交于M、N兩點，則線段

MN的長為.

解：0.8.

7.在RiAZBC中，ZC=90°,BC=4,AC=3,將△ABC繞著點B旋轉后點力

落在直線BC上的點H,點C落在點。處，那么44'的值為；

解：何或3比5；

8.已知正方形ABCD中，點E在邊DC上，DE=2,EC=1（如圖8所示），

把線段AE繞點A旋轉，使點E落在直線BC上的點F處，則F、C兩點

的距離為

解：1或5.

9.已知R7A4BC中，乙4cB=90°,AC=6,BC=8,點。是ZB中點，點E是

直線4:上一點，若以C、D、E為頂點的三角形與△ZBC相似，則ZE的長度

為.

7

解：3或一.

3

10.R/AABC中，zc=90°,AC=4,BC=3,一正方形內接于R/AABC中，那么這個正方

形的邊長為.

11.已知一次函數(shù)y=（l-2x）m+x+3圖像不經(jīng)過第四象限。（1）求m的取值范圍;

（2）又如果該一次函數(shù)的圖像與坐標軸圍成的三角形面積是4.5,求這個一次函數(shù)的

解析式。,

解：（1）,一次函數(shù)y=（l-2x）m+x+3即y=（l-2m）x+m+3圖像不經(jīng)過第四象限

l-2m>0],m+320,（2分）

-3<m<—

2.........（2分）

根據(jù)題意，得：函數(shù)圖像與y軸的交點為（0,m+3）,與x軸的交上

為…（1分）

1m+3/八9

-------------（m+3）=—

71_7m\?

則……（1分）解得m=0或m=-24（舍）…

（1分）

?二一次函數(shù)解析式為：y=x+3........（1分）

12.如圖12,在直角梯形ZBCD中，ADIIBC,ZC=90°,BC=12,AD=18,

AB=10.動點尸、。分別從點。、8同時出發(fā)，動點尸沿射線'的方向以每秒

2個單位長的速度運動，動點。在線段5c上以每秒1個單位長的速度向點C運動，

當點0運動到點C時，點尸隨之停止運動.設運動的時間為秒）.

（1）當點尸在線段可上運動時，聯(lián)結8。，若NW4DB,求才的值；

（2）當點尸在線段'上運動時，若以5。為直徑的圓與以4P為直徑的圓外切，求/

的值；

（3）設射線00與射線48相交于點E,A4EP能否為等腰三角形？如果能，請直接

寫出/的值；如果不能，請說明理由.

解：（1）可求得：DP=2t,AP=18-2t,............................（1分）

,/NABP=NADB,ZA=ZA二MBPsAADB,（1

分）

.AB_AP

（1分）BPAB2=AD-AP,...

''AD-AB

102=18x（18-20,…（1分）

解得：/=生.V—<9=—............（1分）

999

（2）過點8作88,幺。，垂足為笈，得BH=8,.......................（1

分）

記3。中點為。1、4?中點為。2,聯(lián)結。。2,過點a作OJLN。，垂足為

ft1Q_2/

I,則O]/=8〃=8,BOi=；,COj=12-j,AO2==9-t,

DO,=9+7,

t3t

（92Z=（9+0-（12--）=y-3,................................

…（1分）

當=BO{+AO2=：+（9—）=9-：時......................................................

a分）

以30為直徑的圓與以4P為直徑的圓外切，在RtkOJO?中，

OlQ?=。1尸+Q/2,即（9—,）2=82+（萬—3）2,.................（1分）整理得：

〃=4,，/Z>0,;.t=2；（1分）

9QQOQ

(3)能，/的值可以是/=二或/=2或/=2或7=三.......................(4

933

分)

2013中考數(shù)學填空壓軸題

1.直角坐標系中直線交x軸，y軸于點力(4,0)

與B(0,-3),現(xiàn)有一半徑為1的動圓的圓心位

于原點處，以每秒1個單位的速度向右作平移運動，

則經(jīng)過一秒后動圓與直線AB相切.

2.k是整數(shù)，已知關于x的一元二次方程kx2+(2k—1)?x+k—1=0只有整數(shù)根，則k

3.對于實數(shù)"，v,定義一種運算“*”為u*u=uu+v.若關于x的方程x*(a*x)=—1

4

有兩個相等的實數(shù)根，則滿足條件的實數(shù)Q的值是.

4.按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為：—,—,—,上…，按此規(guī)律排列

2310152635

下去，這列數(shù)中的第9個數(shù)是.

5.如圖，矩形ZBCD中，由8個面積均為1的小正方形組成的L型模板如圖放置，則

矩形ABCD的周長為

(第5題)

6.如圖，P為邊長為2的正三角形中任意一點，連接PA、PB、

A

PC,過P點分別做三邊的垂線，垂足分別為D、E、F,則

PD+PE+PF=；陰影部分的面積為.

7.如圖，正方形OAiBiCi的邊長為2,以。為圓心、OAi為半徑作弧AiCi交OBi于點

B2,設弧A1C1與邊A1B1、BiCi圍成的陰影部分面積為E；然后以0B2為對角線作正方

形OA2B2c2，又以0為圓心、0A2為半徑作弧A2c2交0B2于點B3，設弧A2c2與邊A2B2、

B2c2圍成的陰影部分面積為邑；…，按此規(guī)律繼續(xù)作下去，設弧4G與邊

圍成的陰影部分面積為邑.則E=,sn

（第7

題圖）

8.如圖所示，將一張矩形紙片對折，可得到一條折痕（圖中的虛線），連續(xù)對折，對折

時每次折痕與上次折痕保持平行，連續(xù)操作三次可以得到7條折痕，那么對折”次可得

到折痕的條數(shù)是.

IIIIIII'lIIIIII

II?IIIIIIII

IIiIIIIIIII???

第一次第二次第三次

第8題圖

9.如圖，在RtZXABC中，NC=90。，BC=3,AC

=4,按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊，使點C

落在AB邊的C'點，那么的面

積是.

10.在Rt^ABC中，NACB=90°,BC<AC,^BC-AC=-AB2,則N4=0.

11.如圖,在平面直角坐標系xQy中，Bj(0,1),B2(0,3),B3(0,6),

84(0,10),…,以4層為對角線作第一個正方形4月。層，以

B2B3為對角線作第2個正方形A2B2C2B3,以B3B,為對角線作第

三個正方形483c34，…，如果所作正方形的對角線2“紇+1都在

)軸上，且3M角的長度依次增加1個單位，頂點4都在第一象

限內"21,且”為整數(shù)).那么4的縱坐標為；用“

的代數(shù)式表示4的縱坐標：.

12.在平面直角坐標系中，我們稱邊長為1、且頂點的橫、

縱坐標均為整數(shù)的正方形為單位格點正方形.如圖，在菱形

力BCD中，四個頂點坐標分.別是(一8,0),(0,4),(8,0),

(0,-4),則菱形ABCD能覆蓋的單位格點正方形的個數(shù)是

個；若菱形AnBnCn?！钡乃膫€頂點坐標分別為(一2凡0),(0,

“)，(2n,0),(0,—n)(n為正整數(shù))，則菱形

外能覆蓋的單位格點正方形的個數(shù)為(用含有n的式子表示).

13.一組按規(guī)律排列的整數(shù)5,7,11,19,第6個整數(shù)為—，根據(jù)上述規(guī)律,

第八個整數(shù)為("為正整數(shù)).

14.下列矩形中，按虛線剪開后，既能拼出平行四邊形和梯形，又能拼出三角形的是

圖形(請?zhí)顖D形下面的代號)。

(I)③⑤

15.如圖，把一個等邊三角形的頂點放置在正六邊形的中心。點，請你借助這個等邊

三角形的角，以角為工具等分正六邊形的面積，等分的情況分別為等分.

16.把n個正整數(shù)放在小正方形中并按照右上圖的形式排列，用一個虛線畫的矩形框

框住中間的一列數(shù)，若用a表示這列數(shù)的第八個數(shù)，則a為.

17.如圖，在平面直角坐標系少中,4（-3,0）,B（0,1）,形狀相同的拋物線C,（n=l,

2,3,4,…）的頂點在直線AB上，其對稱軸與

x軸的交點的橫坐標依次為2,3,5,8,13,

X

…，根據(jù)上述規(guī)律，拋物線的頂點坐標

為______;拋物線C8的頂點坐標為;

1+n

18、如圖，將邊長為上‘（n=L2,3...）的正方形紙片從左到右順序擺放,其對應的正

2

????

方形的中心依次為A-jA3.。①若擺放前6個正方形紙片，則圖

中被遮蓋的線段（虛線部分）之和為；②若擺放前n個（n為大

于1的正整數(shù)）個正方形紙片，則圖中被遮蓋的線段（虛線部分）之和為

19.如圖，“+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設△4AG的面積

為S[,△為。2。2的面積為S2,…，△紇+Q“C”的面積為S“，則尾=；

S"=（用含"的式子表示）.

20.圖1是一個八角星形紙板，圖中有八個直角，八個相等的鈍角,每條邊都相等.如圖2

將紙板沿虛線進行切割，無縫隙無重疊的拼成圖3所示的大正方形，其面積為8+4枝,

則圖3中線段48的長為.

圖1圖2圖3

21,已知等腰三角形/BC內接于半徑為5的。0中，如果底邊BC的長為8,那么底角

的正切值是.

22.我們把分子為1的分數(shù)叫做理想分數(shù)，如工，----任何一個理想分數(shù)都

234

可以寫成兩個不同理想分數(shù)的和，如工=』+!，-=-+工=,+工，…根據(jù)對

23634124520

上述式子的觀察，請你思考：如果理想分數(shù),=工+!5是不小于2的整數(shù)，且a<

nab

b),那么b-a=.(用含n的式子表示)

23.已知拋物線y=x2-2(m+l)x+m2與x軸的兩個交點的

橫坐標均為整數(shù)，且m<5,則整數(shù)m的值為.

24.如圖，在平面直角坐標系中，一顆棋子從點尸處開始跳動，第一

次跳到點尸關于x軸的對稱點P,處，接著跳到點片關于y軸

的對稱點￡處，第三次再跳到點入關于原點的對稱點處，…，

如此循環(huán)下去.當跳動第2009次時，棋子落點處的坐標是

25.如圖，AABC中，NACB=90。，AC=BC=1,取斜邊的中點，向斜邊做垂線，畫出

一個新的等腰直角三角形，如此繼續(xù)下去，直到所畫直角三角形的斜邊與4ABC的BC

邊重疊為止，此時這個三角形的斜邊長為

26.在菱形ABCD中，對角線AC,BD相交于點0,且AC=12,BD=16,E為AD的中

點，點P在BD上移動，若aPOE為等腰三角形，則所有符合條件

的點P共有個.

2013中考數(shù)學填空壓軸題答案

I—23f—兀

1

2.±13.04.—5.8A/568，—.7.4-%,2".8,2?-1

3382b-2

9.-10.1511.("I.12.484n2-4n13.2〃+3(〃為正整數(shù))14.②(說

22

明：若多選，只要有②，給1分)15.二，三，六16.11317.(3,2)；(55,—)

3

18.10—(?+2)(/7-1)

19.逑縣20.V2+121.2或工22.”2—123.0或4（答對一個給2分；在答出0

3n+12

或4的基礎上，多答的只給2分.）24.（3,-2）25.-26.4

2013中考數(shù)學壓軸題菱形問題精選解析（三）

例5已知菱形/BCD中，BD為對角線，P、Q兩點分別在ZB、BD±.,且滿足NPCQ=

AABD.

（1）如圖1,當NB4O=90。時，求證：小DQ+BP=CD；

（2）如圖2,當NBAO=120。時，試探究線段OQ、BP、CD之間的數(shù)量關系，并證明

你的結論；

（3）如圖3,在（2）的條件下，延長CQ交20邊于點E,交氏4延長線于點M,作N

CO535

DCE的平分線交40邊于點凡若黑=方，用=或，求線段BP的長.M

rlvi/乙4A

A/\EF_D

解析:

（1）證明：連接ZC

在菱形/BCD中，

二四邊形4BCD為正方形，.?.NE4C=NQDC=45。

?：NPCQ=NABD,.?.NPCQ=45°

AZACP=45°-ZACQ,又NDCQ=45°—NZCQ

ZACP=ZDCQ,：.AAPC^ADQC

4PACi—i—

?，?DQ=DC=72,^?AP—yj2DQ

'：AP+BP^AB=CD,:.小DQ+BP=CD

(2)小DQ+BP=2CD

證明：連接AC,在￡>Q上取一點M,連接CM,使/MCD=NMDC=30°

則NQMC=/PZC=60。

1\[s

過點M作MG_LC。于G,貝IJCG=5C。，CG=^CM

.APACCDr-…c亞“r

?,MQ—ML麗-小’jMQ-3Ap

.：MQ=DQ-DM=DQTCD,AP=CD-BP

:*(CD—BP)=DQ—半CD

:.mDQ+BP=2CD,G

(3)解：在菱形4BCD中，ZABD=ZBDC=30°

'：ZPCQ=ZABD=30°,：.ZPCQ=ZQDC

"."BM//CD,：.ZPMC=ZQCD

AACQCD5BC5

'ACQDsAMPC,???時「=而=亍=7

設BC=5k,貝ijMC=7k,過點C作CHLAB于H

則加幼。=泳CH=當BC奇回,MH=、MC2一叱

C

：.BM=BH+MH=8k,：.AM=BM-AB=3k

.AMAEAE

.AM//CD,??五=而=AD—AE

3kAEC.AE^^~k

?,5k—5k—ZE'o

延長CRBM交于點G,則NCCF=NG

「FC平分NEC。，：.NMCG=NDCF

：.ZMCG=ZG,：.MG=MC=7k,：.AG=AM^MG=10k

.AGAFAF

*JAG//CD,??而=而=AD—AF

??愛=春，用》

AEF=AF-AE=^rk=~^7,：.k=l,.\CD=5

過點C作CNLBD于N,則DN=^CD=^\[3

:.BD=2DN=5小

.DEDQ_DQ

,JDE//BC,

""BC~BQ~BD-DQ

8DQ25

??DQ=13ylr3

5—5小—DQ

：.BP=2CD-y[3DQ=^

例6

如圖，菱形ABCD的邊長為6cm,NDAB=60度，點M是邊AD上一點，且DM=2cm,

點E,F分別從A,C兩點同時出發(fā)，以lcm/s的速度分別沿AB,CB向點B運動，

EM,CD的延長線相交于G,GF交AD于0,設運動時間為x(s),三角形CGF的

面積為y(cm2)

解析:

(1)VDCIIAB,

.,.△DMG^AAME,

DG:AE=DM:AM,

；.AE=AN*DG/DM,

即當x=4s時，GD的長度是2cm.

(2)VADMG^AAME,

.\DG/AE=DM/AM,

；.DG=DM*AE/AM=2x/4=x/2,

/.GC=6+x/2,

過F作FHJ_DC于H點，

/.FH=CF*sin60°=V3/2x,

.\y=l/2GC*FH,

=1/2(6+x/2)*J3/2x.

(3)設運動x(s)時，GF分菱形上、下兩部分的面積比為1：5,

此時△OGDS/XFGC,

.,.DG:GC=OD:FC,

CD=GD*FC/GC=x2/x+12,

過D作DPJ_BC于P,貝UPD=6Xsin60°=3V3,

即x2/x+12+x=2,

解得：xl=(V73-5/2)x2=-(773-5)/2(舍去)，

經(jīng)檢驗：(J73-5)/2是原方程的解.

...當時：(773-5)/2,GF分菱形上、下兩部分的面積比為1：5.

2013中考數(shù)學壓軸題正方形問題精選解析（三）

例6如圖，點A的坐標為（0,—4）,點B為x軸上一動點，以線段4B為邊作正方形

ABCD（按逆時針方向標記），正方形ABC。隨著點B的運動而相應變動.點E為y軸

的正半軸與正方形ABCD某一邊的交點，設點B的坐標

為（如0）,線段OE的長度為

（1）當t=3時，求點C的坐標；

（2）當t>0時，求m與t之間的函數(shù)關系式；

（3）是否存在t,使點M（-2,2）落在正方形ZBCD的邊上？若存在，請求出所有符

合條件的t的值；若不存在，請說明理由.

解析：（1）過點C作CFLx軸于F

貝0△B04得CF=B0=3,FB=0A=4

...點C的坐標為（-1,3）

（2）當0<t<4時，點E為y軸的正半軸與BC邊的交點，如圖1

npOR

易證△B0ESA40B,得病=吊

UDU/i

即子=（,?"=%

當t>4時，點E為y軸的正半軸與CD邊的交點，如圖2

TJApA

易證△￡■04s△ZOB,得演=,

UD/±D

而D4=AB,：.AB2^OB-EA

16

即42+戶=t(m+4),：.m=t+--4

（3）存在

當two時

:正方形力BCD位于x軸的下方（含x軸），,此時不存在

當0<tW4時

t4

①若點M在BC1邊上，有5二萬五

解得t=2或t=—4（舍去）

②若點M在CD邊上，有^2=-2—(4—t)

41L

解得t=2或t=4

當t>4時

164

t+不一4—2

①若點在邊上，有----

MCD47--------=7L

解得t=2（舍去）或t=4（舍去）

2-西

乙t2

②若點M在4。邊上，有=了

4L

解得t=12

綜上所述：存在，符合條件的t的值為2、4、12

例7如圖，點P是正方形ABCD邊4B上一動點（不與點4、B重合）,連接PD并將

線段P0繞點P順時針方向旋轉90°得到線段PE,PE交邊BC于點F,連接BE、DF.

（1）求證：NADP=/EPB；

（2）若正方形ABC。邊長為4,點尸能否為邊BC的中點？如果能，請你求出4P的長；

如果不能，請說明理由.

（）當就的值等于多少時，APFDsABFP?并說明理由.

3/1￡）

解析：

（1）證明：???四邊形48。）是正方形，?,?乙4=90。

???ZADP^ZAPD=90°

u：ZDPE=90°,：.ZAPD-^ZEPB=90°

：.ZADP=ZEPB

（2）不能

設ZP=x(0<x<4)

VZA=ZPBF=90°,ZADP=ZFPB

ADBP44—x

：.△ADPs^BPF,

??AP—BF',?x-BF

11

BF=一~7X2-\-X=-y（x-2）2+l

.?.當x=2（即P為AB中點）時，BF有最大值1

，點F不能為邊BC的中點

PDPB

（3）假設△P/Rs/XBFP,則r標r=而Dr；

PDAP

■:AADPsABPF,APr—=Br—

.四=空?PB=AP

??BFBF??/”

Ap1

?

??/i￡當）=Z5時，APFDsABFP

例8如圖1,正方形力BCD和正方形ZEFG,邊AE在邊4B上，4B=24E=4.將正方

形AEFG繞點4按逆時針方向旋轉a(0°<a^60°).

(1)如圖2,當NBEA=120。時，求DG的長；

(2)設BE的延長線交直線DG于點P,將正方形4EFG繞點4逆時針旋轉60。，求旋

轉過程中點P運動的路線長；

(3)在旋轉的過程中，是否存在某時刻使得BF=BC,若存在,試求出DP的長；若不

存在，請說明理由.

圖1圖2備用圖

解析：（1）正方形ABCD和正方形AEFG

：.AD=AB,AG=AE,ZEAG=ZBAD=90°

：.ZDAG^ZBAE^900-ZEAD

：.ADAG^/\BAE,：.ZDGA=ZBEA=120°

過點/作交DG延長線于“，如圖2

貝lJ/AGH=60°,：.ZGAH=30°

]\I3

：.GH=^AG=1,AH=^AG=\[3

在RtZXADH中，AH2+DH2^AD2

：,(V3)2+(DG+1)2=42

解得QG=，I§—1（舍去負值）

（2）由（1）知△DAG2△BZE,；./ADG=NABE

如圖3,?.?/1=N2,:.NBPD=NBAD=90。

連接BD,則△BPD是以B￡＞為斜邊的直角三角形

1、歷圖3

設BD的中點為。，連接。P,則OP=2BD=，^B=2出

旋轉過程中，點P運動的路線是以。為圓心，以。P為半徑的一段圓弧

如圖4,當邊ZE在邊上時，P與4重合

當NBAE=60。時，設AB的中點為M