云南省紅河州瀘西一中2024-2025學年高三開年摸底大聯考數學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為等比數列，，，則（）A．9 B．－9 C． D．2．已知函數f(x)=xex2+axeA．1 B．-1 C．a D．-a3．已知復數z滿足i?z＝2+i，則z的共軛復數是（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i4．設M是邊BC上任意一點，N為AM的中點，若，則的值為()A．1 B． C． D．5．已知集合，，則A． B．C． D．6．已知非零向量、，若且，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．7．已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積為9，若點，則的最大值為（）A．3 B．6 C．9 D．128．設分別為雙曲線的左、右焦點，過點作圓的切線，與雙曲線的左、右兩支分別交于點，若，則雙曲線漸近線的斜率為（）A． B． C． D．9．已知函數（）的最小值為0，則（）A． B． C． D．10．已知f（x）=ax2+bx是定義在[a–1，2a]上的偶函數，那么a+b的值是A． B．C． D．11．下邊程序框圖的算法源于我國古代的中國剩余定理.把運算“正整數除以正整數所得的余數是”記為“”，例如.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于（）A．16 B．17 C．18 D．1912．在中，點為中點，過點的直線與，所在直線分別交于點，，若，，則的最小值為（）A． B．2 C．3 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線(a＞0)的一條漸近線方程為，則a＝_______．14．已知雙曲線的一條漸近線經過點，則該雙曲線的離心率為_______.15．已知函數有且只有一個零點，則實數的取值范圍為__________.16．若存在直線l與函數及的圖象都相切，則實數的最小值為___________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設橢圓的左右焦點分別為，離心率，右準線為，是上的兩個動點，．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）證明：當取最小值時，與共線．18．（12分）在以ABCDEF為頂點的五面體中，底面ABCD為菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EFAB，點G為CD中點，平面EAD⊥平面ABCD.（1）證明：BD⊥EG；（2）若三棱錐，求菱形ABCD的邊長.19．（12分）已知函數，.（1）當為何值時，軸為曲線的切線；（2）用表示、中的最大值，設函數，當時，討論零點的個數.20．（12分）如圖，已知四棱錐，平面，底面為矩形，，為的中點，.（1）求線段的長.（2）若為線段上一點，且，求二面角的余弦值.21．（12分）若,且（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并說明理由.22．（10分）設數列是等差數列，其前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據等比數列的下標和性質可求出,便可得出等比數列的公比,再根據等比數列的性質即可求出.【詳解】∵,∴,又,可解得或設等比數列的公比為,則當時,,∴；當時,,∴.故選：C．本題主要考查等比數列的性質應用,意在考查學生的數學運算能力,屬于基礎題.2．A【解析】

令xex=t，構造g(x)=xex，要使函數f(x)=xex2+axex-a有三個不同的零點x1,x2,【詳解】令xex=t，構造g(x)=xex，求導得g'(x)=故g(x)在-∞,1上單調遞增，在1,+∞上單調遞減，且x<0時，g(x)<0，x>0時，g(x)>0，g(x)max=g(1)=1e，可畫出函數g(x)的圖象（見下圖），要使函數f(x)=xex2+axex-a有三個不同的零點x1,x若a>0，即t1+t2=-a<0t1故1-x若a<-4，即t1+t2=-a>4t1故選A.解決函數零點問題，常常利用數形結合、等價轉化等數學思想.3．D【解析】

兩邊同乘-i，化簡即可得出答案．【詳解】i?z＝2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復數為1+2i，選D.的共軛復數為4．B【解析】

設，通過，再利用向量的加減運算可得，結合條件即可得解.【詳解】設，則有.又，所以，有.故選B.本題考查了向量共線及向量運算知識，利用向量共線及向量運算知識，用基底向量向量來表示所求向量，利用平面向量表示法唯一來解決問題.5．D【解析】

因為，，所以，，故選D．6．D【解析】

設非零向量與的夾角為，在等式兩邊平方，求出的值，進而可求得向量在向量方向上的投影為，即可得解.【詳解】，由得，整理得，，解得，因此，向量在向量方向上的投影為.故選：D.本題考查向量投影的計算，同時也考查利用向量的模計算向量的夾角，考查計算能力，屬于基礎題.7．C【解析】

分析：先畫出滿足約束條件對應的平面區(qū)域，利用平面區(qū)域的面積為9求出，然后分析平面區(qū)域多邊形的各個頂點，即求出邊界線的交點坐標，代入目標函數求得最大值.詳解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖所示：則，所以平面區(qū)域的面積，解得，此時，由圖可得當過點時，取得最大值9，故選C.點睛：該題考查的是有關線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對應的可行域，之后根據目標函數的形式，判斷z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個點是最優(yōu)解，從而聯立方程組，求得最優(yōu)解的坐標，代入求值，要明確目標函數的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據不同的形式，應用相應的方法求解.8．C【解析】

如圖所示：切點為，連接，作軸于，計算，，，，根據勾股定理計算得到答案.【詳解】如圖所示：切點為，連接，作軸于，，故，在中，，故，故，，根據勾股定理：，解得.故選：.本題考查了雙曲線的漸近線斜率，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.9．C【解析】

設，計算可得，再結合圖像即可求出答案.【詳解】設，則，則，由于函數的最小值為0，作出函數的大致圖像，結合圖像，，得，所以.故選：C本題主要考查了分段函數的圖像與性質，考查轉化思想，考查數形結合思想，屬于中檔題.10．B【解析】

依照偶函數的定義，對定義域內的任意實數，f（﹣x）=f（x），且定義域關于原點對稱，a﹣1=﹣2a，即可得解.【詳解】根據偶函數的定義域關于原點對稱，且f（x）是定義在[a–1，2a]上的偶函數，得a–1=–2a，解得a=，又f（–x）=f（x），∴b=0，∴a+b=．故選B．本題考查偶函數的定義，對定義域內的任意實數，f（﹣x）=f（x）；奇函數和偶函數的定義域必然關于原點對稱，定義域區(qū)間兩個端點互為相反數．11．B【解析】

由已知中的程序框圖可知，該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量的值，模擬程序的運行過程，代入四個選項進行驗證即可.【詳解】解：由程序框圖可知，輸出的數應為被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整數.若輸出，則不符合題意，排除；若輸出，則，符合題意.故選:B.本題考查了程序框圖.當循環(huán)的次數不多，或有規(guī)律時，常采用循環(huán)模擬或代入選項驗證的方法進行解答.12．B【解析】

由，，三點共線，可得，轉化，利用均值不等式，即得解.【詳解】因為點為中點，所以，又因為，，所以．因為，，三點共線，所以，所以，當且僅當即時等號成立，所以的最小值為1．故選：B本題考查了三點共線的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．3【解析】

雙曲線的焦點在軸上，漸近線為，結合漸近線方程為可求.【詳解】因為雙曲線(a＞0)的漸近線為，且一條漸近線方程為，所以.故答案為：.本題主要考查雙曲線的漸近線，明確雙曲線的焦點位置，寫出雙曲線的漸近線方程的對應形式是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養(yǎng).14．【解析】

根據雙曲線方程，可得漸近線方程，結合題意可表示，再由雙曲線a，b，c關系表示，最后結合雙曲線離心率公式計算得答案.【詳解】因為雙曲線為，所以該雙曲線的漸近線方程為.又因為其一條漸近線經過點，即，則，由此可得.故答案為：.本題考查由雙曲線的漸近線構建方程表示系數關系進而求離心率，屬于基礎題.15．【解析】

當時，轉化條件得有唯一實數根，令，通過求導得到的單調性后數形結合即可得解.【詳解】當時，，故不是函數的零點；當時，即，令，，，當時，；當時，，的單調減區(qū)間為，增區(qū)間為，又，可作出的草圖，如圖：則要使有唯一實數根，則.故答案為：.本題考查了導數的應用，考查了轉化化歸思想和數形結合思想，屬于難題.16．【解析】

設直線l與函數及的圖象分別相切于，，因為，所以函數的圖象在點處的切線方程為，即，因為，所以函數的圖象在點處的切線方程為，即，因為存在直線l與函數及的圖象都相切，所以，所以，令，設，則，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，所以，所以實數的最小值為．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析．【解析】由與，得，，的方程為．設，則，由得．①（Ⅰ）由，得，②，③由①、②、③三式，消去，并求得，故．（Ⅱ），當且僅當或時，取最小值，此時，，故與共線．18．（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）取中點，連，可得，結合平面EAD⊥平面ABCD，可證平面ABCD，進而有，再由底面是菱形可得，可得，可證得平面，即可證明結論；（2）設底面邊長為，由EFAB，AB＝2EF，，求出體積，建立的方程，即可求出結論.【詳解】（1）取中點，連，底面ABCD為菱形，，，平面EAD⊥平面ABCD，平面平面平面，平面平面，底面ABCD為菱形，，為中點，，平面，平面平面，；（2）設菱形ABCD的邊長為，則，，，，，所以菱形ABCD的邊長為.本題考查線線垂直的證明和椎體的體積，注意空間中垂直關系之間的相互轉化，體積問題要熟練應用等體積方法，屬于中檔題.19．（1）；（2）見解析.【解析】

（1）設切點坐標為，然后根據可解得實數的值；（2）令，，然后對實數進行分類討論，結合和的符號來確定函數的零點個數.【詳解】（1），，設曲線與軸相切于點，則，即，解得.所以，當時，軸為曲線的切線；（2）令，，則，，由，得.當時，，此時，函數為增函數；當時，，此時，函數為減函數.，.①當，即當時，函數有一個零點；②當，即當時，函數有兩個零點；③當，即當時，函數有三個零點；④當，即當時，函數有兩個零點；⑤當，即當時，函數只有一個零點.綜上所述，當或時，函數只有一個零點；當或時，函數有兩個零點；當時，函數有三個零點.本題考查了利用導數的幾何意義研究切線方程和利用導數研究函數的單調性與極值，關鍵是分類討論思想的應用，屬難題．20．（1）的長為4（2）【解析】

（1）分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，根據向量垂直關系計算得到答案.（2）計算平面的法向量為，為平面的一個法向量，再計算向量夾角得到答案.【詳解】（1）分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則，所以.，因為，所以，即，解得，所以的長為4.（2）因為，所以，又，故.設為平面的法向量，則即取，解得，所以為平面的一個法向量.顯然，為平面的一個法向量，則，據圖可知，二面角的余弦值為.本題考查了立體幾何中的線段長度，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.21．（1）；（2）不存在.【解析】

（1）由已知，利用基本不等式的和積轉化可求，利用基本不等式可將轉